1 35 bài tập về phương trình file word có lời giải chi tiết

 BÀI 01
KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng

f ( x) = g( x)

( 1)

trong đó f ( x) và g( x) là những biểu thức của x. Ta gọi f ( x) là vế trái, g( x) là
vế phải của phương trình ( 1) .
Nếu có số thực x0 sao cho f ( x0 ) = g( x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là
một nghiệm của phương trình ( 1) .
Giải phương trình ( 1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập
nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm
(hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

2. Điều kiện của một phương trình
Khi giải phương trình ( 1) , ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f ( x) và
g( x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là
điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương
trình).

3. Phương trình nhiều ẩn
Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn
số, chẳng hạn
3x + 2y = x2 - 2xy + 8,
( 2)

( 3)
Phương trình ( 2) là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn ( 3) là phương trình ba
4x2 - xy + 2z = 3z2 + 2xz + y2.

ẩn ( x, y và z ).
Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình ( 2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp

( x; y) = ( 2;1) là một nghiệm của phương trình ( 2) .
Tương tự, bộ ba số ( x; y; z) = ( - 1;1;2) là một nghiệm của phương trình ( 3) .
4. Phương trình chứa tham số
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số
còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham
số.

II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

2. Phép biến đổi tương đương
Định lí
Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không
làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu

thức luôn có giá trị khác 0.
Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng
hay trừ hai vế với biểu thức đó.

3. Phương trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) đều là nghiệm của phương trình
f1 ( x) = g1 ( x) thì phương trình f1 ( x) = g1 ( x) được gọi là phương trình hệ quả của
phương trình f ( x) = g( x) .
Ta viết
f ( x) = g( x) Þ f1 ( x) = g1 ( x) .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương
trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2x
3
- 5= 2
là
x2 +1
x +1
A. x ¹ 1.
B. x ¹ - 1.
C. x ¹ ±1.
D. x Î ¡ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1 + x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.
D. x ³ 3.
2

x +5
= 0 là
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình x - 2 +
7- x
A. x ³ 2.
B. x < 7.
C. 2 £ x £ 7.
D. 2 £ x < 7.
1
+ x2 - 1 = 0 là
Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình
x
A. x ³ 0.
B. x > 0.
2
C. x > 0 và x - 1³ 0.
D. x ³ 0 và x2 - 1> 0.
Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình

Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình

x2

=

8

là
x- 2
x- 2

A. x ¹ 2.
B. x ³ 2.
C. x < 2.
D. x > 2.
1
= x + 3 là:
Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình 2
x - 4
A. x ³ - 3 và x ¹ ±2.
B. x ¹ ±2.
C. x >- 3 và x ¹ ±2.
D. x ³ - 3.
1
Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình x2 - 4 =
là
x- 2
A. x ³ 2 hoặc x £ - 2.
B. x ³ 2 hoặc x <- 2.
C. x > 2 hoặc x <- 2.
D. x > 2 hoặc x £ - 2.
Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x +

1
2x + 4

=

3- 2x
là
x

A. x >- 2 và x ¹ 0.

B. x >- 2, x ¹ 0 và x £

3
C. x >- 2 và x < .
2

D. x ¹ - 2 và x ¹ 0.

3
.
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


1
4- 3x
=
là
x +1
x+2
4
B. x >- 2 và x < .
3

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + 2A. x >- 2 và x ¹ - 1.
C. x >- 2, x ¹ - 1 và x £

4
.
3

D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1.
2x +1
= 0 là
x2 + 3x
1
B. x ³ và x ¹ - 3.
2

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình
1
.
2
1
C. x ³ và x ¹ 0.
2
A. x ³ -

D. x ¹ - 3 và x ¹ 0.

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 - 4 = 0 ?
2
2
A. ( 2+ x) ( - x + 2x +1) = 0.
B. ( x - 2) ( x + 3x + 2) = 0.
C.

D. x2 - 4x + 4 = 0.
x2 - 3 = 1.
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 - 3x = 0 ?
1
1
= 3x +
.
A. x2 + x - 2 = 3x + x - 2.
B. x2 +
x- 3
x- 3
C. x2 x - 3 = 3x x - 3.

D. x2 + x2 +1 = 3x + x2 +1.

Câu 14. Cho phương trình

( x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 .

Phương trình nào sau đây

tương đương với phương trình đã cho ?
A. x- 1= 0.

B. x+1= 0.
C. x2 +1= 0.
D. ( x – 1) ( x+1) = 0.
Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình
1
x + = 1?
x
A. x2 + x = - 1.
B.
2x - 1 + 2x +1 = 0.
C. x x- 5 = 0.
D. 7+ 6x - 1 = - 18.
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 3x + x - 2 = x2 Û 3x = x2 - x - 2.
B.
2
x - 1 = 3x Û x - 1= 9x .
2x - 3
2
= x - 1 Û 2x - 3 = ( x - 1) .
C. 3x + x - 2 = x2 + x - 2 Û 3x = x2. D.
x- 1
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?
x- 1
2
= 0.
A. x - 1 = 2 1- x Û x - 1= 0.
B. x +1= 0 Û
x- 1
2

2

C. x - 2 = x +1 Û ( x - 2) = ( x +1) . D. x2 = 1 Û x = 1.
Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


C. x ( x + 2) = x và x+ 2 = 1.
D. x( x + 2) = x và x+ 2 = 1.
Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
x x +1
= 0 và x = 0.
A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1. B.
x +1
2

x +1 = 2- x và x +1= ( 2- x) . D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương
trình sau:
C.

2

A. x +1= x2 - 2x và x + 2 = ( x - 1) .
B. 3x x +1 = 8 3- x và 6x x +1 = 16 3- x.
C. x 3- 2x + x2 = x2 + x và x 3- 2x = x.

D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x2.
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương
đương:
3
2
và 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - 4 = 0 ( 2) .
2x2 + mx - 2 = 0 ( 1)
1
C. m= .
D. m= - 2.
2
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau
tương đương:
2
2
mx2 - 2( m- 1) x + m- 2 = 0 ( 1)
và ( m- 2) x - 3x + m - 15 = 0 ( 2) .
A. m= - 5.
B. m= - 5; m= 4.
C. m= 4.
D. m= 5.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai?
x( x - 1)
A. x - 2 = 1Þ x - 2 = 1.
B.
= 1Þ x = 1.
x- 1
2
C. 3x - 2 = x - 3 Þ 8x - 4x - 5 = 0.
D. x - 3 = 9- 2x Þ 3x - 12 = 0.

A. m= 2.

B. m= 3.

Câu 24. Cho phương trình 2x2 - x = 0 . Trong các phương trình sau đây,
phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho?
x
= 0.
A. 2x B. 4x3 - x = 0.
1- x
2

C. ( 2x2 - x) +( x - 5) = 0.
2

D. 2x3 + x2 - x = 0.

Câu 25. Cho hai phương trình: x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1) và

x( x - 2)
x- 2

= 3 ( 2) . Khẳng

định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình ( 1) là hệ quả của phương trình ( 2) .
B. Phương trình ( 1) và ( 2) là hai phương trình tương đương.
C. Phương trình ( 2) là hệ quả của phương trình ( 1) .
D. Cả A, B, C đều sai.
Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Câu 26. Tập nghiệm của phương trình
A. S = { 0} .

B. S = Æ.

x2 - 2x = 2x - x2 là:
C. S = { 0;2} .
D. S = { 2} .

2
Câu 27. Phương trình x( x - 1) x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.

B. 1.

Câu 28. Phương trình

C. 2.

D. 3.

- x + 6x - 9 + x = 27 có bao nhiêu nghiệm?
2

3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

A. 0.

B. 1.

Câu 29. Phương trình

C. 2.

D. 3.

2

( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 31. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Câu 32. Phương trình

x3 - 4x2 + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
1
2x - 1
=
Câu 33. Phương trình x +
có bao nhiêu nghiệm?
x- 1 x- 1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
Câu 34. Phương trình ( x - 3x + 2) x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
Câu 35. Phương trình ( x - x - 2) x +1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2x
3
- 5= 2
là
x +1
x +1
A. x ¹ 1.
B. x ¹ - 1.
C. x ¹ ±1.
D. x Î ¡ .
Lời giải. Chọn D. Vì x2 +1¹ 0 với mọi x Î ¡ .
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1 + x - 2 = x - 3 là
A. x > 3.
B. x ³ 2.
C. x ³ 1.
D. x ³ 3.
ïìï x - 1³ 0 ïìï x ³ 1
ï
ï
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí x - 2 ³ 0 Û ïí x ³ 2 Û x ³ 3. Chọn D.
ïï
ï
ïîï x - 3 ³ 0 ïïîï x ³ 3
Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình

2

Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình

x- 2 +

A. x ³ 2.

x2 + 5
7- x

= 0 là

C. 2 £ x £ 7.
D. 2 £ x < 7.
ïì x - 2 ³ 0 ïìï x ³ 2
Û í
Û 2 £ x < 7. Chọn D.
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí
ïîï 7- x > 0 ïîï x < 7
B. x < 7.

1

+ x2 - 1 = 0 là
x
A. x ³ 0.
B. x > 0.
C. x > 0 và x2 - 1³ 0.
D. x ³ 0 và x2 - 1> 0.
ìï x > 0

Lời giải. Phương trình xác định khi ïí 2
. Chọn C.
ïïî x - 1³ 0
Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình

Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình

x2
x- 2

=

8
x- 2

là

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. x ¹ 2.
B. x ³ 2.
C. x < 2.
D. x > 2.
Lời giải. Phương trình xác định khi x - 2 > 0 Û x > 2 . Chọn D.
1
= x + 3 là:
Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình 2
x - 4
A. x ³ - 3 và x ¹ ±2.

B. x ¹ ±2.
C. x >- 3 và x ¹ ±2.
D. x ³ - 3.
2
ïì x - 4 ¹ 0 ïìï x ¹ ±2
Û í
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí
. Chọn A.
ïîï x + 3 ³ 0
ïïî x ³ - 3
1
là
x- 2
A. x ³ 2 hoặc x £ - 2.
B. x ³ 2 hoặc x <- 2.
C. x > 2 hoặc x <- 2.
D. x > 2 hoặc x £ - 2.
ïì éx ³ 2
éx > 2
ïìï x2 - 4 ³ 0 ïïï ê
Û íê
x£ - 2Û ê
Lời giải. Phương trình xác định khi í
ë
êx £ - 2 . Chọn D.
ïîï x - 2 ¹ 0
ïï
ë
ïïî x ¹ 2
Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình

x2 - 4 =

Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x +

1
2x + 4

3- 2x
là
x

=

A. x >- 2 và x ¹ 0.

B. x >- 2, x ¹ 0 và x £

3
C. x >- 2 và x < .
2

D. x ¹ - 2 và x ¹ 0.

ìï 2x + 4 > 0
ïï
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí 3- 2x ³ 0 Û
ïï
ïïî x ¹ 0

ïìï x >- 2
ïï
3
ï
. Chọn B.
í x£
ïï
2
ïï
ïî x ¹ 0

Câu 9. Điều kiện xác định của phương trình x + 2-

C. x >- 2, x ¹ - 1 và x £

1

=

x+2
4
B. x >- 2 và x < .
3

A. x >- 2 và x ¹ - 1.
4
.
3

3

.
2

4- 3x
là
x +1

D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1.

ïìï x + 2 > 0
ï
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí 4- 3x ³ 0 Û
ïï
ïïî x +1¹ 0

ìï x >- 2
ïï
ïï
4
. Chọn C.
í x£
ïï
3
ïï
ïî x ¹ - 1

2x +1
= 0 là
x2 + 3x
1

B. x ³ và x ¹ - 3.
2

Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình
1
.
2
1
C. x ³ và x ¹ 0.
2
A. x ³ -

D. x ¹ - 3 và x ¹ 0.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ìï
ïï x >- 1
ïï
2
ïì 2x +1³ 0
Û ïí x ¹ 0 Û
Lời giải. Phương trình xác định khi ïí 2
ïîï x + 3x ¹ 0 ïï
ïï x ¹ - 3
ïï
ïî

ìï

ïï x ³ - 1
2 . Chọn C.
í
ïï
x
¹
0
ïî

Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi
A. Có cùng dạng phương trình.
B. Có cùng tập xác định.
C. Có cùng tập hợp nghiệm.
D. Cả A, B, C đều đúng.
Lời giải. Chọn C.
Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 - 4 = 0 ?
2
2
A. ( 2+ x) ( - x + 2x +1) = 0.
B. ( x - 2) ( x + 3x + 2) = 0.
C.

D. x2 - 4x + 4 = 0.
x2 - 3 = 1.
Lời giải. Ta có x2 - 4 = 0 Û x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho
là S0 = { - 2;2} .
Xét các đáp án:
éx + 2 = 0
2

Û
 Đáp án A. Ta có ( 2+ x) ( - x + 2x +1) = 0 Û ê
ê- x2 + 2x +1= 0
ë

{

tập nghiệm của phương trình là S1 = - 2;1-

}

éx = - 2
ê
êx = 1± 2 . Do đó,
ê
ë

2;1+ 2 ¹ S0 .

éx - 2 = 0
Û
 Đáp án B. Ta có ( x - 2) ( x + 3x + 2) = 0 Û ê
êx2 + 3x + 2 = 0
ë
2

éx = 2
ê
êx = - 1 . Do đó, tập
ê

êx = - 2
ë

nghiệm của phương trình là S2 = { - 2;- 1;2} ¹ S0 .
 Đáp án C. Ta có

x2 - 3 = 1 Û x2 - 3 = 1 Û x = ±2 . Do đó, tập nghiệm của
phương trình là S3 = { - 2;2} = S0 . Chọn C.
 Đáp án D. Ta có x2 - 4x + 4 = 0 Û x = 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là
S4 = { 2} ¹ S0 .
Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x2 - 3x = 0 ?
1
1
= 3x +
.
A. x2 + x - 2 = 3x + x - 2.
B. x2 +
x- 3
x- 3
C. x2 x - 3 = 3x x - 3.

D. x2 + x2 +1 = 3x + x2 +1.

éx = 0
2
Lời giải. Ta có x - 3x = 0 Û ê
êx = 3 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho
ë
là S0 = { 0;3} .
Xét các đáp án:

ïìï x ³ 2
ìï x - 2 ³ 0
ï
2
ï
ï
Û í éx = 0 Û x = 3 . Do đó,
 Đáp án A. Ta có x + x - 2 = 3x + x - 2 Û í 2
ïïî x - 3x = 0 ïï ê
ïïî ê
ëx = 3
tập nghiệm của phương trình là S1 = { 3} ¹ S0 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2
 Đáp án B. Ta có x +

1
1
= 3x +
Û
x- 3
x- 3

ïìï x - 3 ¹ 0
Û x = 0 . Do đó, tập nghiệm
í 2
ïïî x - 3x = 0

của phương trình là S2 = { 0} ¹ S0 .
2

 Đáp án C. Ta có x

ìï x - 3 ³ 0
ïï
x2 - 3x = 0 Û
x - 3 = 3x x - 3 Û ïí é
ïï ê
ïï ê
ê x- 3 = 0
îë

ïìï x ³ 3
ï
x = 0 Û x = 3 . Do đó, tập
íï é
ïï ê
ê
ïïî ëx = 3

nghiệm của phương trình là S3 = { 3} ¹ S0 .
éx = 0
2
2
2
2
 Đáp án D. Ta có x + x +1 = 3x + x +1 Û x = 3x Û ê

. Do đó, tập
êx = 3
ë
nghiệm của phương trình là S4 = { 0;3} = S0 . Chọn D.
Câu 14. Cho phương trình

( x2 +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 .

tương đương với phương trình đã cho ?
A. x- 1= 0.
B. x+1= 0.
C. x2 +1= 0.

Phương trình nào sau đây
D. ( x – 1) ( x+1) = 0.

2
Lời giải. Ta có ( x +1) ( x – 1) ( x +1) = 0 Û ( x - 1) ( x +1) = 0 (vì x2 +1> 0, " x Î ¡ .

Chọn D.
Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình
1
x + = 1?
x
A. x2 + x = - 1.
B.
2x - 1 + 2x +1 = 0.
C. x x- 5 = 0.

D. 7+ 6x - 1 = - 18.

ì
x
¹
0
ï
1
Lời giải. Ta có x + = 1 Û ïí 2
(vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của
ïïî x - x +1= 0
x
phương trình đã cho là S0 = Æ .
Xét các đáp án:
ìï x2 ³ 0
¾¾
® x2 + x ³ 0 . Do đó, phương trình x2 + x = - 1 vô
 Đáp án A. Ta có ïí
ïï x ³ 0
î
nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S1 = Æ= S0 .
ìï 2x - 1 = 0
 Đáp án B. Ta có 2x - 1 + 2x +1 = 0 Û ïí
(vô nghiệm). Do đó, phương
ïï 2x +1 = 0
î
trình 2x - 1 + 2x +1 = 0 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là
S2 = Æ= S0 .
ïìï x - 5 ³ 0
ï
Û x = 5 . Do đó, phương trình
 Đáp án C. Ta có x x - 5 = 0 Û ïí ìïï x = 0

ïï í
ï
ïï îï x - 5 = 0
î
x x- 5 = 0 có tập nghiệm là S3 = { 5} ¹ S0 . Chọn C.
 Đáp án D. Ta có 6x - 1 ³ 0 ¾¾
® 7+ 6x - 1 ³ 7 >- 18 . Do đó, phương trình
7+ 6x - 1 = - 18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S4 = Æ= S0 .
Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. 3x + x - 2 = x2 Û 3x = x2 x - 1 = 3x Û x - 1= 9x2.

B.

x - 2.

C. 3x + x - 2 = x2 + x - 2 Û 3x = x2. D.

2x - 3
x- 1

2

= x - 1 Û 2x - 3 = ( x - 1) .

Lời giải. Chọn A.
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

2
B. x +1= 0 Û

x - 1 = 2 1- x Û x - 1= 0.
2

2

C. x - 2 = x +1 Û ( x - 2) = ( x +1) .

x- 1
x- 1

= 0.

D. x2 = 1 Û x = 1.

Lời giải. Chọn D. Vì x2 = 1 Û x = ±1.
Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1.
B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.
C. x ( x + 2) = x và x+ 2 = 1.
D. x( x + 2) = x và x+ 2 = 1.
Lời giải. Xét các đáp án:
 Đáp án A. Ta có
ìï x ³ 1
x + x - 1 = 1+ x - 1 Û ïí
Û x = 1¾¾

® x + x - 1 = 1+ x - 1 Û x = 1 . Chọn A.
ïïî x = 1
ìï x - 2 ³ 0
Û x Î Æ.
 Đáp án B. Ta có x + x - 2 = 1+ x - 2 Û ïí
ïïî x = 1
Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương
đương.
ïìï x ³ 0
ï
x ( x + 2) = x Û ïí éx = 0
Û x=0
ïï ê
 Đáp án C. Ta có
. Do đó, x ( x + 2) = x và
ê
ïïî ëx + 2 = 0
x + 2 = 1Û x = - 1
x+ 2 = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
éx = 0
x( x + 2) = x Û ê
êx = - 1. Do đó, x( x + 2) = x và x+ 2 = 1 không
 Đáp án D. Ta có
ë
x + 2 = 1Û x = - 1
phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
x x +1
= 0 và x = 0.
A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1. B.

x +1
2

x +1 = 2- x và x +1= ( 2- x) .
Lời giải. Xét các đáp án:
C.

D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1.

ì
ìï x - 3 ³ 0 ïïï x ³ 3
2x + x - 3 = 1+ x - 3 Û ïí
Û í
Û xÎ Æ
ïïî 2x = 1
ïï x = 1
 Đáp án A. Ta có
. Do đó,
ïî
2
1
2x = 1 Û x =
2
2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
ìï x +1> 0 ìïï x >- 1
x x +1
x x +1
= 0 Û ïí
Û í
Û x = 0 . Do đó,

=0
 Đáp án B. Ta có
ï
ï
x
=
0
x
=
0
x +1
x +1
îï
îï
và x = 0 là cặp phương trình tương đương. Chọn B.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ìï x £ 2
ï
5- 13
Û x=
íï
ïï x = 5± 13
2
ïïî
.
2
5± 13

2
x +1= ( 2- x) Û x2 - 5x + 3 = 0 Û x =
2
ïì 2- x ³ 0
x +1 = 2- x Û ïí
Û
ïï x +1= ( 2- x) 2
î

 Đáp án C. Ta có

Do đó,

x +1 = 2- x và x +1= ( 2- x)

2

không phải là cặp phương trình tương

đương.
ïì x - 2 ³ 0
x + x - 2 = 1+ x - 2 Û ïí
Û x Î Æ. Do đó,
ïïî x = 1
x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương
trình sau:


Đáp

án

D.

Ta

có

2

A. x +1= x2 - 2x và x + 2 = ( x - 1) .
B. 3x x +1 = 8 3- x và 6x x +1 = 16 3- x.
C. x 3- 2x + x2 = x2 + x và x 3- 2x = x.
D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x2.
Lời giải. Chọn D.
ïìï x ³ 0
ïìï 2x ³ 0
1+ 33
ï
x + 2 = 2x Û í
Û í
Û x=
ïïî x + 2 = 4x2 ïï x = 1± 33
8
ïïî
Ta có
.
8
x + 2 = 4x2 Û x =

1± 33
8

Do đó, x + 2 = 2x và x + 2 = 4x2 không phải là cặp phương trình tương đương.
Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương
đương:
3
2
và 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x - 4 = 0 ( 2) .
2x2 + mx - 2 = 0 ( 1)
1
C. m= .
D. m= - 2.
2
éx = - 2
2
.
Lời giải. Ta có ( 2) Û ( x + 2) ( 2x + mx - 2) = 0 Û ê
ê2x2 + mx - 2 = 0
ë
Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình
( 1) .
A. m= 2.

B. m= 3.

Thay x = - 2 vào ( 1) , ta được 2( - 2) + m( - 2) - 2 = 0 Û m= 3 .
2

Với m= 3 , ta có
1
· ( 1) trở thành 2x2 + 3x - 2 = 0 Û x = - 2 hoặc x = .
2
· ( 2) trở thành 2x3 + 7x2 + 4x - 4 = 0 Û ( x + 2) 2 ( 2x +1) = 0 Û x = - 2 hoặc x =

1
.
2

Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m= 3 thỏa mãn. Chọn B.
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau
tương đương:
2
2
mx2 - 2( m- 1) x + m- 2 = 0 ( 1)
và ( m- 2) x - 3x + m - 15 = 0 ( 2) .
A. m= - 5.

B. m= - 5; m= 4.

C. m= 4.

D. m= 5.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ộx = 1
.

Li gii. Ta cú ( 1) ( x - 1) ( mx - m+ 2) = 0 ờ
ờmx - m+ 2 = 0 .
ở
Do hai phng trỡnh tng ng nờn x = 1 cng l nghim ca phng trỡnh
( 2) .
ộm= - 5
2
2
.
Thay x = 1 vo ( 2) , ta c ( m- 2) - 3+ m - 15 = 0 m + m- 20 = 0 ờ
ờm= 4
ở
Vi m= - 5 , ta cú
7
( 1) tr thnh - 5x2 +12x - 7 = 0 x =
hoc x = 1.
5
10
( 2) tr thnh - 7x2 - 3x +10 = 0 x = hoc x = 1.
7
Suy ra hai phng trỡnh khụng tng ng
Vi m= 4 , ta cú
1
( 1) tr thnh 4x2 - 6x + 2 = 0 x =
hoc x = 1.
2
1
( 2) tr thnh 2x2 - 3x +1= 0 x =
hoc x = 1.
2

Suy ra hai phng trỡnh tng ng. Vy m= 4 tha món. Chn C.
Cõu 23. Khng nh no sau õy l sai?
x( x - 1)
A. x - 2 = 1ị x - 2 = 1.
B.
= 1ị x = 1.
x- 1
2
C. 3x - 2 = x - 3 ị 8x - 4x - 5 = 0.
D. x - 3 = 9- 2x ị 3x - 12 = 0.
Li gii. Chn C.
Ta cú:
ùỡù x 3
ùù
5
ùù ộ
ùỡù x - 3 0
ùỡù x 3
ờx =
ù


x ẻ ặ.
3x - 2 = x - 3 ớ
ớ
ớ
ờ
ùù ( 3x - 2) 2 = ( x - 3) 2 ùùợ 8x2 - 6x - 5 = 0 ùù ờ 4
ợ
ùù ờ

1
ùù ờx = ờ
2
ùợ ở
8x2 - 4x - 5 = 0 x = 1 11 .
4
Do ú, phng trỡnh 8x2 - 4x - 5 = 0 khụng phi l h qu ca phng trỡnh
3x - 2 = x - 3.
Cõu 24. Cho phng trỡnh 2x2 - x = 0 . Trong cỏc phng trỡnh sau õy,
phng trỡnh no khụng phi l h qu ca phng trỡnh ó cho?
x
= 0.
A. 2x B. 4x3 - x = 0.
1- x
2

C. ( 2x2 - x) +( x - 5) = 0.
2

D. 2x3 + x2 - x = 0.

ộx = 0
ờ
Li gii. Ta cú 2x - x = 0 ờ 1 . Do ú, tp nghim ca phng trỡnh ó cho
ờx =
ờ
ở 2
ỡù 1ỹ
l S0 = ớ 0; ùý .
ùù

ợùù 2ỵ
Xột cỏc ỏp ỏn:
2

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


ìï 1- x ¹ 0
x
= 0 Û ïí
Û
 Đáp án A. Ta có 2x ïï 2x( 1- x) - x = 0
1- x
î

ìï x ¹ 1
ï
ïïï éx = 0
Û
íê
ïï ê 1
ê
ïï x =
ë 2
îï ê

éx = 0
ê
ê 1 . Do đó, tập
êx =

ê
ë 2

ì 1ü
nghiệm của phương trình là S1 = ïí 0; ïýÉ S0 .
ïï
îïï 2þ
ìï x = 0
ï
 Đáp án B. Ta có 4x - x = 0 Û ïí
. Do đó, tập nghiệm của phương trình là
ïï x = ± 1
ïî
2
ìï 1 1ü
S2 = í - ;0; ïý É S0 .
ïï
îïï 2 2þ
3

2
ïì 2x2 - x = 0 ïìï 2x2 - x = 0
2
2
Û í
 Đáp án C. Ta có ( 2x - x) +( x - 5) = 0 Û ïí
(vô nghiệm).
ïïî x - 5 = 0
ïïî x = 5
Do đó, tập nghiệm của phương trình là S3 = ÆÉ S0 . Chọn C.

éx = 0
ê
ê 1
3
2
 Đáp án D. Ta có 2x + x - x = 0 Û êx =
. Do đó, tập nghiệm của phương
ê 2
ê
êx = - 1
ë

ì
1ü
trình là S2 = ïí - 1;0; ïý É S0 .
2þ
ïï
îïï
Câu 25. Cho hai phương trình: x( x - 2) = 3( x - 2) ( 1) và

x( x - 2)
x- 2

= 3 ( 2) . Khẳng

định nào sau đây là đúng?
A. Phương trình ( 1) là hệ quả của phương trình ( 2) .
B. Phương trình ( 1) và ( 2) là hai phương trình tương đương.
C. Phương trình ( 2) là hệ quả của phương trình ( 1) .
D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải. Ta có:
éx - 2 = 0 éx = 2
Û ê
 Phương trình ( 1) Û ê
. Do đó, tập nghiệm của phương trình ( 1)
êx = 3
êx = 3
ë
ë
là S1 = { 2;3} .
ìï x - 2 ¹ 0
Û x = 3 . Do đó, tập nghiệm của phương trình ( 2)
 Phương trình ( 2) Û ïí
ïïî x = 3
là S2 = 3 .
Vì S2 Ì S1 nên phương trình ( 1) là hệ quả của phương trình ( 2) . Chọn A.

Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Câu 26. Tập nghiệm của phương trình
A. S = { 0} .

B. S = Æ.

x2 - 2x = 2x - x2 là:
C. S = { 0;2} .
D. S = { 2} .

ïì x2 - 2x ³ 0 ïìï x2 - 2x ³ 0
Û í
Û x2 - 2x = 0 Û

Lời giải. Điều kiện: ïí
ïï 2x - x2 ³ 0 ïï x2 - 2x £ 0
î
î

éx = 0
ê
.
êx = 2
ë

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình. Chọn C.
2
Câu 27. Phương trình x( x - 1) x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C.
Lời giải. Điều kiện: x - 1³ 0 Û x ³ 1.
éx = 0
ê
2
Phương trình tương đương với ê
êx - 1= 0 Û
ê
ê x- 1 = 0
ë

2.

D. 3.

éx = 0
ê
êx = ±1.
ê
êx = 1
ë
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 28. Phương trình - x2 + 6x - 9 + x3 = 27 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.
2

Lời giải. Điều kiện: - x + 6x - 9 ³ 0 Û - ( x - 3) ³ 0 Û x = 3 .
2

Thử lại ta thấy x = 3 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 29. Phương trình

2

( x - 3) ( 5- 3x) + 2x = 3x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.

B. 1.
C. 2.
ìï ( x - 3) 2 ( 5- 3x) ³ 0
ï
Lời giải. Điều kiện: í
. ( *)
ïï 3x - 5 ³ 0
î
Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện ( *) .
5
ïìï
x£
ïìï 5- 3x ³ 0 ïïï
5
3
Û í
Û x= .
Nếu x ¹ 3 thì ( *) Û í
ïïî 3x - 5 ³ 0 ïï
5
3
ïï x ³
3
îï

D. 3.

Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x =

5
.
3

5
vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn.
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
ïì x - 1³ 0 ïìï x ³ 1
Û í
Û x = 1.
Lời giải. Điều kiện ïí
ïîï 1- x ³ 0 ïîï x £ 1
Thay x = 3 và x =

Thử lại x = 1 thì phương trình không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A.
Câu 31. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

ïìï x ³ 0
ï
Lời giải. Điều kiện: í x - 2 ³ 0 Û x = 2 .
ïï
ïïî 2- x ³ 0
Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
Câu 32. Phương trình x3 - 4x2 + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ìï x3 - 4x2 + 5x - 2 ³ 0 ïìï ( x - 1) 2 ( x - 2) ³ 0 éx = 1
Û í
Û ê
Lời giải. Điều kiện: ïí
.
ê
ïîï 2- x ³ 0
ïï x £ 2
ëx = 2
î
Thay x = 1 và x = 2 vào phương trình thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
1
2x - 1
=
Câu 33. Phương trình x +
có bao nhiêu nghiệm?
x- 1 x- 1
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Điều kiện: x ¹ 1.
Với điều kiện trên phương trình tương đương x2 - x +1= 2x - 1 Û x = 1 hoặc
x=2.
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Chọn B.
2
Câu 34. Phương trình ( x - 3x + 2) x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
x
³
3
Lời giải. Điều kiện:
.
• Ta có x = 3 là một nghiệm.
•Nếu x > 3 thì x- 3 > 0 . Do đó phương trình tuong đương

( x2 -

3x + 2) x - 3 = 0 Û x2 - 3x + 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = 2 .

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Chọn B.
2
Câu 35. Phương trình ( x - x - 2) x +1 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải. Điều kiện: x ³ - 1 .
• Ta có x = - 1 là một nghiệm.
• Nếu x >- 1 thì x+1 > 0 . Do đó phương trình tương đương
x2 - x - 2 = 0 Û x = - 1 hoặc x = 2 .
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1, x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn C.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất