Nguyên hàm, tích phân chống casio phân thức và đổi biến mẫn ngọc quang file word

Dạng 1: ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ - MẪU CÓ DẠNG TÍCH
Phương pháp hệ số bất định: Khi mẫu có thể phân tích thành nhân tử
Câu 1: Cho

1
A
B
C
=
+
+
( x + 2 ) ( x − 5) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x − 5) ( x + 4 )

Khi đó tổng S = A + B + C bằng
A. −

1
18

B. 0

C.

1
14

D. −

1
63

Giải
1
A
B
C
=
+
+
( x + 2 ) ( x − 5) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x − 5 ) ( x + 4 )

⇒ A ( x − 5) ( x + 4 ) + B ( x + 2 ) ( x + 4 ) + C ( x + 2 ) ( x − 5 ) = 1
+ ) x = −2 ⇒ −14 A = 1 ⇒ A = −

1
14

1
63
1
+ ) x = −4 ⇒ 18C = 1 ⇒ C =
18
⇒ A+ B +C = 0
+ ) x = 5 ⇒ 63B = 1 ⇒ B =

ĐÁP ÁN B
Bình luận: Bài toán này chung ta sẽ tách phân số ở mẫu số có tích thành phần các phân số
đơn giản hơn. Để làm được điều này ta dùng phương pháo đồng nhất hệ số.
Câu 2: Cho
A. −

1
A
B
C
= +
+
. Khi đó S = 2A + B – C bằng
x ( x − 3) ( x + 3) x ( x − 3) ( x + 3)
1
18

B. 0

C.

1
18

D. −

2
9

Giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


1

A
B
C
= +
+
x ( x − 3) ( x + 3) x ( x − 3) ( x + 3)

⇒ A ( x − 3) ( x + 3) + Bx ( x + 3) + Cx ( x − 3) = 1
+ ) x = 0 ⇒ −9 A = 1 ⇒ A = −

1
9

1
18
1
+ ) x = −3 ⇒ 18C = 1 ⇒ C =
18
2
⇒ 2A+ B − C = −
9
+ ) x = 3 ⇒ 18 B = 1 ⇒ B =

ĐÁP ÁN D
Câu 3: Cho các hằng số A, B, C ∈ R thỏa mãn

2
A
B
C

= +
+
2
x + 3x + 2 x x x + 1 x + 2
3

Khi đó P = A.B.C bằng:
A. 2

C.

1
2

C. 1

D. -2

Giải
2
A
B
C
= +
+
2
x + 3x + 2 x x x + 1 x + 2
⇒ A ( x + 1) ( x + 2 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x + 1) = 2
2

+) x = 0 ⇒ A = 1
+ ) x = −1 ⇒ B = − 2
+ ) x = −2 ⇒ C = 1
⇒ ABC = −2
ĐÁP ÁN D
Câu 4: Cho
A. −

2x + 3
1
1
=A
+B
. Khi đó tổng S = A + B + C bằng:
2
2x − x −1
2x + 1
x+C
1
3

B.

1
3

C.

2
3

D. −

2
3

Giải
2x + 3
2x + 3
5 1 
 4 1
=
= − .
+ .
2
2 x − x − 1 ( 2 x + 1) ( x − 1)  3 2 x + 1 3 x − 1 
4
5
2
⇒ A = − , B = , C = −1 ⇒ S = A + B + C = −
3
3
3
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


ĐÁP ÁN D
Dạng 2: NHẢY LẦU
1 − x5

dx có dạng I = a ln x 5 + b ln 1 + x 5  + C
Câu 6: Nguyên hàm của hàm I = ∫


x ( 1 + x5 )
Khi đó S = 10a + b bằng
A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Giải

( 1 − x ) x dx = 1 ( 1 − x ) d ( x ) = 1  1 − 2
I =∫

5 ∫ x (1+ x )
5 ∫  x 1+ x
x (1+ x )
5

5

4

5

5

5

5

5

5

5


5
÷d ( x )


1
= ln x 5 − 2 ln 1 + x 5  + C
5
1
Suy ra a = ; b = −2 ⇒ 10a + b = 0
5

ĐÁP ÁN C
Câu 7: Cho I = ∫

5 − 3x
a
x−b

dx =
− ln
+C
2
x −1
x−2
( x − 5x + 6 ) ( x − 2 x + 1)
2

Khi đó P = 2a + b bằng:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải
Ta có:

( x − 5x + 6 ) − ( x − 2 x + 1) dx =
I =∫
∫x
( x − 5x + 6 ) ( x − 2 x + 1)
2

2

2

=∫

2

dx

( x − 1)

2

−∫

0

dx
dx
−∫ 2
2
− 2 x + 1 1 x − 5x + 6

dx
( x − 2 ) ( x − 3)

1 
−1
x−3
2
 1
I = ∫ ( x − 1) dx − ∫ 

−
− ln
+C
÷dx =
x −1
x−2
 x −3 x−2
Suy ra a = −1, b = 3 ⇒ P = 2a + b = 1
ĐÁP ÁN B
1
a
2
Câu 8: Cho I = ∫ x 3 1 + x 2 dx = x 2 + b ln x + c ln ( 1 + x )
(
)

Khi đó S = a + b + c bằng
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


A. -2

B. -1

C. 0

D.

1

2

Giải

( 1 + x ) − x dx =  1 + 1  dx
I =∫
∫  x x (1+ x ) 
x (1+ x )


 1 (1+ x ) − x 
x 
 1 1
= +
 = ∫ − +
÷dx
x 1+ x 
x ( 1 + x ) 
x
 x
1 d (1+ x )
1
1
 1 1
= ∫  − ÷dx + ∫
=−
− ln x + ln ( 1 + x )
x
2
1+ x

2x
2
x
2

2

3

3

2

2

3

2

2

3

2

2

2

2

3

2

2

1
1
⇒ a = − , b = −1, c = ⇒ S = −1
2
2
a
= 2 + b ln x + c ln ( 1 + x 2 )
x
ĐÁP ÁN B
Câu 9. Cho I = ∫

x2 + 1
1
dx = a ln x + 1 + + b ln x + c . Khi đó P = 2(a + b)c bằng
2
x ( x + 1)
x

A. 2

B. -2

C. 1

D. 0

Giải
I =∫

 1
x 2 + ( x + 1) − x
x2 + 1
1
1
dx
=
dx = ∫ 
+ 2−
2
2
∫
x ( x + 1)
x ( x + 1)
x ( x + 1)
 x +1 x


÷dx


1 1
1 
1 1

 1
 2
= ∫
+ 2 − −
+ 2 −  dx
÷ = 2 ∫ 
x
 x +1 x
 x + 1 x  x x + 1 
1
= 2 ln x + 1 − ln x
x
⇒ a = 2, b = −1, c = 0 ⇒ P = 0
ĐÁP ÁN D
2

Câu 10. Tính tích phân I = ∫
1

A.

2
3

1
x ( x + 1)
B. −

2

dx = ln a + b . Khi đó S = a + 2b bằng:

2
3

C. 1

D. -1

Giải
2

I =∫
1

1
x ( x + 1)

2

dx = ∫
2
1

x +1− x

x ( x + 1)

2

dx = ∫
2
1

1
x ( x + 1)

2

dx − ∫
2
1

1

( x + 1)

2

dx

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


2

2

2

1 
x
4 1
−2
−1 2
1
+ ( x + 1)
= ln −
Suy ra I = ∫  −
÷dx = ∫ ( x + 1) dx ( x + 1) = ln
1
x x +1
x +1 1
3 6
1
1
4
1
⇒ a = ;b = − ⇒ S = 1
3
6

ĐÁP ÁN D
Câu 11: Nguyên hàm của f ( x ) =
F ( x) =

1
có dạng
x + x5

3

a
1
− ln x 2 + bx + 1 + ln ( x 2 + c ) + C
2
x
2

Khi đó P = (a + b + 2c)b4 bằng
A. 1

B.

1
2

C. −

1
2

D. 0

Giải

Ta có

Vậy

1 + x2 ) − x2 1
(
1
1
f ( x) = 3
= 3
= 3−
5
2
x +x
x
x (1+ x )
x ( 1 + x2 )

2
2
1 (1+ x ) − x
1 1
x
= 3−
= 3− +
2
x
x
x 1 + x2
x (1+ x )

dx

∫ f ( x ) dx = ∫ x − ∫

3

dx
xdx
−1
1
+∫
= 2 − ln x + ln ( x 2 + 1) + C
2
x
1+ x
2x
2

1
⇒ a = − , b = 0, c = 1 ⇔ P = 0
2

ĐÁP ÁN D
1

Câu 12: Cho I = ∫
0

xdx
= a + b ln c . Biết b + c = 1
x +1

Với b, c < 3. Khi đó S =
A. 0

a2
c
+ b2016 − bằng:
4
2

B. -1

C.

1
4

D.

1
2

Giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


1

I =∫

( x + 1) − 1 dx = 1  1 −

0

∫ 

x +1

0

1
1 
÷dx =  x − ln ( x + 1)  0 = 1 − ln 2
x +1

⇒ a = 1; b = −1, c = 2 ⇒ S =

a2
c 1
+ b 2016 − =
4
2 4

ĐÁP ÁN C
1
2

b
x4
1
Câu 13: Cho I =

. Khi đó S = 24a − − 12 bằng
=
a
−
ln
b
∫0 x 2 − 1
3
2

A. 0

B. -1

C. 1

D.

1
2

Giải
1
2

1

1

2 4

2
x4
x −1+1
1 

I =∫ 2
=∫ 2
dx = ∫  x 2 + 1 + 2
÷dx
x −1 0 x −1
x −1
0
0
1
2

x

13 1
=  + x + ln x 2 − 1  =
− ln 3
3
 0 24 2
3

⇒a =

13
b
, b = 3 ⇒ S = 24a − − 12 = 0

24
3

ĐÁP ÁN A
Dạng 3: MẪU SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC BÌNH PHƯƠNG

3x 2 + 3x + 5
A
B
C
=
+
Câu 14: Cho 3
. Khi đó S = A – B – C bằng:
2 +
3x − 3x + 2 ( x − 1)
x −1 x + 2
A. 1

B.

2
3

C.

