TÍCH PHÂN 210 BTTN NGUYÊN hàm cơ bản file word

HTTP://DETHITHPT.COM
TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

210 BTTN NGUYÊN HÀM CƠ
BẢN
TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH
THƯỜNG


HTTP://DETHITHPT.COM

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích
Phương pháp:
Để tìm nguyên hàm ∫ f(x)dx , ta phân tích
f(x) = k1.f1(x) + k2.f2(x) + ... + kn .fn (x)

Trong đó: f1(x), f2(x),...,fn (x) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm
Khi đó: ∫ f(x)dx = k1∫ f1(x)dx + k2 ∫ f2(x)dx + ... + kn ∫ fn (x)dx .
Ví dụ 1.1.5 Tìm nguyên hàm:
2x2 + x + 1
I=∫
dx
x−1

x3 − 1
J=∫
dx
x+ 1

3


1
K = ∫  x − ÷ dx
x


Lời giải.
2
1. Ta có: 2x + x + 1 = 2x + 3 + 4

x−1

Suy ra I = ∫ (2x + 3 +

x−1

4
)dx = x2 + 3x + 4ln x − 1 + C
x−1

3
3
2. Ta có: x − 1 = x + 1− 2 = x2 − x + 1− 2

x+ 1

x+1



Suy ra J = ∫  x2 − x + 1−


x+1

2 
x3 x2
−
+ x − 2ln x + 1 + C
÷dx =
x + 1
3 2

3


1
3 1
3. Ta có :  x − ÷ = x3 − 3x + − 3
x
x x




3 1
x4 3x2
1
dx =
−

+ 3ln x +
+C.
÷
3
x x 
4
2
2x2

Suy ra K = ∫  x3 − 3x + −


Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp:

2


HTTP://DETHITHPT.COM
“ Nếu ∫ f ( x) dx = F ( x) + C thì ∫ f ( u ( x) ) .u'( x) dx = F ( u ( x) ) + C ”.
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ∫ f ( x) dx , trong đó ta có thể phân tích

(

)

f ( x) = g u ( x) u'( x) dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t = u ( x)

(

)

⇒ dt = u'( x) dx . Khi đó: I = ∫ g ( t) dt = G ( t) + C = G u ( x) + C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u ( x)
Ví dụ 1.2.5 Tìm nguyên hàm:
J=∫

I = ∫ (x + 1)3 3 − 2xdx

xdx
3

2x + 2

K =∫

xdx
x + 3 + 5x + 3

Lời giải.
3

1. Đặt t = 3 3 − 2x ⇒ x = 3 − t ⇒ dx = − 3 t2dt
2

⇒I =−

2

 2
3  3 − t3
3
+
1

÷t.t dt = − ∫ (5t3 − t6 )dt
∫

÷
2  2
4


3  5t4 t7 
=− 
− ÷+ C =
4  4
7÷



7
53 (3 − 2x)4 ÷
3  3 (3 − 2x)
−
+C
÷
4
7

4



3
2. Đặt t = 3 2x + 2 ⇒ x = t − 2 ⇒ dx = 3 t2dt

2

2

t3 − 2 3 2
t dt
3 4
Suy ra J =
∫ 2 t2 = 4 ∫ (t − 2t)dt =

3  t5 2 
 − t ÷+ C
÷
4  5




5
3 3 (2x + 2)
= 
− 3 (2x + 2)2 ÷+ C .
÷

4
5



3. Ta có: I = ∫

x( 5x + 3 − x + 3)dx 1
= ∫ ( 5x + 3 − x + 3)dx
5x + 3 − x − 3
4

3


HTTP://DETHITHPT.COM
1 1

=  (5x + 3)3 − (x + 3)3 ÷+ C .
6 5


Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Phương pháp:
Cho hai hàm số u và v liên tục trên a;b và có đạo hàm liên tục trên a;b . Khi đó :

∫ udv = uv − ∫ vdu ( ∗)
b

Để tính tích phân I = ∫ f ( x) dx bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

a

Bước 1: Chọn u,v sao cho f ( x) dx = udv (chú ý:  dv = v'( x) dx ).
Tính v = ∫ dv và du = u'.dx .
Bước 2: Thay vào công thức ( ∗ ) và tính ∫ vdu .
Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫ vdu dễ tính hơn ∫ udv .
Ta thường gặp các dạng sau
sinx 
 dx , trong đó P ( x) là đa thức
cosx

Dạng 1 : I = ∫ P ( x) 

sinx 
 dx .
cosx

Với dạng này, ta đặt u = P ( x) , dv = 
Dạng 2 : I = ∫ ( x) eax+ bdx

u = P ( x)

Với dạng này, ta đặt 

ax+ b
dx
dv = e


, trong đó P ( x) là đa thức

Dạng 3 : I = ∫ P ( x) ln ( mx + n ) dx

4


HTTP://DETHITHPT.COM

u = ln ( mx + n )
.

dv = P ( x) dx

Với dạng này, ta đặt 

sinx  x
 e dx
cosx

Dạng 4 : I = ∫ 


 sinx 
u = 

Với dạng này, ta đặt  cosx để tính

x
dv = e dx


 sinx 
u = 

∫ vdu ta đặt  cosx .

x
dv = e dx

Ví dụ 1.3.5 Tìm nguyên hàm: I = ∫ sinx.ln(cosx)dx

J = ∫ xln

x−1
dx
x+ 1

Lời giải.

− sinx
 u = ln(cosx)
dx
du =
cosx
1. Đặt 
ta chọn 
dv = sinxdx
 v = − cosx


Suy ra I = − cosxln(cosx) + ∫ sinxdx = − cosxln(cosx) − cosx + C

x− 1
 u = ln
2. Đặt 
x + 1 ta chọn
dv = xdx


Suy ra I =
=


2
dx
du =

(x + 1)2

 v = 1 x2

2

1
x−1 
2
1 
1 2 x−1
x2
+ ∫ 1−

+
x ln
+∫
dx = x2 ln
 dx
2
x + 1  x + 1 (x + 1)2 
2
x + 1 (x + 1)2

1 2 x−1
1
x ln
+ x − 2ln x + 1 −
+C
2
x+ 1
x+ 1

Ví dụ 2.3.5 Tìm nguyên hàm: I = ∫ sin2x.e3xdx
Lời giải.
Cách 1 : Dùng từng phần, bạn đọc làm tương tự trên.
1
3

2
3

Cách 2 : Ta có : sin2x.e3x = [sin2x(e3x )'+ (sin2x)'.e3x ] − cos2xe3x

5


HTTP://DETHITHPT.COM
1
2
4
= (sin2x.e3x )'− cos2x.(e3x )'+ (cos2x)'e3x  − sin2x.e3x
 9
3
9

⇒

13
1
2
1
2

sin2x.e3x = (sin2x.e3x )'− (cos2x.e3x )' =  sin 2x.e3x − cos2xe3x ÷'
9
3
9
3
9



 3

2

sin2xe3x − cos2xe3x ÷'
13
 13


3x
Suy ra : sin2xe dx = 

I=

1 3x
e (3sin2x − 2cos2x) + C .
13

Cách 3 : Ta giả sử : ∫ sin2x.e3xdx = a.sin2x.e3x + b.cos2x.e3x + C
Lấy đạo hàm hai vế ta có :
sin2x.e3x = a(2cos2xe3x + 3sin2x.e3x ) + b(3cos2x.e3x − 2sin2x.e3x )
 3a − 2b = 1
3
2
⇔
⇔ a = ,b = −
13
13
 2a + 3b = 0

Vậy I =

1 3x
e (3sin2x − 2cos2x) + C .
13

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho f (x), g(x) là các hàm số xác định, liên tục trên R . Hỏi khẳng định nào sau đây sai?
A.

ò( f (x) + g(x)) dx = ò f (x)dx + ò g(x)

B.

ò f (x)g(x)dx = ò f (x)dx ò g(x)

C.

ò( f (x) -

D.

ò 2f (x)dx = 2 ò f (x)dx ò g(x)

Câu 2. Tính
A. x + C

g(x)) dx = ò f (x)dx -

ò g(x)

ò 1dx , kết quả là

B. C

C. x

D. dx

Câu 3. Hàm số F ( x ) = ln x là nguyên hàm của hàm số nào

6


HTTP://DETHITHPT.COM
1
A. f(x) =
x

x2
C. f(x) =
2

B. f(x) = x

D. f(x) = |x|

Câu 4. Công thức nào là đúng
A.

òx

a

dx =

1
x a+1 + C
a +1

( a ¹ - 1)

B.

òx

C.

òx

a

dx =

1
x a- 1 + C
a +1

( a ¹ - 1)

D.

òx

Câu 5. Tính

a

a

dx =

1
x a+1 + C
a- 1

( a ¹ 1)

dx =

1 a- 1
x +C
a- 1

( a ¹ 1)

ò 5dx , kết quả là

A. 5x + C

B. 5 + C

C. 5 + x + C

D. x + C

C. 5cos ( x - 1) + C

D. - 5cos ( x - 1) + C

ò sin ( 5x - 1) dx , kết quả là

Câu 6.

A. -

1
cos ( x - 1) + C
5

B.

1
cos ( x - 1) + C
5

Câu 7. Công thức nào là đúng
A.

ò

1
dx = tan ( x +1) + C

cos ( x +1)

B.

ò

1
dx =- tan ( x +1) + C
cos ( x +1)

C.

ò

1
dx = tan ( x +1)
cos ( x +1)

D.

ò

1
dx = cot ( x +1) + C
cos ( x +1)

2

2

2

2

Câu 8. Điền vào chỗ … để được đẳng thức đúng
e x ( x - 1) + C = ò ... dx

7


HTTP://DETHITHPT.COM
A. xe x

x
C. ( x - 1) e

B. e x

x
D. ( x +1) e

Câu 9. Họ nguyên hàm của hàm số y = 2x là
A. x 2 + C

Câu 10. Tính

A.

B. x 2

ò ( x +1)

2

x3
+ x2 + x +C
3

1
cos3 x + C
3

x2
+C
2

D.

x2
2

C.

x3
- x2 + x +C
3

D.

x3

+ x2 + x
3

dx , kết quả là:

B. x 3 + x 2 + x + C

Câu 11. Kết quả của phép tính

A. -

C.

ò sin x.cos

B.

2

xdx là

1
cos3 x + C
3

C. - cos x -

1
1
cos 4 x + C D. - cos3 x

4
3

15

Câu 12. Kết quả của I = ò x ( x 2 + 7 ) dx là
A.

16
1 2
x + 7) + C
(
32

B.

16
1 2
x + 7)
(
32

C.

16
1 2
x + 7)
(
16

D.

16
1 2
x + 7) + C
(
2

Câu 13. Kết quả I = ò x ln xdx là
A.

x2
1
ln x - x 2 + C
2
4

B.

x2
1
ln x + x 2 + C
2
4

Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 – 3x +

2
C. x ln x -

1 2
x +C
2

1
D. x ln x + x + C
2

1
là:
x

8


HTTP://DETHITHPT.COM
A.

x 3 3x 2
x 3 3x 2
1
+ ln x + C B.
+ 2 +C
3
2
3
2
x

C. x 3 - 3x 2 + ln x + C

D.

x 3 3x 2
- ln x + C
3
2

Câu 15: Họ nguyên hàm của f (x) = x 2 - 2x +1 là
1 3
A. F(x) = x - 2 + x + C
3

B. F(x) = 2x - 2 + C

1 3
2
C. F(x) = x - x + x + C
3

1 3
2
D. F(x) = x - 2x + x + C
3

1 1
Câu 16: Nguyên hàm của hàm số f (x) = - 2 là :
x x

A. ln x - ln x 2 + C

B. lnx -

1
+C
x

C. ln|x| +

1
+C
x

D. Kết quả khác

Câu 17: Nguyên hàm của hàm số f (x) = e 2x - e x là:
1 2x
x
A. e - e + C
2

B. 2e 2x - e x + C

C. e x (e x - x) + C

D. Kết quả khác

C. - sin 3x + C

D. - 3sin 3x + C

Câu 18: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x là:
A.

1
sin 3x + C
3

B. -

1
sin 3x + C
3

x
Câu 19: Nguyên hàm của hàm số f (x) = 2e +

A.2ex + tanx + C
Câu 20: Tính
A. -

ò sin(3x - 1)dx

1
cos(3x - 1) + C
3

Câu 21. : Tìm

B. ex(2x -

ò (cos 6x -

1
là:
cos 2 x

e- x
)
cos 2 x

C. ex + tanx + C

D. Kết quả khác

C. - cos(3x - 1) + C

D. Kết quả khác

, kết quả là:

B.

1
cos(3x - 1) + C
3

cos 4x)dx là:

9

HTTP://DETHITHPT.COM
A. C.

1
1
sin 6x + sin 4x + C
6
4

1
1
sin 6x - sin 4x + C
6
4

Câu 22: Tính nguyên hàm
A.

B. 6sin 6x - 5sin 4x + C

1
ln 2x +1 + C
2

Câu 23: Tính nguyên hàm
A. ln 1- 2x + C

1

ò 2x +1dx

D. - 6sin 6x + sin 4x + C
ta được kết quả sau:

B. - ln 2x +1 + C

ò 1-

C. -

1
ln 2x +1 + C
2

D. ln 2x +1 + C

1
ln 1- 2x + C
2

D.

1
dx ta được kết quả sau:
2x

B. - 2 ln 1- 2x + C

C. -

2
+C
(1- 2x) 2

Câu 24: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.

1
ò xdx = ln x + C

ax
C. ò a dx =
+ C (0 < a ¹ 1)
ln a
x

Câu 25: Tính
A. 3sin x -

ò (3cos x -

B.

a
ò x dx =

D.

ò cos

1
2

x

x a+1
+ C (a ¹ - 1)
a +1

dx = tan x + C

3x )dx , kết quả là:

3x
+C
ln 3

B. - 3sin x +

3x
+C
ln 3

C. 3sin x +

3x
+C
ln 3

D. - 3sin x -

3x
+C
ln 3

Câu 26: Trong các hàm số sau:
(I) f (x) = tan 2 x + 2

(II) f (x) =

2
cos 2 x

(III) f (x) = tan 2 x +1

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx
A. (I), (II), (III)

B. Chỉ (II), (III)

C. Chỉ (III)

D. Chỉ (II)

Câu 28: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai

10

HTTP://DETHITHPT.COM
f 3 (x)
A. ò f '(x)f (x)dx =
+C
3
2

C.

ò[ f (x) + g(x) ] dx =ò f (x)dx +ò g(x)dx

B.

ò[ f (x).g(x)] dx =ò f (x)dx.òg(x)dx

D.

ò kf (x)dx =k ò f (x)dx

(k là hằng số)

Câu 29: Nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x +1)3 là:
1
4
A. (2x +1) + C
2

B. (2x +1) 4 + C

C. 2(2x +1) 4 + C

D. Kết quả khác

C. 5(1- 2x)6 + C

D. 5(1- 2x) 4 + C

Câu 30: Nguyên hàm của hàm số f (x) = (1- 2x)5 là:
A. -

1
(1- 2x) 6 + C
2

B. (1- 2x)6 + C

Câu 31: Chọn câu khẳng định sai?
1

A.

ò ln xdx = x + C

B.

ò 2xdx = x

C.

ò sin xdx =-

D.

ò sin

cos x + C

Câu 32: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +
2
A. x -

3
+C
x

2
B. x +

3
+C
x2

1
2

x

2

+C

dx =- cot x + C

3
là :
x2

C. x 2 + 3ln x 2 + C

D. Kết quả khác

x
Câu 33: Hàm số F ( x ) = e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào?
x
A. f (x) = e -

1
sin 2 x

x
B. f (x) = e +

x
C. f (x) = e +

1
cos 2 x

D. Kết quả khác

Câu 34: Nếu

ò f (x)dx = e

x

1
sin 2 x

+ sin 2x + C thì f (x) bằng

11


HTTP://DETHITHPT.COM
A. e x + cos 2x

B. e x - cos 2x

Câu 34: Nguyên hàm của hàm số f(x) =
A.

2x 3 3
- +C
3
x

B.

C. e x + 2 cos 2x

1
x
D. e + cos 2x
2

2x 4 + 3
là :
x2

2x 3 3
- 2 +C
3
x

2x 3
- 3ln x 2 + C
3

D. Kết quả khác

C. 5cos 5x + cos x + C

D. Kết quả khác

C.

Câu 35: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin3xcos2x
A. -

1
1
cos 5x - cos x + C B. cos 5x + cos x + C
5
5

Câu 36: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
A. x2 + x + 3

B. x2 + x - 3

C. x2 + x

D. Kết quả khác

Câu 37: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 4 x - x và f(4) = 0
A.

8x x x 2 40
3
2
3

B.

8 x x 2 40
3
2
3

Câu 38: Nguyên hàm của hàm số

ò xe

x2

C.

8x x x 2 40
+
3
2
3

D. Kết quả khác

dx là

2

ex
B.
+C
2

x2

A. xe + C

2

C. e x + C

D. x + e x

2

Câu 39: Tìm hàm số y = f (x) biết f ¢(x) = (x 2 - x)(x +1) và f (0) = 3
A. y = f (x) =

x4 x2
+3
4
2

B. y = f (x) =

C. y = f (x) =

x4 x2
+ +3
4
2

D. y = f (x) = 3x 2 - 1

Câu 40: Tìm
A.

ò (sin x +1)

(cos x +1) 4
+C
4

3

x4 x2
- 3
4
2

cos xdx là:

B.

sin 4 x
+C
4

C.

(sin x +1) 4
+C
4

D. 4(sin x +1)3 + C

12

HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 41: Tìm

òx

2

dx
là:
- 3x + 2

x- 2
+C
x- 1

A. ln

1
1
- ln
+C
x- 2
x- 1

B. ln

C. ln

x- 1
+C
x- 2

D. ln(x - 2)(x - 1) + C

Câu 42: Tìm

ò x cos 2xdx là:

A.

1
1
x sin 2x + cos 2x + C
2
4

B.

1
1
x sin 2x + cos 2x + C
2
2

C.

x 2 sin 2x
+C

4

D. sin 2x + C

Câu 43: Lựa chọn phương án đúng:
A. ò cot xdx = ln sin x + C
C.

1

òx

2

dx =

1
+C
x

Câu 44: Tính nguyên hàm
A. sin 4 x + C

ò sin
B.

3

B.

òsin xdx = cos x + C

D.

ò cos xdx =-

sin x + C

x cos xdx ta được kết quả là:

1 4
sin x + C
4

C. - sin 4 x + C

D. -

1 4
sin x + C
4

Câu 45: Cho f (x) = 3x 2 + 2x - 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x =1 . Nguyên hàm đó là kết quả nào
sau đây?
A. F(x) = x 3 + x 2 - 3x

B. F(x) = x 3 + x 2 - 3x +1

C. F(x) = x 3 + x 2 - 3x + 2

D. F(x) = x 3 + x 2 - 3x - 1

Câu 46. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f (x) =

x(2 + x)
(x +1) 2

13


HTTP://DETHITHPT.COM
x2 - x - 1
A.
x +1

x2 + x - 1
B.
x +1

x 2 + x +1
C.
x +1

x2
D.
x +1

Câu 47: Kết quả nào sai trong các kết quả sau:
A.

2 x +1 - 5x- 1
1
1
ò 10x dx = 5.2x.ln 2 + 5x.ln 5 + C

x2
1 x +1
dx = ln
- x +C
C. ò
2
1- x
2 x- 1
Câu 48: Tìm nguyên hàm

æ3

òçççè

ò

D.

ò tan

53 5
x + 4 ln x + C
3

B. -

C.

33 5
x - 4 ln x + C
5

D.

ò 1-

A. 1- x 2 + C

xdx = tan x - x + C

33 5
x + 4 ln x + C
5

33 5
x + 4 ln x + C
5

x
dx là:
x2

B.

Câu 50: Tìm nguyên hàm

2

4ö
x2 + ÷
dx
÷
ø
x÷

A.

Câu 49: Kết quả của

x 4 + x- 4 + 2
1
dx = ln x +C
3
x
4x 4

B.

- 1
1- x 2

+C

C.

1
1- x 2

+C

D. - 1- x 2 + C

ò (1+ sin x) dx
2

A.

2
1
x + 2 cos x - sin 2x + C
3
4

B.

2
1
x - 2 cos x + sin 2x + C
3
4

C.

2
1

x - 2 cos 2x - sin 2x + C
3
4

D.

2
1
x - 2 cos x - sin 2x + C
3
4

Câu 51: Tính

ò tan

A. x - tan x + C

2

xdx , kết quả là:

B. - x + tan x + C

C. - x - tan x + C

D.

1 3
tan x + C

3

Câu 52: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?

14


HTTP://DETHITHPT.COM
1
1
(I) ò sin x sin 3xdx = (sin 2x - sin 4x) + C
4
2
1
(II) ò tan 2 xdx = tan 3 x + C
3
x +1
1
(III) ò 2
dx = ln(x 2 + 2x + 3) + C
x + 2x + 3
2

A. Chỉ (I) và (II)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II) và (III)

D. Chỉ (II)

Câu 53: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của sin2x
A. sin 2 x

B. 2cos2x

C. -2cos2x

D. 2sinx

C. x - cos2x + C

D. -

Câu 54: Nguyên hàm của hàm số y = sin 2 x là
A. cos 2 x + C

B.

2x - sin 2x
+C
4

1
+C
cot 2 x

Câu 55 :Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
A. ò cot xdx = ln s inx + C
C. ò

B. ò tan xdx = ln cosx + C

x3
dx = ln(1 + x 4 ) + C
1+ x 4

D.

Câu 56: Nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 – 3x +

A.

x 3 3x 2
+ ln x + C
3
2

B.

ò cos xdx =-

s inx + C

1
là:
x

x 3 3x 2
1

+ 2 + C C. x 3 - 3x 2 + ln x + C
3
2
x

D.

x 3 3x 2
- ln x + C
3
2

Câu 57: Họ nguyên hàm của f (x) = x 2 - 2x +1 là

15


HTTP://DETHITHPT.COM
1 3
A. F(x) = x - 2 + x + C
3

B. F(x) = 2x - 2 + C

1 3
2
C. F(x) = x - x + x + C
3

1 3

2
D. F(x) = x - 2x + x + C
3

1 1
Câu 58: Nguyên hàm của hàm số f (x) = - 2 là :
x x

A. ln x - ln x 2 + C

B. lnx -

1
+C
x

C. ln|x| +

1
+C
x

D. Kết quả khác

Câu 59: Nguyên hàm của hàm số f (x) = e 2x - e x là:
1 2x
x
A. e - e + C
2

B. 2e 2x - e x + C

C. e x (e x - x) + C

D. Kết quả khác

C. - sin 3x + C

D. - 3sin 3x + C

Câu 60: Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos 3x là:
A.

1
sin 3x + C
3

B. -

1
sin 3x + C
3

x
Câu 61: Nguyên hàm của hàm số f (x) = 2e +

A.2ex + tanx + C

Câu 62: Tính
A. -

B. ex(2x -

ò sin(3x - 1)dx

1
cos(3x - 1) + C
3

1
là:
cos 2 x

e- x
)
cos 2 x

C. ex + tanx + C

D. Kết quả khác

C. - cos(3x - 1) + C

D. Kết quả khác

, kết quả là:

B.

1

cos(3x - 1) + C
3

16


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 63: Tìm
A. -

C.

ò (cos 6x -

cos 4x)dx là:

1
1
sin 6x + sin 4x + C
6
4

1
1
sin 6x - sin 4x + C
6
4

Câu 64: Tính nguyên hàm

A.

B. 6sin 6x - 5sin 4x + C

1
ln 2x +1 + C
2

Câu 65: Tính nguyên hàm

A. ln 1- 2x + C

D. - 6sin 6x + sin 4x + C
1

ò 2x +1dx

ta được kết quả sau:

B. - ln 2x +1 + C

ò 1-

C. -

1
ln 2x +1 + C
2

D. ln 2x +1 + C

1
ln 1- 2x + C
2

D.

1
dx ta được kết quả sau:
2x

B. - 2 ln 1- 2x + C

C. -

2
+C
(1- 2x) 2

Câu 66: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.

1
ò xdx = ln x + C

ax
C. ò a dx =
+ C (0 < a ¹ 1)
ln a
x

Câu 67: Tính

A. 3sin x -

ò (3cos x 3x
+C
ln 3

B.

a
ò x dx =

D.

ò cos

1
2

x

x a+1
+ C (a ¹ - 1)
a +1

dx = tan x + C

3x )dx , kết quả là:

B. - 3sin x +

3x
+C
ln 3

C. 3sin x +

3x
+C
ln 3

D. - 3sin x -

3x
+C
ln 3

17


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 68: Trong các hàm số sau:
(I) f (x) = tan 2 x + 2

(II) f (x) =

2
cos 2 x

(III) f (x) = tan 2 x +1

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx
A. (I), (II), (III)

B. Chỉ (II), (III)

C. Chỉ (III)

D. Chỉ (II)

Câu 70: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai

f 3 (x)
+C
3

A.

2
ò f '(x)f (x)dx =

C.

ò[ f (x) + g(x) ] dx =ò f (x)dx +ò g(x)dx

B.

ò[ f (x).g(x)] dx =ò f (x)dx.ò g(x)dx

D.

ò kf (x)dx =k ò f (x)dx

(k là hằng số)

Câu 71: Nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x +1)3 là:
1
4
A. (2x +1) + C
2

B. (2x +1) 4 + C

C. 2(2x +1) 4 + C

D. Kết quả khác

C. 5(1- 2x)6 + C

D. 5(1- 2x) 4 + C

Câu 72: Nguyên hàm của hàm số f (x) = (1- 2x)5 là:
A. -

1
(1- 2x)6 + C
2

B. (1- 2x) 6 + C

Câu 73: Chọn câu khẳng định sai?
1

A.

ò ln xdx = x + C

B.

ò 2xdx = x

C.

ò sin xdx =-

D.

ò sin

cos x + C

1
2

x

2

+C

dx =- cot x + C

18


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 74: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x +

2
A. x -

3
+C
x

2
B. x +

3
là :
x2

3
+C
x2

C. x 2 + 3ln x 2 + C

D. Kết quả khác

x
Câu 75: Hàm số F ( x ) = e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào?

x
A. f (x) = e -

Câu 76: Nếu

1
sin 2 x

ò f (x)dx = e

A. e x + cos 2x

x
B. f (x) = e +

x

1
sin 2 x

x
C. f (x) = e +

1
cos 2 x

D. Kết quả khác

+ sin 2x + C thì f (x) bằng

B. e x - cos 2x

1
x
D. e + cos 2x
2

C. e x + 2 cos 2x

Câu 77. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x) = sin 2x
A. 2 cos 2x

B. - 2 cos 2x

1
C. cos 2x
2

D.

- 1
cos 2x
2

Câu 78. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x) = x 3 + 3x 2 - 2x +1

A. 3x 2 + 6x - 2

1 4
3
2
B. x + x - x + x
4

C.

1 4
x + x3 - x 2
4

Câu 79. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x) =

A. ln 2x + 2016

1
B. ln 2x + 2016
2

C. -

D. 3x 2 - 6x - 2
1
2x + 2016

1
ln 2x + 2016

2

D.2 ln 2x + 2016

Câu 80. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x) = e3x +3

19


HTTP://DETHITHPT.COM
A. e3x +3

B. 3 e3x +3

C.

1 3x+3
e
3

D. -3 e3x +3

æ1
ö
+ x÷
Câu 81. Nguyên hàm của hàm số: J = òç
÷
ç
÷dx là:
ç

èx
ø
2
A. F(x) = ln x + x + C

1 2
B. F(x) = ln ( x ) + x + C
2

1 2
C. F(x) = ln x + x + C
2

2
D. F(x) = ln ( x ) + x + C .

Câu 82. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x là:
A. cos5x+C

B. sin5x+C

C.

1
sin 6x +C
6

1
D. sin 5x +C
5

2
Câu 83. Nguyên hàm của hàm số: I = ò (x + 3x +1)dx là:

1 3 3 2
A. F(x) = x + x + C
3
2

1 3 3 2
B. F(x) = x + x + x + C
3
2

1 3 3 2
C. F(x) = x - x - x + C
3
2

3
D. F(x) = x -

Câu 84. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =

A. F ( x ) =

2x 3 3
- +C
3
x

3
C. F ( x ) =- 3x -

3
+C
x

3 2 1
x - x +C .
2
2

2x 4 + 3
( x ¹ 0) là
x2
B. F ( x ) =

x3 3
- +C
3 x

D. F ( x ) =

2x 3 3
+ +C
3
x

20

HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 85. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x) = e x + cos x
A. e x + sin x

B. e x - sin x

C. - e x + sin x

D. - e x - sin x

5
Câu 86. Tính: P = ò (2x + 5) dx

A. P =

(2x + 5)6
+C
6

1 (2x + 5)6
B. P = .
+C
2
6

C. P =

(2x + 5)6

+C
2

D. P =

(2x + 5)6
+C .
5

Câu 87. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của sin2x
A. sin 2 x
Câu 88. Tìm

A. -

C. -2cos2x

D. 2sinx

C. ln 3x +1 + C

D. ln ( 3x +1) + C

dx

ò 3x +1 ta được
3

( 3x +1)

Câu 89. Tìm

A.

B. 2cos2x

2

+C

B.

1
ln 3x +1 + C
3

5

ò( 2x +1) dx ta được

1
6
( 2x +1) + C
12

B.

1
6
( 2x +1) + C

6

4

C. ( 2x +1) + C

4

D. 5 ( 2x +1) + C

Câu 90. Nguyên hàm của hàm số f (x) = 1- x + x 2 là

21


HTTP://DETHITHPT.COM
x2 x3
A. x + +C
2
3

x 2 x3
B. + +C
2
3

C. - 1 + 2x + C

D. x - x 2 + x 3 + C

4
Câu 91. Một nguyên hàm của hàm số: I = ò sin x cos xdx là:

A. I =

sin 5 x
+C
5

B. I =

cos5 x
+C
5

C. I =-

sin 5 x
+C
5

Câu 92. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của f (x) =

A.

1
sin (2x +1)

B.

2

- 1
sin (2x +1)

D. I = sin 5 x + C

1
cos (2x +1)
2

1
C. tan(2x +1)
2

2

( x - 1)
Câu 93. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
x3

D.

1
co t(2x +1)
2

3

( x ¹ 0) là

3
1
A. F ( x ) = x - 3ln x + + 2 + C
x 2x

B. F ( x ) = x - 3ln x -

3
1
+C
x 2x 2

3
1
+C
C. F ( x ) = x - 3ln x + x 2x 2

D. F ( x ) = x - 3ln x -

3
1
+ 2 +C
x 2x

Câu 94. F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

2x + 3
( x ¹ 0) , biết rằng F ( 1) = 1 . F( x ) là biểu thức
x2

nào sau đây
A. F ( x ) = 2x -

3
+2
x

3
C. F ( x ) = 2x + - 4
x

3
B. F ( x ) = 2 ln x + + 2
x

D. F ( x ) = 2 ln x -

3
+4
x

22


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 95. Tìm một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ax +

b
( x ¹ 0) , biết rằng F ( - 1) = 1 , F ( 1) = 4 ,

x2

f ( 1) = 0 . F ( x ) là biểu thức nào sau đây
2
A. F ( x ) = x -

1
+4
x

Câu 96. Hàm số F ( x ) = e x

1
2
B. F ( x ) = x + + 2
x
2

C. F ( x ) =

x2 1 7
- +
2 x 2

D. F ( x ) =

x2 1 5
+ +
2 x 2

là nguyên hàm của hàm số
2

A. f ( x ) = 2x.e

x2

2x
B. f ( x ) = e

ex
C. f ( x ) =
2x

Câu 97. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

A.

x2 + x - 1
x +1

B.

x2 - x - 1
x +1

C.

2

D. f ( x ) = x 2 .e x - 1
x ( 2 + x)

( x +1)

2

x 2 + x +1
x +1

D.

x2
x +1

2

æx 2 +1ö
÷
÷
Câu 98. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = ç
( x ¹ 0) là
ç
÷
ç
÷
è x ø
A. F ( x ) =

x3 1

- + 2x + C
3 x

x3
+x
3
+C
C. F ( x ) =
x2
2

B. F ( x ) =

x3 1
+ + 2x + C
3 x
3

æx 3
ö
ç
÷
+x÷
ç
÷
ç3
÷
÷
D. F ( x ) = ç
+C

ç
÷
2
ç
÷
x
ç
÷
÷
ç
÷
ç
è 2 ø

Câu 99. Một nguyên hàm của hàm số: y = sinx.cosx là:

23


HTTP://DETHITHPT.COM
A. -

1
cos 2x +C
2

B. - cos x.sin x +C

C. cos8x + cos2x+C

D. -

1
cos 2x +C .
4

Câu 100. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. cos6x

ö
1æ
1
1
1æ
sin 6x sin 4x ö
÷
ç
sin 6x + sin 4x ÷
+
C. ç
D.
÷
÷
ç
ç
÷
÷
è6
ø
è 6

2ç
4
2ç
4 ø

B. sin6x

Câu 101: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin3xcos2x
A. -

1
cos 5x - cos x + C
5

B.

C. 5cos 5x + cos x + C

1
cos 5x + cos x + C
5

D. Kết quả khác

Câu 102: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
A. x2 + x + 3

B. x2 + x - 3

C. x2 + x

D. Kết quả khác

Câu 103: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 4 x - x và f(4) = 0
A.

8x x x 2 40
3
2
3

B.

8 x x 2 40
3
2
3

ò xe

Câu 104: Nguyên hàm của hàm số

x2

C.

8x x x 2 40
+
3
2

3

D. Kết quả khác

dx là

2

x2

A. xe + C

ex
B.
+C
2

2

C. e x + C

D. x + e x

2

Câu 105: Tìm hàm số y = f (x) biết f ¢(x) = (x 2 - x)(x +1) và f (0) = 3
A. y = f (x) =

x4 x2
+3

4
2

B. y = f (x) =

x4 x2
- 3
4
2

24


HTTP://DETHITHPT.COM
x4 x2
C. y = f (x) = + + 3
4
2
Câu 106: Tìm

A.

ò (sin x +1)

(cos x +1)4
+C
4

Câu 107: Tìm

A. ln

òx

2

3

D. y = f (x) = 3x 2 - 1

cos xdx là:

B.

sin 4 x
+C
4

(sin x +1) 4
+C
4

D. 4(sin x +1)3 + C

dx
là:
- 3x + 2

x- 2
1

1
+C
- ln
+ C B. ln
x- 1
x- 2
x- 1

Câu 108: Tìm

C.

C. ln

x- 1
+C
x- 2

D. ln(x - 2)(x - 1) + C

ò x cos 2xdx là:

A.

1
1
x sin 2x + cos 2x + C
2
4

B.

1
1
x sin 2x + cos 2x + C
2
2

C.

x 2 sin 2x
+C
4

D. sin 2x + C

Câu 109: Lựa chọn phương án đúng:
A. ò cot xdx = ln sin x + C
C.

1

òx

2

dx =

1
+C

x

Câu 110: Tính nguyên hàm

ò sin

3

B.

òsin xdx = cos x + C

D.

ò cos xdx =-

sin x + C

x cos xdx ta được kết quả là:

25