20 bài tập khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (dạng 2) file word có lời giải chi tiết

20 bài tập - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 2) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB  BC  a , AD  2a .
Hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt
phẳng  SBD 
A.

a
5

B.

2a
5

C.

3a
5

D.

4a
5

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy
là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB  2 HA . Biết SC tạo với đáy một góc 45° và cạnh bên SA  2a 2 .
Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB 
A.

a 3
2

B.

2a 2
3

C.

3a 3
2

D.

a 2
3

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a, SAB là tam giác vuông cân tại S
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ trung điểm H của AB đến mặt phẳng  SBD  là?
A.

a 3
3

B. a

C.

a 3
2

D.

a 10
2

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA  3a và SA   ABC  . Biết AB  BC  2a , ABC  120�
. Tính
khoảng cách từ A đến  SBC  ?
A. 2a

B.

a
2

C. a

D.

3a
2

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC  a 3, ABC  30�, góc giữa SC và
mặt phẳng  ABC  bằng 60°. Cạnh bên S vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 
bằng
A.

a 6
35

B.

a 3
35

C.

3a
5

D.

2a 3
35

Câu 6. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có AB  a 3, ABC  30�
, ACB  60�. Hình chiếu vuông góc của
a3
A ' trên mặt đáy là trung điểm của BC. Thể tích khối chóp A ' ABC bằng
. Khoảng cách từ C đến mặt
6
phẳng  A ' AB  bằng
A.

a 6
6

B.

2a

7

C.

a 6
4

D.

a 6
12

Câu 7. Cho hình chóp đều S.ABC có AB  a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  .

4d
, biết d là
a


A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  , SA  AB  a và
AD  x.a . Gọi E là trung điểm cạnh SC. Tìm x, biết khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng  SBD  là

d

a
.
3

A. x  1

B. x  2

C. x  3

D. x  4

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA   ABCD  ,
SA  a 3 . Tính theo a khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  .
A.

a
2

B.

a 3
4

C.

a 5
6

D.

a 7
8

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA   ABCD  , SA  AB  a và
AD  2a . Gọi F là trung điểm cạnh CD. Tính

 SBF  .
A. 2 33

B. 4 33

33d
, biết d là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
a
C. 2 11

D. 4 11

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4a. Gọi H là điểm thuộc đường thẳng
uuu
r uuur
AB sao cho 3HA  HB  0 . Hai mặt phẳng  SAB  và  SHC  đều vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SHC  .
A.

5a
12

B.

5a
6

C.

12a
5

D.

6a
5

Câu 12. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, M là
trung điểm của CD. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SOM 
A. a

B.

a
2

C.

a
4

D.

a
8

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB là tam giác đều cạnh a và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính khoảng cách từ
a3 3
điểm O tới mặt phẳng  SHC  biết thể tích khối chóp S.ABCD là
3
A.

a
17

B.

2a
17

C.

a
27

D.

2a
27

Câu 14. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A ' AC vuông cân tại A,
cạnh A ' C  2a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD ' theo a?


A.

a 3
3

B.

a 6
3

C.

a 2
2

D.

a 3
2

Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có SA  3a và SA   ABC  . Giả sử AB  BC  2a , góc ABC  120�.
Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  ?
A.

a
2

B. a

C.

3a
2

D. 2a

Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác với AB  a, AC  2a, BAC  120�. Cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và  SBC  tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng  SBC  là:
A.

3a
2 7

B.

3 7a
2

C.

a 7
2

D.

2 7a
3

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cạnh SC hợp với đáy một góc 60°. Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  . Tỉ số
h
bằng
a

A.

18
13

B.

78
13

C.

58
13

D.

38
13

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B; AD  2 AB  2 BC ; BC  a

; SA   ABCD  và SB hợp với mặt phẳng đáy một góc 45°. Tính
A.

2 6
3

B.

2 3
3

C.

2
3

d  A,  SDC  
a

D.

6
3

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABC  BAD  90�, BA  BC  a ;
AD  2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và  SAD  bằng 30°. Tính khoagnr
cách từ A đến  SCD  .
A. a

B. a 2

C.

a
2

D. a 3

Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có BAD  120�. Cho
SA   ABCD  . Gọi M là trung điểm của BC; biết SMA  45�. Tính d  B,  SDC   ?

A.

a 6
4

B.

a 6
2

C.

a 3
2

D.

a 3
8

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B
�
 SAC    ABCD 
�
Ta có �
 SBD    ABCD 
�
và  SAC  � SBD   SO
� SO   ABCD  với O  AC �BD
�AH  BD
� AH   SBD 
Kẻ AH  BD ta có �
�AH  SO
Ta có

1
1
1
5
2a


 2 � AH 
2
2
2
AH

AB
AD
4a
5

� d  A,  SBD   

2a
5

Câu 2. Chọn đáp án C
�  45�
Ta có �
SC ,  ABC    SCH
Giả sử AB  BC  CA  3x
Ta có CH  AH 2  AC 2  2 AH . AC.cos 60� x 7
Ta lại có SA2  SH 2  AH 2 � 8a 2  8 x 2 � x  a
� AB  BC  CA  3a

CK  AB
�
� CK   SAB 
Kẻ CK  AB ta có �
CK  SH
�
Mà CK 

3a 3
3a 3
� d  C ,  SAB   

2
2

Câu 3. Chọn đáp án A
Vì SAB là tam giác vuông cân tại S nên SH   ABCD  .
Từ H kẻ HI  BD , từ H kẻ HK  SI với I �BD, K �SI .
Ta có
�SH  BD
� BD   SHI  � BD  HK � HK   SBD  .
�
�HI  BD
Do đó d  H ,  SBD    HK . Mặt khác

1
1
1


.
2
2
HI
SH
HK 2


Mà HI 

1
a

AB
d  A, BD  
 a.
và SH 
2
2
2

1
1
1
3
a

 2  2 � HK 
2
2
a
3
Nên HK
�a � a
� �
�2�
Câu 4. Chọn đáp án D
Từ A kẻ AH  BC , kẻ AK  SH với H �BC , K �SH .
Ta có
�SA  BC
� BC   SAH  � BC  AK � AK   SBC 
�
�AH  BC

Do đó d  A,  SBC    AK thỏa mãn

1
1
1


.
2
2
SA
AH
AK 2

Mà SA  3a và AH  sin 60�
. AB 

3
.2a  a 3
2

Nên
1
1
1
4
3a
3a
 2  2  2 � AK 
� d  A,  SBC   

2
AK
9a
3a
9a
2
2
Câu 5. Chọn đáp án C
Kẻ AE  BC , AK  SE  E �BC , K �SE  .
Chứng minh AK   SBC  � AK  d  A,  SBC   .
Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:
AK 

SA. AE
SA2  AE 2

.

Tính SA, AE:
Xét hai tam giác vuông ABC và SAC: AB  SA  3a
Xét tam giác vuông ABC: AE 
� d  A,  SBC    HK 

3a
.
5

3a
.
2

.


Câu 6. Chọn đáp án B
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có AC  AB.tan 30� a � HE 
VA ' ABC 

a
.
2

1
a3
a
A ' H .S ABC 
� A' H 
3
6
3

Kẻ HK  A ' E � HK  d  H ,  A ' AB   
� d  C ,  A ' AB    2d  H ,  A ' AB   

a
7

2a
7

Câu 7. Chọn đáp án A
Gọi O là tâm của tam giác ABC và H là trung điểm của BC.
Có
�SO  BC
�
� BC   SAH  � �
SH , AH   SHA
 SBC  ,  ABC    �
�
�AH  BC
Kẻ OK  SH suy ra OK   SBC  � d  O,  SBC    OK .
Xét OKH vuông tại K, có
OK  sin 60�
.OH 

3
3
a
.OH 
. AH 
2
6
4

Do đó d  A,  SBC    3d  H ,  SBC   

3a
4d
d �

 3.
4
a

Câu 8. Chọn đáp án B
Ta có d  E ,  SBD   

1
a
2a
d  A,  SBD    � d  A,  SBD   
.
2
3
3

Gọi H là hình chiếu của A lên BD. Và K là hình chiếu của A lên
SH.
Ta được AK   SBD  � AK  d  A,  SBD   
Mà AH .BD  AB. AD � AH 
Do đó
�

AB. AD
AB 2  BD 2

2a
.
3



x.a 2
a 2  x2a 2

1
1
1
9
1 a2  x2a2


�


.
AK 2 SA2 AH 2
4a 2 a 2
x2 a4

5 1  x2
 2 � x 2  4 � x  2 vì x  0 .
4
x


Câu 9. Chọn đáp án B
Ta có d  A,  SBC    2d  O,  SBC  
Gọi H là hình chiếu của A lên SB.
�SA  BC

� BC   SAB  � BC  AH � AH   SBC 
Ta có �
AB

BC
�
Mà

1
1
1
1
1
4
a 3
 2
 2  2  2 � AH 
2
2
AH
SA
AB
3a
a
3a
2

1
1
a 3

Do đó d  O,  SBC    d  A,  SBC    AH 
2
2
4
Câu 10. Chọn đáp án B
Gọi H là hình chiếu của A lên BF. Và K là hình chiếu của A
lên SH.
Ta có
�SA  BF
� BF   SAH  � BF  AK � AK   SBF  .
�
AH

BF
�
Do đó d  d  A,  SBF    AK .
Mà BF  BC 2  CF 2 

a 17
.
2

AB. AD
2a 2
4a
AH .BF  AD. AB � AH 


Nên
BF

a 17
17 .
2
Khi đó

1
1
1
1
17
33
4a
 2
 2

� AK 
.
2
2
2
2
AK
SA
AH
a 16a
16a
33

Vậy 33d


a

33.

4a
33  4 33
a


Câu 11. Chọn đáp án C
�
 SAB    ABCD 
�
Ta có �
mà  SAB  � SHC   SH
 SHC    ABCD 
�
� SH   ABCD 
�BK  CH
� BK   SHC 
Kẻ BK  CH ta có �
�BK  SH
Ta có

1
1
1
25
12 a




� BK 
2
2
2
2
BK
BH
BC
144a
5

� d  B,  SHC   

12a
5

Câu 12. Chọn đáp án B
Do hình chóp
SO   ABCD 

S.ABCD

là

hình

chóp

đều

nên

CM  OM
�
� CM   SOM 
Ta có �
CM

SO
�
Mà CM 

a
a
� d  C ,  SOM   
2
2

Câu 13. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của
SH 

AB � SH   ABCD 

và

a 3
2

Ta có

1
1
1 a 3
a 2 3.BC
VS . ABCD  SH .S ABCD  SH . AB.BC  .
.a.BC 
3
3
3 2
6
Mà VS . ABCD

a3 3
a2 3
a3 3

�
.BC 
� BC  2a
3
6
3


OK  CH
�
� OK   SCH 

Kẻ OK  CH ta có �
OK  SH
�
Ta tính được OK 

a
a
� d  O,  SCH   
17
17


Câu 14. Chọn đáp án B
+) Kẻ AP  A ' B � d  A,  BCD '   d  A,  A ' BC    AP
+) A ' AC vuông cân tại
A � A ' A  AC 

A ' C 2a

a 2.
2
2

Tứ giác ABCD là hình vuông
� AB 

AC
1
1
1

1
1
3
a�


 2 2  2
2
2
2
AP
A' A
AB
2a
a
2a
2

� AP 

a 2 a 6
a 6

� d  A,  BCD '  
3
3
3

Câu 15. Chọn đáp án C
+) Trên mặt phẳng đáy, qua A kẻ một đường thẳng vuông góc với

AC, đường thẳng này cắt BC tại P.
Đặt d  A,  SBC    d  A,  SPC    h , tứ diện vuông S.APC
�

1
1
1
1



.
2
2
2
h
AS
AC
AP 2

+) ABP đều
�AP  BA  2a
�AP  2a
�
��
��
AC
tan 60�
 3 �AC  2a 3
�

�
AP
1
1
1
1
4
3a
� 2  2
 2  2 �h
2
h
9a 12a
4a
9a
2
Câu 16. Chọn đáp án A
Ta có: BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos120� a 7
Dựng AE  BC ; AF  SE khi đó d  A,  SBC    AF
Ta có: AE 

�
2S ABC AB. AC sin BAC
a 21


BC
BC
7

�BC  SA
�  60�
� BC   SAE  � SEA
Mặt khác �
�BC  AE
Suy ra d  AF  AE sin 60�
Câu 17. Chọn đáp án B

a 21 3
3a
.

7
2
2 7


Do ABCD là hình vuông nên AC  BD tại tâm O của hình vuông có AC  a 2; OA 
�  60�� SA  AC tan 60� a 6
Do SA   ABCD  � SAC
Dựng AH  SO � d  A,  SBD    AH 
Do đó

SA. AO
SA  OA
2

2



a 78
13

h
78

a
13

Câu 18. Chọn đáp án D
�  �
Ta có: SA   ABCD  nên SBA
SB,  ABCD    45�
Khi đó SA  AB tan 45� a . Gọi E là trung điểm của AD
1
AD nên
2
tam giác ACD vuông tại C suy ra AC  CD , dựng
AF  SC
khi đó ABCE là hình vuông cạnh a. Do CE 

Ta có:
AC  a 2, d  A,  SCD    AF 
Do đó

d  A,  SCD  
a



6
3

SA.SC
SA  AC
2

2



a 6
3

a 2
2


Câu 19. Chọn đáp án A
Gọi E là trung điểm của AD khi đó ABCE là hình
vuông cạnh a suy ra CE  AD , lại có CE  SA
�  �
Do đó CE   SAD  � CSE
SC ,  SAD    30�.
Lại có: SC sin 30� CE  a � SC  2a
1
AD nên tam
2
giác ACD vuông tại C suy ra AC  CD , dựng

AF  SC .
� SA  SC 2  AC 2  a 2 . Do CE 

Ta có: d  A,  SCD    AF 

SA.SC
a.
SC

Câu 20. Chọn đáp án A
�  120�nên tam giác
Do ABCD là hình thoi có BAD
ABC và ACD là các tam giác đều.
a 3
a 3
, dựng AE  CD � AE 
,
2
2
dựng AF  SE suy ra d  A,  SCD    AF .
Khi đó AM 

�  45�� SA  AM tan 45� a 3
Do SMA
2
Mặt khác
AB / / CD � d  B,  SCD    d  A,  SCD    AF


SA.SE

SA  AE
2

2



a 6
4