15 bài tập THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG file word có lời giải chi tiết

 BÀI 03
KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I – NHẮC LẠI MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA
Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai
mặt phẳng song song với nhau và các mặt bên đều là các hình bình hành.

1. Hình lăng trụ đứng
Định nghĩa. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với
mặt đáy.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và
vuông góc với mặt đáy.

2. Hình lăng trụ đều
Định nghĩa. Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Tính chất. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng
nhau và vuông góc với mặt đáy.

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
1. Hình hộp đứng
Định nghĩa. Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt
đáy.
Tính chất. Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh
là 4 hình chữ nhật.

2. Hình hộp chữ nhật
Định nghĩa. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Tính chất. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là 6 hình chữ nhật.

3. Hình lập phương
Định nghĩa. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật 2 đáy và 4 mặt bên đều là
hình vuông

Tính chất. Hình lập phương có 6

mặt đều là hình vuông.

Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác
có chung một đỉnh.

I – THEÅ TÍCH
1. Công thức tính thể tích khối chóp

1
V = S.h
3
Trong đó:

S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp.

2. Công thức tính thể tích khối lăng trụ

V = B.h
Trong đó:
B là diện tích đáy, h là hiều cao khối lăng trụ
● Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc
..
Trong đó: a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
● Thể tích khối lập phương:

V = a3

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới

nhất


Trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

III – TỶ SỐ THỂ TÍCH
Cho khối chóp S.ABC và A ' , B ' , C ' là các điểm
tùy ý lần lượt thuộc SA , SB , SC ta có

S

VS. A 'B'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
.
VS.ABC
SA SB SC
Phương pháp này được áp dụng khi khối
chóp không xác đinh được chiều cao một cách
dễ dàng hoặc khối chóp cần tính là một phần
nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một
số điều kiện sau
�Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.

B'
A'
A

�Đáy hai khối chóp phải là tam giác.

C'

B

C

�Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 51. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích V của khối lăng trụ
tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. V =
B. V =
C. V =
D. V =
.
.
.
.
6
12
2
4
Câu 52. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a

và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a2.
a3 3
a3 2
a3 3
a3 3
B. V =
C. V =
D. V =
.
.
.
.
6
3
12
4
Câu 53. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ���
BC
có BB �
= a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a 2 . Tính thể tích
V của khối lăng trụ đã cho.
a3
a3
a3
A. V = .
B. V = .
C. V = .
D. V = a3.
6
3

2
Câu 54. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác với AB = a ,
� = 1200 , AA ' = 2a 5 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
AC = 2a , BAC
A. V =

a3 15
4a3 5
.
D. V =
.
3
3
Câu 55. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ', biết AC ' = a 3.
1
3 6a3
A. V = a3.
B. V =
C. V = 3 3a3.
D. V = a3.
.
3
4
Câu 56. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy là hình vuông cạnh 2a
. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho theo a , biết A ' B = 3a .
A. V = 4a3 5 .

B. V = a3 15 .

C. V =

4 5a3
.
3

B. V = 4 5a3 .

C. V = 2 5a3 .

A. V =

D. V = 12a3 .

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Câu 57. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có AB = a , AD = a 2 ,
AB ' = a 5 . Tính theo a thể tích khối hộp đã cho.
2a3 2
.
C. V = a3 2 .
D. V = 2a3 2 .
3
Câu 58. Cho hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt cùng xuất phát từ cùng
một đỉnh là 10cm2, 20cm2, 32cm2. Tính thể tích V của hình hộp chữ nhật đã cho.
A. V = 80cm3. B. V = 160cm3.
C. V = 40cm3.
D. V = 64cm3.
Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo d = 21. Độ dài ba kích thước

của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân có công bội q= 2. Thể tích
của khối hộp chữ nhật là
8
4
A. V = 8.
B. V = .
C. V = .
D. V = 6.
3
3
Câu 60. Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B
và BA = BC = 1. Cạnh A ' B tạo với mặt đáy ( ABC ) góc 600 . Tính thể tích V của
khối lăng trụ đã cho.
1
3
3
A. V = 3 .
B. V =
.
C. V =
.
D. V = .
2
6
2
Câu 61. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có AB = AA ' = a , đường chéo
A 'C hợp với mặt đáy ( ABCD ) một góc a thỏa mãn cot a = 5 . Tính theo a thể
tích khối hộp đã cho.
a3
2a3

A. V = 2a3 .
B. V =
.
C. V = 5a3 .
D. V =
.
3
5
Câu 62. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A ���
BC
0
� = 120 , mặt phẳng ( AB��
C)
có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, BAC
A. V = a3 10 .

