11 SDMTCT trong các bài toán tìm nguyên hàm, tính tích phân và ứng dụng

§11. Sử dụng máy tính cầm tay trong các bài toán
tìm nguyên hàm, tính tích phân và ưng dụng
Bài tập 1: (Câu 23 đề minh họa của Bộ năm 2016). Tìm nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 2x −1 .
2

A.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)

C.

−1
∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)

2x −1 + C
2x −1 + C .

1

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x − 1)

D.

∫ f ( x ) dx = 2

1

2x −1 + C .

2x −1 + C .

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Ta có:
1

∫ f ( x ) dx = ∫

1 ( 2 x − 1) 2
2 x − 1dx = ∫ ( 2 x − 1) dx =
+C
2 1 +1
2
1
2

+1

3

1 ( 2 x − 1) 2
1
=
+ C = ( 2 x − 1) 2 x − 1 + C
3
2
3
2
Vậy, đáp án B là đúng.

Lứu ý: Do ở đâu là bài tập trắc nghiệm nên đề cho nhanh ta có thể viết như đã trình bày ở
trên, mặc dù

∫

1

2 x − 1dx = ∫ ( 2 x − 1) 2 dx chỉ đúng với x >

1
1
, trong khi ở bài này x ≥ .
2
2

Cách giải bằng máy tính:
Để kiểm tra một hàm số F(x) nào đó có pahir là nguyên hàm của hàm số f(x) hay không, ta là
như sau:
Bước 1: Nhập biểu thức
Bước 2: Nhấn

d
( F ( x) )
dx

x= A

− f ( A ) vào máy.

, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập A?, ta

nhập A tùy ý. Nếu nhập A tùy ý mà biểu thức ở bước 1 có kết quả luôn bằng 0 thì hàm số F(x)
đang kiểm tra chính là nguyên hàm của hàm số f(x).
Trong bài toán nay, để kiểm tra đấp án A đúng hay sai, ta làm như sau:

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bước 1: Nhập biểu thức
Bước 2: Nhấn

d 2

 ( 2 x − 1) 2 x − 1 ÷ − 2 A − 1 vào máy.
dx  3
 x= A

, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập A?, ta

nhập A=2. Màn hình xuất hiện:

Do đó, đáp án A không phải là nguyên hàm của hàm số đã cho.
Tiếp tục kiểm tra với đáp án B.
Bước1: Nhấn phím

quay lại biểu thức vừa nhập ở bước 1, ta thay phân số

đáp án A bởi phân số

2

trong
3

1
trong đấp án B. Màn hình hiện
3

d 1

 ( 2 x − 1) 2 x − 1 ÷ − 2 A − 1 .
dx  3
 x= A
Bước 2: Nhấn

, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập A?, ta

nhập A=2. Màn hình xuất hiện:

Kết quả này xấp xỉ bằng 0.
Tiếp tục nhấn dấu bằng nhập A=3. Màn hình xuất hiện:

Kết quả này cũng xấp xỉ bằng 0. Do đó, đáp án B là đáp án đúng.
Bài tập 2: Tính ∫ 2
A. 2

x +1

+C .

x

ln 2
dx . Kết quả sai là:
x

(

B. 2 2

x

)

−1 + C .

(

C. 2 2

x

)

+1 + C .

D. 2

x

+C .

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Ta có:

∫2

x

= 2.2

ln 2
dx = 2 ln 2∫ 2 x d
x
x

+C = 2

x +1

( )

2 x
x = 2 ln 2.
+C
ln 2

+C

Các đáp án B và C sai khác với đáp án A một hằng số. Do đó, đáp án B và C cũng là kết quả
đúng. Vậy, đáp án D là đáp án cần tìm.
Cách giải bằng máy tính:
Trong bài toán này, để kiểm tra đáp án A đúng hay sai, ta làm như sau:
Bước 1: Nhập biểu thức
Bước

2:

(

d
2
dx

x +1

)

−2
x= A

A

ln 2
vào máy.
A

Nhấn , máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy hỏi nhập

A?, ta nhập A=2. Màn hình xuất hiện:

Kết quả này xấp xỉ bằng 0.
Tiếp tục, nhấn dấu bằng và nhập A=6. Màn hình xuất hiện:

Kết quả này xấp xỉ bằng 0. Do đó, đáp án A là đáp án đúng.
Các đáp án B và C sai khác với đáp án A một hằng số. Do đó, đáp án B và C cũng là kết quả
đúng. Vậy đáp án D là đáp án cần tìm.
π

3
Bài tập 3. (Câu 25 đề minh họa của Bộ năm 2016). Tính tích phân I = ∫ cos x sin xdx .
0

1 4
A. I = − π
4

B. I = −π 4

1
D. I = − .
4

C. I = 0

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
π

π

π

cos 4 x
Ta có: I = ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd ( cos x ) = −
=0
4
0
0
0
3

3

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy, đáp án C là đáp án cần tìm.
Các giải bằng máy tính:
π

Nhập vào máy tính tích phân

∫ cos

3

x sin xdx .

0

Rồi nhấn đâu bằng. Màn hình xuất hiện

Tức là:
π

I = ∫ cos3 x sin xdx = 0
0

Vậy đáp án ta chọn đáp án C.
Các thao tác trên máy tính, ta ấn liên tục các phím:

Khi đó màn hình máy tính hiện:

e

∫

Bài tập 4. (Câu 26 đề minh họa của Bộ năm 2016). Tính tích phân I = x ln xdx .
1

A. I =

1
2

B. I =

e2 − 2

2

C. I =

e2 + 1
4

D. I =

e2 − 1
.
4

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Đặt u = ln x và dv = xdx , ta có du =

1
x2
dx và v = . Do đó
x
2

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


e

e

e

x2
x
I = ∫ x ln xdx = v =
ln − ∫ dx
2 1 12
1
e2 x2
= −
2
4

e

1

e2 1
= +
4 4

Vậy đáp án C là đáp án cần tìm.
Cách giải bằng máy tính:
e

Nhập vào máy tích phân

∫ x ln xdx
1

Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện:

Ta nhấn

để lưu kết quả. Màn hình hiện

Sau đó , ta nhấn

để xóa màn hình.

Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0 thì
đáp án đó là đáp án đúng.
Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau

A−

1
2

Rồi nhấn dấu bằng,màn hình hiện

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy, đáp án A là không đúng.
Kiểm tra với đáp án B. Nhập vào máy như sau

e2 − 2
A−
2
Rồi nhấn dấu bằng, màn hình hiện

Vậy đáp án B cũng không đúng.
Kiểm tra với đáp án C. Nhập vào máy như sau

e2 + 1
A−
4
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện

Vậy đáp án C đúng.
5

Bài tập 5. Giả sử
A. 9

dx
∫1 2 x − 1 = ln c . Giá trị của c là:
B. 3

C. 81

D. 8

Cách giải nhanh trắc nghiệm bằng tay:
Ta có
5

5

dx

1
1
∫1 2 x − 1 = 2 ln 2 x − 1 1 = 2 ln 9 = ln 3
Vậy, đáp án B là đáp án cần tìm.
Cách giải bằng máy tính:
Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


5

Nhập vào máy tính biểu thức

dx

∫ 2 x − 1dx − ln ( C )
1

Nhấn

, nhập C bởi các đáp án của bài toán. Nếu đáp án nào mà giá trị của biểu thức

bằng 0 thì đá án đó là đúng.
Kiểm tra với đáp án A. nhấn

, máy hỏi nhập X?, ta nhấn dấu bằng để bỏ qua. Máy

hỏi nhập C?, ta nhập C=9, rồi nhấn dấu bằng. Màn hình hiện

Vậy, đáp án A không đúng.
Kiểm tra với đáp án B. Tiếp tục nhấn dấu bằng máy hỏi nhập X ?, ta nhấn dấu bằng để bỏ

qua. Máy hỏi nhập C ?, ta nhập C=3, rồi nhấn dấu bằng. Màn hình hiện

Giá trị 5.99 ×10−12 ≈ 0 . Do đó, Đáp án đúng là đáp án B.
Lưu ý : Thao tác nhập biểu thức
5

dx
∫1 2 x − 1dx − ln ( C ) .
Ta nhấn liên tiếp các phím :

Bài tập 6. (Câu 27 đề minh hoạn của bộ năm 2016). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = x 3 − x và đồ thị hàm số y = x − x 2 .
A.

37
12

B.

9
4

C.

81
12

D. 13

Kết hợp bằng tay và máy tính:

Phương trình hoành độ giao điểm

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


x3 − x = x − x 2
 x = −2
⇔ x 3 + x 2 − 2 x = 0 ⇔  x = 0
 x = 1
Diện tích cần tìm là
1

S=

∫

x 3 + x 2 − 2 x dx =

−2

37
12

Để tính được giá trị của tích phân
1

S=

∫

x 3 + x 2 − 2 x dx

−2

Ta sử dụng máy tính như sau:
Nhập vào máy tích phân
1

∫

x3 + x 2 − 2 x dx

−2

Rồi nhấn dầu bằng. Màn hình xuất hiện:

Ta nhấn

để lưu kết quả. Màn hình hiện

Sau đó, ta nhấn

để xóa màn hình.

Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0 thì
đáp án đó là đáp án đúng.
Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau
A−

37

12

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Rồi nhấn dấu bằng,màn hình hiện

Giá

4.539 × 10−11 ≈ 0 . Do đó,

trị

đáp án đúng là đáp án A.
Lưu ý: Để nhập tích phân
vào mát ta nhán liên tiếp các phím:

Bài tập 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thằng x = 0, x = π và đồ thị hàm
số y = cos x, y = − sin x
A.

2

B. 2 2

C. 3 2

D. 2 3

Diện tích cần tìm là

π

S = ∫ sin x − cos x dx = 2 2 .
0

Để tìm được giá trị của tích phân
π

S = ∫ sin x − cos x dx .
0

Ta sử dụng máy tính như sau:
Nhập vào máy tích phân
π

∫ sin x − cos x dx .
0

Rôi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện:

Ta nhấn

để lưu kết quả. Màn hình hiện

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Sau đó, ta nhấn

để xóa màn hình.

Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0 thì
đáp án đó là đáp án đúng.
Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau

A− 2 .
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện

Do đó, đáp án A không phải là đáp án đúng.
Kiểm tra với đáp án B. Nhập vào máy như sau

A−2 2 .
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện

Do đó, đáp án B là đáp án đúng.
Bài tập 8. (Câu 28 đề minh họa của Bộ năm 2016). Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = 2 ( x − 1) e , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay
x

thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
A. V = 4 − 2e

B. V = ( 4 − 2e ) π

C. V = e 2 − 5

D. V = e − 5

(

2

)π

Kết hợp bằng tay và máy tính:
Phương trình hoành độ giao điểm:

2 ( x − 1) e x = 0 ⇔ x = 1

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Thể tích cần tìm là
1

(

V = π ∫ 2 ( x − 1) e x
0

1

)

(

2

x
Để tính được giá trị của tích phân V = π ∫ 2 ( x − 1) e

0

(

)

dx = e 2 − 5 π

)

2

dx

Ta sử dụng máy tính như sau:
Nhập vào máy tích phân π

1

∫ ( 2 ( x − 1) e )

x 2

dx

0

Rồi nhấn dấu bằng. Màn hình xuất hiện

Ta nhấn

để lưu kết quả. Màn hình hiện

Sau đó, ta nhấn

để xóa màn hình.

Tiếp theo ta lần lượt lấy A trừ các kết quả trong đáp án. Nếu đáp án nào cho kết quả là số 0 thì
đáp án đó là đáp án đúng.
Kiểm tra với đáp án A. Nhập vào máy như sau

A − ( 4 − 2e )
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện

Do đó, đáp án A không phải là đáp án đúng.
Kiểm tra với đáp án B. Nhập vào máy như sau
Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A − ( 4 − 2e ) π
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện

Do đó, đáp án B không

phải là đáp án đúng.

Kiểm tra với đáp án D. Nhập vào máy như sau

(

)

A − e2 − 5 π ,
Rồi nhấn dấu bằng màn hình hiện

Do đó, đáp án D là đáp án đúng.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

∫

2
11.1. Tính  x +

A.

3

− 2 x ÷dx . Kết quả là:
x


x3
4 3
+ 3ln x −
x +C
3
3

B.

x3
4 3
− 3ln x −
x
3
3

x3
4 3
D.
− 3ln x −
x +C
3
3

x3
4 3
C.
+ 3ln x +
x +C
3
3

x2 − x + 1
11.2. Tính nguyên hàm: ∫
dx .
x −1
A. x +

1
+C
x −1

B. 1 −

x2
C.
+ ln x − 1 + C
2
11.3. Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

1 2x 
1
e  x − ÷+ C
2
2


1

( x − 1)

2

+C

2
D. x + ln x − 1 + C

y = x.e 2 x



2x
B. 2e  x −

1
÷+ C
2

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2x
C. 2e ( x − 2 ) + C

D.

11.4. Tìm nguyên hàm của hàm số
A. ln

C.

y=

sin x
1 + cos x

1
+C
1 + cos x

ln cos

B. ln ( 1 + cos x ) + C

x
+C
2

11.5. Hàm số F ( x ) =

1 2x
e ( x − 2) + C
2

D. 2 ln cos

x
+C
2

x−3
là một nguyên hàm của hàm số nào?
x

A. x − 3ln x

B. x + 3ln x

C.

3
x2

D. −

3
.
x2

11.6. Nguyên hàm của f ( x ) = x sin x là:
A. − x cos x + sin x + C

B. x sin x + cos x + C

C. x cos x − sin x + C

D. − x sin x − cos x + C

11.7. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
A. ln

(

x2 +1

)

11.8. Tính nguyên hàm

B.

x2 + 1

1

∫ 1+

x

x2 +1

là

C. 2 x 2 + 1

B. 2 ln
x +1 + C

11.9. Tính nguyên hàm
A. tan 3 x + C
11.10. Tính nguyên hàm

D.

1
x +1

D.

1 3
tan x + C
3

2

dx

A. 2 x + C
C. 2 2 − 2 ln

x

x +1 + C

D. 2 x − 2 ln

x +1 + C

sin 2 x
∫ cos4 x dx
B.

1
tan x + C
3

C. 3 tan 3 x + C

cos 2 x

∫ sin x + cos x dx

A. sin x + cos x + C

B. − sin x + cos x + C

C. 2sin x − cos x + C

D. 2sin x + cos x + C

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


π
4

1 − sin 3 x
dx
11.11. Tính tích phân ∫
2
sin
x
π
6

3−2

2

A.

11.12. Cho

3+ 2 −2
2

B.

3+ 2
2

C.

3+2 2 −2
2

D.

π
a

cos 2 x
1
dx
=
∫0 1 + 2sin 2 x 4 ln 3 . Tìm giá trị của a

A. 3

B. 2

C. 4

D. 6

2

2
11.13. Tính tích phân I = ∫ x ln xdx
1

A. 8ln 2 −

7
3

B. 24 ln 2 − 7
2

11.14. Tính tích phân I = ∫
0

A. 2 ln 3 + 3ln 2

C.

8

7
ln 2 −
3
3

D.

8
7
ln 2 −
3
9

5x + 7
dx
x + 3x + 2
2

B. 2 ln 2 + 3ln 3

C. 2 ln 2 + ln 3

D. 2 ln 3 + ln 4

1

−x
11.15. Tính tích phân I = ∫ e dx
0

A. e − 1

B.

1
−1
e

C. 1 −

1
e

D.

1
+1
e

D.

10
3

2

11.16. Tính tích phân

∫

4 − x 2 xdx

0

A.

π

B.

5π
3

C.

8
3

π
4

11.17. Tính tích phân

∫π cot xdx
6

A. − ln 2

11.18. Tính tích phân

B. ln 2

C. ln 4

D. ln 2

π
2

∫ x cos xdx
0

A.

π
−2
2

B.

π
2

C.

π
+1
2

D.

π
−1
2

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


1

−x
11.19. Tính tích phân I = ∫ e xdx
2

0

A.

e −1
2

B.

2e + 1
2e

C. −

e −1
2

D.

e −1
2e

π
2

11.20. Tính tích phân

∫π sin 2 x cos xdx

−

2

A. 0

B. 1

C.

1
3

D.

1
6

C.

e3 − 2
9

D.

e3 + 2
9

e

11.21. Tính tích phân

∫x

2

ln xdx

1

A.

2e3 + 1
9

B.

2e3 − 1
9

11.22. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2 − x 2 và y = x
A. 5

B. 7

C.

9
2

D.

11
2

11.23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 3 và y = x 5
A. 0

B. 4

C.

1
6

D. 2

11.24. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2 x − x 2 và y = 0 . Tính
thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
A.

16π
15

B.

17π
15

C.

18π
15

D.

19π
15

11.25. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số x = 0; x = 1; y = 3x; y = x .
Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox
A.

8π
3

B.

8π 2
3

C. 8π 2

D. 8π

§11
11.1. A

11.2. C

11.3. A

11.4. A

11.5. A

11.6. A

11.7. B

11.8. C

11.9. D

11.10. A

11.11. B

11.12. D

11.13. D

11.14. A

11.15. C

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


11.16. A

11.17. D

11.18. D

11.19. D

11.20. A

11.21. A

11.22. C

11.23. C

11.24. A

11.25. A

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải