ứng dụng lượng giác trong tam giác bs

Chương V: GÓC LƯỢNG GIÁC, CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CĐ4: ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TAM GIÁC
1.

Cho tam giác ABC vuông tại A, khi đó sin B bẳng:
A. sin A

B. sin C

C. cos C

D. cos B

2.

Cho tam giác ABC vuông tại C, hệ thức nào sau đây sai:
A. sin A   cos B.
B. cos A  sin B.
C. tan A  cot B.
D. cot A  tan B.

3.

�  30o . Khẳng định nào sau đây là sai?
Tam giác ABC vuông ở A và có B
1
1
1
3
.
A. cos B 

B. sin C 
C. cosC  .
D. sin B  .
.
2
2
3
2

4.

Cho tam giác ABC có BC  a,CA  b, AB  c. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Nếu b2  c2  a2  0 thì góc A nhọn.
B. Nếu b2  c2  a2  0 thì góc A tù.
C. Nếu b2  c2  a2  0 thì góc A nhọn.
D. Nếu b2  c2  a2  0 thì góc A vuông.

5.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:
A. SinA   Sin  2 A  B  C 
C. cosC  sin

A  B  3C
2

B. SinA  cos

3A  B  C
2

D. sin C  Sin  A  B  2C 

HDG: chọn D
Ta có sin  A  B  2C   sin(  C  2C )  sin(  C )   sin C
6.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:
A. SinA   Sin  B  C 
B. SinA  Sin  B  C 
C. SinA  cos  B  C 

D. cos A  Sin  B  C 

7.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:
A B
C
 Sin
A. cos
B. cos(A+B+2C) =  cosC
2
2
C. Sin( A  C )   sin B
D. cos A   cos  B  C 

8.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A. cosA  cos  B  C 
B. cosA  cos  B  C 
C. cosA  sin  B  C 
HDG:
Ta có A  B  C  1800 � B  C  1800  A

D. sin A  cos  B  C 


sin( B  C )  sin(1800  A)  sinA ;
cos( B  C )  cos(1800  A)   cos A � cosA  cos  B  C 
9.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:
AC
B
AC
B
 cos
 Sin
A. Sin
B. cos
2
2
2
2
C. Sin C  sin  B  A 
D. cos( A  B )  cos C

10.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:
A B
C
A B
C
 tan
  tan
A. tan
B. tan
2
2
2
2
A B
C
A B
C
 cot
  cot
C. tan
D. tan
2
2
2
2

11.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:

A B
C
A B
C
 sin
 cos
A. sin
B. sin
2
2
2
2
A B
C
A B
C
 tan
  cot
C. tan
D. cot
2
2
2
2

12.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:
A B
C

A B
C
 sin
  sin
A. sin
B. sin
2
2
2
2
CB
A
A B
C
 cos
  cos
C. sin
D. sin
2
2
2
2

13.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây đúng:
A B
C
A B
C

 cos
  cos
A. cos
B. cos
2
2
2
2
CB
A
A B
C
  tan
 cot
C. tan
D. tan
2
2
2
2

14.

Cho tam giác ABC và các mệnh đề:
(I) cos
(II) tan

B C
A
 sin .

2
2
A B
C
.tan  1
2
2

(III) cos ( A  B  C )  cos 2C  0
Mệnh đề đúng là:
A.I
B.II và III
C.I và II
D. III
HDG:
A B C 
BC
A
  suy ra cos
 sin nên (I) đúng
Ta có
2
2 2
2
2
A B
C
A B
C
C

C
 cot nên tan
.tan  tan .cot  1 nên (II) đúng
Và tan
2
2
2
2
2
2
15.

Cho tam giác ABC đẳng thức nào sau đây sai:


A  B  3C
 cosC
B. cos( A  B  C )   cos 2C
2
A  B  2C
3C
A  B  2C
C
 cot
 tan
C. tan
D. cot
2
2
2

2
HDG: ta có
A  B  2C
A B C C
 C
C
cot
 cot(
 )  cot(  )   tan
2
2
2
2 2
2
A. Sin

16.

Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng?
1
�
�  3.
.
A. sin BAH
B. cos BAH 
3
2
� 
C. sin ABC

17.

1
AHC  .
D. sin �
2

3
.
2

Cho tam giác ABC có AB  8 cm, AC  18 cm và có diện tích 64 cm2 . Góc A của tam giác có giá
trị sin A là:
A.

18.

3
.
2

B.

3
.
8

C.

4

.
5

D.

8
.
9

Cho tam giác ABC có AB  3, AC  4, BC  5. Tính cosB ?
A.

3
5

B.

3
4

4
5
Hướng dẫn giải:
C.

 Ta có BC 2  AB2  AC 2 � góc A vuông nên cosB 
19.

D. 1

AB 3

BC 5

� là góc
Cho ABC có �
A  600 , AC  8 cm, AB  5 cm . Góc B
A. Nhọn
B.Tù
C.Vuông
HDG: Ta có
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC. cosA

D. 600

= 52  82  2.5.8.cos600
 79
� BC  79
� BC  AC
� Aˆ  Bˆ
� Bˆ  600
20.

Tam giác ABC có cosA =
16
65
HDG:

A. 

cosA=

B.

4
5
và cosB =
. Lúc đó cosC bằng:
13
5
56
65

4
3
nên suy ra sin A 
5
5

C.

16
65

D.

36
65

cosB =

vậy

12
5
nên suy ra sin B 
13
13

cosC  cos(1800  ( A  B))  cos(A+B)
 (cosA .cosB - sinA.sinB)
4 5 3 12 16
= ( .  . )
5 13 5 13 65

21.

Cho tam giác ABC có AB  4 cm, BC  7 cm, CA  9 cm. Giá trị cos A là:
2
1
2
1
A. .
B. .
C.  .
D. .
3
3
3

2

22.

Với mọi tam giác ABC ta luôn có sin A  sin B  sin C bằng:
A
B
C
A
B
C
A. 4 cos .cos .cos
B. 1  4cos .cos .cos
2
2
2
2
2
2
C. 4sin

A
B
C
.sin .sin
2
2
2

D. 1  4 sin

A
B
C
.sin .sin
2
2
2

HDG:
Ta có: sin A  sin B  sin C
A B
A B
C
C
 2sin
.cos
 2sin .cos
2
2
2
2
C
AB
C
C
 2.cos .cos
 2sin .cos
2
2

2
2
C
A B
C
 2.cos (cos
 sin )
2
2
2
C
A B
A B
 2.cos (cos
 cos
)
2
2
2
C
A
B
 4cos cos cos
2
2
2
23.

Với mọi tam giác ABC ta luôn có sin 2 A  sin 2 B  sin 2C bằng:
A. 4 cos A.cos B.cos C

B. 1  4cosA.cosB .cosC
C. 4sin A.sin B.sinC
D. 1  4sin A.sin B.sin C
HDG:
sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  2sin( A  B ).cos(A-B)+2sinC. cosC
=2sinC.cos(A-B)+2sinC. cosC  2sin C.(cos(A-B)  cos(A+B)) =
=2sinC.2sinA. sinB=4sinAsinBsinC

24.

Với mọi tam giác ABC ta luôn có cos2A  cos2B  cos2C  1 bằng:
A. 2 cos A.cos B.cos C
B. 4cosA.cosB .cosc

1
cosA.cosB.cosC
2
HDG:
Ta có: cos2A  cos2B  cos2C  1
C.

D. 4cosA.cosB.cosC


 2 cos( A  B).cos(A-B)  2.cos 2C  1  1
 2.cos C.cos(A-B)  2.cos 2C
=  2.cosC.(cos(A-B)  cosC)
 2.cosC(cos( A  B)  cos( A  B))
 4 cos C cos A cos B
25.

Cho tam giác ABC có tan A  2 cm, tan B  1 cm cm. Giá trị tan C là:
1
A. 3 .
B. 1.
C.  .
D. Không xác định.
2
HDG:
tan A  tan B
3
Ta có: tan C   tan( A  B)  
1  tan A.tan B

26.

Cho ABC thoả mãn

sin C
 2 cos A . Khi đó tam giác ABC sẽ có tính chất gì ?
sin B
B. Đều
C. Vuông
D. Không có tính chất gì

A. Cân
Hướng dẫn. ABC cân
sin C
 2 cos A � sin C  2sin B cos A
sin B

� sin C  sin( B  A)  sin( B  A)
� sin C  sin C  sin( B  A)

� sin( B  A)  0 � A  B (vì A-B   )
� ABC cân tại C.
NX: Từ (1) nếu thay góc C bằng góc B thì ta được 2 bài toán:
sin B
 2 cos A
sin C
đều cho ABC cân tại B
sin B
 2 cos C
sin A
� bằng góc �
Tương tự nếu thay góc C
A thì ta được 2 bài toán:
sin A
 2 cos C
đều cho  ABC cân tại A
sin B
sin A
 2 cos B
sin C
Như vậy trong bài toán chứng minh ABC cân, nếu ta hoán đổi vị trí các góc thì ta sẽ thu được 
ABC cân tại các vị trí khác nhau.
27.

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A
B

B
A
B
C
 cot  cot  cot cot cot .
2
2
2
2
2
2
A
B
B
A
B
C
B. cot  cot  cot   cot cot cot .
2
2
2
2
2
2
A. cot

A
B
B
 cot  cot  cot A cot B cotC .

2
2
2
A
B
B
D. cot  cot  cot   cot A cot B cotC .
2
2
2
HDG: chọn A
C. cot


A
B
B
A
B
C
 cot  cot  (cot  cot )  cot
2
2
2
2
2
2
A B
C
A B

A
B
sin(  ) cos
cos(  )  sin .sin
C
2 2 
2  cos .
2 2
2
2

A
B
C
C
A
B
2
sin .sin
sin
sin sin .sin
2
2
2
2
2
2
C
A
B

cos cos cos
2
2
2  cot A cot B cot C

C
A
B
2
2
2
sin sin .sin
2
2
2
cot

28.

Cho tam giác ABC . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A
B C
A. cos A  cosB  cosC  1 4sin sin sin .
2
2
2
A
B C
B. cos A  cosB  cosC  1 4sin sin sin .
2

2
2
A
B
C
C. cos A  cosB  cosC  1 4cos cos cos .
2
2
2
A
B
C
D. cos A  cosB  cosC  1 4cos cos cos .
2
2
2
HDG:chọn B
B C
BC
cos A  cosB  cosC  cos A  2cos
.cos
2
2
 A
BC
 cos A  2cos
.cos
2
2
A

A
B
C
 1 2sin2  2sin .cos
2
2
2
Ta có:
A
A
BC
 1 2sin .( sin  cos
)
2
2
2
A
B C
BC
 1 2sin .( cos
 cos
)
2
2
2
A
B C
 1 4sin sin sin
2
2

2

29.

Cho tam giác ABC . Tìm câu sai:
A. cosB cosC  sinB sinC  cos A  0.
B
C
C
C
A
B. sin .cos  sin .cos  cos .
2
2
2
2
2
B
C
B C
A
C. cos .cos  sin sin  sin .
2
2
2
2
2
D. cos2 A  cos2 B  cos2 C  2cos A cosB cosC  1.
HDG:
cos(A  B)   cosC � cos A cosB  cosC  sin AsinB nên

cos2 A.cos2 B  2cos A cosB cosC  cos2 C  sin2 A.sin2B  (1 cos2 A)(1 cos2 B)
 1 cos2 A  cos2 B  cos2 A.cos2 B
� cos2 A  cos2 B  cos2 C  2cos A.cosB.cosC  1


30.

Cho tam giác ABC . Tìm câu sai:
B
C
B C
A
A. cos cos  sin sin  sin .
2
2
2
2
2
B. tan A  tan B  tanC  tan A tanB tanC .
C. cot A  cot B  cotC  cot A cot B cotC .
A
B
B
C
A
C
D. tan tan  tan tan  tan tan  1.
2
2
2

2
2
2
HDG:
Ta có
B C  A
BC
 A
B
C
B
C
A
  nên cos
 cos(  ) � cos cos  sin sin  sin
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
Vậy A đúng
B. ta có
A B  C

� tan( A  B)  tan(  C )
tan A  tan B

( B đúng)
�
  tan C
1  tan A.tan B
� tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C
 cot A  cot B  cotC  cot A cot B cotC là sai
Vậy C sai
B
C
 tan
BC
 A
2
2  cot A
tan
 tan (  ) �
B
C
B C  A
2
2 2
2
1  tan tan
  nên
D.
2
2
2
2 2
A

B
B
C
A
C
� tan tan  tan tan  tan tan  1
2
2
2
2
2
2
tan

Vậy D đúng
31.

Cho tam giác ABC . Tìm câu sai:
A. cot B cot A  cot B cotC  cot A cotC  1.
B. cos2 A  cos2 B  cos2 C  1 2cos A cosB cosC .
B
C
A
 A
 B
 C
C. cos  cos  cos  4cos
.
cos
cos

2
2
2
4
4
4
cos A.cosC  cos(A  B).cos(B  C )
 cotC .
D.
cos A.sinC  sin( A  B).cos(B  C )
HDG:
Ta có: A  B  C   � A  B    C
cot( A  B)   cot C

cot A.cot B  1
  cot C
cot A  cot B
� cot A.cot B  cot A.cot C  cot C.cot B  1

Do đó : �

Suy ra A đúng


2
2
2
B. cos A  cos B  cos C 

1 cos2A  1 2B  1 cos2C

2

 1 cos( A  B).cos(A  B)  cos2 C
 1 cosC(cosC  cos(A  B))
 1 cosC(cos( A  B)  cos(A  B))
 1 2cos A cosB cosC
Nên B sai
B
C
A
A B
A B
A B
C. cos  cos  cos  2cos
cos
 sin
2
2
2
4
4
2
 C
A B
A B
A B
 2cos
cos
 2sin
cos

4
4
4
4
  C � A B
 A B �
 2cos
. cos
 cos( 
)
4 �
4
2
4 �
�
�
 C
 B
 A
 2cos
cos
cos
4
4
4
cos A.cosC  cos(A  B).cos(B  C ) cosC(cos A  cos(B  C ))

 cotC
D.
cos A.sinC  sin( A  B).cos(B  C ) sinC(cos A  cos(B  C ))

32.

Cho tam giác ABC thỏa mãn
A. Tam giác
B. Tam giác
C. Tam giác
D. Tam giác

33.

ABC
ABC
ABC
ABC

tan B sin2 B
thì :

tanC sin2 C

cân
vuông
đều
vuông hoặc cân

Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A 
A. Tam giác
B. Tam giác
C. Tam giác
D. Tam giác

HDG:

ABC
ABC
ABC
ABC

cosB+cosC
thì :
sin B  sinC

cân
vuông
đều
vuông hoặc cân

A
A
Vì sin A  2sin .cos và
2
2
BC
BC
 A
A
2cos
cos
cos(  ) sin
cosB+cosC
2

2 
2 2 
2

B C
BC
 A
A
sin B  sinC
2sin
cos
sin(  ) cos
2
2
2 2
2
cosB+cosC
A
Nên sin A 
� 2cos2  1� cos A  0
sin B  sinC
2
Vậy góc A là góc vuông.
34.

Cho tam giác ABC thỏa mãn
A. Tam giác ABC cân
B. Tam giác ABC vuông
C. Tam giác ABC đều

sin A cosB+cosC
thì :

sin B cosC  cosA


D. Tam giác ABC vuông hoặc cân
HDG:
sin A cosB+cosC

� sin A.cosA-sin B.cosB  cosC.(sin B  sin A)
sin B cosC  cosA
1
� (sin2A  sin2B)  cosC.(sin B  sin A)
2
A B
B A
� cos( A  B).sin( A  B)  2cosC.cos
.sin
2
2
A B
A B
A B
A B
.cos
  cosC.sin
.cos
2
2

2
2
A B
A B
A B
� cosC.sin
(cos
 cos
) 0
2
2
2
A
B
A B
� cosC.sin .sin sin
0
2
2
2
�
cosC  0
�
C  900
� � A B
��
sin
0 �
�
A B

�
2
�  cosC.sin

35.

2
2
Nếu hai góc B và C của tam giác ABC thoả mãn: tan B sin C  tan C sin B thì tam giác này:

A.Vuông tại A

B.Cân tại A

C.Vuông tại B

D.Cân tại C

HDG Câu 19 và 20
sinC sin B
sin B
sinC

� sinC.cosC  sin B.cosB
Thay tan B 
ta được đẳng thức cosB cosC
; tanC 
cosB
cosC
� sin2C  sin2B

Suy ra góc B và góc C bằng nhau
1  cos B
2a  c

. Khi đó tam giác ABC sẽ có tính chất gì?
sin B
4a 2  c 2
A. Vuông
B. Đều
C. Cân
D. Không có tính chất gì

ABC
Hướng dẫn:
cân
Ta thấy trong (1) chứa cả 2 yếu tố góc và cạnh. Đối với bài toán này ta có thể CM  ABC cân theo 2
cách: A  B hoặc a  b
Tuỳ vào biểu thức của bài toán mà ta chọn biến đổi về góc hay về cạnh sao cho thuận lợi hơn.
Cách 1:
36.

Cho ABC có

(1) �

 1  cos B 

2

 2a  c 



2

 1  cos B 
�

2



2a  c
2a  c

sin B
4a  c
1  cos B
Aùp dụng định lý hàm Sin ta được:
1  cos B 2sin A  sin C

1  cos B 2sin A  sin C
� 2sin A  sin C  2sin A cos B  sínC cos B  2 sin A  sin C  2sin A cos B  sin C cos B
� 4sin A cos B  2sin C
� 2  sin( A  B )  sin( A  B)   2sin C
2

2

2

� 2  sin C  sin( A  B)   2sin C
� ABC cân tại C
Cách 2:

2


2 cos 2

(1) �

B
2



(2a  c) 2
4a 2  c 2

B
B
cos
2
2
1
2a  c
�

B
2a  c

tg
2
B
2a  c
( p  c )( p  a ) 2a  c
� tg 2 
�

2 2a  c
p ( p  b)
2a  c
2sin

b 2  (c  a ) 2 2 a  c
b 2  (c  a ) 2
2a  c

�
1 
1
2
2
2
2
(c  a )  b
2a  c
(c  a )  b
2a  c
4ac
4a

�

� c (2a  c)  (c  a ) 2  b 2
2
2
(c  a )  b
2a  c
�

� 2ac  c 2  c 2  a 2  2ca  b 2 � b 2  a 2
� a = b �  ABC cân tại C
37.

A
B
B
A
cos 3  sin cos3
2
2
2
2
B. Đều
C. Cân tại C

Cho ABC thoả sin

A. Vuông tại A
Hướng dẫn
Chứng minh tam giác ABC cân

(1) Khi đó tam giác ABC sẽ có tính chất gì?
D. Cân tại B

A
B
sin
2 
2 � tg A (1  tg 2 A )  tg B (1  tg 2 B ) (*)
(1) �
A
B
2
2
2
2
cos3
cos3
2
2
A
B
A
B
� (tg  tg )  tg 3  tg 3  0
2
2
2
2
A

B
A
A B
B
� (tg  tg )(1  tg 2  tg tg  tg 2 )  0
2
2
2
2 2
2
A B 
A
B
Vì 0  ,  � tg , tg  0
2 2 2
2
2
sin

A
B
A B
 tg  0 � 
2
2
2 2
� A  B � ABC cân tại C

Nên tg

38.

Cho ABC thỏa: sin( B  C )  sin(C  A)  cos( A  B ) 
chất gì?
�  1200
A. C
Hướng dẫn

B. Đều.

(1) � sin A  sin B  cos C 
� 2sin

C. vuông tại C
3
2

A B
A B
3
cos
 cos C 
2
2
2

3
(1) Khi đó tam giác ABC sẽ có tính
2
�  600

D. C


C
A  B � 2 C � 3
cos
�
2 cos
 1�
2
2
2 � 2
�
C
C
A B 1
� 2 cos 2  2 cos cos
  0 (*)
2
2
2
2
C
C
A

B
1
A B 1 2 A B
� cos 2  cos cos

 cos 2
 sin
0
2
2
2
4
2
4
2
2
A B � 1 2 A B
� C 1
��
cos  cos
0
� sin
2 � 4
2
� 2 2
A B
� C 1
cos  cos
� C 1
�
�
C  1200
cos 
� 2 2
�

�
2
��
�� 2 2 ��
0
A B
�A  B  30
�
�
A B
sin
0
�
�
2
� 2 cos

39.

Cho ABC thỏa mãn hệ thức atgB  btgA  (a  b)tg

A B
và C �900 (1). Khi đó tam giác ABC
2

sẽ có tính chất gì?
�  600
A. C
B. Đều
C. cân tại C

Hướng dẫn :  ABC là tam giác cân.
A B
A B
� a(tgB  tg
)  b(tg
 tgA)
2
2
BA
B A
sin
sin
2
2
� 2 R sin A
 2 R sin B.
A B
A B
cos B.cos
cos
cos A
2
2
B A
� sin
(sin A cos A  sin B cos B)  0
2
B A
� sin
(sin 2 A  sin 2 B)  0

2
Có 2 khả năng sau:
B A
 0� B  A
1) Nếu sin
2
2) Nếu sin2A – sin2B =0 � sin 2 A  sin 2 B (2)
Do  C � 900 � A  B � 900 � 2 A  2 B �1800   và hiển nhiên
0  2 A  2 B  3600 , nên từ (2) suy ra 2 A  2 B hay A  B
Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có  ABC cân tại C
40.

�  500
D. �
A B

Tam giác ABC có tính chất đặc biệt gì nếu ta có: 2a.cosA  b.cosC  c.cosB    1 .
�  600
A. �
B. Đều
C. vuông tại C
D. C
A  600
Hướng dẫn
 1  � 2  2 RsinA cosA  2RsinB.cosC  2RsinC.cosB
     � 2 sinAcosA  sinBcosC  cosBsinC
�  2sinAcosA  sin  B  C    
�  2sinAcosA  sinA
� cosA 1 2  vì sinA � 0 
� A  600. � tam giác ABC có góc A  60 0