BÀI 2

TRANG 1

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY V Ề
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Giải và biện luận phương trình dạng: ax = b

•
•
•
Khi

a≠0
a=0
a=0
a≠0

x=

: Phương trình có một nghiệm duy nhất
và
và

b≠0
b=0

b
a

: Phương trình vô nghiệm.
: Phương trình nghiệm đúng với mọi

phương trình

ax + b = 0

x∈¡

.

được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

?

Giải và biện luận phương trình sau theo ẩn m:
m. ( x − 4 ) = 5 x − 2

*ÁP DỤNG:
1. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:

( 2m + 1) . x = 5 x + 2009m − 1

3. Tìm m để phương trình
nghiệm ứng với m tìm được.

m 2 .x − 3 = x + 3m
m. ( mx − 1) = 4 x + 2

có nghiệm duy nhất, tìm

4. Xác định các giá trị của m để phương trình sau vô nghiệm:

( m − 2 ) x − ( 3x − 2 )

.

=0

5. Xác định các giá trị của m để phương trình sau vô số nghiệm:


TRANG 2
a) m2 x + m ( x − 4 ) = 2 x + 8

b)

;

x2 − m = x + m

.


TRANG 3
ax 2 + bx + c = 0

2. Giải và biện luận phương trình dạng:

•
•

a=0
a≠0

: Trở về giải và biện luận phương trình dạng:

bx + c = 0

.

: Khi đó ta biện luận nghiệm dựa vào việc xét dấu của biệt số
∆ > 0 (∆ ' > 0)

∆

.

: Phương trình có hai nghiệm phân

biệt.
∆ = b 2 − 4ac

x =

(hoặc:

x =

(

−b − ∆

2a

và

−b − ∆ '
a
'

∆ = 0 (∆ ' = 0)
b
x=−
2a

(

−b + ∆
2a

x =

x =

và

−b' + ∆ '
a

)

: Phương trình có một nghiệm (kép)

b'
x=−
a

)

∆ < 0 (∆ < 0)
'

:Phương trình vô nghiệm
1) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:
mx 2 − 2 ( m − 1) x + m − 5 = 0

2) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m:

( m − 1) x 2
3) Tìm m để phương trình
4) Tìm m để phương trình
5) Tìm k để phương trình

+ x + 1 = 0

−2 x 2 + 6 x + 1 − 7 m = 0
2 x2 − 3x + 1 − m = 0

( x − 1) . ( x 2

nhận

x=2

làm nghiệm.

có hai nghiệm khác 3.

)

− 4 x + 2k − 1 = 0

có ba nghiệm phân biệt.


TRANG 4

Chú ý: Cho hai hàm số
Khi đó:

y = f ( x)

và

y = g ( x)

• Phương trình hoành độ giao điểm của
x0

có đồ thị lần lượt là

( C1 )

và

( C2 )

là

của phương trình này là hoành độ giao điểm của
y = 2 x3 − 3x 2 − 1

6) Tìm k để đồ thị hàm số:
điểm phân biệt.

( C1 ) ; ( C2 )

cắt đường thẳng

f ( x) = g ( x)

( C1 )

và

( C2 )

.

. Nghiệm

.

d k : y = kx − 1

tại ba

7) Tìm điều kiện của a và b sao cho phương trình:
2ax 3 + bx 2 = 0

Có ba nghiệm phân biệt.
8) (Đề thi ĐH-2006D) Cho hàm số
thẳng đi qua điểm
phân biệt.

M ( 3; 20 )

y = x3 − 3x + 2

có đồ thị là (C). Gọi

và có hệ số góc là m. Tìm m để

dm

dm

là đường

cắt (C) tại ba điểm

3. Định lý Vi-ét và ứng dụng của định lý Vi-ét:

Nội dung định lý:
ax 2 + bx + c = 0

Nếu phương trình bậc hai
x1 + x2 = −

b
a

Ngược lại, nếu có hai số u và v có tổng
nghiệm của phương trình:
2

( a ≠ 0)
x1 . x2 =

;
u+v=S

x − S .x + P = 0

, có hai nghiệm

x1 ; x2

thì:

c
a

và tích

u.v = P

thì u và v là các


TRANG 5

Ứng dụng:
1) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
f ( x ) = ax 2 + bx + c

2) Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức
nghiệm

x1 ; x2

có hai

f ( x ) = a ( x − x`1 ) . ( x − x2 )

thì ta có:

3) Tìm hai số khi biết Tổng và Tích: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng
là các nghiệm của phương trình: x 2 − S .x + P = 0
4) Tính được các giá trị của biểu thức:
x1 + x2 ; x1. x2 ; x12 + x22 ; x13 + x23 ;

Mà không cần tìm
đó.

x1 ; x2

1
1
2
+ ; ( x1 − x2 ) ; x1 − x2 ;...
x1 x2

, chỉ cần biết

x1 ; x2

là nghiệm của một phương trình nào

*ÁP DỤNG:
x1 ; x2

1) Gọi
là hai nghiệm của phương trình
trình, hãy tính:
a)

x12 + x22

;

b)

x2 − x1

e)

;

f)

x13 + x23
1
1
+
x1 x2

;

;

c)

g)

3x 2 − 5x + 2 − m = 0

x 2 − 3x + 1 = 0

x14 + x24
x2
x

+ 1
x1
x2

;

;

d)

h)

. Không giải phương

( x1 − x2 )

2

x13 .x2 + x1.x23

2) Cho phương trình
. Tìm m để phương trình nhận -1 làm
nghiệm, tìm nghiệm còn lại ứng với m tìm được.


TRANG 6

3) Cho phương trình:

x 2 + 2mx + 3 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để tổng các bình phương bằng 10.
4) Tìm k để phương trình

x 2 − ( k + 1) x + 12 = 0

a) Có hai nghiệm đối nhau.
b) Có hai nghiệm

x1 ; x2

thỏa mãn:

5) (ĐH- 2010)Cho hàm số:
Tìm m để đồ thị hàm số của
mãn điều kiện:

( x1 − 2 x2 ) . ( x2

− 2 x1 ) = 10

.

y = x3 − 2 x 2 + ( 1 − m ) x + m ... ( 1) , m

( 1)

là tham số thực.

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

x12 + x22 + x32 < 4

6) Cho phương trình:

x2 − 7 x + 3 = 0

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

x1

và

2x1 − x2

;

x2

.

2x2 − x1

A = 2 x1 − x2 + 2 x2 − x1

c) Hãy tính giá trị của biểu thức:
7) Cho a > b > 0 và phương trình
a) Chứng minh rằng phương trình

.
ab .x 2 − ( a + b ) . x + 1 = 0.

( 1)

( 1)

có hai nghiệm phân biệt.

.

x1 ; x2 ; x3

thỏa


TRANG 7
b) Không giải phương trình, hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu giữa
nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của phương trình

( 1)

.

4.Khảo sát dấu của nghiệm của phương trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0

*Phương pháp:

*Phương trình có hai nghiệm âm


∆ = b 2 − 4ac ≥ 0

b

⇔ S = − < 0
a

c

 P = a > 0

*Phương trình có hai nghiệm dương


∆ = b 2 − 4ac ≥ 0

b

⇔ S = − > 0
a

c

 P = a > 0

⇔P=

*Phương trình có hai nghiệm trái dấu

c
<0
a

.

* ÁP DỤNG:

( 1)

x 2 − 4mx + 3 = 0

1) Cho phương trình
a) Tìm m để phương trình
b) Tìm m để

( 1)

( 1)

có hai nghiệm âm phân biệt.

có hai nghiệm

x1 ; x2

thỏa mãn

x 2 − x + 2m − 3 = 0

2) Cho phương trình

x1 < 1 < x2

( 1)

.


TRANG 8

a) Tìm m để phương trình
b) Tìm m để phương trình
c) Tìm m để phương trình
x2 > − 2

( 1)

có hai nghiệm trái dấu.

( 1)
( 1)

có hai nghiệm dương.
có hai nghiệm phân biệt

x1 ; x2

sao cho

x1 > − 2

.

3) Cho phương trình:

( m − 4) x2

a) Tìm các giá trị của m để
b) Tìm các giá trị của m để

( 1)
( 1)

− 2. ( m − 2 ) .x + m − 1 = 0

( 1)

có ít nhất một nghiệm dương.
có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn 2.

và


TRANG 9

ÔN TẬP KIẾN THỨC 9

I) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

ax 2 + bx + c = 0

( a ≠ 0)

A. Trường hợp khuyết hệ số b hoặc hệ số c:
Khuyết hệ số b (nghĩa là b=0)

Khuyết hệ số c (nghĩa là c=0)
ax + bx = 0
2

ax + c = 0
2

⇔ ax 2 = −c ⇔ x 2 =
⇔ x=±

−c
a

⇔ x ( ax + b ) = 0

−c
a

x = 0
x = 0
⇔

⇔
 x = −b
ax
+
b
=
0

a


 −c

≥ 0÷

 a


B. Trường hợp có đầy đủ hệ số a, b, c ( nghĩa là các hệ số a, b, c đều khác 0)
Trường hợp 1:
a + b + c =0

Trường hợp 2:
a −b + c =0

Trường hợp 3: Không
xảy ra trường hợp 1 và
2.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = 1; x2 =

c
a

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = −1; x2 =

Lập

−c
a

∆ = b 2 − 4ac


−b ± ∆
 ∆ > 0 → x1;2 =
2a

−b

∆ = b 2 − 4ac  ∆ = 0 → x1;2 =
2a

∆
<
0
→
x

∈
∅




II) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG:

ax 4 + bx 2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) ... ( *)


TRANG 10
Phương pháp giải: Chuyển về phương trình phương trình bậc hai để giải bằng
cách đặt ẩn phụ.

Cụ thể thực hiện như sau:
Đặt

t = x2 ( t ≥ 0 )

-Khi đó phương trình (*) trở thành:
at 2 + bt + c = 0... ( 1)

t≥0

Giải phương trình
at 2 + bt + c = 0... ( 1)

( a ≠ 0)

-Loại nghiệm t dựa vào điều kiện
- Sau khi tìm nghiệm t ta tìm nghiệm x
và kết luận tập nghiệm.

( a ≠ 0)

. Đây là
phương bậc hai theo ẩn t rồi tìm x.
III) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN MẪU:
Phương pháp giải chung: GỒM 4 BƯỚC

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình (ĐKXĐ).
Bước 2 Khử mẫu bằng cách quy đồng mẫu số.
Bước 3 Giải phương trình (thường là phương trình bậc hai).
Bước 4 Loại nghiệm dựa vào ĐKXĐ rồi kết luận tập nghiệm.
Chú ý: Ở Bước 2 ta cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để tìm mẫu số
chung
Các hằng đẳng thức thường dùng:
1) ( a ± b ) = a 2 + b 2 ± 2ab
2

2) a 2 − b 2 = ( a − b ) . ( a + b )

(
= ( a − b ) .( a

)
+ ab + b )

3) a 3 + b3 = ( a + b ) . a 2 − ab + b 2

4) a 3 − b3

2

2

5) ( a ± b ) = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3
3

IV) BIỆN LUẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:


TRANG 11
Phương pháp giải chung: Dùng sơ đồ tư duy nghiệm của phương trình
ax 2 + bx + c = 0... ( *)
a≠0

- Phương trình (*) ở trên CHƯA là phương trình bậc hai. Chỉ khi
thì phương
trình (*) ĐÃ trở thành phương trình bậc hai. Đó là MẤU CHỐT để giải những bài
toán biện luận mà hệ số a CÓ CHỨA tham số m
- Lưu ý: TA cần phân biệt 2 CÂU HỎI sau:
NỘI DUNG
Tìm m để thỏa điều kiện cho trước …
Chứng minh rằng phương trình thỏa
ĐK với mọi m.

TRÌNH BÀY
-Để phương trình thỏa ĐK cho trước
… (Bị ép buộc để thỏa).

∆ = b 2 − 4ac

⇔

∆

-Tính
. Rồi tự bản thân
thỏa ĐK với mọi m ( Tự nhiên mà có )

V) ĐỊNH LÝ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT:
i. Nội dung của định lý Vi-ét:
ax 2 + bx + c = 0

( a ≠ 0)

x1 ; x2

- Nếu phương trình bậc hai
có hai nghiệm
thì khi đó
ta biết được mối quan hệ giữa TỔNG và TÍCH của hai nghiệm như sau:
−b

 S = x1 + x2 = a

 P = x .x = c
1 2

a

ii. Ứng dụng của định lý Vi-ét:
a) Tìm hai số KHI biết TỔNG và TÍCH của chúng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
VÍ DỤ MINH HỌA
1) Từ hệ thức cho trước của x và y . VD: Tìm hai số x và y trong trường hợp
S = x1 + x2
sau:
x + y = 32, x. y= 231
Ta tìm TỔNG
và TÍCH


TRANG 12
P = x1.x2

Giải: Khi đó x, y là nghiệm của phương

2) Khi đó x, y là nghiệm của
phương trình:

trình:

 X 1 = 21
⇔
 X =11
X 2 − 32 X + 231 = 0
 2

. Khi

 x = 21  x = 11
∨

 y = 11  y = 21

X − SX + P = 0
2

đó ta có:
b)Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Tính TỔNG hai nghiệm

S = x1 + x2

P = x1.x2

và TÍCH hai nghiệm

VÍ DỤ MINH HỌA
VD: Lập phương trình bậc hai có các
nghiệm là cặp số sau:
7

2) Phương trình
có+hai
X 2 − SX
P = 0nghiệm
là:

x1 ; x2

a) và
Giải:

3

a) Tổng

b)

1+ 2

S = 7 + 3 = 10

7

Vậy và

3

và

, Tích

1− 2

P = 7.3 = 21

là nghiệm của phương trình:

X − 10 X + 21 = 0
2

(

) (

)

S = 1+ 2 + 1− 2 = 2

b) Tổng

(

)(

)

, Tích

P = 1 + 2 . 1 − 2 = 1 − 2 = −1

Vậy

1+ 2

và

1− 2

là nghiệm của

X − 2 X −1 = 0
2

phương trình:
c) Phân tích

ax 2 + bx + c

thành nhân tử:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ax + bx + c = 0
2

Nếu phương trình
hai nghiệm

x1 ; x2

thì

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) . ( x − x2 )

có

VÍ DỤ MINH HỌA
VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2 x 2 − 5x + 3

Giải: Phương trình
a = 2; b = −5; c = 3

và

2x2 − 5x + 3 = 0
a +b + c =0

với

. Khi đó


TRANG 13
x1 = 1; x2 =

phương trình có hai nghiệm
Vậy:

3
2

3

2 x 2 − 5 x + 3 = 2 ( x − 1) .  x − ÷ = ( x − 1) . ( 2 x − 3)
2



d) XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ NGHIỆM THỎA
ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Tìm điều kiện để phương trình có
∆≥0

nghiệm:
2) Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét
x1 ; x2

giải hệ đối với nghiệm
rồi thay
vào phương trình thứ ba của hệ để
tìm tham số m.
3) Kiểm tra lại xem m có thỏa điều
kiện có nghiệm không rồi kết luận.

VÍ DỤ MINH HỌA
VD: Xác định m để phương trình:
x2 + 2 x + m = 0

có hai nghiệm

x1 ; x2

3x1 + 2 x2 = 1

thỏa

mãn:
Giải:
+ Phương trình có nghiệm
⇔ ∆ = 4 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1

(*)
+ Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
−b

=− 2
 x1 + x2 =
a

 x1.x2 = m

+ Kết hợp với giả thiết
có hệ:
 x1 + x2 = − 2

3 x1 + 2 x2 = 1

 x1.x2 = m

m = −35

, ta

( 1)
( 2)

( 3)

( 1) ; ( 2 ) ⇒ x1 = 5; x2 = −7
được

3x1 + 2 x2 = 1

. Thay vào (3) ta

thỏa (*). Vậy

m = −35

.


TRANG 14
x1 ; x2

e) BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI ( Nghĩa là biểu thức đề bài cho có thể đưa về TỔNG hai
nghiệm

x1 + x2

và TÍCH hai nghiệm

x1.x2

MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ
1) x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 = S 2 − 2 P
2

2) ( x1 − x2 ) = x12 + x22 − 2 x1.x2
2

= ( x1 + x2 ) − 4 x1 .x2 = S 2 − 4 P

)
VÍ DỤ MINH HỌA
VD: Cho phương trình:
x 2 − 2mx − 1 = 0... ( *)

.

2

3) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 . ( x1 + x2 )

Giả sử phương trình có hai nghiệm

3

= S − 3PS .
3

. Tìm m để

x1

và

x2

x1 ; x2

thỏa mãn:

x + x − x1.x2 = 7
2
1

2
2

Giải:
x1 ; x2

+Vì
là hai nghiệm của phương
trình (*) nên theo định lý Vi-ét:
b
−2m

x
+
x
=
−

=
−
= 2m
1
2

a
1

 x .x = c = − 1
 1 2 a

+Theo đề bài ta có:

x12 + x22 − x1.x2 = 7

⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 − x1 x2 = 7
2

⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1.x2 − 7 = 0
2

⇔ ( 2m ) − 3 ( −1) − 7 = 0
2

⇔ 4m 2 − 4 = 0 ⇔ m 2 = 1
⇔ m = ±1
x1 ; x2

f) TÌM HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC
HAI KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO THAM SỐ.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

VÍ DỤ MINH HỌA


TRANG 15
1) Điều kiện để phương trình bậc hai

x1 ; x2

∆≥0
VD: Giả sử
là nghiệm của phương
2
có nghiệm:
x − 2 ( m − 1) x + m2 − 1 = 0
2) Từ hệ thức Vi-ét tìm S và P theo
trình:
. Tìm hệ
tham số m.
x1 ; x2
3) Khử tham số m từ S và P để có hệ
thức giữa
không phụ thuộc vào m.
thức giữa S và P không phụ thuộc vào Giải:
m.
∆≥0
+ Phương trình có nghiệm:

⇔ −2 ( m − 1)  − 4.1. ( m 2 − 1) ≥ 0
2

⇔ m ≤1

+Áp dụng định lý Vi-ét ta có:
 S = 2 ( m − 1)

2
 P = m − 1

( 1)
( 2)

( 1) ⇒ m =

S+2
2

Từ

thay vào

( 2)

thì được:

2

S +2
2
P =
÷ − 1 ⇔ 4 P = S + 4S
 2 

.

Vậy hệ thức cần tìm là:

( x1 + x2 )

2

+ 4 ( x1 + x2 ) = 4 x1 x2

VI) DẤU NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
-Để làm được bài tập loại này TA cần quan tâm đến 2 YẾU TỐ:
−b

S = x1 + x2 =


a
∆ = b 2 − 4ac; Vi − et : 
c
 P = x .x =
1 2

a

- Dấu nghiệm số hiểu theo nghĩa đơn giản là tính chất của nghiệm là số âm hay số
dương
- Một số dạng THƯỜNG GẶP trong đề thi:
Cho phương trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0

( a ≠ 0 ) ( *)


TRANG 16
NỘI DUNG
1) Phương
trình có hai
nghiệm trái
dấu.

GIẢI THÍCH TẠI SAO CÓ CÔNG
THỨC
+ Có hai nghiệm trái dấu, điều này
chứng tỏ phương trình có hai nghiệm

HÌNH THÀNH CÔNG
THỨC
Phương trình có hai
nghiệm trái dấu

( 1)

⇔ ∆ > 0 ⇔ b 2 − 4ac > 0

⇔ ac < 0

phân biệt
+Yêu cầu 2 nghiệm trái dấu, TA dựa vào
Vi-ét để phân tích như sau:
- Hai nghiệm trái dấu nghĩa là có một
nghiệm ÂM và một nghiệm DƯƠNG
VD:
x1 = − 2; x2 =1 ⇒ x1 + x2 = − 1 < 0; x1.x2 < 0
x1 = 2; x2 = − 1 ⇒ x1 + x2 =1 < 0; x1.x2 < 0

Nhận xét: Cả hai trường hợp TÍCH hai
nghiệm đều âm. Nhưng ta không biết
dấu của TỔNG hai nghiệm.
⇔P=

-Do đó hai nghiệm trái dấu
Do chỉ xét dấu nên ĐK trên
⇔ ac < 0

c
<0
a

.

( 2)

Kết hợp hai ĐK

( 1) ; ( 2 ) ⇒ ac < 0

⇔∆ ≥ 0
2) Phương
+ Hai nghiệm
trình có hai
nghiệm cùng + Dựa vào Vi-ét:
- TỔNG hai nghiệm có lúc ÂM, có lúc
dấu
DƯƠNG. Ta không xét
- TÍCH hai nghiệm kết quả LUÔN
⇔P=

3) Phương
trình có hai
nghiệm
dương phân
biệt

Phương trình có hai
nghiệm cùng dấu
∆ ≥ 0
⇔
P > 0

c
>0
a

DƯƠNG
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
⇔∆>0

+Có hai nghiệm

x1 ; x2 > 0

. Dựa vào Vi-ét

Phương trình có hai
nghiệm dương phân
biệt khi và chỉ khi:


TRANG 17

ta có:
3’) Phương
trình có hai
nghiệm
dương

 x1 + x2 > 0
S > 0
⇔

P > 0
 x1.x2 > 0

∆ > 0

S > 0
P > 0


+ Phương trình có hai nghiệm
+Có hai nghiệm

x1 ; x2 > 0

⇔∆≥0

. Dựa vào Vi-ét

 x1 + x2 > 0
S > 0
⇔

P > 0
 x1.x2 > 0

ta có:
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

4) Phương
trình có hai
nghiệm âm
phân biệt

⇔∆>0

+Có hai nghiệm

ta có:
4’) Phương
trình có hai
nghiệm âm

x1 ; x2 < 0

⇔∆≥0

ta có:
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

lớn hơn số

α

+ Hai nghiệm
Khi đó, Đặt:
trở thành:

 x1 > α
t = x − α > 0
⇔1 1

 x2 > α

t2 = x2 − α > 0

t = x −α

(

)

khi:

∆ ≥ 0

S < 0
P > 0


Phương trình có hai
nghiệm phân biệt và
đều lớn hơn số

.

. Phương trình (*)

a. t 2 + ( 2aα + b ) .t + aα 2 + bα + c = 0 ( 1)

∆ > 0

S < 0
P > 0



Phương trình có hai
nghiệm âm khi và chỉ

. Dựa vào Vi-ét

 x1 + x2 < 0
S < 0
⇔

P > 0
 x1.x2 > 0

5) Phương
⇔∆>0
trình có hai
nghiệm phân
biệt và đều

Phương trình có hai
nghiệm âm phân biệt

khi và chỉ khi:

+ Phương trình có hai nghiệm
+Có hai nghiệm

chỉ khi:

∆ ≥ 0

S > 0
P > 0


. Dựa vào Vi-ét

 x1 + x2 < 0
S < 0
⇔

P > 0
 x1.x2 > 0

x1 ; x2 < 0

Phương trình có hai
nghiệm dương khi và

∆ > 0

S
⇔  >α
2
 a. f ( α ) > 0

t)
+Với một nghiệm x ta có một nghiệm t.
Do đó YCBT trở về Bài Toán “phương

trình (1) có hai nghiệm dương phân

,với

f ( x ) = ax + bx + c
2

(ẩn

α


TRANG 18
biệt”.
∆ > 0
∆ > 0


⇔ t1 + t2 > 0 ⇔ ( x1 − α ) + ( x2 − α ) > 0
t .t > 0

1 2
( x1 − α ) . ( x2 − α ) > 0
∆ > 0

x + x
⇔  1 2 >α
 2
 a. aα 2 + bα + c > 0


(

)

+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt
6) Phương
⇔∆>0
trình có hai
nghiệm phân
 x1 < α
t = x − α < 0
⇔1 1
biệt và đều

 x2 < α
t2 = x2 − α < 0
nhỏ hơn số
+ Hai nghiệm
.
α
Khi đó, Đặt:
trở thành:

t = x −α

. Phương trình (*)

(

)

a. t 2 + ( 2aα + b ) .t + aα 2 + bα + c = 0 ( 2 )

Phương trình có hai
nghiệm phân biệt và
đều nhỏ hơn số
∆ > 0

S
⇔  <α
2
 a. f ( α ) > 0

α

,với

f ( x ) = ax + bx + c
2

(ẩn t)
+Với một nghiệm x ta có một nghiệm t.
Do đó YCBT trở về Bài Toán “phương
trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt”.
∆ > 0
∆ > 0


⇔ t1 + t2 < 0 ⇔ ( x1 − α ) + ( x2 − α ) < 0

t .t > 0

1 2
( x1 − α ) . ( x2 − α ) > 0

∆ > 0

x + x
⇔  1 2 <α
 2
 a. aα 2 + bα + c > 0


(

7) Phương

)

+TH1: Phương trình này có 1 nghiệm

Phương trình có 1
nghiệm và nghiệm


TRANG 19
trình có 1
nghiệm và
nghiệm này
lớn hơn

α

duy nhất và nghiệm này lớn hơn

α

α

này lớn hơn
Giải cụ thể theo từng
∆ = 0

⇔
trường hợp và kết
b
 x1 = x2 = − 2a > α
luận là sự tổng hợp
kết quả của 3 trường
+TH2: Phương trình có hai nghiệm phân hợp.
biệt thỏa:
x1 < α < x2 ⇔ x1 − α < 0 < x2 − α ( *)
t = x −α

( *) ⇔ t1 < 0 < t2

Đặt:
. Khi đó:
. Bài
toán trở thành “ Phương trình có 2

nghiệm trái dấu” (ẩn t)
+TH3: Phương trình có nghiệm

x1 = α

x2 > x1

8) Phương
trình có 1
nghiệm và
nghiệm này
nhỏ hơn

α

và
+TH1: Phương trình này có 1 nghiệm
duy nhất và nghiệm này nhỏ hơn

α

Phương trình có 1
nghiệm và nghiệm
α

này nhỏ hơn
Giải cụ thể theo từng
trường hợp và kết
luận là sự tổng hợp
+TH2: Phương trình có hai nghiệm phân kết quả của 3 trường

biệt thỏa:
hợp.
∆ = 0

⇔
b
 x1 = x2 = − 2a < α

x1 < α < x2 ⇔ x1 − α < 0 < x2 − α ( *)
t = x −α

( *) ⇔ t1 < 0 < t2

Đặt:
. Khi đó:
. Bài
toán trở thành “ Phương trình có 2
nghiệm trái dấu” (ẩn t)
∆ > 0
∆ > 0
⇔
⇔
t1.t2 < 0
a. f ( α ) < 0

+TH3: Phương trình có nghiệm
và

x2 < x1

x1 = α


TRANG 20
5.Ứng dụng thực tế:

1) Một công nhân nhà máy quạt phải ráp một số quạt trong 18 ngày. Vì đã vượt
định mức mỗi ngày 8 chiếc nên chỉ trong 16 ngày anh ta đã ráp xong số quạt được
giao và còn ráp thêm được 20 chiếc quạt nữa. Hỏi mỗi ngày anh ta ráp được bao
nhiêu quạt?.
2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có hai kích thước là 40 (m), 60 (m). Cần tạo ra
một lối đi xung quanh mảnh vườn có chiều rộng như nhau sao cho diện tích còn
lại là 1500 m2. Hỏi chiều rộng của lối đi là bao nhiêu?.

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PH ƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
A. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG

ax + b

= cx + d

*Phương pháp:

ax + b = cx + d

 ax + b = cx + d
⇔
 ax + b = − ( cx + d )

Vậy ta giải hai phương trình

( 1)

và

( 2)

( 1)
( 2)

.

rồi lấy tất cả các nghiệm thu được.

*Áp dụng:
1) Giải các phương trình sau:
x−2 = x+3

a)

4 x 2 − 12 x + 9 = x + 1

;

Lưu ý:

A

2

b)

.

= A

2) Giải và biện luận các phương trình:
mx + 2 x − 1 = x

a)

2 x − 1 = mx + 2

;

b)

.

B. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC.
1) Giải các phương trình:


TRANG 21

a)

1
1

−
=2
x −1
x−2

;

b)

x −1
3x
5
−
=−
x
2x − 2
2

.

2) Giải và biện luận các phương trình:

a)

3mx + 2
=1
x +1

4 + ( m + 2) x

;

2x − 3

b)
y=

3) (Đề ĐH-2003A) Cho hàm số
thị hàm số
dương.

( 1)

mx 2 + x + m
x −1

= −m + 1

( 1)
, (m là tham số). Tìm m để đồ

cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ

4) (Đề ĐH-2003D) Cho hàm số
d m : y = mx + 2 − 2m

cắt

( C)

x2 − 2x + 4
y=
... ( C )
x−2

. Tìm m để đường thẳng

tại hai điểm phân biệt.

ax 4 + bx 2 + c = 0

C. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG:
*Phương pháp: Đặt:

y = x2 ≥ 0

. Đưa về phương trình bậc hai.

*Áp dụng:
1) Giải các phương trình:
a)

x4 − 6 x2 + 5 = 0

;

b)

2 x 4 − 5x 2 − 1 = 0
y = x 4 − mx 2 + m − 1

2) (Dự bị ĐH- 2002A) Cho hàm số
(m là tham số).Tìm m để đồ
thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.


TRANG 22

3) (Đề ĐH- 2009D- Phần chung). Cho hàm số

( Cm )

y = x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3m

y = −1

là
, m là tham số. Tìm m để đường thẳng
phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

cắt đồ thị

( Cm )

có đồ thị

tại 4 điểm

D.Một số phương trình được giải bằng cách đặt ẩn phụ.
2 x 2 − 5. x 2 − 3 x + 5 = 6 x − 7

1) Giải phương trình:
x+7 −

3

x = 1

2) (ĐH Luật HN-1996). Giải phương trình:

.

3) (ĐH-2009A-Phần chung) Giải các phương trình:
2. 3 3 x − 2 + 3. 6 − 5 x − 8 = 0

(x∈¡ )

4) Giải các phương trình:
4 x2 +

x + 4 x − 3. x + 2 + 4 = 0
2

a)

;

b)

1

+
x2

2x −

1
x

−6 = 0

.

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT NHIỀU ẨN.
A. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
*Phương pháp: Xét hệ phương trình:
ax + by = c

 '
'
'
a x + b y = c


( a + b ≠ 0)
( ( a ) + ( b ) ≠ 0)
2

2

'

2

'

2

Ngoài những cách đã biết, ta còn có thể làm như sau:Tính các định thức:


TRANG 23
D =

a
a'

b
= ab ' − a 'b
'
b

Dy =

a
a'

c
= ac ' − a 'c Dx =

'
c

;

• Nếu
• Khi

D≠0
D=0

o Nếu
o Nếu

thì hệ có nghiệm duy nhất

, xét tiếp

Dx = 0

b
= cb ' − c 'b
'
b

;

( x; y )

Dx ≠ 0

c
c'

Dx

hoặc

và

Dy

Dy ≠ 0

D D 
= x; y÷
 D D 

.

.

thì hệ vô nghiệm.

x ∈ ¡

 ax + by = c

Dy = 0

và

thì hệ có vô số nghiệm tính theo công thức:

*ÁP DỤNG:
1) Giải các hệ phương trình sau:

a)

c)

x − 5y = 1

2 x + 3 y = 3

;

3x − y = 1

−6 x + 2 y = 2016

b)

;

d)

1

 2 x − 2 y = 7


3x − y = 1

3

;

2 x − 5 y = 1

16 x − 40 y = 8

.


TRANG 24
2) Giải các hệ phương trình sau:

a)

5 3
x − y = 4


2 + 1 = 3
 x y

;

b)

3) Giải hệ phương trình:








1
+
x −1

2
=5
y +1

6
−
x −1

1
=4
y +1

.

 2 x − y − 2. y − x = 1

3. 2 x − y + x − y = 10

4) Trên sân khấu có hai hàng người đứng hát đồng ca. Nếu trong hàng một có một
người chuyển sang hàng thứ hai thì hai hàng có số người bằng nhau. Nếu trong
hàng thứ hai có một người chuyển sang hàng thứ nhất thì số người ở hàng thứ
nhất gấp đôi số người ở hàng thứ hai. Hỏi mỗi hàng có bao nhiêu người?
5) Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 135km và ngược dòng 63km.
Một lần khác, canô cũng chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 108km và ngược
dòng 84km. Tính vận tốc của dòng nước chảy và vận tốc của canô (biết rằng vận
tốc thật của canô và vận tốc dòng nước chảy không đổi).

B. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.
*Phương pháp: Đã nêu ở phân trên.
*ÁP DỤNG:
1) Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo tham số a:

a)

 ax + 2 y = 1

 x + ( a − 1) y = a

;

b)

( a − 2 ) x + ( a − 4 ) y = 2

( a + 1) x + ( 3a + 2 ) y = − 1.

2) Giải và biện luận tham số m hệ phương trình sau:

2 x + 3 y = 5

x − y = 2

x + 4 y = m

( 1)
( 2)
( 3)


TRANG 25