5
8

D. −

5
8

Giải
3x 2 + 3x + 5
A
B
C
=
+
+
2
3
3x − 3 x + 2 ( x − 1)
x −1 x + 2
⇒ A ( x + 2 ) + B ( x − 1) ( x + 2 ) + C ( x − 1) = 3x 2 + 3x + 5
2

11
3
11
+ ) x = −2 ⇒ C =
9
+) x = 1 ⇒ A =

Tính tổng các hệ số không có x, rồi đồng nhất 2 vế ta có
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất

+ ) A + B − 2C = 5 ⇒ B =
⇒

A

( x − 1)

2

+

16
9

B
C
11
16
11
+
=
+
+
2
x + 1 x + 2 3 ( x − 1)
x +1 x + 2

⇒ A− B −C =

2
3

ĐÁP ÁN B
Câu 14. Nguyên hàm của y =

a
3x 2 + 3x + 5
+ b ln x − 1 + c ln x + d + C
có dạng f ( x ) =
3
x −1
3x − 3x + 2

Biết a, c < 0. Chọn nhận định đúng
A.

a
−b = 0
3

B. a + b + c + d = 3

C. ab < cd

D. b + c = 3

Giải
 11
 3 x 2 + 3x + 5 

16
11
⇒ ∫ 3
dx
=
+
+

÷
2
∫
 3 ( x − 1)
9 ( x − 1) 9 ( x + 2 )
 3 x − 3x + 2 

=


÷dx
÷


11
16
11
+ ln x + 1 + ln x + 2 + C
3 ( x + 1) 9
9

⇒a=−

11
16
11
,b = ,c = ,d = 2
3
9
9

ĐÁP ÁN D
3x + 1
A
B
C
Câu 15. Cho 4 x 3 + 28 x 2 + 65 x + 50 = x + 2 + 2 x + 5 +
5
( 2 x + 5)
Khi đó S = 2A + B – C bằng
A. 10

B. 13

C. -13

D. -10

Giải
Ta phân tích
3x + 1
A

B
C
=
+
+
2
4 x + 28 x + 65 x + 50 x + 2 2 x + 5 ( 2 x + 5) 5
3

⇔ 3 x + 1 = A ( 2 x + 5 ) + B ( x + 2 ) ( 2 x + 5) + C ( x + 2 )
5

5
Cho x = −2; − ;0
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


 A = −5

Ta được  B = 10 ⇒ S = −13
C = 13

ĐÁP ÁN C
Câu 16. Cho A, B, C thỏa mãn

1

( x + 1) ( x + 2 )

2

=

−A

( x + 2)

2

+

B
C
+
x +1 x + 2

Tính S = 2A + B + 2C
A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

Gợi ý
Đồng nhất ta được A = B = 1, C = -1

Dạng 4: BẬC TỬ SỐ LỚN HƠN MẪU
Chúng ta thường thực hiện phép chia cho đa thức rồi tiếp tục tiến hành với phần dư
2

Câu 17: Cho

∫
1

x2 + x + 1
= a + ln b
x +1

Chọn mệnh đề đúng
2 2
B. 2a − b + b = 0
3

A. a > 2b

C. a = b

D. a < b

Giải
2

2

2

2
2
 x2

x2 + x + 1
1 
1

∫1 x + 1 = ∫1  x + x + 1 ÷ dx = ∫1 xdx + ∫1 x + 1 dx =  2 + ln x + 1 ÷
1

1
3
3
− ln 2 = + ln
2
2
2
3
3
⇒ a = ;b = ⇒ a = b
2
2
= 2 + ln 3 −

ĐÁP ÁN C
4x2 + 4x + 3
2
Câu 18: Tìm hàm số f ( x ) = x + ax + ln bx + 1 + c biết f ' ( x ) =
và f(0) = 1

2x + 1
Khi đó S = ( 2a − b ) c bằng
3

A. 0

B. 1

C.

2
3

D. 4

Giải
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


Ta có f ( x ) = ∫

4 x2 + 4 x + 3
2 

2
dx = ∫  2 x + 1 +
÷dx = x + x + ln 2 x + 1 + c
2x + 1
2x +1 



2
Mà f ( 0 ) = 1 ⇒ c = 1 ⇒ x + x + ln 1x + 1 + 1

⇒ a = 1, b = 2, c = 1 ⇒ S = ( 2a − b ) c
3

ĐÁP ÁN A
1

Câu 19. Cho I = ∫
0

x 3 + 3x 2 − x − 3

(x

2

+ 2 x + 3)

A. 2

2

dx = a ( ln b − 1) . Khi đó (2a + b) bằng

B. 3

C.

1
3

D.

2
3

D.

1
2

Giải
3
2
2
Ta có x + 3 x − x − 3 = ( x + 1) ( x + 2 x − 3)

1
2
Đặt t = x + 2 x + 3 ⇒ dt = ( x + 1) dx
2

Đổi cận x = 0 ⇒ t = 3, x = 1 ⇒ t = 6
6

6

6

1 t −6
1 1 6 
1
6
1
Khi đó I = ∫ 2 dt = ∫  − 2 ÷dt =  ln t + ÷ = ( ln 2 − 1)
23 t
2 3t t 
2
t 3 2
1
⇒ a = , b = 2 ⇒ ( 2a + b ) = 3
2

ĐÁP ÁN B
1

Câu 20. I = ∫
0

( x + 1)

2

x +1
2

dx = a + ln b . Khi đó S =

1
3

A.

B.

a
b

2
3

C. −

1
3

Giải
1

1

1

1

x2 + 1 + 2 x

2x 
2x

I4 = ∫
dx = ∫  1 + 2
dx
÷dx = ∫ dx + ∫ 2
2
x +1
x +1
x +1
0
0
0
0
1

1

0

0

= ∫ dx + ∫

2 ( x 2 + 1)
x2 + 1

⇒ a = 1, b = 2 ⇒

(

dx = x + ln ( x 2 + 1)

)

1
0

= 1 + ln 2

a 1
=
b 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


ĐÁP ÁN D
1

x3 − 3
c
dx = a + ( b + 5) ln b − c ln . Khi đó P = a.b.c bằng
2
x − 2x − 3
2

Câu 21. Cho I = ∫

0

A. 32

B. 30

C. 26

D. -26

Giải
1

1

x3 − 3
7x + 3 

I =∫ 2
dx = ∫  x + 2 + 2
÷dt
x − 2x − 3
x − 2x − 3 
0
0
1


6 ( x + 1) + x − 3 
6

1 
= ∫x +2+
+
÷dt = ∫  x + 2 +
÷dt
( x + 1) ( x − 3) 
( x − 3) x + 1 
0
0
1

1

 x2

5
=  + 2 x + 6ln x − 3 + ln x + 1 ÷ = + 7 ln 2 − 6ln 3
 2
0 2
5
⇒ a = , b = 2, c = 6 ⇒ P = 30
2
ĐÁP ÁN B
2

2

2

2

dx
B 
A
Câu 22. Cho I = ∫ x ( x + 1) = ∫  x + x + 1 ÷
 . Khi đó S = (2A + B).I bằng
1
1

A. 2

B.

2
ln 2
3

C.

2
3

D. ln2

Giải
Ta có

Nên

( A + B) x + A ⇒  A + B = 0 ⇔  A = 1

1
A
B
= +
=


x ( x + 1) x x + 1
x ( x + 1)
A =1
 B = −1
1
1
1
= −
x ( x + 1) x x + 1
2

2

2

dx
dx
dx
2
Suy ra I = ∫ x ( x + 1) = ∫ x − ∫ x + 1 = ln x 12 − ln ( x + 1)
1
1
1

2

2

2
1
2

= ln 2

2

Vậy S = (2A + B).I = I = ln2
ĐÁP ÁN D
Câu 23. Cho I = ∫

dx
B 
 A
= ∫
+
÷
2x − x − 1
 x −1 2x +1
2

Khi đó P = (2A + B) bằng
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất

A. 1

B.

3
2

C. 3

D. 0

Giải
I =∫

dx
dx
( 2 x + 1) − 2 ( x − 1) dx
=∫
=∫
2x − x − 1
( x − 1) ( 2 x + 1)
( x − 1) ( 2 x + 1)
2

1 1
2 
1
2
=∫ 

−
÷dx = ln x − 1 − ln x − 1 + C
3  x −1 2x +1
3
3
1
2
Khi đó A = , B = − ⇒ 2 A + B = 0 ⇒ P = 0
3
3

ĐÁP ÁN 4
Câu 24. I = ∫

4x − 3
a
dx = ( ln x − a + b ln cx + 1 ) + C . Khi đó S = + c bằng
2 x − 3x − 2
b
2

A. 2

B. -2

C. 4

D. 3

Giải

I =∫

( 2 x + 1) + 2 ( x − 2 ) dx =  1 + 2  dx
4x − 3
dx = ∫
∫  x − 2 2 x + 1 ÷
2 x − 3x − 2
( 2 x + 1) ( x − 2 )
2

2 
 1
= ∫
+
÷dx = ( ln x − 2 + 2 ln 2 x + 1 ) + C
 x − 2 2x +1
a
⇒ a = 2, b = 2, c = 2 ⇒ S = + c = 3
b
ĐÁP ÁN D
Câu 25. Cho I = ∫

4 x3 − 2 x2 + 2 x + 2
dx = ax 3 + x + b ln 2 x − 1 + C
2x −1

Và các mệnh đề
(1) a < b
(2) S = a + b =

16
3

(3) a, b là các số nguyên dương
(4) P = ab = 1
Số mệnh đề đúng là
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


I =∫

 2 x3

4 x3 − 2 x2 + 2 x + 2
3 
3

dx = ∫  2 x 2 + 1 +
dx
=

+ x + ln 2 x − 1 ÷+ C
÷

2x −1
2x − 1 
2

 3


2
3
⇒ a = ,b =
3
2

(1) Đúng
(2) S = a + b =

16
. Đúng
3

(3) a, b là các số nguyên dương. Sai
(4) P = ab = 1. Đúng
ĐÁP ÁN D
x 3 − 3x 2 − x + 6
x−3 

dx =  ax 2 + x + b ln

+C
Câu 26. I = ∫
2
x − 4x + 3
x −1 ÷


Và các mệnh đề sau:
(1) a = 1, b =

3
2

(2) S = a + b = 2
(3) a > b
(4) P = ab =

3
2

Số mệnh đề sai là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải

I =∫

x 3 − 3x 2 − x + 6
dx
x2 − 4x + 3


3
3
= ∫  x +1+
−
2 ( x − 3) 2 ( x − 1)

1
3
⇒ a = ,b =
2
2
(1) a = 1, b =


 x2
3 x−3 
dx
=
÷
 2 + x + 2 ln x − 1 ÷+ C




3
. Sai
2

(2) S = a + b = 2. Đúng
(3) a, b không phải số nguyên. Sai
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


3
. Sai
2

(4) P = ab =
ĐÁP ÁN D
Câu 27. Cho I = ∫

8x3 − 4 x 2 − 2
1 

dx =  ax 2 + x + b ln 2 x − 1 +
÷+ C
2
4x − 4x + 1
2x − 1


Và các mệnh đề sau:

(1) Modun của số phức z = 2a + 2bi bằng

5

(2) S = a + b = 2
(3) a > b
(4) P = ab =

3
2

Số mệnh đề đúng là:
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải
I =∫

8x3 − 4 x2 − 2
2x − 3 

dx = ∫  2 x + 1 + 2
÷dx
2
4x − 4x + 1

4x − 4x + 1 


1 

=  x 2 + x + ln 2 x − 1 +
÷+ C
2x −1 

⇒ a = 1, b = 1

( 2a )

(1) Sai z =

2

+ ( 2b ) = 4 + 4 = 8
2

(2) S = a + b = 2 Đúng
(3) a, b không phải là số nguyên. Sai
(4) P = ab =

3
. Sai
2

ĐÁP ÁN B
1

Câu 28. I = ∫
0

( x + 1) dx = a + ln b
x2 + 1

. Cho các mệnh đề sau:

(1) a = b

(2) S = a3 + 2b2 = 6

(3) I > ln(ab)

(4) log 1 2 không tồn tại
a

Số mệnh đề đúng là:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải
1

I4 = ∫
0

( x + 1) dx = 1  1 +

∫ 

x2 + 1

1

1

0

0

0

d ( x + 1)
2

= ∫ dx + ∫

x2 + 1

1

1

2 
2x
÷dx + ∫ dx + ∫ 2 dx
2
x +1
x +1
0
0

(

= x + ln ( x 2 + 1)

)

1
0

= 1 + ln 2

⇒ a = 1, b = 2
(1) a = b. Sai
(2) S = a3 + 2b2 = 9. Sai
(3) I > ln(ab) = ln1 + ln2 = 0 + ln2. Đúng
(4) Đúng vì cơ số 1 không tồn tại
ĐÁP ÁN C

LUYỆN TẬP
1

Câu 1: Cho I1 = ∫
0

x3
dx = ln a + b ln c . Chọn đáp án đúng
x 4 + 3x 2 + 2

A. a + b + c =

5
2

B. a =

C. (b + 2c)(c + 2a)(a + 2b) > 1
2

Câu 2: Cho

1

1 3c
=
b 2

D. a > c > b

5

∫ x ( 1 + x ) dx = a + b ln 8 . Chọn đáp án đúng
3

2

1

A. a + b =

7
2

C. ( 5a − 3b ) =
1

Câu 3. Cho I = ∫
0

A. b + c =

B. 4a = 3b
8
27

D. ab =

3
18

x3
dx = ln 3 + b ln 2 + c . Chọn đáp án đúng
x 4 + 3x 2 + 2
3
4

B. -2b = c

C. bc = 0

D. b, c là các số nguyên
2

Câu 4: Cho I = ∫
0

2

2x + 3
B 
 A
dx = ∫ 
+
÷. Khi đó I.(A + B) bằng
2
x + 4x + 3
x +1 x + 3
0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


A. 2 + ln

125
3

B. 2 ln

0

Câu 5: Cho I =

∫ 2x

−1

2

125
3

C. ln

125
9

D.

1 125
ln
2
9

dx
1
= a − ln b
+ x−3
5

Và các mệnh đề sau:
(1)
(2)
(3)
(4)

Modun của số phức z = 2a + 5bi bằng 30
S=a+b=7
a>b
P = ab = 6

Số mệnh đề đúng là
A. 0

B. 1

Câu 6: Cho I = ∫
(1)

(2)
(3)
(4)

C. 2

D. 3

4x − 5
dx = ( ln x + a + b ln x + c ) + C
x − x−2
2

Modun của số phức z = ( a + b ) + ci bằng 2 2
S = a+b+c = 2
c>b>a
a, b, c là các số thực dương

Số mệnh đề sai là
A. 0

B. 1
2

C. 2

D. 3

2

3x + 2
A
B
dx = ∫
+
dx
Câu 7: I = ∫ 2
4x − 4x + 1
2 x − 1 ( 2 x − 1) 2
1
1
Khi đó P = A.B bằng
A. ln3
Câu 8: I = ∫

B.

3
ln 2
2

C. ln2

D.

21
4

dx
B

C 
 A
= ∫
+
+
dx
2
( x + 1) ( 4 x + 8 x + 3)  x + 1 2 x + 1 2 x + 3 ÷

Khi đó P = (A + B + C).I bằng

(

)

2
A. −2 ln x + 1 + ln 4 x + 8 x + 3 + C

1


2
B.  − ln x + 1 + ln 4 x + 8 x + 3 ÷+ C
2



1

2

C.  ln 4 x + 8 x + 3 ÷+ C
2


2
D. ln 4 x + 8 x + 3 + C

Câu 9: Tìm nguyên hàm của

∫x

2

(

)

x+3
B 
 A
dx = ∫ 
+
÷dx
+ 3x + 2
 x +1 x + 2 

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất

Khi đó S = A + B bằng
A. 0

B. 1
1

C. 2

D.

1
2

1

2x + 1
B 
−6ln a − ln b
 A
dx = ∫ 
+
÷dx =
2
4 − 9x
2 − 3x 2 + 3x 
12
0
0

Câu 10: Tính I = ∫

Khi đó P = ( A + B ) ( a + 2b )
A.

2
3

B. 3

C.

5
2

D. 6

3x 2 + 3x + 3
Câu 11: Cho f ( x ) = 3
x − 3x + 2
a) Xác định các hằng số A, B, C để f ( x ) =

A

( x − 1)

2

+

B

C
+
x −1 x + 2

A. A = 3, B = 1, C = 2

B. A = 1, B = 2, C = 3

C. A = 2, B = 1, C = 3

D. A = 3, B = 2, C = 1

b) Tìm nguyên hàm của f(x)
A.

3
+ 2 ln x − 1 + ln x + 2 + C
x −1

B.

3
− 2 ln x − 1 + ln x + 2 + C
x −1

C.

−3
− 2 ln x − 1 + ln x + 2 + C
x −1

D.

3
+ 2 ln x − 1 + ln x + 2
x −1

Câu 12: Nguyên hàm của

8 − 2x
= a ln x − 1 − b ln x + 5 + C
x + 4x − 5
2

Tính S = a + b
A. 1

B. 2
1

Câu 13: Để

∫x
0

2

C. 4

D. -2

C. 2

D. 3

C. 2

D. 3

ax.dx
9
= ln
+ 3x + 2
8

Khi đó a bằng
A. 4

B. 1
2

Câu 14: Tìm a để
A. 4

x2 + x + a
3
3
∫1 x + 1 dx = 2 + ln 2
B. 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


2

Câu 15: Tính I = ∫
0

2

2x + 3
B 
 A
dx = ∫ 
+
÷
2
x + 4x + 3
x +1 x + 3
0

Khi đó P = A.B.I bằng
A.

3 125
ln
4
9

B.

3 125
ln
2
9

Câu 16: Tìm hàm số f(x) biết f ' ( x ) =

C.

3 125
ln
8
9

D. ln

125
9

4x2 + 4x + 3
và f(0) = 1
2x + 1

2
A. x + x + ln 2 x + 1

2
B. x + x + ln 2 x + 1 + 1 + C

2
C. x + x + ln 2 x + 1 + 1

2
D. x + x − ln 2 x + 1 + 1

1

1

4x − 2
Bx + C 
 A
dx = ∫ 
+ 2
Câu 17: Tính tích phân I = ∫ 3
÷dx = a + ln b
2
x + 2x + x + 2
x + 2 x +1 
0
0

Khi đó bằng
B. ln

A. 0

4

9

C. 1

D. −2 ln

4
9

Câu 18: Tìm A, B, C

dx

∫ ( x + 1) ( x + 2 )

2

=

A
C 
 B
+ ∫
+
÷dx
x+2
 x +1 x + 2 

A. A = B = 1, C = −1

B. A = B = C = 1

C. A = B = 2, C = −1

D. A = B = C = −1
Giải

Câu 1:
ĐÁP ÁN D
Câu 2:
ĐÁP ÁN D
Câu 3:
ĐÁP ÁN C
Câu 4:
ĐÁP ÁN C
Câu 5:
– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


ĐÁP ÁN B
Câu 6:
ĐÁP ÁN D
Câu 7:
ĐÁP ÁN D
Câu 8:
ĐÁP ÁN B
Câu 9:
ĐÁP ÁN B
Câu 10:

ĐÁP ÁN D
Câu 11:
ĐÁP ÁN D
ĐÁP ÁN C
Câu 12:
ĐÁP ÁN C
Câu 13:
ĐÁP ÁN B
Câu 14:
ĐÁP ÁN B
Câu 15:
ĐÁP ÁN C
Câu 16:
ĐÁP ÁN C
Câu 17:
ĐÁP ÁN A
Câu 18:
ĐÁP ÁN A

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


ĐỔI BIẾN
Câu 6: Cho I = x x 2 + 3dx =
∫
A. 2018

(x

2

+ 3)

b
2
+ C . Tính S = log b a + log a b + 2016 ?

a

B. 2020

C. 2025

D. 2030

Giải
Đặt t = x 2 + 3 ⇒ t 2 = x 2 + 3 ⇒ 2tdt = 2 xdx ⇒ xdx = tdt
3
x 2 + 3)
Suy ra I = t.tdt = t dt = t + C = (
+C
∫
∫
3
3
3

2

2
Vậy S = log b a + log a b + 2016 = 2018

Bình luận: Khi có căn x 2 + 3 ta sẽ tìm cách đặt t = x 2 + 3 . Tiếp đó ta biến đổi các
phần còn lại theo t, kể cả dx cũng biểu diễn theo dt xdx = tdt
Câu 7: Cho I = ∫
A.

1
2

dx
= 2 x − 1 − ln
2x −1 + 4

(

)

n
 n.π 
2 x − 1 + 4 + C . Tính S = sin 
÷
 8 

B. 0

C. 1

D. -1

Giải
Chọn C
Đặt t = 2 x − 1 ⇒ t 2 = 2 x − 1 ⇒ tdt = dx
⇒I =∫

tdt
4 

= ∫ 1 −
÷dt = t − 4 ln t + 4 + C = 2 x − 1 − ln
t+4
 t+4

 n.π
Vậy n = 4 vậy S = sin 
 8

A. 4 và 3

1
a

)

4

2x −1 + 4 + C



÷= 1


2 x − 1 ta đặt t = 2 x − 1 , sau đó vẫn như thói quen,

Bình luận: Việc xuất hiện căn
ta biểu diễn dx theo dt: tdt = dx
2
Câu 8: Cho I = ∫ x 3x + 1dx =

(

( 3x

B. 9 và 3

2

+ 1) + C . Giá trị a, b lầu lượt là
2

C. 3 và 9

D. 4 và 9

Giải
Chọn B

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất

1
2
Đặt t = 3 x + 1 ⇒ 2tdt = 6 xdx ⇒ tdt = xdx
3
2

2

I=

1 2
1
7
t dt = t 3 =
∫
31
9 1 9
2

1
1
1
I = ∫ t 2 dt = t 3 + C =
31
9
9

( 3x

2

+ 1) + C
2

Vậy a = 9, b = 3
Bình luận: Việc xuất hiện căn
quen, ta biểu diễn dx theo dt

3 x 2 + 1 ta đặt t = 3 x 2 + 1 , sau đó vẫn như thói

Câu 9: Cho A = ∫ x 5 1 + x 2 dx = at 7 + bt 5 + ct 3 + C , với t = 1 + x 2 . Tính A = a – b – c
A.

12
79

B.

95
103

22
105

C.

D.

48
109

Giải
Chọn C
Đặt t = x 2 + 1 ⇒ x 2 = t 2 − 1 ⇒ tdt = xdx
A = ∫ ( t 2 − 1) t 2 dt = ∫ ( t 6 − 2t 4 + t 2 ) dt =
2

t7 2 5 t3
− t + +C
7 5
3

1
2
1
⇒ a = ;b = − ;c =
7
5
3
22
⇒ a−b−c =
105
π
2

Câu 10: Cho I = ∫
π
3

Tính A =
A. 30

(

)

sin x
1
2
dx =
ln a + 4 3 + ln b + 2 2 + 1 −
3
sin x 1 + cos x
2 2
2

15
( a + b)
2

B. 24

C. 36

D. 75

Giải
Chọn D

Đặt t = 1 + cos x ⇒ t 2 = 1 + cos x ⇒ 2tdt = − sin xdx

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


π
2

I =∫
π
3

)

(

sin x
1
2
dx =
ln a + 4 3 + ln b + 2 2 + 1 −
3
sin x 1 + cos x
2 2
2

t = 1 + cos x ⇒ t 2 = 1 + cos x ⇒ 2tdt = − sin xdx
x=

π
3
π
⇒t =
,x = ⇒ t =1
3
2
2
1

C=

∫

3
2

1

  1
1 
=
dt = 2  ∫  2
− ÷dt
t − 2 t2  
1 − ( t 2 − 1) 2  ∫3 t 2 ( t 2 − 2 )
3





2
 2

1

−2tdt

2

 1  t − 2  t
= 2
+
 ln
÷
÷ 
 2 2  t + 2  t 
=

1

=
3
2

1
2 2

ln

( 2 + 3) (
( 2 − 3) (

)
2 + 1)
2 −1

+1−

2
3

1 
2
 ln t + 4 3 + ln 3 − 2 2 + 1 −
÷ ⇒ a = 7, b = 3
3
2 2

(

)

3

Câu 11: Cho I =

(

)

1 + x2
11
dx = a + ln b − b ln 3 . Tính ( a + b − 3)
2
2

∫
1

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Giải
Đặt t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ tdt = xdx và x :1 → 3 thì t : 2 → 2
3

Khi đó I =

∫
1

1 + x2
xdx =
x2

2

t
∫ t 2 − 1 tdt =
2

2

t2 −1 + 1
∫ t 2 − 1 dt =
2

2

1 
 1 1
 1 t −1 
= ∫ 1 + 
+
÷ dt =  t + ln
÷
2  t − 1 t + 1 
 2 t +1 
2
⇒ a = 2 − 2, b = 2 + 1 ⇒

2

2

2

= 2 − 2 ln
2



∫ 1 + t

(

2

1 
÷dt
−1

)

1
2 + 1 − ln 3
2

11
( a + b − 3) = 0
2

Bình luận: Việc xuất hiên căn

1 + x 2 ta đặt t = 1 + x 2 , ta tiếp tục công việc biểu

1 + x2
1 + x2
=
x và dồn về ẩn t, có xdx = tdt. Kinh nghiệm cho thấy khi có căn bậc 2
x
x2
ta cứ đặt căn đó bằng một biến t rồi kiên trì biến đổi là giải được bài toán.
diễn

1

Câu 12: Cho I = ∫
0

A. 3

2+ a 
= 2 ln 
÷ . Tính A = a+ b
x2 + 4x + 3
 1+ b 
dx

B. 2

C. 5

D. 7

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


Giải
Chọn C
Đặt t = x + 1 + x + 3
1
x +1 + x + 3
 1

dt = 
+
dx = t
÷dx =
2 ( x + 1) ( x + 3)
2
 2 x +1 2 x + 3 
⇔

dx

( x + 1) ( x + 3)

=

dx

( x + 1) ( x + 3)

2dt
t

Và x : 0 → 1 thì t :1 → 1 + 3 → 2 + 2
Khi đó I 4 = 2

2+ 2

∫

1+

dt
= 2 ln t
t
3

2+ 2
1+ 3

2+ 2 
= 2 ln 
÷ ⇒ a = 2, b = 3
 1+ 3 

2

x2
I

=
4
+
Câu 13: Cho tích phân
∫a  1 + x 3

A. 0


28
. Giá trị a là: (biết a có giá trị nguyên)
÷dx =
3


B. 1

C. -1

D. 3

Giải
Chọn A
2

x2
I
=
4
+

Ta có
∫a  1 + x 3
2

2
2

x2
dx
=
4
dx
+
÷
∫0
∫a 1 + x 3 dx


x2

2
dx . Đặt 1 + x 3 = t ⇒ 1 + x 3 = t 2 ⇒ x 2dx = tdt
3
1+ x

Tính B = ∫

3

a

2

Khi đó B = ∫
a

x2
1 + x3

2

dx =

2
2
1 + x3 = 2 −
1 + b3
3
3
a

28
2
2
2


= 10 −  4a +
1 + a 3 ÷ ⇒ 4a +
1 + a 3 = ⇒ 6a + 1 + a 3 = 1

3
3
3
3


SHIFT − SOLVE ⇒ a = 0

⇔

Ta có I = 4 x +

2
2


1 + x 3 = 10 −  4a +
1 + a3 ÷
3
3



– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


LUYỆN TỐC ĐỘ
ĐỀ 1
6

x + 3 +1
dx = a + 2 ln a . Tính S = 43 4a
x+2

Câu 1: Cho tích phân I = ∫
1

A. 10

B. 5
1

Câu 2. Cho tích phân I = ∫
0

x 3dx
x2 + x4 + 1

A. 1
b

3

a

D. 8

a −1
. Giá trị của a là:

3

=

B. 2

Câu 3. Tính tích phân I = ∫
−

C. 15

C. 3

D. 4

xdx
( b > 0) . Biết z = a + bi là căn bậc hai của số phức
2x + 2

35
− 3i
4

A.

12
5
2

Câu 4. Tính tích phân I = ∫ x

1

A. 100

B.

7
5

(

x − 1 + ln x dx =

C.

)

Câu 5. Tính tích phân I = x
∫
0

A. 3 và 1

(

C. -200

x2 + 1 + ex

)

(
dx =

B. 2 và 3
1

D.

11
5

5
2
19
+ ln b . Tính S = 3b − a + 76
a
3

B. -100
1

6
5

)

D. 200

2

a + b −1
3

. Giá trị của a và b là

C. 3 và 2

D. 2 và 1

)

(

2
Câu 6. Cho tích phân I = ∫ x ax + b 3x + 1 dx = 3 , biết a – b = -1. Tính S = a 3 − b3
0

A. -15

B. 20
2

Câu 7. Tính tích phân I = ∫
0

A.

2
9

Câu 8. Cho ∫

x5
x3 + 1
B. −

1
1+ x +

(

1+ x

)

3

C. -19

dx =

D. 15
2

2

a
 a   a  370
. Tính S = 

÷ +
÷ −
b
 10b   10b  729

2
9

= f ( x) + C

C.

4
9

D. −

4
9

. Tính f’(8) = ?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


1
5

A.

B.
2 3

Câu 9. Cho tích phân I =

∫

5

4
9

A.

4
5

C.

dx

D.

7
6

D.

9

25

= ln a − ln b . Tính e8( ln 2 a −ln 2 b )

x x2 + 4

B.

1
6

25
9

C.

9
4

2

x
a
dx = − ln16 . Giá trị của a và b là bao nhiêu (a, b tối
b
x −1
1 1+

Câu 10. Cho tích phân I = ∫
giản)

A. 4 và 15

B. 5 và 3

C. 6 và 3

D. 5 và 6+

ĐỀ 2
e

Câu 1. Cho I = ∫
1

A.

7
125

(

1 + 3ln x ln x
5
3
dx = a 3 ( 1 + 3ln x ) − 5 ( 1 + 3ln x )
x
B.

Câu 2. Cho I = ∫

2
135

C.

9
145

)

e

. Giá trị nào của a là
1

D.

4
115

sin 2 x + sin x
dx = f ( x ) + C . Biết rằng f(x) không có hằng số tự do. Tính
1 + 3cos x

f(0)
5
27

A.

Câu 3. Cho

∫

B.
6

13
27

C.

44
27

D.

19
27

α
 tα t β 
1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx = 2  − ÷+ C với t = 6 1 − cos3 x . Tỉ số
bằng
β
α β 

bao nhiêu?
A.

5
13

B.

7
5
7

Câu 4. Tìm nguyên hàm của I = ∫

C.

( x + 2 ) dx = a

0

A. 214
Câu 5. Cho I = ∫
A. -30

B. 124

3

x +1

b

7

13

D.

5
6

biết rằng a, b tối giản. Tính a + b
C. 421

D. 241

ln 2 x
dx = a ( bt 5 + ct 3 + dt ) + C , biết t = ln x + 1 . Tính A = acbd
x ln x + 1
B. -60

C. -45

D. -27

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất


π

α+β =

2

sin 2 x
2

dx = , biết 
. Tính A = cos(α)
2
2
3
cos x + 4 sin x
α , β ∈  0; π 
 2 


β

Câu 6. Cho I = ∫
α

A.

1
2

C. −

B. 1

1
2

D. 0

π
2

Câu 7. Tính B = 1 + cos x sin xdx = a + 4 b − 2 . Tính A = sin4a + b4
∫0
3
A.

43
4
a

Câu 8. I = ∫
1

B. 29

A.

37
4

D. 16

3 − 2 ln x
5
dx = . Giá trị của a là:
3

x 1 + 2 ln x

A. e3
Câu 9. I = ∫

C.

B. e2
e2 x dx
e −1
x

B.
ln 3

∫ (e
0

D.

e3

= at 3 + bt + C . Với t = e x − 1 . Tính A = a2 + b2

52
9

Câu 10. Cho I =

C. e

40
9

e x dx

x

+ 1) e x + 1

A. 23

C.

47
9

D.

46
9

= a + b . Tính A = 2(a2 + b2)

B. 34

C. 21

D. 45

ĐỀ 3
1

2x + 1
28 b a
dx =
− ln
27 a b
0 1 + 3x + 1

Câu 1. Cho tích phân sau I = ∫

3997 − cos a
2a
Tính S = cos  ÷+
. Biết a, b tối giản
b
b

A. cos2(5) + cos(5) + 1999

B. 1999

C. 2016

D. cos2(3) + cos(3) + 2016
6

Câu 2. Tính tích phân I = ∫
1

A. 2

x + 3 +1
dx = a + ln b . Tính S = z + z . Biết z = a + bi
x+2
B. 4

C. 3

D. 1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word
mới nhất