Tính tích phân dựa vào nguyên hàm cơ bản

Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các công thức tính tích phân
a)
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
  

b)
( ) 0
a
a
f x dx



c)
( ) ( ) ,
b b
a a
kf x dx k f x dx k R
 

 
d)
 
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
  
  

e)
( ) ( ) ( ) 0
a b b
b a b
f x dx f x dx f x dx
  
  
g)
( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
 
  

h) Nếu





xgxf  ;


b,ax thì

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx

 

i) Nếu


Mxfm  ;


b,ax thì
( )
b b b
a a a
mdx f x dx Mdx
 
  

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Vídụ 1: Tính các tích phân sau:
a. I =
dx

1xx
1x2
1
0
2



d. I =


3
1
23
dx
x
xxx
g. I =
4
4
0
3
x
x e dx
 

 
 


b. I =


2
2
3
1
2x x
dx
x


e. I =
1
2
0
4
xdx
x


h. I =
1
2
2
0
4
x dx
x




c. I =
2
2
sin7 .sin 2
x xdx




f. I =
4
2
0
sin
4
x dx


 

 
 

i. I =
2
4
2
(10 sin )

x
x dx





Bài giải:
a. I =


2
1
1
2
2
0
0
1
ln 1 ln3
1
d x x
x x
x x
 
   
 


b. I =

2
2 2 2
2
2
1
1 1 1
1 2 1 2
2 (ln ) ln 2 1 ln1 2 ln 2 1
dx dx x dx x
x x x x

 
          
 
 
  

c. I =
2 2 2
2 2 2
1 1 1
(cos5 cos9 ) cos5 cos9
2 2 2
x x dx xdx xdx
  
  
  
  
  

Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
2
2
1 1 1 1 1 1 4
sin5 sin9
10 18 10 18 10 18 45
x x



 
      
 
 

d. I =
3 3 3 3
2 2
1 1 1 1
( 1)
x x dx x dx xdx dx
    
   
3
3 2
1
3 2

x x
x
 
  
 
 

=
9 1 1 20
9 3 1
2 3 2 3
   
     
   
   

e. I =


2
3
1
2
2
1
0
4
1 1 1 3
ln 4 ln
2 4 2 2 4

d x
x
x


    



f. I =
4
0
1 cos 2
2
x dx


 
 
  
 
 
 
 

 
4
4
0
0

1 1 1
1 sin 2 cos2
2 2 2
x dx x x


 
  
 
 


 
4
0
1 1 2
2 cos2 1
4 4 2 8
x x

 

 
    
 
 

g. I =
4
4 4 4 4

2
4 4 4
0 0 0 0
0
3
3 3 4 4
4 2
x x x
x x
xdx e dx xdx e d e
 
 
    
 
 
 
 
   
=


24 4 0 4 28 4
e e
     

h. I =
1 1 1
2 2
0 0 0
4 4

1
4 4
dx dx dx
x x
 
  
 
 
 
  

=
  
1
1 1
0 0
0
2
4 ln ln3 1
2 2 2
dx x
dx x
x x x
  
    
 
  
 
 

i. I =
2
2 2
4
4
2 2
2
10 cos 36
10 sin
4ln10
10 ln10
x
x
x
dx xdx



 

 
 
   
 
 
 
 

Vídụ 2: Tính các tích phân sau:
a.

dx|1x|
2
0


b. I =
2
2
2
1
x dx




Bài giải:
a. Xét biểu thức y = x – 1 trên đoạn


0;2

0 1
y x
  


 
1, 1;2
1
1 , 0;1

x x
x
x x

 

  

 



Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Vậy I =
   
1 2
1 2
2 2
0 1
0 1
1 1
1 1 1 2 2 1 1
2 2 2 2
x x
x dx x dx x x
   
   

             
   
   
   
   
 

b. Xét biểu thức y = x
2
– 1 trên đoạn


2;2

2
0 1 0 1
y x x
      

Vậy




 
2
2
2
1, 2; 1 1;2
1

1 , 1;1
x x
x
x x

    

 

  



Do đó:
I =
     
1 1 2
2 2 2
2 1 1
1 1 1
x dx x dx x dx

 
    
  

=
1 1 2
3 3 3
2 1 1

1 1 1
4
3 3 3
x x x x x x

 
     
     
     
     

Vídụ 3: Tính các tích phân sau
a. I =


16
0
x9x
dx
c. I =


2
1
2
9x
dx

b. I =
dx8xx

2
0
3 32



Bài giải:
a. I =
16 16 16
0 0 0
9 1
9
9 9
x x
dx x dx xdx
 
 
  
 
 
  
=
 
16
3
3
2
2
0
1 2 1 2

. 9 .
9 3 9 3
x x
 
1348
27

b. I =
   
2
2 2
1 4
3 3 3 3 3 3
3 3
0 0
0
1 1 1 3
8 ( ) 8 . 8 4
3 3 3 4
x d x x dx x
      
 

c. I =
  
2
5 2
2
2
4 1

0
( 9 1 3 1 2
ln ln
3 3 6 3 6 3
9
d x dx x
x x x
x
 
  
  

 

Vídụ 4: Tính các tích phân sau:
a. I =


1
0
1x3
dxe
c. I =

 4
0
x2cos
dxx2sine

b.


e
1
2
dx
x
xln
d. I =



1
0
x2
dx)
1x
3
e(

Bài giải:
a. I =
 
1
1
3 1 3 1 4
0
0
1 1 1
(3 1)
3 3 3

x x
e d x e e e
 
   


Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
b. I =
3
2
0
0
ln 1
ln (ln )
3 3
e
e
x
xd x
 


c. I =
 
4
cos2 cos2
4

0
0
1 1 1 1
(cos2 ) 1
2 2 2 2 2
x x
e
e d x e e



      


d. I =
1
1 1
2
2 2 2
0
0 0
1 ( 1) 1 1 1 1
(2 ) 3 ( 3ln 1 3ln 2 3ln 2
2 1 2 2 2 2
x x
d x e
e d x e x e
x
 
        


 

Vídụ 5: Tính các tích phân sau:
a. I =

 2/
0
3
xdxcosxsin

b. I = dx)xsin3
xcos
4
(
4
4
2



 c. I =

 4
0
2
dx
2
x
sin

Bài giải:
a. I =
4
2
2
3
0
0
sin 1
sin (sin )
4 4
x
xd x


 


b. I =
 
4 4
4
2
4
4 4
3 2 3 2
4 3 sin 4tan 3cos 4 4 8
cos 2 2
dx

xdx x x
x
 


 

 
 
       
 
 
 
 

c. I =
 
4
4 4 4
0 0 0
4
1 cos 1 1 1
cos sin
2 2 2 2
x
dx dx xdx x x

  




 
   
 
 
  

1 2 2
2
2 4 2 4 2 2
  
 
     
 
 
 

Ví dụ 6: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau đây:
a.
2
dx
xsin23
1
4
4
3
4
2









b.
dxxsin2dxx2sin
2
0
2
0




Bài giải:
a. Trên đoạn
3
;
4 4
 
 
 
 
ta có:
Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà

2 2
2
2 1 1 1
sinx 1 sin 1 1 3 2sin 2 1
2 2 2 3 2sin
x x
x
           


Do đó:
3
3 3 3 3
4
3
4 4 4 4
4
2 2
4
4 4 4 4
4
1 1
2 3 2sin 2 3 2sin
dx dx
dx dx x x
x x

   



   

    
 
   


2
dx
xsin23
1
4
4
3
4
2









b. Trên đoạn
0;
2

 

 
 
, ta có:
0 cos ,sinx 1 sin2 2sin cos 2sin
x x x x x
    

Do đó:
2 2 2
0 0 0
sin 2 2sin 2 sin
xdx xdx xdx
  
 
  

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tính các tích phân sau đây
a)


1
0
dx
1x
1
b)
dx)
x3
1

x4(
8
1
3
2


c)
dx|1x|
2
2




d)
2
2
0
| x 2x 3| dx
 

e)
2
1
dx
x 1 x 1
  

f)




3
2
2
dx
2xx
1x

g)
dx
2x3x
x
1
0
2



h)


3
1
2
3
16x
dxx
i)



5
4
2
dx
9x
1

j)
1
2
0
dx
x 1


k)


3
2
2
dx
1x
1
l)




1
1
5
dx
2x
x

ĐS: a) ln2 b) 125 c) 5d) 4 e)
1
(3 3 2 2 1)
3
 

f)
4
5
ln
3
1
2ln
3
2
 g)
8
9
ln h)
15
7
ln84  i)
74

9
ln


j)


ln 2 1

k) )21ln(  l) 3ln32
15
526

Bài 2:Tính các tích phân sau:
Các phương pháp tính tích phân ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
a)


1
0
x
xdxe
2
b)

4
1

x
dx
x
e
c)
dx
xcos31
xsin
2
0




d)
dx
x
)xsin(ln
e
1

e)
dx
x
xln1
e
1


f)




2/
6/
32
xdxcosxsin

g)



4
0
dx
x2sin21
x2cos
h)
dx
x
xln
2
e
e

i)



3

4
2
xdxtg

j)
coxdxxsin41
6
0



k)



4
0
2
dx
xcos
x2sin1
m) dx
xcotxsin
1
4
6
2




n)
2
0
sinxsin2xsin3xdx



ĐS: a)
2
1
e
2
1


b) e2e2
2
 c) 4ln
3
1
d) 1 – cos1 e)
3
224 

f)
480
47
g) 3ln
4

1
h)
3
224 
i) 3 1
12

 

j)
6
133 
k) 1 + ln2, m) 232
4
 n)
6
1

Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau đây:
a)
4
5
dxxsin23
2
2
4
2







b)
2
5
dx
2
x4
1
1
0
2