B. V =

tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
3a3
9a3
a3
3a3
A. V =
B. V =
C. V = .
D. V =
.
.
.

8
8
8
4
Câu 63. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy là tam giác cân, AB = a
� = 1200 , góc giữa mặt phẳng ( A ' BC ) và mặt đáy ( ABC ) bằng 600 . Tính
và BAC
theo a thể tích khối lăng trụ.
a3
3a3
3a3
3a3
A. V = .
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
8
8
4
24
Câu 64. Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' . Biết
rằng mặt phẳng ( A ' BC ) hợp với đáy ( ABCD ) một góc 600 , A 'C hợp với đáy

( ABCD) một góc 300 và AA ' = a 3 .
2a3 6
.
C. V = 2a3 2 .

D. V = a3 .
3
Câu 65. Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh
� = 1200 . Góc giữa đường thẳng AC ' và mặt phẳng ( ADD ' A ') bằng
bằng 1, BAD
300 . Tính thể tích V của khối lăng trụ.
A. V = 2a3 6 .

B. V =

A. V = 6 .

B. V =

6
.
6

C. V =

6
.
2

D. V = 3 .

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất

Vấn đề 2. THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG
Câu 51. Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC.A ���
B C có tất cả các cạnh bằng a.
2

a
Diện tích tam giác đều cạnh a là S =

3

4

C'

A'

.

B'

Chiều cao của lăng trụ h = AA ' = a.
Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC.A ���
B C = S.h =
Chọn D.

a3 3
.
4

C

A
B

Câu 52. Xét khối lăng trụ ABC.A ���
B C có đáy ABC là tam giác đều và
AA �
^ ( ABC ) .
Diện tích xung quanh lăng trụ là Sxq = 3.SABB��
A

Diện tích tam giác ABC là SD ABC

B'

a2 3
=
.
4

Chọn C.

C

A

a3 3
Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC.A ���
= SD ABC .AA �
=

.
BC
4
Chọn D.
Câu 53. Tam giác ABC vuông cân tại B ,
AC
a2
= a � SDABC = .
suy ra BA = BC =
2
2
Vậy thể tích khối lăng trụ V = SD ABC .BB�
=

C'

A'

� 3a2 = 3.( AA �
.AB) � 3a2 = 3.( AA �
.a) � AA �
= a.

B
C'

A'
B'

3

a
.
2

A

C

B
2

1
� =a 3.
Câu 54. Diện tích tam giác ABC là SDABC = AB.AC.sin BAC
2
2
3
Vậy thể tích khối lăng trụ VABC.A ' B 'C ' = SD ABC .AA ' = a 15. Chọn B.
Câu 55. Đặt cạnh của khối lập phương là x ( x > 0) .

D'
A'

Suy ra CC ' = x; AC = x 2 .
Tam giác vuông ACC ' , có
AC ' = AC 2 +CC '2 � x 3 = a 3 � x = a.
Vậy thể tích khối lập phương V = a3. Chọn A.
Câu 56. Do ABCD.A ' B 'C ' D ' là lăng trụ đứng nên
AA ' ^ AB .

Xét tam giác vuông A ' AB , ta có A ' A = A ' B2 - AB2 = a 5 .

B'

D

Diện tích hình vuông ABCD là SABCD = AB2 = 4a2 .

C
B

A
A'

D'

B'

Vậy VABCD.A 'B 'C 'D ' = SABCD .A ' A = 4 5a . Chọn B.

A

B

Câu 57. Trong tam giác vuông ABB ' , có BB ' = AB ' - AB = 2a .
2

C'

C

D

3

C'

2

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


Diện tích hình chữ nhật ABCD là SABCD = AB.AD = a2 2 .
Vậy VABCD.A 'B 'C 'D ' = SABCD .BB ' = 2a3 2. Chọn D.
Câu 58. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A ����
B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật.
2
�
C'
D'
SABCD = 10cm
AB.AD = 10
�
�
�
�
�
B'
�

2
�AB.AA �
A'
SABB��
= 20.
Theo bài ra, ta có �
A = 20cm � �
�
�
�
�
�
�AA �
.AD = 32
SADD ��
= 30cm2 �
�
A
�
2

Nhân vế theo vế, ta được ( AA�
.AB.AD) = 6400 � AA�
.AB.AD = 80. D

C
.AB.AD = 80cm3. Chọn A.
Vậy VABCD.A 'B 'C ' D ' = AA �
B
A

Câu 59. Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A ����
B C D có độ dài kích thước ba cạnh
= a, AB = b, AD = c và có đường chéo AC �
lần lượt là AA �
.
a
,
b
,
c
Theo bài ra, ta có
lập thành cấp số nhân có công bội q= 2 . Suy ra
�
b = 2a
�
.
�
�
c = 4a
�
Mặt
khác,
độ
dài
2
AC �
= 21 � AA�
+ AB2 + AD2 = 21� a2 + b2 + c2 = 21.

đường

chéo

a =1
�
�
�
c = 2b = 4a
�
�
c = 2b = 4a
c = 2b = 4a �
�
�
�
�
� �2
�� 2
��
b = 2.
Ta có hệ �2
2
2
�
�
a + b2 + c2 = 21 �
21a = 21
a +( 2a) +( 4a) = 21 �
�
�

�
�
�
c= 4
�
�
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD.A ����
B C D = AA .AB.AD = abc = 8. Chọn A.
Câu 60. Vì ABC.A ' B 'C ' là lăng trụ đứng nên AA ' ^ ( ABC ) , suy ra hình chiếu
vuông góc của A ' B trên mặt đáy ( ABC ) là AB .
�
�
�' BA .
Do đó 600 = A
' B,( ABC ) = A
' B, AB = A
Tam

giác
vuông
�
AA ' = AB.tan A ' BA = 3.

A ' AB ,

ta

C'

A'

B'

có

1
1
Diện tích tam giác ABC là SDABC = BA.BC = .
2
2
3
Vậy V = SD ABC .AA ' =
. Chọn C.
2
Câu 61. Ta có AA ' ^ ( ABCD) nên
�
�
�'CA .
A
'C,( ABCD ) = A
'C, AC = A
Tam giác vuông A ' AC , ta có AC = AA '.cot a = a 5 .
Tam giác vuông ABC , ta có BC = AC 2 - AB2 = 2a .
ABCD
Diện
tích
hình
chữ
nhật
là
SABCD = AB.BC = 2a2 .

C

A
B
D'
B'

A'

D

C'

C

B
A
Vậy VABCD.A 'B 'C 'D ' = SABCD .AA ' = 2a3. Chọn A.
Câu 62. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng B��
C . Tam giác ABC cân tại
B C cân tại A �
��
� A�
M ^ B��
C.
A ��
� tam giác A ���
��
�

� B��
C ^ AM .
Lại có B��
. Từ đó suy ra B C ^ ( AA M ) ��
C ^ AA �

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất


� �
Do đó 600 = (�
AB��
C ) ,( A ���
B C ) = (�
AM ; A �
M ) = AMA
.

A

C

Tam giác vuông A ��
B M , có
a
� ��
A�
M = A��
B .cos MA

B = a.cos600 = .
2
Tam giác vuông AA �
M , có
a
a 3
� �
AA �
= A�
M .tan AMA
= .tan600 =
.
2
2
Diện
tích
tam
2
1
� = a 3.
SD ABC = AB.AC.sin BAC
2
4
3a3
�
Vậy VABC.A ���
. Chọn A.
B C = SD ABC .AA =
8

B

C'

A'
giác

M
B'

Câu 63. Tương tự như bài 62. Chọn B.
�
�
�'CA;
Câu 64. Ta có 300 = A
'C,( ABCD ) = A
'C, AC = A
�
�' BA .
60 = (�
A ' BC ) ,( ABCD ) = A
' B, AB = A

C'

B'

0

Tam giác vuông A ' AB , có AB =

AA '
=a.
�' BA
tan A

Tam giác vuông A ' AC , có AC =

AA '
= 3a .
�'CA
tan A

Tam giác vuông ABC ,có BC = AC 2 - AB2 = 2a 2
.
Diện tích hình chữ nhật SABCD = AB.BC = 2a2 2 .

D'

A'

B

C

D

A

Vậy VABCD.A 'B 'C ' D ' = SABCD .AA ' = 2a3 6. Chọn A.

� = 1200 , suy ra ADC
� = 600 . Do đó tam giác
Câu 65. Hình thoi ABCD có BAD
ABC và ADC là các tam giác đều. Gọi N là trung điểm A ' B ' nên
C 'N ^ A 'B '
�
�
�
�
3 .
�
C 'N =
�
�
2
�
�
�', AN = C
�
Suy ra 300 = AC
',( ADD ' A ') = AC
' AN .
C'
D'
C 'N
3
A'
B'
= .
Tam giác vuông C ' NA , có AN =

�
tanC ' AN 2
N
Tam giác vuông AA ' N , có AA ' = AN 2 - A ' N 2 = 2
.
� = 3.
Diện tích hình thoi SABCD = AB2.sin BAD
2
6
Vậy VABCD.A ' B 'C 'D ' = SABCD .AA ' =
. Chọn C.
2

C
B

D
A

Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới
nhất