Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên đề giới hạn trần đình cư file word

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11
CHƯƠNG IV

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


MỤC LỤC
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV................................................................................................1
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN...........................................................................................................................3
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ..............................................................................................................3
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}...........................................................................12
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ................................................................................................................20
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}...........................................................................33
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC................................................................................................................37
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo}..................................................................................49
ÔN TẬP CHƯƠNG 4...........................................................................................................................52

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0
Dãy ( un ) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, un đều có thể nhỏ hơn một số dương đó.
Ký hiệu: lim ( un ) = 0 hay lim un = 0 hoặc un → 0
lim un = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ , ∀n > n0 ⇒ un < ε
un = 0 ”, đọc dãy số ( u ) có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô
(Ký hiệu “ lim un = 0 ” còn được viết “ lim
n

n →+∞
cực)
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng

a) Dãy số ( un ) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số ( un

)

có giới hạn 0

b) Dãy số không đổi ( un ) , với un = 0 có giới hạn 0
2. Các định lí
* Định lí 1: Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) . Nếu un ≤ vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0
* Định lí 2: Nếu q < 1 thì lim q n = 0
3. Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn

( vn − L ) = 0 .
* Định nghĩa 1: Ta nói dãy ( vn ) có giới hạn là số L (hay vn dần tới L) nếu nlim
→+∞
Ký hiệu: lim vn = L hay vn → L
Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ ε ):
lim vn = L ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ , ∀n > n0 ⇒ vn − L < ε
4. Một số định lí
* Định lí 1: Giả sử lim un = L . Khi đó
•

lim un = L và lim 3 un = 3 L

•

Nếu un ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và lim un = L

* Định lí 2: Giả sử lim un = L và lim vn = M ≠ 0 , c là một hằng số. Ta có:
lim ( un ± vn ) = a ± b ; lim ( cun ) = cL ;

lim un .vn = lim un .lim vn ;

lim

un lim un a
=
= ;
vn lim vn b

5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
•

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội q thỏa mãn q < 1

•

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u2 + ... + un + ... =

u1
1− q

6. Dãy có giới hạn +∞
Định nghĩa: Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn +∞ , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy
số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Ký hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞

Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ ε ):
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


7. Dãy có giới hạn −∞

lim un = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ ¥ , ∀n > n0 ⇒ un > M

Định nghĩa: Ta nói dãy số ( un ) có giới hạn −∞ , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số,
kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.
Ký hiệu: lim un = −∞ hoặc un → −∞
Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ ε ):
lim un = −∞ ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ ¥ , ∀n > n0 ⇒ un < − M
Chú ý: Các dãy số có giới hạn +∞ và −∞ được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực
8. Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực
un
a) Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim = 0
vn
b) Nếu lim un = a > 0 và lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim

un
= +∞
vn

Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại
c) Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì lim un vn = +∞
Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp: lim un = 0 khi và chỉ khi un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở

đi.
Ví dụ 1. Biết dãy số ( un ) thỏa mãn un ≤

Đặt vn =

n +1
với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 0
n2
Giải

n +1
n2

n +1
= 0 . Do đó, vn có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
n2
Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ vn ≤ vn (2)
Ta có lim vn = lim

Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim un = 0
Ví dụ 2. Biết rằng dãy số ( un ) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số ( vn ) với vn = un cũng có giới hạn là
0. Chiều ngược lại có đúng không?
Hướng dẫn
Vì ( un ) có giới hạn là 0 nên un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, vn = un = un . Do đó, vn cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó
trở đi. Vậy ( un ) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy ( vn ) cũng có giới
hạn là 0.
(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).
Ví dụ 3. Vì sao dãy ( un ) với un = ( −1) không có thể giới hạn là 0 khi n → +∞ ?
n

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


sin n
=0
n
Hướng dẫn

Ví dụ 4. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim

Ta có un − 0 =

sin n 1
1
≤ < ε ⇔ n > , n0 ∈ ¥ . Khi đó:
n
n
ε

∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ : ∀n > n0 ⇒ un − 0 < ε . Vậy: lim un = 0 .
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số
Phương pháp: Ta dùng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp
1
A
⊕ lim = 0 (hay lim = 0 )
n
n
1
1

= 0;lim k = 0 với k nguyên dương
⊕ lim
n
n
⊕ lim q n = 0 nếu q < 1
Ví dụ 1.
a) Cho hai dãy số ( un ) và ( vn ) . Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 và un ≤ vn với mọi n thì lim un = 0
b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
1
a) un =
n!

b) un =

d) un = ( 0,99 ) cos n
n

( −1)

2 − n ( −1)
c) un =
1 + 2n 2

2n − 1

n

e) un = 5n − cos nπ

Ví dụ 2. Tính giới hạn sau:

3n +1 − 2n +1
a) lim n
;
3 + 2n

4.3n + 7 n +1
c) lim
;
2.5n + 7 n

5n + 1
b) lim n
;
5 −1

−2 ) + 3n
(
d) lim
n +1
( −2 ) + 3n+1
n

n
Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng công thức lim q = 0, q < 1

a) 3

b) 1

c) 7

d)

Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn
vn = a ⇔ lim ( vn − a ) = 0
Phương pháp: nlim
→+∞
n →+∞
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim

3n + 2
=3
n +1
Hướng dẫn

1
1
1
1
< < ε ⇔ n > ; chọn n0 > , n0 ∈ ¥ . Khi đó:
n +1 n
ε
ε
∀ε > 0, ∃n0 ∈ ¥ : ∀n > n0 ⇒ un − 3 < ε . Vậy lim un = 3
un − 3 =

 ( −1) n
Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim 1 +

n


3n + 2
Ví dụ 3. Cho dãy ( un ) xác định bởi: un =
n +1


÷= 1
÷


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1
3


a) Tìm số n sao cho un − 3 <

1
1000

b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy ( un ) đều nằm trong khoảng ( 2,999;3, 001) .
Hướng dẫn
1
1
<
⇔ n > 999
n + 1 1000
1
1

1
⇔ 3−
< un < 3 +
⇔ 2,999 < un < 3, 001
b) Khi n > 999 ⇔ un − 3 <
1000
1000
1000
2n + 1
BTTT: Cho dãy ( un ) xác định bởi: un =
n+2
1
a) Tìm số n sao cho un − 2 <
100
b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy ( un ) đều nằm trong khoảng
a) un − 3 =

( 1,998; 2, 001)
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy
Phương pháp
A
A
= 0 ⇔ lim vn = ∞;lim = ∞ ⇔ lim vn = 0
n →∞
n →∞
vn
vn



Ta thường sử dụng: lim



Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia tử và mẫu cho n k với k là
mũ cao nhất bậc ở mẫu
Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản.
lượng liên hiệp là: A + B
A− B
lượng liên hiệp là: A + B
A−B



Ví dụ 1. Tính lim

A− B

lượng liên hiệp là:

3

A−B

lượng liên hiệp là:

3

A+B

(
lượng liên hiệp là: (

A+ B

)
A+B )

3

A2 + B 3 A + B 2

3

A2 − B 3

2

3n3 − 5n 2 + 1
2n3 + 6n 2 + 4n + 5
Giải

5 1
+ 3
3n − 5n + 1
3
n
n
lim 3
= lim

=
2
n
→+∞
6 4 5
2n + 6n + 4n + 5
2+ + 2 + 3 2
n n n
3

2

Ví dụ 2. Tính lim

3−

2 n 2 + 1 + 5n
1 − 3n 2
Giải

1
1 5
2+ 2 +
2 n 2 + 1 + 5n
n
n = 0 =0
lim
= lim n
2
1

1 − 3n
−3
−3
n2
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Ví dụ 3. Tính lim
lim

(
(

n2 + 7 − n2 + 5

)

2

(

n +7 + n +5
2

n 2 + 3n − n 2

n 2 + 3n − n 2

)

)

n2 + 7 − n2 − 5

n + 7 − n + 5 = lim
2

Ví dụ 4. Tính lim

lim

(

2

= lim

)

2
n + 7 + n2 + 5
2

=0

Giải
3n
3
3
= lim

= lim
=
2
3
n 2 + 3n + n 2
1+ + 1
n

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
a) lim

4n 2 − n − 1
3 + 2n 2

b) lim

Tổng quát: Tính giới hạn: nlim
→+∞

2 
 2
c) lim  n −
÷
n +1


n2 − n − 1
2n 3 + 5

a0 n m + a1n m −1 + ... + am −1n + am
b0 n p + b1n p −1 + ... + bp −1n + bp

 XÐt p =m

Hướng dẫn:  XÐt n >p . Chia cả tử và mẫu cho n p , p là bậc cao nhất ở mẫu
 XÐt n Tính giới hạn sau:
d) lim

2n 4 − n 2 + 1
( 2n + 1) ( 3 − n ) ( n2 + 2 )

Đáp số: a) 2

b) 0

e) lim (
c) +∞

d) −1

2 − 3n ) ( n + 1)
1 − 4n 5
27
e)
4
3

2

Bài 2. Tính các giới hạn:
2n 4 + n 2 − 7
2n 2 − n + 3

a) lim

b) lim

2
b) 3 − 1
2
Bài 4. Tính các giới hạn sau:
Đáp số: a)

a) lim
d) lim
g) lim

(

n +1 − n
2n 3 + n
n+2

3

(

)

3

n − n3 + n + 2

3n 2 + 1 − n 2 − 1
n

e) lim

)

n →+∞

c) 0

b) lim

d)

(

3n 2 + 14 + n
1 − 2n 2

c) lim
3

3

2n 3 + n
n+2

2

n 2 + 3n − n + 2

)

c) lim

4 n 2 + 1 − 2n + 1

(

f) lim n

n + 2n − n
2

Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp
7
2
1
a) 0
b)
c) −
d)
e) 1
2

3
2

d) lim

f)

3
2

3

n 3 − 2n 2 − n

(

g) 3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

)

n2 + 1 − n2 − 2

)


Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập
phân vô hạn tuần hoàn thành phân số
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q < 1 .

 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn ( un )
u1
1− q
 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10
S = u1 + u2 + ... + un + ... =

X = N , a1a2 a3 ...an = N +

a
a1 a2
an
+ 2 + 33 + ... + n + ...
10 10 10
10

I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Viết số thập phân m = 0, 030303 … (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ.
Giải
3
3
3
3
3
1 100
m = 3+
+
+ ... +
= 3 + 100 = 3 +
= 3+
=

n
1
100 10000
100
99
33
33
1−
100
1 1
+ − ...
Ví dụ 2. Tính tổng S = 2 − 2 + 1 −
2 2
Giải
Xét dãy: 2, − 2,1, −
S=

2

=

− 2
1
1
1
=−
;q =
<1
2
,… là cấp số nhân q =

2
2
2
2

( )

2 2
= 4−2 2
2 +1

1
2
II. Bài tập rèn luyện
Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số. α = 34,1212 … (chu kỳ 12)
Hướng dẫn và đáp số
 1 

÷ 1134
12
12
12
α = 34,1212... = 34 +
+
+ ... +
= 34 + 12  100 ÷ =
2
n
100 100
100

 1 − 1 ÷ 33
 100 
Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Vậy

1+

a) S = 1 +

1 1
1
+ + ... + n −1 + ...
4 16
4

1
4
Hướng dẫn: a) q = ; S =
4
3

b) S =
b) q =

2 +1
1
1
+
+
+ ...

2 −1 2 − 2
2
2− 2
;S = 4+ 3 2
2

Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S = 3 và công bội q =
n−1

2 4 2
Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ;...  ÷
3 9 3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2
.
3


Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S = 6 . Tìm hai số hạng đầu u1 + u2 = 4

1
2

u1

u = 6 ( 1 − q )
 S = 1 − q = 6
1

 1
⇔
Hướng dẫn: 
1⇒q=±
2
u + u q = 4 1
u1 ( 1 + q ) = 4

2
1
1

2
13
với x < 1
6
n
Hướng dẫn: Dãy số x 2 , − x 3 , x 4 , − x 5 ,..., ( −1) x n ... là một cấp số nhân với công bội q = − x .
2
3
4
5
n
Bài 5. Giải phương trình sau: 2 x + 1 + x − x + x − x + ... + ( −1) x + ... =
n

1
7
ĐS: x = ; x = −
2

9
Bài 6.
a) Tính tổng S = 1 + 0,9 + ( 0,9 ) + ( 0,9 ) + ... + ( 0,9 )
2

3

n −1

+ ...

π
. Tính tổng S = 1 − tan α + tan 2 α − tan 3 α + ...
4
c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ
a = 0, 272727......
b) b = 0,999999999........
π
2
3
n
d) Cho dãy { bn } = sin α + sin α + sin α + ... + sin α với α ≠ + kπ . Tìm giới hạn dãy bn .
2
Hướng dẫn:
1
= 10
a) S =
1 − 0,9
1
b) S =

1 + tan α
2
7
2
7
a = 0 + + 2 + 3 + 4 + ...
10 10 10 10
1
1
2
2
2
7
7
3
= + 3 + ... + 2 n−1 + ... + 2 + 4 + ... = 2 10 + 7 10 =
1
1
10 10
10
10 10
1− 2
1 − 2 11
10
10
9
1
b= .
=1
10 1 − 1

10
sin α
c) Cấp số nhân lùi vô hạn
d) lim bn =
1 − sin α
n sè h¹ng
678
a
+
aa
+
...
+
aaa
...a
Bài 9. Tính
lim
n
n →∞
10
Hướng dẫn: Ta có
b) Cho 0 < α <

n sè h¹ng

6n sè7h¹ng
8
6
78 
 10 − 1 100 − 1

10 n − 1 

÷
a + aa + ... + aaa...a = a 1 + 11 + ... + 111...1 = a 
+
+ ... +
÷
9
9 

÷  9



– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


=a
Vậy nlim
→+∞

10 ( 10 n − 1) − 9n
81

a + aa + ... + aaa...a 10a  10n − 1 − 9n  10a
=

÷=
10n
81 

10n
 81

Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa
Phương pháp
 lim un = +∞ khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi


lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞

Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh:
n2 + 2
= +∞
n +1
Hướng dẫn:
a) Lấy số dương M lớn tùy ý.
n2 + 2 n 2 − 1
un =
>
= n −1 > M ⇔ n > M +1;
n +1
n +1
a) lim

b) lim 3 1 − n3 = −∞

Chọn n0 > M + 1, n0 ∈ ¥ . Khi đó: ∀n > n0 ⇒ n > M + 1 ⇒ un =
3
2
b) Ta có: 1 − n = ( 1 − n ) ( n + n + 1) ≤ 1 − n; ∀n ∈ ¥

n2 + 2
> M . Vậy lim un = +∞
n +1

Lấy số dương M lớn tùy ý.
3
un = 3 1 − n3 ≤ 3 1 − n 3 < − M ⇔ n > M 3 + 1 ; chọn n0 > M + 1, n0 ∈ ¥

Khi đó: ∀n > n0 ⇒ n > M 3 + 1 ⇒ un = 3 1 − n3 < − M . Vậy: lim un = −∞
Ví dụ 2. Cho dãy ( un ) thỏa mãn un > n với mọi n. Chứng minh rằng lim un = +∞
Giải
n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mặt khác un > n nên

lim n = +∞ vì vậy

un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó.
un = +∞
Vậy nlim
→+∞
2
Ví dụ 3. Biết dãy số ( un ) thỏa mãn un > n với mọi n. Chứng minh rằng lim un = +∞

Giải
Vì lim n = +∞ nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi
2
Mặt khác, theo giả thiết un > n với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào
2

2

đó trở đi. Vậy lim un = +∞ .
Ví dụ 4. Cho biết lim un = −∞ và vn < un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn .
Hướng dẫn
lim un = −∞ ⇔ lim ( −un ) = +∞ ⇒ −vn > −un ⇒ lim ( −vn ) = +∞
Vậy lim vn = −∞
Ví dụ 5. Cho dãy số ( un ) hội tụ, dãy ( vn ) không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy ( un ± vn ) .
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn: Kết luận dãy ( un ± vn ) không hội tụ
Thật vậy:
Xét dãy ( un ± vn ) , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim ( un ± vn ) = a và lim un = b
Khi đó lim un + lim vn = a
Vậy lim vn = a − lim un
Vì lim un = b ⇒ lim vn = a − b
Vậy ( vn ) là hội tụ, điều này không đúng.
Vậy dãy ( un ± vn ) không hội tụ.
Ví dụ 6.
a) Cho hai dãy ( un ) và ( vn ) . Biết lim un = −∞ và vn ≤ un với mọi n
Có kết luận gì về giới hạn của dãy ( vn ) khi n → +∞ ?
b) Tìm lim vn với vn = −n !
a) Vì lim un = −∞ nên lim ( −un )

Hướng dẫn
= +∞ . Do đó, ( un ) có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng

nào đó trở đi.

(1)

Mặt khác, vì vn ≤ un với mọi n nên ( −vn ) ≥ ( −un ) với mọi n.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ( −vn ) có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó,
lim ( −vn ) = +∞ hay lim vn = −∞ .
b) Xét dãy số ( un ) = − n .
Ta có: −n ! < −n hay vn < un với mọi n. Mặt khác lim un = lim ( −n ) = −∞ . Từ kết quả câu a) suy ra
lim vn = lim ( −n !) = −∞
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực
Phương pháp
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số ( un ) với
8
a) un = − n − 50n + 11 ;

b) un = 3 109n 2 − n3 ; c) un = 105n 2 − 3n + 27 ;
d) un = 8n3 + n 2 − 2
Đáp số: a) −∞ ;
b) −∞ ;
c) +∞ ;
d) +∞
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số ( un ) với
3n − n3
2n 4 − n 2 + 7
a) un =
;
b) un =
;
2n + 19

3n + 5
Đáp số: a) −∞ ;
b) +∞ ;
Ví dụ 3. Tính các giới hạn
1
a) lim 2
;
n + 2 − n2 + 4
Ví dụ 4. Tính các giới hạn
3n − 11
n
n+1
a) lim ( 3.2 − 5 + 10 ) ;
b) lim
;
1 + 7.2n

c) un =
c) +∞ ;
b) lim

(

2n 2 − 15n + 11
3n − n + 3
2

d) −∞

2n 2 + 3 − n 2 + 1

c) lim

d) un =

;

)

2n +1 − 3.5n + 3
3.2n + 7.4n

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

( 2n + 1) ( 1 − 3n )
3

n3 + 7 n 2 − 5


Đáp số: a) −∞ ;

b) +∞ ;
c) −∞ ;
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}
Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số có quy luật
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:
1 + 2 + 3 + ... + n
n 1 + 2 + 3 + ... + n
a) lim

b) lim
2
n
→+∞
n →+∞
n2
n + n +1
Hướng dẫn
 1+ n 
n n
÷
n 1 + 2 + 3 + ... + n
n n2 + n
1
a)
 2 
lim
= lim
= lim 2
=
2
2
n →+∞
n
→+∞
n
→+∞
n + n +1
n + n +1
( n + n + 1) 2 2

1
2
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
b)

a) lim

1 + a + a 2 + ... + a n
với a < 1, b < 1 ;
1 + b + b 2 + ... + b n

b) lim

n 1 + 3 + ... + 2n − 1
2n 2 + n + 1

Hướng dẫn
1
1− a = 1− b
a) S = nlim
→+∞
1
1− a
1− b

n 1 + 3 + ... + 2n − 1
= lim
n →+∞
2n 2 + n + 1

n

 1
1
1
1
+
+
+
...
+
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: nlim

→+∞  1.2.3
2.3.4 3.4.5
n ( n + 1) ( n + 2 )

Hướng dẫn


÷
÷


Sử dụng:
Vậy:

b)

S = lim

n →+∞

( 1 + 2n − 1) n
2
2n + n + 1
2


1
1 1
1
= 
−

k ( k + 1) ( k + 2 ) 2  k ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2 ) 


1
1
1
1 1
1
+
+ ... +
=  −

1.2.3 2.3.4
n. ( n + 1) ( n + 2 ) 2  2 ( n + 1) ( n + 2 ) 

 1
1
1
1
+
+
+ ... +
Vậy nlim

→+∞  1.2.3
2.3.4 3.4.5
n ( n + 1) ( n + 2 )



 1
1 1
1
=
lim
−
÷

÷ n→+∞ 2 2 ( n + 1) ( n + 2 )  = 4




2 
2  

2

Ví dụ 4. Tính giới hạn lim 1 −
÷1 −
÷... 1 −
 2.3  3.4   ( n + 1) ( n + 2 )
Ta thấy: 1 −

( k − 1) ( k + 2 )
2
=
k ( k − 1)
k ( k + 1)


÷
÷


Hướng dẫn

2 
2  
2

Vậy:  1 −
÷ 1 −
÷... 1 −
 2.3  3.4   k . ( k + 1)

 

2
...
1
−
÷

÷  n. ( n + 1) ÷
÷
 

1.4 2.5 ( k − 1) ( k + 2 ) ( n − 1) ( n + 2 ) 1  n + 3 
= .
...
...
= 
÷
2.3 3.4
k ( k + 1)
n ( n + 1)
3  n +1 

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

=

1
2

2 
2  
2

1−
1−
Vậy nlim

÷
÷... 1 −
→+∞
 2.3  3.4   ( n + 1) ( n + 2 )

 1
÷
÷= 3


Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau
 1
1
1
1
+
+
+ ... +
a) nlim



→+∞ 1.3
3.5 5.7
( 2n − 1) ( 2n + 1)



÷
÷


2.12 + 3.22 + ... + ( n + 1) n 2
n →+∞
n4

b) lim



1
1
1
+
+ ... +

÷
c) nlim
→+∞  2 1 + 2
3 2+2 3
( n + 1) n + n n + 1 ÷


2n − 1 
1 3 5
d*) nlim
 + 2 + 3 + ... + n ÷
→+∞ 2
2 2
2 

Hướng dẫn và đáp số
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1 
+
+
+ ... +
= 1 − + − + ... +
−
a) S n =
1.3 3.5 5.7
2n − 1 2n + 1 
( 2n − 1) ( 2n + 1) 2  3 3 5
=

1
1 
1

1−
nên lim S n =


2  2n + 1 
2

2
2
2
2
2
2
b) Ta có: S n = 2.1 + 3.2 + ... + ( n + 1) n = ( 1 + 1) 1 + ( 2 + 1) 2 + ... + ( n + 1) n

 n ( n + 1)  n ( n + 1) ( 2n + 1)
S n = 1 + 2 + ... + n + 1 + 2 + ... + n = 
 +
6
 2 
2

3

3

3

2

2

2

 n 2 ( n + 1) 2 n ( n + 1) ( 2n + 1)  1
Sn
lim 4 = lim 
+
=
4
n
6n 4
 4n
 4
c) Ta có:
Sn =

( n + 1)

( n + 1) n − n n + 1 = 1 − 1
1
=
2
n + n n + 1 ( n + 1) n − n 2 ( n + 1)
n
n +1

1
1
1

+
+ ... +
2 1+ 2 3 2 +2 3
( n + 1) n + n n + 1

1
1
1
1
1
1
+
−
+ ... +
−
= 1−
⇒ lim S n = 1
2
2
3
n
n +1
n +1
1 3 5
2n − 1
d) Ta có: S n = + 2 + 3 + ... + n
2 2 2
2
1
1 3 1   5 3 

 2n − 1 2n − 3  2n − 1
S n − S n =  2 − 2 ÷+  3 − 3 ÷+ ... +  n − n ÷− n +1
2
22 2  2 2 
2  2
 2
1
1
−
1 1 1
1
2n − 1 1 2 2n −1 2n − 1 1
1
2n − 1
= + + 2 + ... + n −1 − n +1 = +
− n +1 = + 1 − n− 2 − n+1
1
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
1−
2
1
1
1

2n − 1
1
2n 1
Suy ra: Sn = + 1 − n − 2 − n +1 ⇔ Sn = 3 − n −3 − n + n
2
2
2
2
2
2
2
=1 −

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Mặt khác:

n
n
2
2
n
=
<
= 0 ⇒ lim n = 0
. Mà lim
n
n
2

n →+∞ n − 1
n →+∞ 2
( 1 + 1) n − 1

Sn = 3
Vậy nlim
→+∞
Dạng 2. Dùng nguyên lí kẹp
Phương pháp
Cho ba dãy số ( un ) , ( vn ) và ( wn ) . Nếu
un ≤ vn ≤ wn với mọi n
Và lim un = lim wn = L ( L ∈ ¡

)

thì lim vn = L

2
n 
 1
+ 2
+ ... + 2
Ví dụ mẫu. Tính nlim

÷
→+∞ n 2 + 1
n +2
n +n

Giải

Ta thấy:
1
2
n
1 + 2 + ... + n 1
+ 2
+ ... + 2
≥
=
2
n +1 n + 2
n +n
n2 + n
2
Và

n ( n + 1)
1
2
n
1
2
n
+ 2
+ ... + 2
≤ 2
+ 2
+ ... + 2
=
n +1 n + 2

n + n n +1 n +1
n + 1 2 ( n 2 + 1)
2

Vậy

n ( n + 1)
1
1
2
n
≤ 2
+ 2
+ ... + 2
≤
2 n +1 n + 2
n + n 2 ( n 2 + 1)

Mà nlim
→+∞

n ( n + 1)

2 ( n + 1)
2

=

1
2

2
n  1
 1
+ 2
+ ... + 2
Vậy nlim

÷=
→+∞ n 2 + 1
n +2
n +n 2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau:
n

1 1 
a) lim  − ÷
n →+∞ 2
3n 


sin 2n + cos 2n
n →+∞
3n + 1

d) lim

3sin n + 4 cos n

n →+∞
n +1

b) lim
e) lim

n →+∞

n

n + sin n
n →+∞ 3n + 4

c) lim

 1
1
1 
+ 3n 2
lim 
+
+ ... +
f)
÷
2
n →+∞
n2 + 2
n2 + n 
cos n + 5n 2
 n +1

Hướng dẫn và đáp số

( −1)

n

n

1 1 1
1 1  1
a) 0 < −
< ⇒ 0 <  − ÷ <  ÷ , ∀n ∈ ¥ * . Đs: 0
2 3n 2
 2 3n   2 
−5
5
≤ un ≤
b)
. Đs: 0
n +1
n +1
n − 1 n + sin n n + 1
1
≤
≤
c) −1 ≤ sin n ≤ 1 ⇒
. ĐS:
3n + 4
3n + 4
3n + 4

3
d) Tương tự câu b
cos n
1 cos n 1
 1 
 1 
e) − 2 ≤ 2 ≤ 2 . Ta có: lim  − 2 ÷ = lim  2 ÷ = 0 ⇒ lim 2 = 0
n
n
n
n
 n 
n 

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


( −1)

n

+3
+ 3n
3
n2
=
lim
=
2
cos n

cos n + 5n
+5 5
2
n
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
≤ un ≤
+
+ ... +
f)
n2 + n
n2 + n
n2 + n
n2 + 1
n2 + 1
n2 + 1
n
n
n
n
⇒
≤ un ≤
lim
= lim

=1
.
Ta
có:
n2 + n
n2 + 1
n2 + n
n2 + 1
Dạng 3. Chứng minh một dãy số có giới hạn
Phương pháp
1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:
• Nếu dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn
Nên: lim

•

( −1)

n

2

Nếu dãy số ( un ) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn

2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực
hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số
M
3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:
* Phương pháp 1:
 Đặt lim un = a

 Từ lim un +1 = lim f ( un ) ta được một phương trình theo ẩn a
 Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy ( un ) là một trong các nghiệm của phương trình.
Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn của dãy cần tìm. Còn nếu phương trình
có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.
 Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.
* Phương pháp 2:
 Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán.
 Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học
 Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó
I. Các ví dụ mẫu
u1 = 2
Ví dụ 1. Chứng minh dãy ( un ) bởi công thức truy hồi 
un +1 = 2 + un ví i n ≥ 1
Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Ta có: u1 = 2 và un +1 = 2 + un , un > 0 với ∀n ∈ ¥
 Ta chứng minh: un < 2 với ∀n ∈ ¥ (1)
Với n = 1 , ta có u1 = 2 < 2 thì (1) đúng
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k thì uk < 2
Vậy un < 2, ∀n ∈ ¥
 Chứng minh dãy ( un ) tăng:
2
Xét un +1 > un ⇔ 2 + un > un ⇔ un − un − 2 < 0 ⇔ −1 < un < 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Mà 0 < un < 2 nên un +1 > un . Vậy ( un ) là dãy tăng (2)
Từ (1) và (2) suy ra ( un ) có giới hạn
un = a thì 0 ≤ a ≤ 2
 Đặt nlim

→+∞
Ta có:
un +1 = 2 + un ⇒ lim un +1 = lim
n →+∞

n →+∞

2 + un

⇒ a = 2 + a ⇒ a 2 − a − 2 = 0 ⇒ a = −1 hoặc a = 2
un = a ≥ 0 . Vậy lim un = 2
Vì un > 0 nên nlim
→+∞
n →+∞
Lưu ý: Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau:
“Nếu lim un = a thì lim un +1 = a ”
n →+∞

Ví dụ 2. Cho dãy ( un )

n →+∞

u1 = 2

1 .
bởi công thức truy hồi 
un +1 = 2 − u
n


Chứng minh rằng dãy số ( un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Giải
Ta có:
1 3 2 +1
4 3 +1
5
n +1
= =
; u3 = =
; u4 = . Từ đó ta dự đoán: un =
(1)
2 2
2
3
3
4
n
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp:
- Với n = 1 , ta có: u1 = 2 (đúng)
u1 = 2; u2 = 2 −

- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k ≥ 1) , nghĩa là uk =

k +1
.
k

…
n
, ∀n ∈ ¥ *

n +1
n +1
=1
Từ đó ta có lim un = lim
n
- Vậy un =

BTTT. Cho dãy ( un )

1

u1 = 2
bởi công thức truy hồi 
un +1 = 1 nÕu n ≥ 1
2 − un


Chứng minh rằng dãy số ( un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.

n
=1
n +1
*
Ví dụ 3. Chứng minh dãy ( un ) được cho bởi công thức un = sin n; n ∈ ¥ . Chứng minh dãy không có giới hạn.
Hướng dẫn: lim un = lim

Hướng dẫn
un = lim sin n = a . Khi đó lim sin ( n + 2 ) = a ⇒ lim sin ( n + 2 ) − sin n  = 0
Giả sử nlim
→+∞

n →+∞
n →+∞
n →+∞
⇔ 2 lim cos ( n + 1) sin1 = 0 ⇒ lim cos ( n + 1) = 0 ⇒ lim cos n = 0
n →+∞

n →+∞

n →+∞

sin n = 0
Mặt khác: cos ( n + 1) = cos n cos1 − sin n sin1 . Suy ra nlim
→+∞
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


( cos2 n + sin 2 n ) = 0 , vô lý
Suy ra: nlim
→+∞
Vậy dãy số ( un ) với un = sin n không có giới hạn.
II. Bài tập rèn luyện
+ ... + 2 + 2 là dãy hội tụ.
Bài 1. Chứng minh dãy ( un ) với un = 1 24+ 4 244
2 4 4 4 43
n dÊu c¨n

Hướng dẫn
 Bước 1: Chứng minh dãy ( un ) tăng
 Bước 2: Chứng minh ( un ) bị chặn trên
u1 = 0


Bài 2. Cho dãy truy hồi 
. Tìm giới hạn của dãy.
un −1 + 3
un = 4 ( n ≥ 2 )
Hướng dẫn và đáp số
u1 = 0
2

3
1
u2 = = 1 −  ÷
4
4

2

15
1
u2 =
= 1−  ÷
16
4
.
.
.
n −1

1
un = 1 −  ÷

4

n −1

1
bằng phương pháp quy nạp chứng minh un = 1 −  ÷
4
  1 n −1 
Vậy nlim
1 −  ÷  = 1
→+∞
  4  

u1 = 2

Bài 3. Cho dãy truy hồi 
. Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn, tìm giới hạn đó.
un −1 + 1
un = 2 ( n ≥ 2 )
Hướng dẫn và đáp số
Cách 1
2n −1 + 1
2n − 1
2n −1 + 1
lim un = lim n
=1
n →+∞
n →+∞ 2 − 1
Cách 2
 Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới

lim un = a , tìm a
Dự đoán un =

n →+∞

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Giả sử lim un = lim un −1 = a =
n →+∞

n →+∞

a +1
⇔ a =1
2

lim u1 = 1

n →+∞

Bài 4.
u1 = 2

a) Cho dãy truy hồi 
. Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
un + 1
u
=
n

≥
1
(
)
 n +1
2
b) Cho dãy ( un )

0 < un < 1

xác định bởi: 
1
un +1 ( 1 − un ) > 4

( n ≥ 1)

. Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn và tìm giới hạn

đó.
Hướng dẫn và đáp số
b) * Chứng minh ( un ) là dãy tăng và bị chặn trên
Ta có: 0 < un < 1, n ∈ ¥
Áp dụng bất đẳng thức cauchy
un +1 + ( 1 − un ) ≥ 2 un +1 ( 1 − un ) ≥ 2

1
= 1 ⇒ un +1 > un , n ∈ ¥ *
4

Vậy ( un ) là dãy tăng và bị chặn trên thì ( un ) thì dãy có giới hạn

un = a, a > 0
* Đặt nlim
→+∞
Ta có: un +1 ( 1 − un )
Vậy lim un =
n →+∞

2

1
1
1
1
1

≥ ⇒ lim un +1 ( 1 − un )  ≥ ⇔ a ( 1 − a ) ≥ ⇔  a − ÷ ≤ 0 ⇒ a =
4 n→+∞
4
4
2
2


1
2

1
2
Bài 5. Cho dãy ( un ) xác định bởi un +1 =  un + ÷ và u1 > 0
2

un 
a) Chứng minh rằng un ≥ 2 với mọi n ≥ 2
b) Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn và đáp số
1
2
*
a) Ta có: u1 > 0, un +1 =  un + ÷ ⇒ un > 0, ∀n ∈ ¥
2
un 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si:
1
2
2
un +1 =  un + ÷ ≥ un . = 2, ∀n ≥ 1, n ∈ ¥
2
un 
un
Suy ra un > 2, ∀n ≥ 2, n ∈ ¥
b) Ta có: un > 2, n ≥ 2, n ∈ ¥ nên ( un ) là dãy bị chặn dưới
1
2
1  u2 
*
Xét un +1 − un =  un + ÷− un =  1 − n ÷ < 0, ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ nên un +1 < un , ∀n ∈ ¥
2
un 
un 
2 

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


un = a, a ≥ 2 . Ta có:
* Đặt nlim
→+∞
1
2
1
2
un +1 =  un + ÷⇒ lim un+1 = lim  u n + ÷ ⇔ a =
n →+∞ 2
2
un  n→+∞
un 


a = 2
1
2
2
 a + ÷⇔ a = 2 ⇔ 
2
a
 a = − 2

un = 2
Vậy nlim
→+∞
*

Bài 6. Chứng minh dãy ( un ) được cho bởi công thức un = cos n; n ∈ ¥ . Chứng minh dãy không có giới hạn.

Hướng dẫn
Giả sử

lim un = lim cos n = a ⇒ lim cos ( n + 2 ) = a ⇒ lim cos ( n + 2 ) − cos n  = 0
n →+∞
n →+∞
n →+∞

n →+∞

⇔ −2 lim sin ( n + 1) = sin1 = 0 ⇒ lim sin ( n + 1) = 0 ⇒ lim sin n = 0
n →+∞

n →+∞

n →+∞

cos n = 0
Mặt khác: sin ( n + 1) = sin n cos1 + cos n sin1 . Suy ra nlim
→+∞
cos 2 n + sin 2 n ) = 0 , vô lý
(
Suy ra: nlim
→+∞

Vậy dãy số ( un ) với un = cos n không có giới hạn
Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ:
1 1

1
a) α n = 1 + 2 + 2 + ... + 2 ; n ∈ ¥
2 3
n
1 1
1
b) α n = 1 + 2 + 2 + ... + n ; n ∈ ¥
2 3
n
Hướng dẫn
a) Ta thấy
1 1
1
+ 2 + ... + 2 là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn.
2
2 3
n
1 1
1
1
1
1
1
1 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 +
+
+ ... +
= 2− < 2
2 3
n
1.2 2.3

n
( n − 1) n

Dãy α n = 1 +

Vậy dãy hội tụ.
b)
1 1
1
Dãy α n = 1 + 2 + 2 + ... + n là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn.
2 3
n
1 1
1
1 1
1
α n = 1 + 2 + 2 + ... + n ≤ 1 + 2 + 2 + ... + 2 < 2
2 3
n
2 3
n
Vậy dãy bị chặn trên nên hội tụ.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giới hạn hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f ( x ) xác định trên K hoặc trên K \ { x0 } .
Ta nói hàm số y = f ( x ) có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và
xn → x0 , ta có f ( xn ) → L .
f ( x ) = L hay f ( x ) → L khi x → x0
Kí hiệu: xlim
→ x0
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , xn ∈ K \ { x0 } , lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L

x → x0

b) Giới hạn vô cực
Các định nghĩa về giới hạn +∞ (hoặc −∞ ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa ở trên.
Chẳng hạn, giới hạn −∞ của hàm số y = f ( x ) khi x dần đến dương vô cực được định nghĩa như sau:
Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; +∞ ) .
Ta nói hàm số y = f ( x ) có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với mọi dãy số ( xn ) bất kì, xn > a và xn → +∞ ,
ta có: f ( xn ) → −∞ .
f ( x ) = −∞ hay f ( x ) → −∞ khi x → +∞
Kí hiệu: xlim
→+∞
lim f ( x ) = −∞ ⇔ ∀ ( xn ) , xn > a, lim xn = +∞ ⇒ lim f ( xn ) = −∞

x →+∞

f ( x ) = +∞ ⇔ lim f ( − x ) = −∞
Nhận xét: xlim
→+∞
x →+∞
* Các giới hạn đặc biệt:
c=c
1. xlim

→±∞

lim

x →±∞

c
= 0 với c là hằng số
x

x = +∞
2. xlim
→+∞
 +∞ nÕu k nguyªn d ¬ng
xk = 
3. xlim
→+∞
nÕu k nguyªn ©
m
 0
n
 +∞ nÕu k ch½
xk = 
4. xlim
→−∞
nÕu k lÎ
 −∞
2. Giới hạn hàm số tại vô cực
Định nghĩa
 Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; +∞ ) . Ta nói hàm số y = f ( x ) có giới hạn là số L khi

và chỉ khi x → +∞ nếu với mọi dãy số ( xn ) bất kì, xn > a và xn → +∞ ta có: f ( xn ) → L .
f ( x ) = L hay f ( x ) → L khi x → +∞
Kí hiệu: xlim
→+∞
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , xn > a, lim xn = +∞ ⇒ lim f ( xn ) = L

x →+∞



n →+∞

n →+∞

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; a ) . Ta nói hàm số y = f ( x ) có giới hạn là số L khi
và chỉ khi x → −∞ nếu với mọi dãy số ( xn ) bất kì, xn < a và xn → −∞ ta có: f ( xn ) → L .
f ( x ) = L hay f ( x ) → L khi x → −∞
Kí hiệu: xlim
→−∞
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


f ( x ) = L hay f ( x ) → L khi x → +∞
Kí hiệu: xlim
→+∞
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , xn < a, lim xn = +∞ ⇒ lim f ( xn ) = L

x →−∞

n →+∞

n →+∞

3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lý 1:
f ( x ) = L và lim g ( x ) = M . Khi đó:
Giả sử xlim
→ x0
x → x0
 f ( x ) ± g ( x )  = L ± M
* xlim
→ x0 
 f ( x ) .g ( x )  = L.M
* xlim
→ x0 
 f ( x)  L
* xlim
(nếu M ≠ 0 )

=
→ x0 g ( x )

 M
f ( x ) = L và lim g ( x ) = M . Khi đó:
Định lý 2: Giả sử xlim
→ x0
x → x0
f ( x) = L
a) xlim
→ x0

b) xlim
→x

0

3

f ( x) = 3 L

f ( x ) = L thì: L ≥ 0 và lim
c) Nếu f ( x ) ≥ 0 và xlim
→ x0
x→ x

0

f ( x) = L

(Dấu của f ( x ) được xác định trên khoảng đang tìm giới hạn, với x ≠ x0 )
4. Giới hạn một bên
Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( x0 ; b ) . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm
số y = f ( x ) khi x → x0 nếu với dãy số ( xn ) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0 ta có: f ( xn ) → L .
f ( x) = L
Kí hiệu: xlim
→ x0+
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , x0 < xn < b,lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L

x → x0+

Định nghĩa 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; x0 ) . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm

số y = f ( x ) khi x → x0 nếu với dãy số ( xn ) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0 ta có: f ( xn ) → L .
f ( x) = L
Kí hiệu: xlim
→ x0−
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , a < xn < x0 , lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L

x → x0−

f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
Nhận xét: xlim
→ x0
x → x0
x → x0
5. Giới hạn vô cực
f ( x ) = +∞; lim− f ( x ) = −∞; lim+ f ( x ) = +∞; lim+ f ( x ) = −∞ , được phát biểu tương tự định
Các định nghĩa xlim
→ x0−
x → x0
x → x0
x → x0
nghĩa 1 và định nghĩa 2.
f ( x ) = +∞ thì lim
Định lý: Nếu xlim
x → x0
→ x0

1
=0
f ( x)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


6. Các quy tắc tính giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f ( x ) .g ( x )
f ( x ) = L ≠ 0 và lim g ( x ) = +∞ (hoặc −∞ ) thì lim f ( x ) g ( x ) được tính theo quy tắc trong bảng sau:
Nếu xlim
→ x0
x → x0
x → x0
lim f ( x )

lim g ( x )

x → x0

L>0
L<0
b) Quy tắc tìm giới hạn của tích
lim f ( x )

lim f ( x ) .g ( x )

x → x0

x → x0

+∞

+∞

−∞

−∞

+∞

−∞

−∞

+∞

f ( x)
g ( x)
lim g ( x )

Dấu của g ( x )

lim

x → x0

x → x0

L

±∞

Tùy ý

0

L>0

0

+
−

+∞

+
−

−∞

x → x0

L<0

f ( x)
g ( x)

−∞
+∞

+
−
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0 , x → x0 , x → +∞, x → −∞

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn
Phương pháp
1. lim f ( x ) = L ⇔ ∀ ( xn ) , xn ∈ K \ { x0 } , lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
x → x0

n →+∞

n →+∞

2. Để chứng minh hàm số f ( x ) không có giới hạn khi x → x0 ta thực hiện:
Chọn hai dãy số khác nhau ( xn ) và ( yn ) thỏa mãn: xn , yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0



lim xn = x0 , lim yn = x0

n →+∞

n →+∞

f ( xn ) ≠ lim f ( yn ) hoặc một trong hai giới hạn đó không tồn tại
Chứng minh nlim
→+∞
n →+∞

x2 + x − 2
f ( x) = 3 .
. Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim

x →1
x −1
Giải
Hàm số y = f ( x ) xác định trên R \ { 1} . Giả sử ( xn ) là dãy số bất kì xn ≠ 1 và xn → 1
Ví dụ 1. Cho hàm số y =

lim f ( xn ) = lim

xn2 + xn − 2
( x + 2 ) ( xn + 1) = lim x + 2 = 3
= lim n
( n )
xn − 1
xn − 1

BTTT: Cho hàm số: f ( x ) =

2x2 + x − 3
f ( x) = 5
. Dùng định nghĩa chứng minh: lim
x →1
x −1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


nÕu x ≥ 0
 x
Ví dụ 2. Cho hàm số y = f ( x ) = 
. Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = f ( x ) không có

2 − x nÕu x < 0
giới hạn khi x → 0
Giải
1 
1

Xét dãy ( xn ) =   → 0
 > 0÷
n
n

1
lim f ( xn ) = lim = 0
(1)
n →+∞
n →+∞ n
 1
Xét dãy ( xn ) = −  khi n → +∞; xn → 0
 n
1

lim f ( xn ) = lim  2 + ÷ = 2
(2)
n →+∞
n →+∞
n

Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi x → 0
nÕu x ≥ 0
 x

BTTT: Cho hàm số: f ( x ) = 
. Dùng định nghĩa chứng minh hàm số không có giới hạn khi
1 − x nÕu x < 0
x→0

Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) = cos

1
. Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f ( x ) không có giới hạn khi x
x2

dần đến 0.
Hướng dẫn
1
xác định trên K = R \ { 0}
x2
1
1
∈ K và lim xn = 0;lim f ( xn ) = lim cos 2 = lim cos ( 2nπ ) = 1
* Lấy dãy số ( xn ) =
xn
2π n
1
∈K
1
π
( yn ) =

* Lấy dãy số
và lim yn = 0;lim f ( yn ) = lim cos 2 = lim cos  2nπ + ÷ = 0

π
yn
2
2π n +

2
Vậy hàm số không có giới hạn
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau
1
x+3
x2 − 9
x3 + 1
lim
=
+∞
lim
=
−
4
a) lim
;
b)
;
c)
;
d)
= −6
lim
= +∞

x →1+
x →5 3 − x
x →−3 x + 3
x →+∞ x 2 + 1
x2 −1
Hướng dẫn
2
x −9
= −6
a) ∀ ( xn ) , xn ≠ −3, lim xn = −3 ⇒ lim n
xn + 3
Hàm số: f ( x ) = cos

b) ∀ ( xn ) , xn ∈ ( 1; +∞ ) , lim xn = 1 ⇒ lim
c) ∀ ( xn ) , xn ≠ 3, lim xn = 5 ⇒ lim

1
xn2 − 1

= +∞

xn + 3 5 + 3
=
= −4
3 − xn 3 − 5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1

x +1
xn2
= lim
= +∞
d) ∀ ( xn ) , lim xn = +∞ ⇒ lim
1
x +1
1+ 2
xn
3
n
2
n

xn +

Bài 2.
 x2
nÕu x ≥ 0
f
x
=
(
)
1. Cho hàm số
.
 2
 x − 1 nÕu x < 0

a. Vẽ đồ thị hàm số f ( x ) . Từ đó dự đoán về giới hạn của f ( x ) khi x → 0 .

b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.

Hướng dẫn
a) Dự đoán: Hàm số không có giới hạn khi x → 0
1
1
b) Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là an = ; và bn = −
n
n
1
2. Cho hàm số f ( x ) = sin 2 . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi x → 0 .
x
Bài 3.
a) Chứng minh rằng hàm số y = sin x không có giới hạn khi x → +∞
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)
π
Hướng dẫn: Xét hai dãy ( an ) với an = 2nπ và ( bn ) với bn = + 2nπ
2
Bài 4. Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cùng xác định trên khoảng ( −∞; a ) . Dùng định nghĩa chứng
f ( x ) = L và lim g ( x ) = M thì lim f ( x ) g ( x ) = L.M
minh rằng, nếu xlim
→−∞
x →−∞
x →−∞
Giả sử ( xn )

Hướng dẫn
f ( x ) = L nên lim f ( xn ) = L
là dãy bất kì thỏa mãn xn < a và xn → −∞ . Vì xlim
→−∞

n →+∞

g ( x ) = M nên lim g ( xn ) = M . Do đó: lim f ( xn ) .g ( xn ) = L.M
Vì xlim
→−∞
n →+∞
n →+∞
f ( x ) .g ( x ) = L.M
Từ định nghĩa suy ra: xlim
→−∞
f ( x ) = +∞ thì luôn tồn tại ít
Bài 5. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ( a; +∞ ) . Chứng minh rằng nếu xlim
→+∞
nhất một số c thuộc ( a; +∞ ) sao cho f ( c ) < 0 .
Hướng dẫn
f ( x ) = −∞ nên với dãy số ( xn ) bất kì, xn > a và xn → +∞ ta luôn có lim f ( xn ) = −∞ .
Vì xlim
→+∞
n →+∞
 − f ( xn )  = +∞
Do đó nlim
→+∞ 
Từ định nghĩa suy ra − f ( xn ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 2 thì − f ( xn ) > 2 kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số xk ∈ ( a; +∞ ) sao cho − f ( xk ) > 2 hay f ( xk ) < −2 < 0
Đặt c = xk , ta có f ( c ) < 0
Khoảng K , x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K \ { x0 } .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

f ( x ) = +∞ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc K \ { x0 } sao cho f ( c ) > 0 .
Bài 6. Chứng minh rằng nếu xlim
→ x0
Hướng dẫn
f ( x ) = +∞ nên với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và xn → x0 ta luôn có lim f ( xn ) = +∞ .
Vì xlim
→ x0
n →+∞
Từ định nghĩa suy ra f ( xn ) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì f ( xn ) > 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số xk ∈ K \ { x0 } sao cho f ( xk ) > 1 .
Đặt c = xk , ta có f ( c ) > 0
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
Phương pháp: Để tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện:
1. Nếu f ( x ) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0

2. Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn ±∞
Ví dụ 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
x −1
x2 − 4
2 + x2 −1 ;
lim
a) lim
b)
;
c)
lim
x →1

x →3 x + 3
x →2 2 x + 2
Giải
x −1 3 −1 1
2 + x2 −1 = 2 + 1 −1 = 3 −1 ;
lim
=
= ;
a) lim
b)
x →1
x →3 x + 3
3+3 3

(

)

(

)

x2 − 4 0
= =0
x →2 2 x + 2
4
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau
c) lim

a) xlim

→−2

(

)

( x3 + 5x2 + 10 x − 1) ;
b) lim
x→0

x2 + 5 −1 ;

x2 + 5
c) lim
;
x →−1 x + 5
a) 2

d) limπ
x→

2

1 + sin 6 x − 5cos 6 x
1 + sin 4 x − cos 4 x

Hướng dẫn và đáp số
3
c)
2

b) −1

1 + 1 − 5.0
π
1 + sin 6 x − 5cos 6 x
limπ f ( x ) =
=1
x
=
xác
định
tại
nên
4
4
1
+
1
−
0
x
→
2
1 + sin x − cos x
2
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn của hàm số sau
3− x
1− x
x2 + 5

x2 + 1
lim
lim
a) x →4
2 ;
b) lim
;
c) xlim
;
d)
2
2
x →4
→−5
x →−1 x + 1
( x − 4)
( x − 4)
( x + 5)
d) f ( x ) =

( 3 − x ) = −1 < 0 và lim
( x − 4)
a) Ta có: lim
x →4
x →4
x2 + 1
b) lim
c) +∞ ;
= +∞ ;
x →−1 x + 1

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau

2

Đáp số
3− x
= −∞
= 0 nên lim
2
x →4
( x − 4)
d) −∞

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất