CÁC yếu tố TAM GIÁC PHÂN CHIA 4 mức độ

VẤN ĐỀ 8. Các yếu tố trong tam giác.
1) Câu hỏi nhận biết
Câu 1.

Cho tam giác ABC có A ( 1;1) , B (0; −2), C ( 4; 2 ) . Phương trình đường trung tuyến của tam giác

ABC kẻ từ C là
A. 5 x − 7 y − 6 = 0.

Câu 2.

B. 2 x + 3 y − 14 = 0. C. 3 x + 7 y − 26 = 0.
D. 6 x − 5 y − 1 = 0.
Hướng dẫn giải
1 1
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M  ; − ÷
2 2
x−4 y−2
CM :
=
⇒ CM : 5 x − 7 y − 6 = 0
1
1
Phương trình đường thẳng
 Chọn A .
4−
2+
2
2
Cho tam giác ABC có A ( 1; 4 ) , B ( 3; 2 ) , C ( 7;3 ) . Phương trình đường cao của tam giác ABC
kẻ từ A là

A. 4 x + y − 5 = 0.
uuur
Ta có BC = ( 4;1)

Câu 3.

uuur
Ta có BC = ( −7; −3)

uuur
Ta có AC = ( −5;3)

D. 7 x + 3 y + 13 = 0.

B. 3 x + 5 y − 20 = 0. C. 3 x + 5 y − 37 = 0.
Hướng dẫn giải

D. 3 x − 5 y − 13 = 0.

Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ B là: −5 ( x − 4 ) + 3 ( y − 5 ) = 0 ⇔ −5 x + 3 y + 5 = 0.
 Chọn A .
Cho tam giác ABC có A(2; −1), B ( 4;5 ) , C ( −3; 2). Phương trình đường cao của tam giác ABC
kẻ từ C là
A. x + 3 y − 3 = 0.
uuur
Ta có AB = ( 2;6 )

Câu 6.

B. −3x + 7 y + 13 = 0. C. 3 x + 7 y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là: 7 ( x − 2 ) + 3 ( y + 1) = 0 ⇔ 7 x + 3 y − 11 = 0.
 Chọn A .
Cho tam giác ABC có A(2; −1), B ( 4;5 ) , C (−3; 2). Phương trình đường cao của tam giác ABC
kẻ từ B là
A. 5 x − 3 y − 5 = 0.

Câu 5.

D. x + 4 y − 8 = 0.

Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là: 4 ( x − 1) + y − 4 = 0 ⇔ 4 x + y − 8 = 0
 Chọn C .
Cho tam giác ABC có A(2; −1), B ( 4;5 ) , C (−3; 2). Phương trình đường cao của tam giác ABC
kẻ từ A là
A. 7 x + 3 y − 11 = 0.

Câu 4.

B. 2 x + y − 6 = 0.
C. 4 x + y − 8 = 0.
Hướng dẫn giải

B. x + y − 1 = 0.
C. 3 x + y + 11 = 0.
Hướng dẫn giải

D. 3 x − y + 11 = 0.

Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ C là: 2 ( x + 3) + 6 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 2 x + 6 y − 6 = 0
⇔ x + 3y − 3 = 0
 Chọn A .
Cho tam giác ABC có A ( 2;0 ) , B ( 0;3) , C ( –3;1) . Đường thẳng đi qua B và song song với

AC có phương trình là :
A. 5 x – y + 3 = 0 .
B. 5 x + y – 3 = 0 .

C. x + 5 y –15 = 0 .

D. x –15 y + 15 = 0 .

Hướng dẫn giải
Trang 1/13 -


uuur

r

Đường thẳng d đi qua điểm B ( 0;3) và có vtcp AC = ( −5;1) , vtpt n = ( 1;5 )
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d : x + 5 y –15 = 0 .

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

Chọn C.
Tam giác ABC đều có A(−1; −3) và đường cao BB′ : 5 x + 3 y − 15 = 0 . Tọa độ đỉnh C là:
 128 36 
A. C  128 ; 36 ÷.
B. C  − 128 ; − 36 ÷. C. C  128 ; − 36 ÷. D.
C−
; ÷.
17 
17 
 17 17 
 17
 17
 17 17 
Hướng dẫn giải
Vì tam giác ABC đều nên A và C đối xứng nhau qua BB′
Gọi d là đường thẳng qua A và d ⊥ BB′ ⇒ d : 3 x − 5 y − 12 = 0
5 x + 3 y − 15 = 0
 128 15 
⇒H
;− ÷
H = d ∩ BB′ ⇒ tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: 
 34 34 
3 x − 5 y − 12 = 0
128 36
; ).
Suy ra C (
17 17
Chọn A
Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 2) , B (3;1) , C (5; 4) . Phương trình nào sau đây là
phương trình đường cao của tam giác vẽ từ A ?

A. 2 x + 3 y − 8 = 0 .
B. 3 x − 2 y − 5 = 0 .
C. 5 x − 6 y + 7 = 0 .
D. 3 x − 2 y + 5 = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cho tam giác ABC có A ( 1; 4 ) , B ( 3; 2 ) , C ( 7;3 ) . Lập phương trình đường cao của tam giác

ABC kẻ từ A.
A. 4 x + y − 5 = 0.
uuur
Ta có BC = ( 4;1)

B. 2 x + y − 6 = 0.
C. 4 x + y − 8 = 0.
Hướng dẫn giải

D. x + 4 y − 8 = 0.

Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là: 4 ( x − 1) + y − 4 = 0 ⇔ 4 x + y − 8 = 0
Vậy đáp án đúng là C .
Câu 10. Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(−1;1) , B (4;7) , C (3; − 2) và M là trung điểm của
đoạn thẳng AB . Phương trình tham số của đường trung tuyến CM là
x = 3 + t
x = 3 + t
x = 3 − t
 x = 3 + 3t
A. 
B. 
C. 

D. 
 y = −2 + 4t
 y = −2 − 4t
 y = 4 + 2t
 y = −2 + 4t
Hướng dẫn giải
Chọn B

2) Câu hỏi thông hiểu
Câu 1:

Cho tam giác ABC có A(2; 0), B (0;3), C ( −3; −1) . Đường thẳng đi qua B và song song với AC
có phương trình?
A. 5 x − y + 3 = 0 .
B. 5 x + y − 3 = 0 .
C. x + 5 y − 15 = 0 .
D. x − 5 y + 15 = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Câu 2:

Cho đường thẳng đi qua 2 điểm A ( 1; 2 ) , B ( 4; 6 ) , tọa độ điểm M thuộc Oy ( M ≠ O ) sao cho
diện tích ∆MAB bằng 1 . Đường thẳng AM có phương trình là
A. 2 x − 3 y + 4 = 0 .
B. x + 2 y − 5 = 0 .
C. 2 x + y − 4 = 0 .
D. −2 x − 3 y + 8 = 0 .
Hướng dẫn giải
uuur

AB = ( 3; 4 ) ⇒ AB = 5; M ( 0; yM )
Trang 2/13 -


( AB ) : 4 x − 3 y + 2 = 0
1
AB.d ( M , ( AB ) ) = 1
2
2
⇒ d ( M , ( AB ) ) =
5
 yM = 0
| 4.0 − 3. yM + 2 | 2
 4
⇔
= ⇔
. Do M ≠ O nên M  0; ÷.
4
y M =
5
 3
42 + 32

3
Phương trình đường thẳng AM là 2 x − 3 y + 4 = 0 .
Chọn A.
S ∆MAB =

Câu 3:

Trong mặt Oxy , cho tam giác OAB với A(2;0) , B (0; 2) . Gọi C là điểm đối xứng của A qua
O . Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là
A. x − y + 2 = 0 .
B. 2 x + 3 y − 6 = 0 .
C. 3 x − 2 y + 4 = 0 . D. − x + 2 y − 4 = 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: C là điểm đối xứng của A qua O nên C (−2;0) .
Đường thẳng BC : x − y + 2 = 0 .
Vậy chọn A.

Câu 4:

Trong mặt Oxy , cho tam giác OAB với A(2;0) , B (0; 2) . Gọi C là điểm đối xứng của A qua
trục Ox . Phương trình tổng quát của đường trung trực đoạn thẳng AC là
A. x + y = 0 .
B. x − y = 0 .
C. 2 x − y = 0 .
D. −2 x = y − 5 = 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: C là điểm đối xứng của A qua trục Ox nên C (0; − 2) .
Đường trung trực của đoạn AC có phương trình x + y = 0 .
Vậy chọn A.

Câu 5:

Trong mặt Oxy , cho tam giác OAB với A(2;0) , B (0; 2) . Gọi C là điểm đối xứng của A qua
trực Oy . Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là
A. x − y + 2 = 0 .
B. 2 x + 3 y − 6 = 0 .
C. 3 x − 2 y + 4 = 0 . D. − x + 2 y − 4 = 0 .

Hướng dẫn giải
Ta có: C là điểm đối xứng của A qua trục Oy nên C ( −2;0) .
Đường thẳng BC : x − y + 2 = 0 .
Vậy chọn A.

Câu 6:

Trong mặt Oxy , cho đường thẳng d :2 x + y − 13 = 0 và điểm A(1;1) . Gọi H là tọa độ hình
chiếu vuông góc của A lên d . Viết phương trình đường thẳng OH .
A. −3 x + 5 y = 0 .
B. −3x − 5 y = 0 .
C. 5 x + 3 y = 0 .
D. 5 x − 3 y = 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: H (5;3)
Nên đường thẳng OH có phương trình −3 x + 5 y = 0 .
Vậy chọn A

Câu 7:

Trong mặt Oxy , cho đường thẳng d :2 x + y − 13 = 0 và điểm A(1;1) . Điểm A ' là đối xứng của
điểm A qua đường thẳng d . Viết phương trình đường thẳng OA ' .
A. −3 x + 5 y = 0 .
B. −3x − 5 y = 0 .
C. 5 x + 3 y = 0 .
D. 5 x − 3 y = 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có : A '(9;5)
Nên đường thẳng OA ' có phương trình −5 x + 9 y = 0
Trang 3/13 -

Vậy chọn A.
Câu 8:

Cho tam giác ABC biết A ( 2; −2 ) , B ( 10; −6 ) , C trên trục Oy và trọng tâm G nằm trên trục
Ox . Phương trình tổng quát của đường thẳng CG là
A. 2 x + y − 8 = 0 .
B. −2 x + y − 8 = 0 .
C. 2 x − y − 8 = 0 .
D. 2 x + y + 8 = 0 .
Hướng dẫn giải
Gọi C (0; c ) ∈ Oy và G (a; 0) ∈ Ox , áp dụng công thức trọng tâm, giải hệ ta có:
C ( 0;8 ) , G ( 4;0 ) nên đường thẳng CG có phương trình 2 x + y − 8 = 0
Chọn A.

Câu 9:

Cho tam giác ABC biết các điểm M (1;0) , N (2; 2) , P (−1;3) lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC , CA , AB . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB .
A. .
B. .
C. .
D. .
uuur uuuu
r
Ta có: AN = PM nên A(0;5)

Hướng dẫn giải

Do P là trung điểm AB ta có B (−2;1)
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB
Đs: A(0;5) , B (−2;1) , C (4; −1)
Câu 10: Cho tam giác ABC biết các điểm M (1;0) , N (2; 2) , P (−1;3) lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC , CA , AB . Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC .
A. −3 x + y − 5 = 0 .
B. 2 x + y − 5 = 0 .
C. x + 2 y − 10 = 0 .
D. −3x + 2 y − 10 = 0 .
uuur uuuu
r
Ta có: AN = PM nên A(0;5)

Hướng dẫn giải

uuur
Đường cao kẻ từ đỉnh A nhận VTPT NP = (−3;1) nên có phương trình −3 x + y − 5 = 0
Vậy chọn A.

3) Câu hỏi vận dụng thấp
Câu 1:

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A(3; 2), B (1;1), C (−1; 4) . Phương trình tổng quát
của đường phân giác trong của góc A là
A. x − 3 = 0 .
B. y − 2 = 0 .
C. x + y − 5 = 0 .
D. x + 2 y − 7 = 0 .
Hướng dẫn giải
uuur

AB uuur
.DC .
Gọi D( x; y ) là tọa độ chân đường phân giác trong của góc A. ta có : DB = −
AC
1

x =
3 . Do y A = yD = 2 ⇒ AD : y = 2 .
Mà AB = 5, AC = 2 5 , suy ra : 
 y = 2

Câu 2:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x − 7y + 17 = 0 , d2 : x + y − 5 = 0.
Phương trình đường thẳng d có hệ số góc dương và qua điểm M (0;1) , tạo với d1, d2 một tam
giác cân tại giao điểm của d1, d2 là
A. 3x − y + 1= 0.
B. x + 3y − 3 = 0 .
C. 3x + y + 1 = 0 .
Hướng dẫn giải

D. x − 3y + 3 = 0 .

Trang 4/13 -


Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x − 7y + 17 x + y − 5
 x + 3y − 13 = 0 (∆1)
=

⇔
3x − y − 4 = 0 (∆2)
12 + (−7)2
12 + 12
Đường thẳng cần tìm đi qua M (0;1) và song song với ∆1 hoặc ∆2 .
KL: x + 3y − 3 = 0 và 3x − y + 1= 0
(d) có hệ số góc dương nên có phương trình 3x − y + 1= 0.
Câu 3:

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2x − y + 5 = 0,
d2 :3x + 6y – 7 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng d có hệ số góc âm, đi qua điểm P(2; –1),
cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng
d1 và d 2 .
A. d :3x + y − 5 = 0 .
B. d : x − 3y − 5 = 0 . C. d : x − 3y − 5 = 0 . D. d : x − 3y − 5 = 0 .
Hướng dẫn giải
r
r
d1 VTCP a1 = (2; −1) ; d 2 VTCP a2 = (3;6)
uu
r uu
r
Ta có: a1.a2 = 2.3− 1.6 = 0 nên d1 ⊥ d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P . Gọi d là đường
thẳng đi qua P (2; − 1) có phương trình: d : A(x − 2) + B(y + 1) = 0 ⇔ Ax + By − 2A + B = 0
d cắt d1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I ⇔ khi d tạo với d1 ( hoặc d 2 ) một góc 450
2A − B

 A = 3B
= cos450 ⇔ 3A2 − 8AB − 3B2 = 0 ⇔ 
 B = −3A

A2 + B2 22 + (−1)2
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d :3x + y − 5 = 0
* Nếu A = −3B ta có đường thẳng d : x − 3y − 5 = 0
Vậy đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán là d :3x + y − 5 = 0 ;
Chọn A.
⇔

Câu 4:

Trong mặt phẳng Oxy , Cho ba điểm A(2; 2) , B(1;1) và C (5;1) . Đường thẳng d đi qua A và
cắt đoạn BC tại M sao cho diện tích tam giác ABM bằng diện tích tam giác AMC . Khi đó,
phương trình của đường thẳng d là
A. x + y − 4 = 0 .
B. 2 x − y − 2 = 0 .
C. x − 2 y + 2 = 0 .
D. 4 x − y − 6 = 0 .
Hướng dẫn giải
Diện tích tam giác ABM bằng diện tích tam giác AMC nên M là trung điểm BC và M (3;1) .
Phương trình của đường thẳng d là x + y − 4 = 0 .

Câu 5:

Trong mặt phẳng Oxy , Cho ba điểm A(2; 2) , B(1;1) và C (5;1) . Đường thẳng d đi qua A và
cắt đoạn BC tại M sao cho diện tích tam giác ABM bằng 3 lần diện tích tam giác AMC . Khi
đó, phương trình của đường thẳng d là
A. x + 2 y − 6 = 0 .
B. 2 x − y − 2 = 0 .
C. x − 2 y + 2 = 0 .
D. 4 x − y − 6 = 0 .
Hướng dẫn giải

uuuu
r
uuuu
r
Diện tích tam giác ABM bằng 3 lần diện tích tam giác AMC nên BM = 3MC
Do đó ta có M (4;1) .
Phương trình của đường thẳng d là x + 2 y − 6 = 0 .
Chọn A.

Câu 6:

Trong mặt phẳng Oxy , Cho ba điểm A(2; 2) , B(1;1) và C (5;1) . Đường thẳng d đi qua A và
1
cắt đoạn BC tại M sao cho diện tích tam giác ABM bằng
lần diện tích tam giác AMC .
3
Khi đó, phương trình của đường thẳng d là
A. x + 2 y − 6 = 0 .
B. x − 2 = 0 .
C. x − 2 y + 2 = 0 .
D. 4 x − y − 6 = 0 .
Hướng dẫn giải
Trang 5/13 -


Diện tích tam giác ABM bằng

uuuu
r 1 uuuu
r

1
lần diện tích tam giác AMC nên BM = MC
3
3

Do đó ta có M (2;1) .
Phương trình của đường thẳng d là x − 2 = 0 .
Chọn B.
Câu 7:

Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A(2; 2) , B (1;1) và C (5;1) . Đường thẳng d có
hệ số góc dương, đi qua B và tạo với đường thẳng BC một góc 450 có phương trình là
A. 2 x − y − 1 = 0 .
B. x − y = 0 .
C. x − 2 y + 1 = 0 .
D. 4 x − y − 3 = 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: BC : y = 1
Đường thẳng d qua B và tạo với đường thẳng BC một góc 450 thì d : y = x hoặc
d : x+ y−2=0
Do d có hệ số góc dương nên d : y = x
Chọn B.

Câu 8:

Cho tam giác ABC với A(4;1), B(1;7), C ( −1;0) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
qua điểm C và chia tam giác thành hai phần, phần chứa điểm A có diện tích gấp đôi phần chứa
điểm B.
A. 5 x − 3 y + 5 = 0 .
B. 4 x − 3 y + 4 = 0 .

C. x − 3 y − 1 = 0 .
D. − x + 3 y − 1 = 0 .
Hướng
giải
uuur dẫnuu
ur
Đường thẳng cần tìm qua điểm D sao cho DA = −2 DB ⇔ D = (2;5) ⇒ d :5 x − 3 y + 5 = 0 .
Vậy chọn A.

Câu 9:

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M ( 2;5 ) . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và
cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho diện tích ∆OAB nhỏ nhất.
A. 10 x + 4 y − 40 = 0 .
B. 3 x + 2 y − 16 = 0 .
C. −3 x + 2 y − 4 = 0 = 0 .
D. x − y + 3 = 0 .
Hướng dẫn giải
x y
Gọi A( a;0), B(0; b) ( a, b > 0) và d qua A, B nên pt có dạng : + = 1
a b
2 5
1
d qua M ⇔ + = 1 và S ABO = ab . (có thể dùng Cosi cũng được)
a b
2
2

40
2 5  2

5
2 5
2 5
40
⇒ ab ≥ 40 ⇒ SOAB ≥ 20
−
−2
≥ 2 . ⇒1≥
Do 1 = + = 
nên 1 ≥
÷
÷
ab
a b  a
b
a b
a b
ab
2 5 1
x y
Đẳng thức xảy ra khi = = ⇔ a = 4, b = 10 . Vậy d : + = 1 thì SOAB đạt GTNN là 20.
a b 2
4 10
Chọn A.
Câu 10: Viết phương trình đường thẳng d qua M ( 1; 4 ) và cắt tia Ox , tia Oy lần lượt tại A và B sao
cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
A. 8 x + 2 y − 16 = 0 .
B. x − 2 y + 7 = 0 .
C. −3x + y − 1 = 0 .
D. 2 x + y − 6 = 0 .

Hướng dẫn giải
x y
Gọi A( a;0), B(0; b) ( a, b > 0) và d qua A, B nên pt có dạng : + = 1
a b
1 4
+ =1
Ta có : d qua M nên
a b
1 4
1 4
1
Áp dụng bđt Cosi ta có : 1 = + ≥ 2 . ⇒ ab ≥ 16 ⇒ SOAB = ab ≥ 8 .
a b
a b
2

Trang 6/13 -


1 4 1
= =
a b 2
Do đó a = 2, b = 8 . Vậy d : 8 x + 2 y − 16 = 0
Chọn A.
S min ⇔

4) Câu hỏi vân dụng cao
Câu 1.

(

)

Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A ( 0; 2 ) , B − 3; −1 . Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm
đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB .
A. H 3; − 1 và I − 3; −1 .

(
C. H (

)

)

3;1 và I

(

(

)

)

3;1 .

(
D. H (

)

(

)

B. H − 3; − 1 và I − 3;1 .

)

(

)

3; − 1 và I − 3;1 .

Hướng dẫn giải


qua O
uuu
r
⇒ d : 3x + 3 y = 0 .
Đường cao d : 
d
⊥
AB
⇒
BA
3;3



qua B
uuu
r
⇒ ∆ : y +1 = 0 .
Đường cao ∆ : 
 ∆ ⊥ OA ⇒ OA ( 0; 2 )

(

Giải hệ ta được trực tâm H

(

)

)

3; − 1 .

 dOA : y = 1
⇒ I − 3;1 là tâm cần tìm.
Trung trực các cạnh có phương trình là 
 dOB : 3 x + y + 2 = 0
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng

(

Câu 2.

)

hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H ( −1; −1) , đường phân giác trong
của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x + 3 y –1 = 0 .
3
3
 10 3 
 10
 10 3 
 10
A. C  − ; ÷.
B. C  − ; − ÷.
C. C  ; ÷.
D. C  ; − ÷ .
4
4
 3 4
 3
 3 4
 3
Hướng dẫn giải
Kí hiệu d1 : x – y + 2 = 0 , d 2 : 4 x + 3 y –1 = 0 . Gọi H ′ ( a; b ) là điểm đối xứng của H qua d1 .
Khi đó H ′ ∈ AC .
r
uuuur
r
 a −1 b −1 
;
u ( 1;1) là VTCP của d1 , HH ′ ( a + 1; b + 1) vuông góc với u và trung điểm I 
÷ của

2 
 2
1( a + 1) + 1( b + 1) = 0

⇒ H ′ ( −3; 1) .
HH ′ thuộc d . Do đó toạ độ của H ′  a − 1 b − 1
−
+
2
=
0

2
 2
′
qua H
3x − 4 y + 13 = 0
AC : 
⇒ AC : 3 x − 4 y + 13 = 0 . Toạ độ A 
⇒ A ( 5; 7 ) .
x − y + 2 = 0
 AC ⊥ d 2

3 x + 4 y + 7 = 0
qua H ( −1; − 1)
 10 3 
CH :  uuur
⇒ CH : 3x + 4 y + 7 = 0 . Toạ độ C 
⇒ C  − ; ÷.
 3 4

3 x − 4 y + 13 = 0

 HA = 2 ( 3; 4 )
Trang 7/13 -


Câu 3.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ( 2;0 ) là trung điểm của cạnh

AB . Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A lần lượt có phương trình là 7 x – 2 y – 3 = 0 và
6 x – y – 4 = 0 . Phương trình đường thẳng AC là
A. AC : −3 x − 4 y + 5 = 0 .
B. AC : 3x − 4 y + 5 = 0 .
C. AC : 3 x − 4 y − 5 = 0 .
D. AC : 3x + 4 y + 5 = 0 .
Hướng dẫn giải
7 x – 2 y – 3 = 0
⇒ A ( 1; 2 ) . Điểm B đối xứng A qua M , suy ra B ( 3; − 2 ) .
Toạ độ A : 
6 x – y – 4 = 0
qua B
BC : 
⇒ BC : x + 6 y + 9 = 0 .
 BC ⊥ d : 6 x − y − 4 = 0
7 x − 2 y − 3 = 0
3

⇒ N  0; − ÷ .
N trung điểm BC là nghiệm của hệ 

2

x + 6 y + 9 = 0
uuur
uuuu
r
⇒ AC = 2MN = ( −4; − 3 ) ⇒ AC : 3 x − 4 y + 5 = 0 .
Câu 4.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A ( 6; 6 ) , đường
thẳng đi qua trung điểm I , J của các cạnh AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0 . Tìm tọa
độ của các đỉnh B và C , biết điểm E ( 1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã
cho.
A. B ( 0; 4 ) , C ( –4;0 ) hoặc B ( –6; -2 ) , C ( 2;6 ) .

B. B ( 0; –4 ) , C ( –4;0 ) hoặc B ( –6; - 2 ) , C ( 2; –6 ) .
C. B ( 0; –4 ) , C ( –4;0 ) hoặc B ( –6; 2 ) , C ( 2; –6 ) .

D. B ( 0; –4 ) , C ( 4;0 ) hoặc B ( –6; 2 ) , C ( 2; –6 ) .
Hướng dẫn giải

Gọi H là chân đường cao hạ từ A của ∆ABC . Gọi D là giao điểm của AH và đường thẳng
x+ y –4=0.
Đường thẳng AH đi qua A ( 6; 6 ) và nhận ( 1; –1) làm vector pháp tuyến ⇒ AH : x – y = 0 .
x − y = 0
⇒ D ( 2; 2 ) .
Tọa độ của D là nghiệm của hệ phương trình 
x + y − 4 = 0
H đối xứng với A qua D nên H ( –2; –2 ) .
Đường thẳng BC đi qua H và song song với d nên có phương trình là x + y + 4 = 0 .

B thuộc BC nên B ( t ; –t – 4 ) và C đối xứng với B qua H nên C ( –4 – t ; t ) .

E nằm trên đường cao hạ từ C của ∆ABC nên CE vuông góc với AB .

Trang 8/13 -


uuur uuu
r
t = 0
Hay AB.CE = 0 ⇔ ( t – 6 ) ( t + 5 ) + ( t + 10 ) ( t + 3) = 0 ⇔ 2t ² + 12t = 0 ⇔ 
.
t = –6
Vậy B ( 0; –4 ) , C ( –4;0 ) hoặc B ( –6; 2 ) , C ( 2; –6 ) .
Câu 5.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C ( −4; 1) , phân
giác trong của góc A có phương trình x + y – 5 = 0 . Phương trình đường thẳng BC biết diện
tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
A. BC : −3 x – 4 y + 16 = 0 .
B. BC : 3x – 4 y − 16 = 0 .
C. BC : 3x + 4 y + 16 = 0 .

D. BC : 3 x – 4 y + 16 = 0 .
Hướng dẫn giải

D ( 2a; 2b –1)
Gọi
là điểm đối xứng của C qua đường phân giác trong.
Trung điểm của CD có tọa độ là I ( a – 2; b ) .

I thuộc đường thẳng d : x + y – 5 = 0 ⇔ b = 7 – a ( 1) .
uuur
r
CD vuông góc với d suy ra CD ( 2a + 4; 2b – 2 ) cùng phương với n ( 1; 1)

⇒ 2a + 4 = 2b – 2   ( 2 ) .

Thay ( 1) vào ( 2 ) ta được D ( 4; 9 ) .

A thuộc d nên có dạng A ( t; 5 – t ) với t > 0 do A có hoành độ dương.
uuur uuur
t = 4
⇒ A ( 4; 1) .
AC ⊥ AD ⇔ AC. AD = 0 ⇔ ( –4 – t ) ( 4 – t ) + ( t – 4 ) ( 4 + t ) = 0 ⇔ 
t
=
−
4
L
(
)

uuur
r
Đường thẳng AB đi qua A và D , nhận AD ( 0; 8 ) làm vector chỉ phương hay nhận n1 ( 1; 0 )
làm vector pháp tuyến. Phương trình đường thẳng AB : x – 4 = 0 .
Vì B thuộc AB nên B ( 4; m ) ⇒ AB = m – 1 ; AC = 8 .

 m = –5

1
AB.AC = 4 m –1 = 24 ⇔ m –1 = 6 ⇔ 
⇒ B ( 4; –5 ) hoặc B ( 4;7 ) .
2
m = 7
uuu
r
r
uuu
r
uuur
Vì AB và AD cùng hướng nên B ( 4;7 ) . Khi đó CB ( 8;6 ) , đường thẳng BC nhận n2 ( 3; –4 )
làm vector pháp tuyến.
Đường thẳng BC : 3x – 4 y + 16 = 0 .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh B ( −4; 1) , trọng tâm G ( 1; 1) và
Suy ra S ABC =

Câu 6.

đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các
đỉnh A và C .
A. A ( 4; –3) và C ( −3; 5 ) .
B. A ( 4; –3) và C ( 3; -5 ) .
C. A ( 4; –3) và C ( 3; 5 ) .

D. A ( 4;3) và C ( 3; 5 ) .

Trang 9/13 -

Hướng dẫn giải

Gọi D là trung điểm của cạnh AC . Gọi E là điểm đối xứng với B qua đường thẳng d chứa
phân giác trong của góc A .
uuur 3 uuur  15 
7 
G là trọng tâm ∆ABC ⇒ BD = BG =  ; 0 ÷⇒ D  ; 1÷.
2
 2

2 
Đường thẳng BE vuông góc với d : x – y –1 = 0 , có phương trình là BE : x + y + 3 = 0 .
t
t
Suy ra E ( t ; –3 – t ) . Trung điểm của BE là I  – 2; –1 – ÷∈ d .
2
2
t
t
⇒ – 2 + 1 + – 1 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ E ( 2; – 5 ) .
2
2
uuur  –3
r

DE  ; –6 ÷, đường thẳng AC đi qua E ( 2; –5 ) và nhận n ( 4; –1) làm vector pháp tuyến.
 2

Đường thẳng AC có phương trình là 4 ( x – 2 ) – y – 5 = 0 hay 4 x – y –13 = 0 .
Tọa độ của A thỏa mãn x – y –1 = 0 và 4 x – y –13 = 0 ⇔ x = 4 và y = –3 suy ra A ( 4; –3) .

Câu 7.

C đối xứng với A qua D suy ra C ( 3; 5 ) .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là
 17 –1 
H  ; ÷ . Chân đường phân giác trong của góc A là D ( 5; 3) và trung điểm của cạnh AB
 5 5 

là M ( 0; 1) . Tìm tọa độ đỉnh C .
A. C ( −9; −11) .

B. C ( −9;11) .

C. C ( 9; −11) .

D. C ( 9;11) .

Hướng dẫn giải

uuur  8 16  8
HD =  ; ÷ = ( 1; 2 ) .
5 5  5
r
Đường thẳng BC đi qua D ( 5; 3) , nhận n ( 2; –1) làm vector pháp tuyến, có phương trình là

2 ( x – 5 ) – ( y – 3 ) = 0 ⇒ BC : 2 x – y – 7 = 0 .

Trang 10/13 -

r
 17 –1 
Đường thẳng AH đi qua H  ; ÷ nhận u ( 1; 2 ) làm vector pháp tuyến, có phương trình là
 5 5 
x + 2y – 3 = 0.
A thuộc AH ⇒ A ( 3 – 2t ; t ) , B đối xứng với A qua M ⇒ B ( 2t – 3; 2 – t ) .

B thuộc BC ⇒ 2 ( 2t – 3) – ( 2 – t ) – 7 = 0 ⇒ 5t –15 = 0 ⇔ t = 3 ⇔ A ( –3;3 ) và B ( 3; –1) .
uuur
Đường thẳng AD , nhận AD ( 8;0 ) làm vector chỉ phương, nên có phương trình là y – 3 = 0 .

Gọi N ( a, b ) là điểm đối xứng với N qua AD . Suy ra N thuộc cạnh AC .
a b 1
Trung điểm của MN là I  ; + ÷ thuộc AD và MN vuông góc với AD
2 2 2
⇔ b + 1 = 6 và a.8 = 0 ⇔ b = 5 và a = 0 ⇒ N ( 0;5 ) .
uuur
Đường thẳng AC đi qua N ( 0; 5 ) và nhận AN ( 3; 2 ) làm vector chỉ phương, nên có phương

Câu 8.

trình là 2 x – 3 y + 15 = 0 .
Tọa độ của C thỏa mãn 2 x – 3 y + 15 = 0 và 2 x – y – 7 = 0 ⇔ x = 9 và y = 11 . Vậy C ( 9;11) .
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của
đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC . Phương trình đường thẳng CD
biết M ( 1; 2 ) và N ( 2; –1) .
A. CD : 3x – 4 y –15 = 0 .
C. CD : −3x + 4 y + 15 = 0 .

B. CD : −3x – 4 y –15 = 0 .

D. CD : 3x + 4 y –15 = 0 .
Hướng dẫn giải

Gọi I là giao điểm của AC , BD .
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD .
a
3 AC 3a 2
AM = ; MN = 10 ; AN =
=
2
4
4
·
MN ² = AM ² + AN ² – 2 AM .AN .cos MAN .

a ² 9a ² 3a ²
+
–
⇒a=4.
4
8
4
Gọi E ( a, b ) là trung điểm của CD .
IC AC
ME = a = 4; EN =
=
= 2
2
4
Nên ta có: ( a – 1) ² + ( b – 2 ) ² = 16 ( 1) .

Do đó 10 =

và ( a – 2 ) ² + ( b + 1) ² = 2         ( 2 ) .

Từ ( 1) và ( 2 ) ta có 2a – 3 – 3 ( 2b –1) = 14 ⇔ a = 3b + 7       ( 3 )

Trang 11/13 -


–6
Thay ( 3) vào ( 2 ) ta được ( 3b + 5 ) ² + ( b + 1) ² = 2 ⇔ 5b² + 16b + 12 = 0 ⇔ b = –2 hoặc b =
.
5
uuuu
r
Với b = –2, a = 1 , đường thẳng CD đi qua điểm E ( 1; –2 ) và nhận EM ( 0; 4 ) làm vector pháp
tuyến, có phương trình: y + 2 = 0 .
uuuu
r
–6
17
 17 –6 
, a = , đường thẳng CD đi qua điểm E  ; ÷ và nhận EM ( 3; –4 ) làm
Với b =
5
5
 5 5 

Câu 9.

17 
6


vector pháp tuyến, có phương trình: 3  x – ÷– 4  y + ÷ = 0 hay CD : 3x – 4 y –15 = 0 .
5  
5

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với chân đường phân giác trong của

góc A là D ( 1; –1) . Đường thẳng AB có phương trình là 3 x + 2 y – 9 = 0 ; tiếp tuyến tại A của
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2 y – 7 = 0 . Phương trình đường
thẳng BC .
A. − x – 2 y – 3 = 0 .
B. x – 2 y + 3 = 0 .
C. x – 2 y – 3 = 0 .
D. − x – 2 y – 3 = 0 .
Hướng dẫn giải

3 x + 3 y − 9 = 0
x = 1
⇔
⇒ A ( 1; 3) .
Tọa độ của A thỏa mãn hệ phương trình 
x + 2 y − 7 = 0
y = 3
Gọi ∆ là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và E là giao điểm của ∆
với BC .
uuur
Đoạn AD có trung điểm là I ( 1; 1) và AD ( 0; 4 ) .

·
Giả sử E nằm gần đỉnh B hơn C . Khi đó ·ADB = DAC
+ ·ACB .

·
·
·
·
mà DAC
và ·ACB = EAB
( ·ACB là góc nội tiếp; EAB
là góc tạo bởi tiếp tuyến với dây
= BAD
cung).
·
·
·
. Hay tam giác EAD cân tại E .
⇒ ·ADB = EAB
+ BAD
= EAD
Đường trung trực ∆′ của AD có phương trình y –1 = 0 .
Vì E thuộc ∆ ′ nên E ( t ; 1) . Mặt khác E thuộc ∆ ⇔ t + 2 – 7 = 0 ⇔ t = 5 . Suy ra E ( 5;1) .
uuur
đường thẳng BC đi qua D ( 1; –1) và nhận DE ( 4; 2 ) làm vector chỉ phương nên BC có
phương trình: x – 2 y – 3 = 0 .
Câu 10. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu của A
trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của B qua H ; K là hình chiếu của vuông góc C trên
đường thẳng AD . Giả sử H ( −5; −5) , K ( 9; −3) và trung điểm của cạnh AC thuộc đường
thẳng : x − y + 10 = 0 . Tìm tọa độ điểm A .

A. A ( −15; 5 ) .
B. A ( −15; 5 ) .

C. A ( −15; 5 ) .

D. A ( −15; 5 ) .

Hướng dẫn giải

Trang 12/13 -


Đường trung trực HK có phương trình y = −7 x + 10
cắt phương trình d : x – y + 10 = 0 tại điểm M ( 0;10 ) .
Vì ∆ HAK cân tại H nên điểm A chính là điểm đối xứng

của K qua MH : y = 3x + 10 , vậy tọa độ điểm A ( −15; 5 ) .

Trang 13/13 -