Câu hỏi trắc nghiệm môn toán hình học 12 chương 3 OXYZ KHOẢNG CÁCH góc HÌNH CHIẾU giải chi tiết doc

KHOẢNG CÁCH – GÓC – HÌNH CHIẾU

 Dạng 113. Khoảng cách từ điểm đến đường
thẳng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 1 ( 2;3;1) và đường
thẳng ∆ :

x+ 2 y− 1 z+ 1
. Tính khoảng cách d từ điểm M 1 đến đường thẳng
=
=
1
2
−2

∆.
A. d =

10 2
.
3

B. d =

10 3
.
3

C. d =

10
.
3

D. d =

10 5
.
3

Lời giải tham khảo
r
uuuuuuu
r
Đường thẳng ∆ qua M 0 ( −2;1; −2) và có VTCP a = ( 1;2; −2) ⇒ M 0M 1 = ( 4;2;2)
uuuuuuu
r r
Ta có:  M 0M 1; a = ( −8;10;6)
r uuuuuuu
r
 a; M M 
0
1
(−8)2 + 102 + 62 10 2

⇒ d( M 1; ∆ ) =
=
=
.
r

3
a
12 + 22 + (−2)2
Câu

2.

( d) : 2x =

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

đường

thẳng

y+1 z−1
. Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O ( 0;0;0) đến đường
=
−2
1

thẳng ( d) .

A. d = 3 .

B. d = 2 .

C. d = 0.

D. d = 1.

Lời giải tham khảo
Lập PT mp đi qua O ( 0;0;0) vuông góc ( d) và cắt ( d) tại H .
1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Khoảng cách từ O đến đường thẳng là độ dài đoạn OH .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;0;0) , B ( 0;0;8)
uuur
và điểm C sao cho AC = ( 0;6;0) . Tính khoảng cách d từ trung điểm I của BC
đến đường thẳng OA .
A. d = 4 .

B. d = 5.

C. d = 6.

D. d = 7 .

Lời giải tham khảo
uuur
Từ AB = ( 0;0;6) và A ( 2;0;0) suy ra C ( 2;6;0) , do đó I ( 3;1;4) .
Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua I và vuông góc với OA là: x − 1 = 0 .

⇒ Tọa độ giao điểm của ( P ) với OA là K = ( 1;0;0) .
⇒ Khoảng cách từ I đến OA là IK = 5.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1;0;5) và hai mặt

( P ) : 2x – y + 3z + 1 = 0, (Q) : x + y – z + 5 = 0.
giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
phẳng

A. d =

9 14
.
7

529
.
19

B. d =

Tính khoảng cách d từ M đến

C. d =

529
.
19

D. d =

529
19

.

Lời giải tham khảo
Gọi Giao tuyến là đường thẳng ( t ) . VTCP của ( t ) là tích có hướng của hai vectơ
pháp tuyến của ( P ) và ( Q ) .
Giao tuyến ( t ) qua A ( −2; −3;0) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ( t )
Tính d = MH =

529
.
19
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Dạng 114. Khoảng cách từ điểm đến mặt
phẳng

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,

cho điểm M ( 1;2; −3) và mặt

phẳng ( P ) : x − 2y + 2z + 3 = 0 . Tính khoảng cách d từ M đến ( P ) .
A. d = 1.

B. d = 2 .

C. d = 3.

D. d = 4 .

Lời giải tham khảo
1.1− 2.2 + 2.(−3) + 3

• d = d( M ,(P )) =

Câu

6.

12 + (−2)2 + 22

Trong

không

gian

= 2.

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

( P ) : 2x − 2y − z + 3 = 0 và điểm A ( 1; −2;13) . Tính khoảng cách
A. d =

1
.
2

B. d =

4
.
3

C. d = 4 .

cho

mặt

phẳng

d từ A đến ( P ) .
D. d =

2
.
3

Lời giải tham khảo
• d = d( A ;(P )) =

2.1− 2( − 2) − 13 +3
2 + (−2) + (−1)
2

2

2

=

4

.
3

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4y − 5 = 0.
Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( P ) .
B. d = 1.

A. d = 5.

C. d = 5.

D. d = −1.

Lời giải tham khảo
• d
=
(O ,( P ))

−5
9 + 16

= 1.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( −2; −4;3) và mặt
phẳng ( P )

có phương trình 2x – y + 2z −3 = 0. Tính khoảng cách d từ điểm M

đến mặt phẳng ( P ) .
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. d = 3.

B. d = 2 .

C. d = 1.

D. d = 11.

Lời giải tham khảo
d( M ,(P )) =

2(−2) – ( –4) + 2.3 −3
4 + 1+ 4

=

3
= 1.
3

x+ 1 y z− 1
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , ( d1 ) :
= =
,
2
3

3

( d ) : −x2+ 1 = 1 = z 1− 1 , ( P ) : 2x + 4y − 4z − 3 = 0. Gọi
y

2

A là giao điểm của ( d1 ) và ( d2 ) .

Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng ( P ) .
A.

d=

4.
3

B.

d=

7.
6

C.

d=

13 .
6

D.

d=

5.
3

Lời giải tham khảo

Giao điểm A của ( d1 ) và ( d2 )

x+ 1 y z− 1
 2 = 3 = 3
 1 3 7
4
⇒ A  − ; ; ÷ ⇒ d( A ,( P ) ) = .
thỏa: 
3
 2 4 4
 −x + 1 = y = z − 1
 2
1
1

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E ( 2;4;5) , mặt phẳng
x+ 1 y− 3 z− 2
. Tìm tọa độ điểm M
=
=

2
−1
1
có hành độ nhỏ hơn 2, nằm trên đường thẳng d có khoảng cách từ M tới mặt

( P ) : x − 2y + 2z + 6 = 0

và đường thẳng d :

phẳng ( P ) bằng EM .
A. M ( 1; −2;3) .

B. M ( 1;2;3) .

C. M ( 17;6;11) .

D. M ( −17;6; −11) .

Lời giải tham khảo
Đặt điểm M ( −1+ 2t;3 − t;2 + t ) . Tìm t từ phương trình d( M ,(P)) = EM .
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( P) :

2x − y − 3z + 1 = 0

và điểm A ( 1; −2; −3) . Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) .
A. d = 14 .

B. d = 2 7 .

C. d = 14 .

D. d = 7 .

Lời giải tham khảo

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


Mặt phẳng ( P ) : 2x − y − 3z + 1 = 0 và điểm A ( 1; −2; −3) .
Khoảng cách d từ A đến ( P ) : d =

2+ 2+ 9+ 1

Câu

với

12.

Trong

không

gian

14

hệ

= 14.

tọa

Oxyz ,

độ

( P ) : 2x − y + 5z + 4 = 0 và điểm A ( 2; −1;3) . Tính khoảng cách
A. d =

24
13

B. d =

.

24

C. d =

.

14

Khoảng cách d từ A đến ( P ) : d =

2+ 2+ 9+ 1
14

23
14

.

cho

mặt

phẳng

d từ A đến ( P ) .

D. d =

23
11

.

= 14.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3 ; −1 ;2) và mặt
phẳng ( P ) : 4x − y + 3z + 2 = 0 . Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) .
A. d =

26 21

.
21

B. d =

21 26
.
26

C. d = 26 .

D. d = 21 .

Lời giải tham khảo

(

)

d A ,( P ) =

4.3 − ( −1) + 3.2 + 2
42 + ( −1) + 32
2

=

21
26

=

21 26
.
26

 Dạng 115. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng song song

( α ) : x + y – z + 5 = 0  và ( β ) :
phẳng ( α ) và ( β ) ?
A. d =

7 3
.
6

2x + 2y – 2z + 3 = 0 . Tính khoảng cách d giữa hai mặt

B. d =

7
.
6

C. d =

17
.

6

D. d = 2 2 .

Lời giải tham khảo
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chọn M ( 0;0;5) ∈ mp( α ) . Tính được: d( (α );(β )) = d( M ;(β )) .
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

( P ) : 2x + 3y + 6z − 18 = 0, ( Q ) : 2x + 3y + 6z + 10 = 0 . Tính khoảng cách

d giữa hai mặt

phẳng ( P ) và ( Q ) .
A. d = 6.

B. d = 5.

C. d = 3.

D. d = 4 .

Lời giải tham khảo
Lấy A ( 9;0;0) ∈ ( P )
d( (P );(Q)) = d( A ;(Q)) =

2.9 + 3.0 + 6.0 + 10
22 + 32 + 62

= 4.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

( P ) :2x + 2y − z − 11= 0 và ( Q ) : 2x + 2y − z + 4 = 0 . Tính khoảng cách
phẳng ( P ) và ( Q ) .
A. d = 3.

B. d = 5.

C. d = 7.

d giữa hai mặt

D. d = 9.

Lấy A ( −2;0;0) ∈ ( Q )
d( (P );(Q)) = d( A ;(P)) =

2.(−2) + 3.0 + 6.0 − 11
22 + 22 + 12

= 5.

6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

 Dạng 116. Bài toán về góc

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 1;0;0) , B ( 0;1;0) ,
C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −1) . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
A. 450 .

B. 600 .

C. 900 .

D. 1350 .

Lời giải tham khảo
uuur uuur
ABCD
.
uuur uuur
2
⇒ ( AB,CD ) = 450
Vì cos ( AB,CD ) = cos AB,CD = uuur uuur =
2
AB . CD

(

Câu

18.

Trong

)

không

gian

với

hệ

tọa

A ( 3;2;6) , B ( 3; −1,0) , C ( 0, −7,0) , D ( −2,1; −1) . Gọi

Oxyz ,

độ

( d)

cho

bốn

điểm

là đường thẳng đi qua hai

điểm A , D và ϕ là góc giữa ( d) và ( ABC ) . Tính sinϕ .
A. sinϕ =

5
.
2

B. sinϕ =

10
.
8

C. sinϕ =

10
.
5

D. sinϕ =

10
.
2

Lời giải tham khảo
uuur
uuur
BA = (0;3;6); BC = (−3; −6;3)

r 1 uuur uuur
Vtpt, mp(ABC) : n =  BA , BC  = (5, −2,1)

9
r uuur
Ta có a = AD = ( −5; −1; −7) là vtcp của đường thẳng AD
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng AD và mp ( ABC ) , 00 ≤ ϕ ≤ 900
rr
an
.
−25 + 2 − 7
10
=
Khi đó: sinϕ = r r =
.
5
75 30
an
-

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ

( P ) : x + 2y − z + 5 = 0

và đường thẳng

( d) : x +2 3 =

Oxyz ,

cho mặt phẳng

y+ 1 z− 3
=
. Tính góc α giữa
1
1

đường thẳng ( d) và mặt phẳng ( P ) .
7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. α = 45o.

B. α = 30o.

C. α = 60o.

D. α = 120o.

Lời giải tham khảo
r r
Gọi vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của ( P ) và ( d) lần lượt là n, u. Góc
rr
nu
.
giữa ( d) và ( P ) được tính theo công thức cosα = r r .
n.u

8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 Dạng 117. Bài toán về hình chiếu

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1;1;1) và đường
thẳng
 x = 6 − 4t

d :  y = −2 − t . Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A lên đường thẳng d .
 z = −1+ 2t

A. ( 2; −3; −1) .

B. ( 2;3;1) .

C. ( 2; −3;1) .

D. ( −2;3;1) .

Lời giải tham khảo
Gọi H là hình chiếu của A lên d . H ( 6 − 4t; −2 − t; −1+ 2t )
uuuu
r
uuur
AH = ( 5 − 4t; −3 − t; −2 + 2t ) ; ud = ( −4; −1;2)
uuuu

r
uuuu
r uu
r
AH ⊥ d ⇔ AH .ud = 0 ⇔ −4(5 − 4t) + −1(−3 − t) + 2(−2 + 2t) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2; −3;1)
Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −2;5) và đường
thẳng
 x = −8 + 4t
( d) :  y = 5 − 2t . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường
z = t

thẳng ( d) .
A. ( 4; −1;3) .

B. ( −4;1; −3) .

C. ( 4; −1; −3) .

D. ( −4; −1; −3) .

Lời giải tham khảo
Giải hệ gồm PT đường thẳng ( d) và PT mp ( P ) . Ta được tọa độ hình chiếu.
 x = 1+ t

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ :  y = 2
và
z = 3− t

điểm A ( −1;2; −1) . Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm A lên ∆ .
9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. I ( 3;1;2) .

B. I ( 2;2;2) .

C. I ( 1;2;1) .

D. I ( 4;2;1) .

Lời giải tham khảo
uur r
r
Gọi I ( 1+ t;2;3 − t ) . Tìm t từ phương trình AI .u = 0 , với u là véc tơ chỉ phương của
∆.

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 1; −2;0) ; B ( 4;1;1) .
Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB.
A. OH = 1 .
19

B.

OH =

86 .
19

C.

OH =

19 .
86

D.

OH =

19 .
2

Lời giải tham khảo
 x = 1+ 3t
uuur
uuuur

Ta có: AB ( 3;3;1) . PTĐT AB là :  y = −2 + 3t ⇒ H ( 1+ 3t; −2 + 3t;t) ⇒ OH ( 1+ 3t; −2 + 3t;t)
z = t


uuuur uuuu
r
3
Vì OH ⊥ AB ⇒ 3.( 1+ 3t ) + 3( −2 + 3t ) + t = 0 ⇒ t =

19

uuuur
 28   29   3 
86 .
OH =  ÷ +  − ÷ +  ÷ =
19
 19   19   19
2

2

2

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
A ( 1,2, −1) , B ( 0,3,4) , C ( 2,1, −1) . Tính độ dài đường cao h từ A đến BC .
A. h = 6 .

B. h =

33
.
50

C. h = 5 3 .

D. h =

50
.
33

Lời giải tham khảo
 x = 2 + 2t

Phương trình tham số BC :  y = 1− t . Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên
 z = −1− 5t

uuuur uuur
uuuur uuur
d
A
;
BC
=
AM
;
AM
⊥
BC
⇒
AM .BC = 0 .
BC . Nên M ∈ BC và (
)
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2;7; −9) và mặt
phẳng ( P ) : x + 2y − 3z − 1 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trên ( P ) .
A. H ( 2;2;1) .

B. H ( 1;0;0) .

C. H ( −1;1;0) .

D. H ( 4;0;1) .
10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải tham khảo
Phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ( P ) là
x = 2 + t

d :  y = 7 + 2t
 z = −9 − 3t

Toạ độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ) là nghiệm hệ
 x + 2y − 3z − 1 = 0
 x = −1

x = 2 + t

⇔  y = 1 ⇒ H ( 4;0;1) .

 y = 7 + 2t
z = 0

 z = −9 − 3t
Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 1;2; −3) và mặt
phẳng ( P ) : 2x + 2y − z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm A ’ đối xứng với A qua mặt phẳng

( P) .
A. A ′ ( −7; −6;1) .

B. A ′ ( −6; −7;1) .

C. A ′ ( 7;6; −1) .

D. A ′ ( 6; −7;1) .
Lời giải tham khảo

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng ( P ) .
Điểm H là trung điểm của AA ′ .
Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2; −1; −1) và mặt
phẳng ( P ) : 16x − 12y − 15z − 4 = 0 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A ( 2; −1; −1)
lên mặt phẳng ( P ) . Tính độ dài đoạn AH .
A. AH =

11
.
25

B. AH =

11
.
5

C. AH =

22
.
25

D. AH =

22
.
5

Lời giải tham khảo
AH = d( A ,(P )) =

16.2 + (−12)(−1) + (−15)(−1) − 4
162 + 122 + 152

=

11
.
5
11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu

28.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

bốn

điểm

A ( 2;3;1) , B ( 1;1; −1) , C ( 2;1;0) và D ( 0;1;2) . Tìm tọa độ chân đường cao H của tứ
diện ABCD xuất phát từ đỉnh A .
A. H ( 2;1;0) .

B. H ( 1;2;1) .

C. H ( 1;1;2) .

D. H ( 2;1;1) .

Lời giải tham khảo

Viết phương trình mặt phẳng ( BCD ) và đường thẳng AH từ đó tìm được giao điểm
H.
Câu

29. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz ,

cho mặt phẳng

( P ) : 2x − y + z + 1 = 0 và hai điểm A ( −1;3;2) , B( −9;4;9) . Tìm tọa độ điểm
( P ) sao cho ( MA + MB) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. M ( −1;2; −3) .

B. M ( 1; −2;3) .

C. M ( −1;2; −3) .

M trên

D. M ( −1;2;3) .

Lời giải tham khảo
Ta có A , B nằm cùng phía đối với mặt phẳng ( P )
Gọi A ’ là điểm đối xứng của A qua ( P ) , ta có: MA ’ = MA
Do đó MA + MB = MA '+ MB ≥ A ' B ⇒ min(MA + MB) = A ' B khi M là giao điểm của
A ’B và ( P ) .
 x = 3 − 12t

+ Tìm được A ’ ( 3;1;0) . Phương trình đường thẳng A ′B :  y = 1+ 3t

 z = 9t

+ M ( −1;2;3) .
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,

cho hai đường thẳng

x y z
x+ 1 y z− 1
và d2 :
. Tìm tọa độ điểm M ∈ d1 và N ∈ d2 sao cho
= =
= =
1 1 2
−2
1
1
đoạn thẳng MN ngắn nhất.
d1 :

 3 3 6
 69 −17 18 
; ÷.
A. M  ; ; ÷, N  ;
 35 35 35 
 35 35 35 

 3 3 6
 −69 −17 18 
;

; ÷.
B. M  ; ; ÷, N 
 35 35 35 
 35 35 35 

12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 3 3 6
 69 17 18 
C. M  ; ; ÷, N  ; ; ÷ .
 35 35 35 
 35 35 35 

 3 3 6
 69 −17 18 
; ÷.
D. M  ; ; ÷, N  ;
 5 5 5
 5 5 5

Lời giải tham khảo
M ∈ d1 ⇔ M ( t; t;2t ) và N ∈ d2 ⇔ N ( −1− 2t '; t ';1+ t ')
MN ngắn nhất ⇔ MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

3
t
=


t − 6t ' = 3 
 3 3 6
 −69 −17 18 
35
⇒
⇔
;
; ÷.
⇒ M  ; ; ÷, N 
 35 35 35 
 35 35 35 
6t − t ' = 1 t ' = −17

35

ĐÁP ÁN KHOẢNG CÁCH – GÓC – HÌNH CHIẾU
1A

2A

3B

4B

5B

6B

7B

8C

9A

10B

11A

12B

13B

14A

15D

16B

17A

18C

19B

20C

21A

22B

23B

24D

25C

26A

27B

28D

29D

30B

13

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất