Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao phạm minh tuấn file word có lời giải chi tiết

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
biểu thức P = z + 1 + z − z + 1 . Tính giá trị của M.n

13 3
4
 Cách 1:
A.

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

Re(z) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z = 1 ⇔ z.z = 1
 Đặt t = z + 1 , ta có: 0 = z − 1 ≤ z + 1 ≤ z + 1 = 2 ⇒ t ∈ [ 0; 2]

(

)

 t 2 = ( 1 + z ) 1 + z = 1 + z.z + z + z = 2 + 2 Re( z ) ⇒ Re( z ) =

t2 − 2
2

 z 2 − z + 1 = z 2 − z + z. z = z z − 1 + z = t 2 − 3
2
 Xét hàm số: f (t ) = t + t − 3 , t ∈ [ 0; 2] . Xét 2 TH:

⇒ Maxf (t ) =

13
; Minf (t ) = 3 ⇒ M .n = 13 3
4
4

 Cách 2:
 z = r (cos x + i s inx) = a + bi

 z.z = z 2 = 1
 Do z = 1 ⇒ 
 r = a 2 + b 2 = 1
 P = 2 + 2 cos x + 2 cos x − 1 , dặt t = cos x ∈ [ −1;1] ⇒ f (t ) = 2 + 2t + 2t − 1
 1
 TH1: t ∈  −1; 
 2

max f (t ) = f (1) = 3
1

f '(t ) =
+2>0⇒

1
2 + 2t
min f (t ) = f  2 ÷ = 3
 

1 
 TH2: t ∈  ;1
2 
1
7
 7  13
f '(t ) =
− 2 = 0 ⇔ t = − ⇒ max f (t ) = f  − ÷ =
8
2 + 2t
 8 4
13
13 3
⇒ Maxf (t ) = ;
Minf (t ) = 3 ⇒ M .n =
4
4
Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z − 3 − 4i = 5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỉ nhất của
2

2

biểu thức P = z + 2 − z − i . Tính module số phức w = M + mi.
A. w = 2 314
 Cách 1:

B. w = 1258

 P = 4x + 2 y + 3 ⇒ y =

C. w = 3 137

D. w = 2 309

P − 4x − 3
2
2

P − 4x − 3
2
2
2

 z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3 ) + ( y − 4 ) = 5 ⇔ ( x − 3 ) + 
− 4 ÷ − 5 = f ( x)
2


 f '( x) = 8( x − 3) − 8( P − 4 x − 11) = 0 ⇔ x = 0, 2 P − 1, 6 ⇒ y = 0,1P + 1, 7

1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

 P = 33
2
2
 Thay vào f ( x) ta được: ( 0, 2 P − 1, 6 − 3) + (0,1P + 1,7 − 4) − 5 = 0 ⇔ 
 P = 13
 Cách 2:
 z − 3 − 4i = 5 ⇔ ( x − 3) + ( y − 4 ) = 5 : (C )
2

2

 ( ∆ ) : 4x + 2 y + 3 − P = 0
 Tìm P sao cho dường thẳng ∆ và đường tròn (C) có điểm chung
⇔ d ( I ; ∆ ) ≤ R ⇔ 23 − P ≤ 10 ⇔ 13 ≤ P ≤ 33
 Vậy MaxP = 33; MinP = 13
 w = 33 + 13i ⇒ w = 1258
Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z + 1 + 2 z − 1
A. Pmax = 2 5
B. Pmax = 2 10
 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:

(

C. Pmax = 3 5
2

 P = z + 1 + 2 z − 1 ≤ (12 + 2 2 ) z + 1 + z − 1

2

D. Pmax = 3 2

) = 10 ( z + 1) = 2
2

5

Bài 4: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z − 2 − 4i = z − 2i và m = min z . Tính module số
phức w = m − ( x + y )i.
A. w = 2 3

B. w = 3 2

C. w = 5

D. w = 2 6

 Cách 1:
 z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ x + y = 4

( x + y)

2

42
=2 2
2
2

x + y = 4
x = 2
⇔
⇒ w = 2 2 − 4i ⇒ w = 2 6
 min z = 2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 
y = 2
x = y
( x + y )2
Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2 + y 2 ≥
2
Dấu “=” xảy ra khi x = y
 Cách 2:
 z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ y = 4 − x

 z = x2 + y 2 ≥

=

 z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x )2 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2
x + y = 4
x = 2
⇔
⇒ w = 2 2 − 4i ⇒ w = 2 6
 min z = 2 2 . Dấu “=” xảy ra khi 
x
=
2
y
=
2



Bài 5: Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ R) thoả mãn z + i + 1 = z − 2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z.
A. min z = 2

B. min z = 1

C. min z = 0

D. min z =

1
2

 Cách 1:
 z + i + 1 = z − 2i ⇔ x − y = 1
 x2 + y2 ≥

( x − y)2 1
=
2
2
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 z = x2 + y2 ≥

1
1
=
2
2

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2 + y 2 ≥

( x − y )2
2

 Cách 2:
 z + i + 1 = z − 2i ⇔ y = x − 1
2

1
1
1
1
 z = x + y = x + ( x − 1) = 2  x − ÷ + ≥
=
2 2
2
2

1
 Vậy min z =
2
Bài 6 : Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2

2

2

2

P = z 3 + 3 z + z − z + z . Tính M + m
A.

7
4

B.

13
4

C.

3
4

D.

15
4
Sáng tác: Phạm Minh Tuấn

 Cách 1:

2

 Ta có: z = 1 ⇔ z.z = 1
 Đặt t = z + z ∈ [ 0; 2] ⇒ t 2 = ( z + z )( z + z ) = z 2 + 2 z.z + z = 2 + z 2 + z
2

2

2

 z 3 + 3z + z = z z 2 + 3 + z = t 2 + 1 = t 2 + 1
2

1
3 3
 P = t 2 − t + 1 ≥  t − ÷ + ≥
 2 4 4
3
 Vậy min P = ; max P = 3 khi t = 2
4
15
 M +n=
4
 Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại



P = z + 3z + z − z + z =
3

z 3 + 3z + z
z

(

2

− z + z = z2 + 3 + z − z + z = z + z

)

2

+1 − z + z

3
. Đến đây các bạn tự tìm max nhé
4
Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thoả az 2 + bz + c = 0(a ≠ 0) . Gọi z1 và z2 lần lượt là hai nghiệm của
2

 P = z + z + 1− z + z ≥

phương trình bậc hai đã cho. Tính giá trị của biểu thức P = z1 + z2 + z1 − z2 − 2 ( z1 − z2
2

A. P = 2
B. P =

c

a

2

)

2

c
a
1 c
D. P = .
2 a
C. P = 4

c
a

 Giải:

(

)

(

)

 Ta có: z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z1 − z2 ) z1 − z 2 = 2 z1 + 2 z 2
2

2

2

2

3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 Khi đó: P = 4 z1 z2
c
c
⇒ P = 4 z1 z 2 = 4
a
a
Bài 8: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = 0 và z1 = z2 = z3 = 1 . Mệnh đề nào dưới đây

 Ta lại có: z1 z2 =

đúng?
2
2
2
A. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thuần ảo
2

2

2

2

2

2

2

2

2

B. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số nguyên tố
C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số thực âm
D. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 là số 1
 Chứng minh công thức:


2

2

2

2

2

2

z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3

2

2

 Ta có: z = z.z và z1 + z2 + ... + z n = z1 + z2 + ... + zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái :

(

)

(

)

(

= ( z1 + z2 ) z1 + z2 + ( z2 + z3 ) z2 + z3 + ( z3 + z1 ) z3 + z1

)

= z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z1 + z2 z2 + z3 z3 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z3 + z3 z2 + z3 z1 + z1 z3
2

2

2

(

)

(

)

(

= z1 + z2 + z3 + z1 z1 + z2 + z3 + z2 z1 + z2 + z3 + z3 z1 + z2 + z3

(

= z1 + z2 + z3 + ( z1 + z2 + z3 ) z1 + z2 + z3
2

2

2

2

2

2

= z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3

)

)

2

2

2

2

 Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 3 là số nguyên tố
z z
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn hai điều kiện z = 1 và  +  = 1 ?
z z
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
 Giải:
2

 Ta có: z = 1 = z.z
2
 Đặt z = cos x + i sin x, x ∈ [ 0; 2π ] ⇒ z = cos 2 x + i sin 2 x

1


2
cos 2 x =
2


z
z +z
2
= 1 ⇔ 2 cos 2 x = 1 ⇔ 
 =1 ⇔
z
z.z
cos 2 x = − 1

2
 Giải 2 phương trình lượng giác trên với x ∈ [ 0; 2π ] nên ta chọn được các giá trị
z
  +
z

 π 5π 7π 11π π 2π 4π 5π 
x= ; ;
;
; ;
;
; 
6 6 6 6 3 3 3 3 
 Vậy có 8 số phức thoả 2 điều kiện đề cho

Bài 10: Cho các số phức z1, z2, z3 thoả mãn đồng thời hai điều kiện z1 = z2 = z3 = 1999 và

z1 + z2 + z3 ≠ 0 . Tính P =

z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
.
z1 + z2 + z3
4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
C. P = 999,5
D. P = 5997

A. P = 1999
B. P = 19992
 Giải

 z z + z z + z z   z .z + z .z + z . z 
 P 2 =  1 2 2 3 3 1 ÷ 1 2 2 3 3 1 ÷
z1 + z2 + z3
 z1 + z2 + z3 



19992
z
=

 1
z1


19992
2
 Mặc khác: z1 = z2 = z3 = 1999 ⇔ z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 1999 ⇒  z2 =
z2


19992
 z3 =
z3


 19992 19992 19992 1999 2 1999 2 1999 2
.
+
.
+
.
 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1   z1
z2
z2
z3
z3
z1
2

 Suy ra P = 

÷
2
2
2
1999 1999 1999
 z1 + z2 + z3  
+
+

z1
z2
z3

 P = 1999
 Tổng quát: z1 = z2 = z3 = k ⇒ z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = k z1 + z 2 + z3
Bài 11: Cho số phức z thoả mãn


÷
÷ = 19992
÷
÷


3 − 3 2i
z − 1 − 2i = 3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
1 + 2 2i

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z = 3 = 3i . Tính M.m
A. M .n = 25

B. M .n = 20
C. M .n = 24
D. M .n = 30
 Dạng tổng quát: Cho số phức z thoả mãn z1 z − z2 = r . Tính Min, Max của z − z3 . Ta có

Max =

z2
r
r
z
− z3 +
; Min =
− 2 − z3
z1
z1
z1
z1

 Áp dụng Công thức trên với z1 =

3 − 3 2i
; z2 = 1 + 2i, z3 = 3 + 3i; r = 3 ta được
1 + 2 2i

Max = 6; Min = 4
Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thoả mãn z − 2 + 2i = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z . Tính M .m
A. M .n = 7

B. M .n = 5
C. M .n = 2
D. M .n = 4
1 + 2i
z − 2 = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
2) Cho số phức z thoả mãn
1− i
nhất của z + i . Tính M .m
1
1
A. M .n =
B. M .n =
5
3

C. M .n =

1
10

D. M .n =

1
4
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

3) Cho số phức z thoả mãn

z
− i 4 n +1 = i 4 n với n ∈ ¥ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
i+2

giá trị nhỏ nhất của z − 3 + i . Tính M .m
A. M .n = 20
B. M .n = 15
C. M .n = 24
D. M .n = 30
Bài 12: Cho số phức z thảo mãn z + 1 + z − 1 = 4 . Gọi m = min z và M = max z , khi đó M .n bằng:
A. 2

B. 2 3

C.

2 3
3

D.

3

 Giải:
 Dạng Tổng quát: z1 z + z2 + z1 z − z 2 = k với z1 = a + bi; z2 = c + di; z = x + yi
 Ta có: Min z =

k 2 − 4 z2

2

2 z1
 Chứng minh công thức:

và Max z =

k
2 z1

 Ta có: k = z1 z + z2 + z1 z − z2 ≥ z1 z + z2 + z1 z − z2 = 2 z1 z ⇔ z ≤

k
k
. Suy ra Max z =
2 z1
2 z1

 Mặc khác:

( ax − by + c )

 z1 z + z2 + z1 z − z2 = k ⇔

2

+ ( ay + bx + d ) +
2

( ax − by − c )

2

+ ( ay + bx − d )

2

+ ( ay + bx − d ) = k
2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
k = 1.

( ax − by + c )

2

+ ( ay + bx + d ) + 1.
2

2

( 1 + 1 ) ( ax − by + c ) + ( ay + bx + d ) + ( ax − by − c ) + ( ay + bx − d )
= 4( a + b ) ( x + y ) + 4( c + d )
k − 4( c + d )
k −4 z
=
Suy ra z = x + y ≥
2z

4( a + b )
≤

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



( ax − by − c )

2

2

2




2

2

2

2

2

2

2

2

2

1


42 − 4
m
=


2
= 3
 ADCT trên ta có: z1 = 1; z2 =1; k = 4 ⇒ 
M = 4 = 2

2
2
2
+ iz −
= 4 . Gọi m = min z và M = max z , khi đó
Bài 13: Cho số phức z thoả mãn iz +
1− i
1− i
M .n bằng:
A. 2

B. 2 2

 ADCT Câu 12 ta có: z1 = 1; z2 =

C. 2 3

2
m = 2
;k = 4 ⇒ 
1− i

M = 2

Bài 14: Cho số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z 2 z3 =
2

2

D. 1

1
3
+
i . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2

2

P = z1 + z 2 + z3 .

A. Pmin = 1

C. Pmin = 3
6

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
B. Pmin =

1
3

D. Pmin = 2

 Giải:
 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P ≥ 3 3 z1 2 . z2 2 . z3 2
1
3 ⇔ z z z =1⇔ z z z =1
+
i
1 2 3
1
2
3
2 2
 Suy ra P ≥ 3 . Dấu “=” xảy ra khi z1 = z2 = z3 = 1

 Mặc khác: z1 z2 z3 =

Bài 15: Cho số phức z = x + yi với x, y là các số thực không âm thoả mãn
2

(

P = z2 − z + i z2 − z

2

z −3
= 1 và biểu thức
z − 1 + 2i

)  z(1 − i) + z(1 + i) . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:

A. 0 và -1
C. 3 và 0
B. 3 và -1
D. 2 và 0
 Giải:
z −3
= 1 ⇔ z − 3 = z − 1 + 2i ⇔ x + y = 1

z − 1 + 2i
2

x+ y
1
 P = 16 x y − 8 xy , Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤ 
÷ =
4
 2 
 1
 P = 16t 2 − 8t , t ∈ 0;  ⇒ MaxP = 0; MinP = −1
 4
Bài 16: Cho các số phức z thoả mãn z = 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

2

P = 1 + z + 1 + z 2 + 1+ z3 .

A. Pmin = 1
B. Pmin = 4
 Giải:
 Ta có: z = 1 ⇒ − z = 1

C. Pmin = 3
D. Pmin = 2

(

)

 P = 1 + z + 1 + z 2 + 1 + z3 = 1 + z + −z 1 + z 2 + 1+ z3 ≥ 1 + z − z 1+ z 2 + 1+ z3 = 2
Bài 17: Cho số phức z thoả mãn

6z − i
≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2 + 3iz
1
C. max z =
3

1
2
3
B. max z =
D. max z = 1
4
 Giải:
6z − i

2
2
≤ 1 ⇔ 6 z − i ≤ 2 + 3iz ⇔ 6 z − i ≤ 2 + 3iz
2 + 3iz
A. max z =

( 6 z − i ) ( 6 z − i ) ≤ ( 2 + 3iz ) ( 2 + 3iz ) ⇔ ( 6 z − i ) ( 6 z − i ) ≤ ( 2 + 3iz ) ( 2 + 3iz )
⇔ z. z ≤

1
1
⇔ z≤
9
3
7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 18: Cho z = a + bi, ( a, b ∈ ¡
đúng?

(
P =( z

2

)
− 4)

A. P = z − 2
B.

2

)

2
thoả z + 4 = 2 z và P = 8(b 2 − a 2 ) − 12 . Mệnh đề nào sau đây

2

C. P = ( z − 2 )

2

2

D. P = ( z − 4 )

2

 Giải:
 z 2 + 4 = 2 z ⇔ ( a 2 − b 2 + 4 ) + ( 2ab ) − 4 ( a 2 + b 2 ) = 0
2

2

 Chuẩn hoá b = 0 ⇒ a 4 + 4a 2 + 16 = 0 ⇒ a = −1 − i 3 ⇒ z = −1 − i 3 ⇒ P = 4

2

 Thử đáp án: - ĐÁP ÁN A: P =  −1 − i 3 − 2 ÷ = 4 ⇒ Nhận
2





Bài 19: Cho số phức z thoả mãn z − 2 − 3i = 1 . Gọi M = max z + 1 + i , m = min z + 1 + i . Tính giá trị
2
2
của biểu thức ( M + n ) .

A. M 2 + m2 = 28
B. M 2 + m2 = 24
 Giải:

C. M 2 + m2 = 26
D. M 2 + m 2 = 20

 z − 2 − 3i = 1 ⇔ ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1 (1)
2

2

2
 Đặt P = z + 1 + i ⇒ ( x + 1) + ( y − 1) = P
2

 Lấy (1)-(2) ta được: y =

2

(2) với P > 0

P 2 + 10 − 6 x
. Thay vào (1):
4
2

 P 2 + 10 − 6 x

 ( x − 2) + 
− 3 ÷ = 1 ⇔ 52 x 2 − ( 40 + 12 P 2 ) x + ( P 4 − 4 P 2 + 52 ) = 0
4


 Để PT (*) có nghiệm thì:
2

(*)

∆ = ( 40 + 12 P 2 ) − 4.52. ( P 4 − 4 P 2 + 52 ) ≥ 0 ⇔ 14 − 2 13 ≤ P ≤ 14 + 2 13
2

 Vậy M = 14 + 2 13 , m = 14 − 2 13 ⇒ M 2 + m 2 = 28
1
1
3

Bài 20: Cho số phức z ∈£ * thoả mãn z + 3 ≤ 2 và M = max z + . Khẳng định nào sau đây
z
z
đúng?
C. 2 < M <

A. −1 < M < 2
B. 1 < M <

5
2

7
2

D. M 3 + M 2 + M < 3

 Giải:
3

3

1
1
1
1
1
1
  z + ÷ = z 3 + 3 + 3  z + ÷ ⇔ z 3 + 3 =  z + ÷ − 3  z + ÷
z

z
z
z 
z
z



3

1
1
1


⇔ z + 3 =  z + ÷ − 3 z + ÷ ⇔
z
z
z


3

3

1
1


 z + ÷ − 3 z + ÷ ≤ 2

z
z



8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
3

3

1
1
1
1


−3 z +
 Mặc khác:  z + ÷ − 3  z + ÷ ≥ z +
z
z
z
z


3

1
1
1
 Suy ra: z +
− 3 z + ≤ 2 , đặt t = z + ≥ 0 , ta được:
z
z
z
1
2
 t 3 − 3t − 2 ≤ 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t + 1) ≤ 0 ⇒ t ≤ 2 ⇒ z + ≤ 2 ⇒ M = 2
z

Bài 21: Cho số phức z thoả mãn ( z − 3 + 1) ( 1 − i ) = ( 1 + i )
bằng:
A. ℑ( z ) = 21008 − 1
B. ℑ( z ) = 21008 − 3
 Giải:


2017

. Khi đó số thực ω = z + 1 − i có phần ảo

C. ℑ( z ) = 21008
D. ℑ( z ) = 21008 − 2

( z − 3 + 1) ( 1 − i ) = ( 1 + i )

2017

⇔ ( z − 3 + 1) ( 1 − i ) (1 + i) = ( 1 + i )

2018

1009

1009
( 1 + i ) 2 
2i ]
[

 ⇔z=
+ 3−i =
+ 3 − i = 22008 i + 3 − i
2
( 1 − i ) (1 + i )

 ω = 22008 i + 3 − i + 1 − i = 4 + ( 21008 − 2 ) i ⇒ ℑ( z ) = 21008 − 2

(

)

Bài 22: Cho số phức z thoả mãn 1 − 5i z =

1
< z <2
2

3
< z <3
B.
2
 Giải:
A.

D. 3 < z < 5

( 1 − 5i ) z = 2 z42 +
(

3i + 15

(

)

)

(

) ( z − 3i ) = 2 z42 ⇔ 1 −

⇔ 1 − 5i z − 3i 1 − 5i =


⇔ 1 − 5i

2 42

+ 3i + 15 . Mệnh đề nào dưới đây đúng:
z
5
C. < z < 4
2

2

⇔ 6 z +3 =

(

2 42
z
5i z − 3i =

2 42
z

)

2 42
2
2
⇔ 6 z + 3 . z − 4.42 = 0 ⇔ z = 2
z

Bài 23: Cho ba số phức z, z1, z2 thoả mãn 2 z − i = 2 + iz và z1 − z 2 = 1 . Tính giá trị của biểu thức

P = z1 + z2 .

A. P =

3
2

B. P = 3

C. P = 2
D. P =

2
2

 Giải:
2
2
 Đặt z = x + yi, 2 z − i = 2 + iz ⇒ x + y = 1
 Gọi A, B là hai điểm biểu diễn z1, z2.
9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
uuu
r uuu
r uuu
r
 Ta có z1 − z2 = OA − OB = AB = 1
 Suy ra AB = OA = OB hay tam giác OAB đều.

uuu
r uuu
r
uuuu
r
3
= 3
 P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = 2.
2
Bài 24: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị của biểu
2
2
2
thức P = z1 + z2 + z3 .
A. P = 1
B. P = 0

C. P = −1
D. P = 1 + i

1
3
1
3
+
i, z2 = −
i , z3 = −1 Suy ra P = 0
2 2
2 2
Bài 25: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu

 Giải: Chuẩn hoá z1 =

thức P = z1 + z2 .
A. Pmax = 5 + 3 5

C. Pmax = 4 6

B. Pmax = 2 26
 Giải:
 Ta có: z1 + z2 = 8 + 6i ⇒ z1 + z 2 = 10

D. Pmax = 34 + 3 2

 z + z 2 + z − z 2 = 2 z 2 + z 2 ⇒ 52 = z 2 + z 2 ≥ (
1
2
1
2
1
2
1
2

(

)

z1 + z2

)

2

⇒ z1 + z 2 ≤ 2.52 = 2 26
2
Bài 26: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 0 . Khẳng định nào dưới đây là sai.
3
3
3
3
3
3
A. z1 + z2 + z3 = z1 + z 2 + z3

3
3
3
3
3
3
B. z1 + z2 + z3 ≤ z1 + z 2 + z3

3
3
3
3
3
3
C. z1 + z2 + z3 ≥ z1 + z2 + z3

3
3
3
3
3
3
D. z1 + z2 + z3 ≠ z1 + z 2 + z3

1
3
1
3
+
i , z2 = −
i , z3 = −1 Suy ra đáp án D
2 2
2 2
Bài 27: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
 Giải: Chuẩn hoá z1 =

A. z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

B. z1 + z 2 + z3 > z1 z 2 + z 2 z3 + z3 z1

C. z1 + z2 + z3 < z1 z2 + z2 z3 + z3 z1

D. z1 + z 2 + z3 ≠ z1z 2 + z 2 z3 + z3 z1

1

3
1
3
+
i , z2 = −
i , z3 = −1 Suy ra đáp án A
2 2
2 2
Bài 28: Cho z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 . Biểu thức
 Giải: Chuẩn hoá z1 =

P = z12 n +1 + z22 n+1 + z32 n+1 , ( n ∈ ¢*) nhận giá trị nào sau đây?
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
 Giải: Chuẩn hoá n = 1, z1 = 1, z2 = i, z3 = −i Suy ra đáp án A

Bài 29: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

1
z1 − z2 z1 − z3

+

1
1
+

.
z2 − z1 z2 − z3
z3 − z1 z3 − z2
10

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
A. Pmin =

3
4

1
2
5
=
2

C. Pmin =

B. Pmin = 1

D. Pmin

 Giải:

(

)
+z )(z +z

(
+z )

)

(

 z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 = ( z1 − z2 ) z1 − z2 + ( z2 − z3 ) z2 − z3 + ( z3 − z1 ) z3 − z1
2

2

2

= 9 − ( z1 + z2

3

1

2

)

3

2

= 9 − z1 + z2 + z3
 Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
9
9
9
P≥
≥
=
2
2
2
2
z1 − z2 z1 − z3 + z2 − z1 z2 − z3 + z2 − z1 z2 − z3
z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1
9 − z1 + z2 + z3
9
2
 Do đó: P ≥ = 1 (do z1 + z2 + z3 ≥ 0 )
9
2z − i
Bài 30: Cho ba số phức z thoả mãn z ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
:
2 + iz
3
A. Pmax = 1
C. Pmax =
4
1
B. Pmax =

D. Pmax = 2
2
z = 1
 Giải: Chuẩn hoá: z ≤ 1 ⇒ 
z = 0
2−i
= 1 do đó loại B, C
2+i
−i 1
= do đó loại D, chọn đáp án A
 z =0⇒ P =
2
2
 z =1⇒ P =

2 2
Bài 31: Cho 3 số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 + z2 + z3 = 0 và z1 = z2 = z3 =
. Mệnh đề nào dưới
3

đây đúng?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2
3
8
=
3
=2 2

A. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 =
B. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1
C. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1

D. z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = 1
8
3
z

−
i
≥
3
z
−
2
−
2
i
≤
5
Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thoả mãn
và
. Kí hiệu z1, z2 là hai số
2

2

2

2

2

2

2

 Giải: z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 =

phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức
P = z2 + 2 z1 .

A. P = 2 6
B. P = 3 2

C. P = 33
D. P = 8
11

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
 Giải:
 3 ≤ z − i ≤ z +1 ⇒ z ≥ 2
2
 x 2 + ( y − 1) = 9
⇔ z1 = −2i
o Dấu “=” xảy ra khi:  2
2
 x + y = 4
 z − 2 2 ≤ z − 2 − 2i ≤ 5 ⇒ z ≤ 5 + 2 2

( x − 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 25
4+5 2  4+5 2 
⇔ z2 =
+ 
o Dấu “=” xảy ra khi: 

÷i
2
2
2
2 ÷
 x + y = 33 + 20 2


 P=

4+5 2  4+5 2 
+ 
÷i − 4i = 33
2
2 ÷



Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn z + 1 + i = 2 z + z − 5 − 3i sao cho biểu
thức P = z − 2 − 2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
8+ 7
2
8+ 2
B. ℜ( z ) =
2
 Giải:

4+ 6
2
12 + 2

D. ℜ( z ) =
2

A. ℜ( z ) =

C. ℜ( z ) =

 z + 1 + i = 2 z + z − 5 − 3i ⇔ y = ( x − 2 )

( x − 2)

 P=

2

+ ( y − 2) = y + ( y − 2)
2

2

2

2

3 7
7

= y− ÷ + ≥
2 4
4



 y = 3
4+ 6 3
+ i
 Dấu “=” xảy ra khi: 
2 ⇔ z =
2
2
y
=
x
−
2
(
)

3
Bài 34: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − z + 2 .
A. Pmax =

11
2

B. Pmax = 2 3

C. Pmax =

13
2

D. Pmax = 3 5

 Giải:
Câu 35: Cho phương trình: z 3 + az 2 + bz + c = 0, (a, b, c ∈ ¡ ) . Nếu z1 = 1 + i, z2 = 2 là hai nghiệm của
phương trình thì a + b + c bằng:
1
3
A. z =
B. z =
C. Pmax = 1
D. Pmax = 2
2
4
Bài 37: Cho phương trình: z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d = 0, (a, b, c, d ∈ ¡ ) có bốn nghiệm phức là z1, z2, z3,
z4. Biết rằng z1z2 = 13 + i, z3 + z4 = 3 + 4i , khẳng định nào sau đây đúng?
A. b > 53
B. b < 50
C. b < 55
D. b < 51
Bài 38: Cho số phức z thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 z3 ; z2 + z3 z1 ; z3 + z1z2 là các số thực. Tính

( z1 z2 z3 )

2017

.

A. 1
B. −22017

C. ±1
D. 22017
12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

(

)

Bài 39: Cho số phức z thoả mãn đồng thời z + z = 2 và z + 3 z = 2 + i 3 z . Khẳng định nào sau đây
đúng?
1
< z <2
2
3
< z <3
B.
2

A.

C.

5
< z <4

2

D. 3 < z < 5
4

 z −1 
Bài 40: Cho z1, z2, z3, z4 là nghiệm phức của phương trình: 
÷ = 1 . Tính giá trị của biểu thức
 2z − i 

(

)(

)(

)(

)

P = z12 + 1 z22 + 1 z32 + 1 z42 + 1 ;
18
5
17
B. P = −1
D. P =
9
Bài 41: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C. P =

A. P = 1

P = z 3 + 1 + z 2 + z + 1 . Tính M + m .

A. 2

C. 6
D. 5
z1 + z2
1
= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 42: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn
z1 + z2 2

P=

B. 7

z1 z2
+
.
z1 z2

A. 2
B.0,75
C. 0,5
D. 1
Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc toạ độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn hai số phức z1,
2

2
z2 thoả mãn z1 + z2 = z1 z2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ∆OAB vuông cân tại A
B. ∆OAB đều
C. ∆OAB cân, không đều
D. ∆OAB cân tại A

Bài 44: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 = z2 = z3 =

2
và z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị lớn nhất
2

của biểu thức P = z1 + z2 + 2 z2 + z3 + 2 z3 + z1 .
7 2
3
4 5
=
5

3 6
2
10 2
=
3

A. Pmax =

C. Pmax =

B. Pmax

D. Pmax

 Giải:
2

2

2

2

2

2

2

 z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 =

3
2

 Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

13

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
P = z1 + z2 + 2 z2 + z3 + 2 z3 + z1 ≤

( 1+ 2

2

+ 22

)( z +z
1

2
2

2

+ z2 + z3 + z3 + z1

2

) = 3 26

Bài 45: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
2
biểu thức P = z + 1 + 1 − z . Tính P = M 2 + n 2
A. 12
C. 15
B. 20

D. 18
a
,
b
,
c
,
z
Bài 46: Cho bốn số phức
thoả mãn az 2 + bz + c = 0 và a = b = c > 0 . Gọi

M = max z , m = min z . Tính môđun của số phức ω = M + mi .
A. ω = 2

C. ω = 3

B. ω = 2

D. ω = 1

Bài 47: Cho số phức z thoả mãn z − 1 = 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P = z + i + z − 2 − i . Tính môđun của số phức ω = M + mi .
C. ω = 3 5

A. ω = 2 6

D. ω = 4

B. ω = 4 2
 Giải:

 z − 1 = 2 ⇔ ( x − 1) + y 2 = 2
2

 P = x 2 + ( y + 1) 2 +

( 2 − x)

+ ( y − 1)

2

 P = x 2 + ( y + 1) +

( 2 − x ) + ( y − 1)

2

2

2

2

vecto

( x + 2 − x)

≥

bunhiacopxki

≤

2

+ ( y +1+1− y ) = 2 2
2

2.2 ( x − 1) + y 2 + 2  = 4


2

 ω = 4 + 2 2i = 2 6
3 4
Bài 48: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 + z2 = + i, z1 − z2 = 3 và biểu thức
5 5
3

3

P = 4 z1 + 4 z2 − 3 z1 − 3 z 2 + 5 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính z1 + z 2 .

A. 1
C. 2
3
B.
D. 3
4
 Giải:

 Ta có: z1 + z2 = 1; 3 = z1 − z2 ≤ z1 + z2

(

 z +z 2+ z −z 2 =2 z 2+ z
1
2
1
2
1
2

(

3

 P = 4 z1 + z2

3

) − 3( z

1

2

) ⇒2= z

2

1

+ z2 ) + 5 ≥ ( z1 + z2

+ z2

)

3

2

(z
≥

1

+ z2
2

)

2

⇒ 3 ≤ z1 + z 2 ≤ 2

− 3 ( z1 + z 2 ) + 5

t = 1
3

2
 Xét hàm số: f (t ) = t − 3t + 5, t ∈  3; 2  ; f '(t ) = 3t − 3 = 0 ⇔ 
t = −1
 Do đó min f (t ) = 3 ⇒ min P = 3
 Dấu “=” xảy ra khi z1 + z2 = 1

14

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 49: Cho số phức z thoả mãn z +

3
2
2
= 3 2 . Gọi M = max z và m = min z , tính môđun của số
2

phức ω = M + mi .
A. ω = 4 22

C. ω = 5 10
D. ω = 3 62

B. ω = 7 56
 Giải:

3

z+ =3 2 ⇔
2
4

⇔

z2 + 3
z

2

2

= 18 ⇔

(z

2

(

+ 3) z 2 + 3
z

2

) = 18 ⇔ z

4

(

+3 z + z
z

)

2

2

−6 z +9

2

= 18

2

z −6 z +9
z

2

2

= 18 ⇔ 12 − 3 15 ≤ z ≤ 12 + 3 15

Do đó: ω = 3 62
2

Bài 50: Cho số phức z thoả mãn z − 2 z + 5 = ( z − 1 + 2i ) ( z + 3i − 1) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P = z − 2 + 2i .
1
A. Pmin =
2

C. Pmin = 2

3
2
Bài 51: Cho số phức z thoả mãn z ≥ 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

B. Pmin = 1

biểu thức P =
A.

D. Pmin =

z +i
. Tính giá trị của biểu thức M.n:
z

1
4

C. 1

3

4
2
Bài 52: Chi số phức z thoả mãn z + 4 = 2 z . Gọi M = max z và m = min z , tính môđun của số

B. 2

D.

phức ω = M + mi .
A. ω = 2 3

C. ω = 14

6
2
D. ω =
3
3
2
2
Bài 53: Cho số phức: z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) là số phức thoả mãn hai điều kiện z + 2 + z − 2 = 26 và

B. ω =

biểu thức P = z −
9
4
16
B. xy =
9

A. xy =

3
3
−
i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức (x.y)
2
2
9
C. xy =
2
17
D. xy =
2
15

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 54:Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn z1 z2 z3 =

1
15
−
i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
4

1
1
1
1
+
+
+
.
z1 z2
z3
z1 + z2 + z3

P=

A. Pmin = 6
B. Pmin = 4

C. Pmin = 5
D. Pmin = 3

Bài 55: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn z1 = z2 = 1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = z1 + 1 + z2 + 1 + z1 z2 + 1 . Khẳng định nào sau đây sai?
7
4
11
B. 1 < m <
5

7

2
1
5
D. < m <
4
2

C. 3 < m <

A.

Bài 56: Cho số phức z = a + bi ≠ 0 sao cho z không phải là số thực và ω =

z

z
là số thực. Tính
1 + z3

2

1+ z

2

.

1
3a + 1
2

B.
a+2
 Giải:

1
3a + 2
1
D.
2a + 1

A.

C.

b = 0( Loai )
z
z
2


−
= 0 ⇔ z − z 1− z z + z = 0 ⇔  2 1
 Theo đề:


z =
1 + z3 1 + z3
2a

1

2
z
1
= 2a =

2
2a + 1 2a + 1
1+ z
2a
Bài 57: Cho hai số phức z, ω khác 0 và thoả mãn z − ω = 2 z = ω . Gọi a, b lân lượt là phần thực và

(

phần ảo của số phức u =

)

(

)

z
. Tính a 2 + b2 = ?
ω

1
1
C.
2
8

7
1
B.
D.
2
4
 Giải:
 Chuẩn hoá: ω = 1 . Theo đề bài ta có:
2
2
2
2
 z −1 = 2 z

1
15
1
15
1

( x − 1) + y = 4 x + y
⇔
⇔z= ±
i⇒u = ±
i ⇒ a2 + b2 =

2
8
8
8

8
4
 z − 1 = 1
( x − 1) + y 2 = 1

A.

(

)

16

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao
Bài 58: Cho hai số phức z, ω khác 0 và thoả mãn z − ω = 5 z = ω . Gọi a, b lần lượt là phần thực và
phần ảo của số phức u = z.ω . Tính a 2 + b 2 = ?
1
1
A.
C.
50
100
1
1
B.
D.
25

10
 Giải:
 Chuẩn hoá: ω = 1 . Theo đề bài ta có:
2
2
2
2
 z −1 = 5 z

1 3 11
1 3 11
1

( x − 1) + y = 25 x + y
⇔
⇔z=
±
i⇒u= ±
i ⇒ a2 + b2 =

2
50
50
50
50
25
 z − 1 = 1
( x − 1) + y 2 = 1
Bài 59: Cho số phức ω và hai số thực a, b. Biết rằng ω + i và 2ω − 1 là hai nghiệm của phương trình

(

)

z 2 + az + b = 0 . Tính a + b = ?
5
A.
9
1
B. −
9
 Giải:

C. −
D.

5
9

1
9

3ω + i − 1 = − a
 1 − i − a   2 − 2i − 2a 
⇒
+ i ÷
− 1÷ = b
 Theo định lý Viet ta có: 
3



( ω + i ) ( 2ω − 1) = b  3
2
 2a a 1
 a = −2
− + =b
2

 2a a 1   2
4
5

9
9
3
⇔
− + ÷−  a + ÷i = b ⇔ 
⇔  13 ⇒ a + b = −
9 3  9
9
9
b=
 9
2 a + 4 = 0
9

 9
9
Bài 60: Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = 2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

2

 z1 + z2   z1 − z2 
P=
÷ +
÷
2
2
 2017 + z1 z2   2017 − z1 z2 
1
2
A.
C.
2017
2017 2
2
1
B.
D.
2017
2017 2
Đặt z1 = 2017 ( cos 2 x + i sin 2 x ) và z2 = 2017 ( cos 2 y + i sin 2 y )

z1 + z2
cos 2 x + i sin 2 x + cos 2 y + i sin 2 y
cos( x − y )
=
Ta có: 2017 2 + z z =
2017 ( 1 + cos ( 2 x + 2 y ) + i sin ( 2 x + 2 y ) )  2017 cos( x + y)

1 2
z1 − z2
sin( y − x)
=
Tương tự:
2
2017 + z1 z2 2017 sin( y + x)
Suy ra P =

cos 2 ( x − y )
sin 2 ( y − x)
+
2017 2 cos 2 ( x + y ) 2017 2 sin 2 ( y + x)

cos 2 ( x + y ) ≤ 1
1
1
cos 2 ( x − y ) + sin 2 ( x − y )  =
Vì  2
nên P ≥
2 
2017
2017 2
sin ( x + y ) ≤ 1
17

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải một số bài tập số phức mức độ vận dụng cao

Bài 61: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z 2 = z3 = 1 và

z2
z12
z2
+ 2 + 3 +1 = 0 .
z2 z3 z3 z1 z1 z2

Khẳng định nào sau đây đúng?.
A. z1 + z2 + z3 = 3
C. z1 + z2 + z3 = 2
1
B. z1 + z2 + z3 =
D. z1 + z2 + z3 = 4
3
Bài 62: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 1008 1 + z + 1 + z 2 + ... + 1 + z 2016 + 1 + z 2017

A. 2017
C. 2018
B. 1008
D. 2016
Bài 63: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z3 = 1, z1 + z 2 + z3 ≠ 0 và
z12 + z22 + z32 = 0 . Khẳng định nào sau đây sai?
2017
2017
2017
A. z1 + z2 + z1 = 0

2017

2017
2017
C. z1 + z2 + z1 = 1

2017
2017
2017
B. z1 + z2 + z1 = 3

2017
2017
2017
D. z1 + z2 + z1 = 4

Bài 64: Cho số phức z ∈ ℂ ∖ℝ và ω =
A. 0 < z < 2

1+ z + z2
là số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?.
1− z + z2
C. 1 < z < 3

B. 2 < z < 4

D. 3 < z < 5
Bài 65: Cho ba số phức z1, z2, z3 thoả mãn điều kiện z1 + z2 + z3 = 0 và z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 0 . Tính giá
trị của biểu thức P =
A. 3
1
B.

2

z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
z22

C. 2
1
D.
3

18

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất