LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC của góc (CUNG) LƯỢNG GIÁC (lý thuyết + bài tập vận dụng) file word

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC.............................................................................2
3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt...........................................................................4
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI...................................................................................................5
DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.............................................................................5
2. Các ví dụ minh họa...............................................................................................................................6
3. Bài tập luyện tập...................................................................................................................................8
DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ
DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC...........................................................................10
1. Phương pháp giải...............................................................................................................................10
2. Các ví dụ minh họa.............................................................................................................................10
3. Bài tập luyện tập:................................................................................................................................13
DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ
THUỘC GÓC , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.........................................................................................................19
1. Phương pháp giải...............................................................................................................................19
2. Các ví dụ minh họa.............................................................................................................................19
3. Bài tập luyên tập.................................................................................................................................24
DẠNG TOÁN 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC.
.....................................................................................................................................................................28
1. Phương pháp giải...............................................................................................................................28
2. Các ví dụ minh họa.............................................................................................................................29
3. Bài tập luyện tập.................................................................................................................................33

§ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG
GIÁC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Giá trị lượng giác của góc(cung) lượng giác.
a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác là

2

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
đường tròn đơn vị, định hướng và trên đó chọn điểm A làm gốc.
b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.
Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho ( OA ,OM ) = a gọi là điểm xác
định bởi số a (hay bởi cung a , hay bởi góc a ). Điểm M còn được gọi là điểm
trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo a .
Nhận xét: Ứng với mỗi số thực a có một điểm nằm trên đường tròn
lượng(điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi
điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số thực. Các số thực có dạng là
a + k2p, k Î Z .
d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang và côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn
với đường tròn lượng giác. Với mỗi góc lượng giác ( Ou,Ov) có số đo a , xác
định điểm M ( x; y) trên đường tròn lượng giác sao cho sđ... Khi đó ta định
nghĩa
cosa = x, sin a = y
ö
sin a æ
p
ç
tan a =
a ¹ + kp÷
÷
ç
÷
cosa ç
2
è
ø

cosa
( a ¹ kp)
sin a
Ý nghĩa hình học: Gọi K , H lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox,Oy . Vẽ
trục số At gốc A cùng hướng với trục Oy và vẽ trục số Bs gốc B cùng hướng
với trục Ox , gọi T ,S lần lượt là giao điểm của đường thẳng OM cắt với các
trục sô At, Bs. Khi đó ta có:
cot a =

sin a = OH , cosa = OK ,tan a = AT ,cot a = BS
e) Tính chất:
• sin a ,cosa xác định với mọi giá trị của a và - 1£ sin a £ 1,- 1£ cosa £ 1.
p
• tana được xác định khi a ¹ + kp , cota xác định khi a ¹ kp
2
• sin a = sin( a + k2p) ,cosa = cos( a + k2p)
tan a = tan( a + kp) ,cot a = cot( a + kp)
f) Dấu của các giá trị lượng giác:
Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường
tròn lượng giác.
Bảng xét dấu
Phần tư

I

II

III

IV

+

–

–

+

Giá trị lượng giác
cosα

3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
sinα

+

+

–

–

tanα

+

–

+

–

cotα

+

–

+

–

g) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Góc
a
sina

0

p
6

p
4

p
3

p
2

2p
3

3p
4

p

3p
2

2p

00

300

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

0

1
2

2
2

3
2

1

3
2

2
2

0

–1

0

1

3
2

2
2

1
2

0

-

1
2

–1

0

1

0

3
3

1

3

||

-

3

–1

0

||

0

||

3

1

3
3

0

-

3
3

–1

||

0

||

cosa
tana
cota

-

2
2

2. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1) sin2 a + cos2 a = 1
1
p
2) 1+ tan2 a =
(a ¹ + kp)

2
2
cos a
1
3) 1+ cot2 a =
(a ¹ kp)
sin2 a
kp
4)tan a.cot a = 1(a ¹
)
2
3. Giá trị lượng giác của góc(cung) có liên quan đặc biệt.

Góc đối nhau ( a và
- a)

Góc bù nhau( a và
p- a )

Góc phụ nhau( a và
p
- a)
2

4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
cos(- a ) = cosa

sin(p - a ) = sin a

æ
ö
p
sinç
- a÷
÷
ç
÷= cosa
ç2
è
ø

sin(- a ) = - sin a

cos(p - a ) = - cosa

æ
ö
p
cosç
- a÷
÷
ç
÷= sin a
ç
è2
ø

tan(- a ) = - tan a

tan(p - a ) = - tan a

æ
ö
p
tanç
- a÷
÷
ç
÷= cot a
ç
è2
ø

cot(- a ) = - cot a

cot(p - a ) = - cot a

æ
ö
p
cotç
- a÷
÷
ç
÷= tan a
ç
è2

ø

Góc hơn kém p ( a và
p +a )

Góc hơn kém

p
( a và
2

p
+a )
2

sin(p + a ) = - sin a

æ
ö
p
sinç
+a÷
÷= cosa
ç
ç
÷
è2
ø

cos(p + a ) =- cosa

æ
ö
p
cosç
+a÷
÷
ç
÷= - sin a
ç2
è
ø

tan(p + a )= tan a

æ
ö
p
tanç
+a÷
÷
ç
÷= - cot a
ç2
è
ø

cot(p + a )= cot a

æ

ö
p
cotç
+a÷
÷
ç
÷= - tan a
ç2
è
ø

Chú ý: Để nhớ nhanh các công thức trên ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ
p
chéo sin". Với nguyên tắc nhắc
2
đến giá trị nào thì nó bằng còn không nhắc thì đối.
chéo hơn kém p tang côtang, hơn kém

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: BIỂU DIỄN GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử
dụng các kết quả sau

5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
• Góc a và góc a + k2p, k Î Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng
giác.

k2p
m
( với k là số nguyên và m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu

• Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a +

diễn các góc lượng giác đó ta lần lượt cho k từ 0 tới ( m- 1) rồi biểu
diễn các góc đó.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số
đo sau:
a)

p
4

b) -

11p
2

c) 1200

d) - 7650

Lời giải :
p
a) Ta có 4 1 . Ta chia đường tròn thành tám phần
=
2p 8

bằng nhau.
Khi đó điểm M 1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
p
.
4
b) Ta có -

13p
p
=- +( - 3) .2p do đó điểm biểu diễn
2
2

bởi góc -

11p
p
trùng với góc và là điểm B' .
2
2

c) Ta có

120 1
= . Ta chia đường tròn thành ba phần bằng nhau.
360 3

Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1200 .

6

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
0
0
0
d) Ta có - 765 =- 45 +( - 2) .360 do đó điểm biểu diễn bởi góc - 7650 trùng với

góc - 450 .
45 1
= . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )
360 8
¼ ' ) là điểm biểu diễn bởi góc có
Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB
số đo - 7650 .
Ví dụ 2 : Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có
số đo sau (với k là số nguyên tùy ý).
x1 = kp ;

x2 =

p
+ kp ;
3

x3 =-

p
+ kp
3

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải :
• Ta có x1 =

k2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x1 = kp
2

Với k = 0 Þ x1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A
k = 1Þ x1 = p được biểu diễn bởi A '
• x2 =

p 2kp
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng
+
3
2

x2 =

p
+ kp
3

k = 0 Þ x2 =
k = 1Þ x =

p
được biểu diễn bởi M 1

3

4p
được biểu diễn bởi M 2
3

7


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
• x3 =-

p k2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng
+
3
2
p
+ kp
3

x3 =k = 0 Þ x3 =k = 1Þ x6 =

p
được biểu diễn bởi M 3
3

2p
được biểu diễn bởi M 4 .
3

• Do các góc lượng giác x1 , x2 , x3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều
AM 1M 4A ' M 2M 3 nên các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một
công thức duy nhất là x =

kp
.
3

3. Bài tập luyện tập.
Bài 6.6: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường tròn lượng giác có số
đo sau:
a)

p
3

b) -

17p
4

c) - 450

d) 7650

Lời giải :
p
Bài 6.6: HD: a) Ta có 3 1 . Ta chia đường tròn thành
=

2p 6
sáu phần bằng nhau. Khi đó điểm M 1 là điểm biểu diễn
bởi góc có số đo

b) Ta có -

p
.
3

17p
p
=- +( - 2) .2p do đó điểm biểu diễn bởi góc
4
4

17p
p
trùng với góc và là điểm M 2 .
4
4

8


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Ta có

45 1
= . Ta chia đường tròn thành tám phần bằng nhau.

360 8

Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo - 450 .
d) Ta có 7650 = 450 + 2.3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc 7650 trùng với góc 450
.
45 1
= . Ta chia đường tròn làm tám phần bằng nhau
360 8
» ) là điểm biểu diễn bởi góc có
Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB
số đo 7650 .
Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có
số đo là x =

p
p
+ k ( k là số nguyên tùy ý).
4
2
Lời giải :

Bài 6.7: Ta có x =
đo dạng x =

p
p p
2p
+k = +k
do đó có bốn điểm biểu diễn bởi góc có số
4

2 4
4

p
p
+k
4
2

Với k = 0 Þ x =

p
được biểu diễn bởi điêm M 1
4

k = 1Þ x =

3p
được biểu diễn bởi M 2
4

k = 2Þ x =

5p
được biểu diễn bởi M 3
4

k = 3Þ x =

7p

được biểu diễn bởi M 4
4

9


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy góc lượng giác có số đo là x =

p
p
+ k được biểu diễn bởi đỉnh của hình
4
2

vuông M 1M 2M 3M 4 .

Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có
số đo sau (với k là số nguyên tùy ý).
x1 = kp ;

x2 =

p
+ kp
2

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng công thức duy nhất nào?
Lời giải :
Bài 6.8: Các góc lượng giác x1 = kp được biểu diễn bởi hai điểm là A và A '

trên đường tròn lượng giác. Các góc lượng giác x2 =

p
+ kp được biểu diễn bởi
2

hai điểm là B và B' trên đường tròn lượng giác.
Từ đó suy ra các góc x1 , x2 có thể viết dưới dạng một công thức là

kp
2

DẠNG TOÁN 2 : XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC
BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG
GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC.
1. Phương pháp giải.
• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên
quan đặc biệt
• Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác
định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và
áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng giác.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

a) A = sin
A. b) B =

A. -

7p
5p
7p
+ cos9p + tan() + cot
6
4
2

5
2

B.0

C.1

D.

1
2

C.1

D.

1

2

C.1

D.

1
2

C.1

D.

1
2

1
2sin2550°cos(- 188°)
+
tan368°
2cos638°+ cos98°
5
2

B.0

c) C = sin2 25°+ sin2 45°+ sin2 60°+ sin2 65°
A. -

5

2

B.

7
4

p
3p
5p
d) D = tan2 .tan .tan
8
8
8
A. -

5
2

B. - 1

Lời giải :
æ pö
æ pö
æ
ö
p
p+ ÷
p+ ÷
+ 3p÷

÷+ cos( p + 4.2p) - tanç
÷+ cotç
÷
a) Ta có A = sinç
ç
ç
ç
ç
÷
ç
÷
ç2
÷
6ø
4ø
è
è
è
ø
p
p
p
1
5
Þ A =- sin + cos p - tan + cot =- - 1- 1+ 0 =6
4
2
2
2
b) Ta có B =

1
tan( 80 + 360°)

+

2sin( 300 + 7.360°) cos(80 + 180°)
2cos( - 900 + 80 + 2.360°) + cos( 900 + 8°)

1
2. ( - cos80)
2sin300 ( - cos80 )
1
1
2
B=
+
=
+
=
0
0
0
0
0
tan8
tan8
2cos( 8 - 90 ) - sin8
2cos( 900 - 80 ) - sin80
=

1
cos80
1
cos80
=
=0
tan80 2sin80 - sin80 tan80 sin80

c) Vì 250 + 650 = 900 Þ sin650 = cos250 do đó

11


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
2
2
ổ 2ử
ổử
1
ữ
ỗ
ữ
ữ
C = ( sin 25+ cos 25) + sin 45+ sin 60= 1+ỗ
+ỗ
ỗ ữ
ữ
ỗ
ữ

ữ
ỗ2ứ
ữ ỗ
ố2ứ
ố
2

Suy ra C =

2

0

2

2

7
.
4

ổ p
ổ pử
3p ử ộ
5p ự
tan .tan ữ
- ữ
ữ. ờtanỗ
ữtan ỳ
d) D =- ỗ

ỗ
ỗ
ỗ
ỗ 8ứ
ữờ ố
ữ
8ứ
8ỳ
ố 8
ở
ỷ
M

ổ pử
p 3p p p 5p p
3p
p
5p
+
= ,- +
= ị tan
= cot ,tan
= cotỗ
- ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
8 8
2 8 8

2
8
8
8
ố 8ứ

ự
ổ p
ổ pử
ổ pử
pử ộ
ữ
ữ
ỗ
ờtanỗ
ỳ
tan .cot ữ
.
cot
ữ
ữ
ữ
Nờn D =- ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữờ ố
ữ ố
ữỳ=- 1.
ỗ

ỗ 8ứ
ỗ 8ứ
8
8ứ
ố
ở
ỷ
Vớ d 2: Cho

p
< a < p . Xỏc nh du ca cỏc biu thc sau:
2

ổ
ử
p
+aữ
ữ
a) sinỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố2
ứ
ổ
ử
p
+aữ
ữ
A. sinỗ

ỗ
ữ> 0
ỗ
ố2
ứ

ổ
ử
p
+aữ
ữ
B. sinỗ
ỗ
ữ< 0
ỗ
ố2
ứ

ổ
ử
p
+aữ
ữ
C. sinỗ
ỗ
ữ 0
ỗ
ố2
ứ

ổ
ử
p
+aữ
ữ
D. sinỗ
ỗ
ữÊ 0
ỗ
ố2
ứ

ổ3p
ử
- aữ
ữ
b) tanỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố2
ứ
ổ3p
ử
- aữ
ữ
A. tanỗ
ỗ
ữ 0
ỗ

ố2
ứ

ổ3p
ử
ổ3p
ử
ổ3p
ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
- aữ
Ê
0
tan
a
<
0
tan
a
ữ
ữ
ữ
B. tanỗ
C.
D.
ỗ
ỗ

ỗ
ữ
ữ
ữ> 0
ỗ
ỗ
ỗ
ố2
ứ
ố2
ứ
ố2
ứ

ổp
ử
- +aữ
ữ.tan( p - a )
c) cosỗ
ỗ
ỗ
ữ
ố 2
ứ
ổp
ử
- +aữ
ữ.tan( p + a ) 0
A. cosỗ
ỗ

ỗ
ữ
ố 2
ứ

ổp
ử
- +aữ
ữ.tan( p + a ) > 0
B. cosỗ
ỗ
ỗ
ữ
ố 2
ứ

12


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æp
ö
- +a÷
÷.tan( p + a ) £ 0
C. cosç
ç
ç
÷
è 2
ø

d) sin

æp
ö
- +a÷
÷.tan( p + a ) < 0
D. cosç
ç
ç
÷
è 2
ø

14p
.cot( p + a )
9

A. sin

14p
.cot( p + a ) < 0
9

B. sin

14p
.cot( p + a ) £ 0
9

C. sin

14p
.cot( p + a ) > 0
9

D. sin

14p
.cot( p + a ) ³ 0
9

Lời giải :
æ
ö
p
p
p
3p
+a÷
÷
< a < p Þ p < +a <
suy ra sinç
ç
÷< 0
ç
è2
ø
2
2

2

a) Ta có

b) Ta có -

æ3p
ö
p
3p
p
- a÷
÷
>- a >- p Þ 0> - a >suy ra tanç
ç
÷< 0
ç
è2
ø
2
2
2

æp
ö
p
p
p
- +a÷
÷

< a < p Þ 0<- + a < suy ra cosç
ç
÷> 0
ç
è 2
ø
2
2
2

c) Ta có

Và 0 < p - a <

p
suy ra tan( p + a ) > 0
2

æp
ö
- +a÷
÷.tan( p + a ) > 0 .
Vậy cosç
ç
ç
÷
è 2
ø
d) Ta có

3p 14p
14p
<
< 2p Þ sin
< 0.
2
9
9

p
3p
< p + a < 2p suy ra cot( p + a ) < 0 .
2
2
Vậy sin

14p
.cot( p + a ) > 0 .
9

3. Bài tập luyện tập:
Các bài tập sau đây đều không sử dụng máy tính bỏ túi

13


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.9: Tính giá trị các biểu thức sau:
sin405°+ sin495°

cos1830°+ cos3660°

a) A =

A.

2 2
1+ 3

b) B =

A.

B.

2

C.

1+ 3

2 2
1+ 2 3

D.

2 2
2+ 3

1+ cos1800°tan(- 390°)

tan(- 420°)

1-

3

B.

3

4-

3

C.

3

1- 3 3
3

D.

1- 2 3
3

c) D = cos00 + cos200 + cos400 + ...+ cos1600 + cos1800
A.0

B.1

C.2

D.-1

C.2

D.-1

C.2

D.-1

d) E = tan50 tan100 tan150...tan800 tan850
A.0

B.1

e) F = cos2 15°+ cos2 35°+ cos2 55°+ cos2 75°
A.0

B.1

Lời giải :
2
2.
sin 450 + sin1350
2 = 2 2
=
Bài 6.9: a) A =

0
0
cos30 + cos60
1
3 1+ 3
+
2 2

b)

1-

B=

1- tan30°
=
- tan60°
-

1
3 = 1- 3
3
3

0
0
0
0
0
0

c) D = ( cos0 + cos180 ) +( cos20 + cos160 ) + ...+( cos80 + cos100 )

= ( cos00 - cos00 ) +( cos200 - cos200 ) + ...+( cos800 - cos800 ) = 0

14


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
0
0
0
0
0
0
d) E = ( tan5 tan85 ) ( tan15 tan75 ) ...( tan45 tan 45 )

= ( tan50 cot50 ) ( tan150 cot50 ) ...( tan 450 cot50 ) = 1
2
2
2
2
e) F = ( cos 15°+ sin 15°) +( cos 35°+ sin 35°) = 2

Bài 6.10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 5sin2

151p
85p
193p
37p

+ 3cos2
- 4tan2
+ 7cot2
.
6
3
6
3

A.0
b) B = cos2

B. 3

C.2

D.-1

C.2

D.-1

C.2

D.-1

p
2p
p
3p

+ cos2
+ cos2 + cos2
.
5
5
10
10

A.0

B.1

p
2p
5p
7p
tan tan
c) C = tan tan
9
9
18
18
A.0

B.1

Lời giải :
Bài 6.10: a) A = 5sin2
2

p
p
p
p
+ 3cos2 - 4tan2 + 7cot2
6
3
6
3
2

2
2
æ1 ö
æö
æö
1÷
1÷ æ
1ö
÷
ç
ç
ç
ç
÷
÷
= 5.ç ÷
+
3
4

+
7
=3
÷
ç
ç ÷
ç
÷
÷
÷
÷ ç
ç2ø
ç2ø
÷
÷
ç
è
è
è 3ø
è 3ø

p
3p
2p
p
,cos = sin
b) Ta có cos = sin
suy ra
5
10

5
10
æ 2 p
pö æ
3p
3p ö
B =ç
cos
+ sin2 ÷
cos2
+ sin2 ÷
÷+ç
÷= 2
ç
ç
ç
÷ è
ç
÷
10
10ø
10
10ø
è
c) Ta có tan

p
7p
2p
5p

= cot
,tan
= cot
Þ C =1
9
18
9
18

15


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 6.11: Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin500.cos(- 3000 )
A. A > 0
b) B = sin2150.tan

C. A ³ 0

D. A £ 0

B. B£ 0

C. B< 0

D. B£ 0

B. C < 0

C. C ³ 0

D. C £ 0

22p
7

A. B> 0
c) C = cot

B. A < 0

æ 2p ö
3p
÷
.sinç
÷
ç
÷
ç
è 3ø
5

A. C > 0

Lời giải :
Bài 6.11: a) A = sin500.cos(- 3600 + 600 ) = sin500.cos600 > 0
æ
pö
p

0
0
3p + ÷
÷=- sin350.tan < 0
b) B = sin( 180 + 35 ) .tanç
ç
ç
÷
7ø
7
è
c) C =- cot

3p
2p
p 3p
3p
p 2p
2p
.sin
< p Þ cot
< 0, <
< p Þ sin
>0
. Ta có <
5
3
2 5
5
2 3

3

Vì vậy C =- cot

3p
2p
.sin
<0
5
3

Bài 6.12: Cho 00 < a < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin(a + 900 )
A. sin(a + 900 ) > 0

B. sin(a + 900 ) ³ 0

C. sin(a + 900 ) £ 0

D. sin(a + 900 ) < 0

b) cot(a - 900 )
A. cot(a - 900 ) > 0

B. cot(a - 900 ) ³ 0

C. cot(a - 900 ) < 0

D. cot(a - 900 ) £ 0

16


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) tan(2700 - a )
A. tan(2700 - a ) > 0

B. tan(2700 - a ) £ 0

C. tan(2700 - a ) ³ 0

D. tan(2700 - a ) < 0

d) cos(2a + 900 )
A. cos(2a + 900 ) > 0

B. cos(2a + 900 ) < 0

C. cos(2a + 900 ) ³ 0

D. cos(2a + 900 ) £ 0
Lời giải :

Bài 6.12: a) 900 < a + 900 < 1800 Þ sin(a + 900 ) > 0
b) - 900 < a - 900 < 00 Þ cot(a - 900 ) < 0
c) 1800 < 2700 - a < 2700 Þ tan(2700 - a ) > 0
d) 900 < 2a + 900 < 2700 Þ cos(2a + 900 ) < 0
Bài 6.13: Cho 0 < a <

p

. Xét dấu của các biểu thức sau:
2

a) cos(a + p)
A. cos(a + p) > 0

B. cos(a + p) < 0

C. cos(a + p) ³ 0

D. cos(a + p) £ 0

B. tan(a - p) < 0

C. tan(a - p) ³ 0

D. tan(a - p) £ 0

b) tan(a - p)
A. tan(a - p) > 0
æ 2p ö
÷
c) sinç
÷
ç
÷
ça + 5 ø
è
æ 2p ö
a+ ÷

A. sinç
÷
ç
÷> 0
ç
è
5ø

æ 2p ö
a+ ÷
B. sinç
÷
ç
÷< 0
ç
è
5ø

17


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æ 2p ö
a+ ÷
C. sinç
÷
ç
÷³ 0
ç
è

5ø

æ 2p ö
a+ ÷
D. sinç
÷
ç
÷£ 0
ç
è
5ø

æ 3p ö
÷
ad) cosç
÷
ç
ç
è
ø
8÷
æ 3p ö
÷
aA. cosç
÷
ç
÷> 0
ç
è
8ø

æ 3p ö
÷
aB. cosç
÷
ç
÷< 0
ç
è
8ø

æ 3p ö
÷
aC. cosç
÷³ 0
ç
ç
è
ø
8÷

æ 3p ö
÷
aD. cosç
÷£ 0
ç
ç
è
ø
8÷

Lời giải :

Bài 6.13: a) p < a + p <
b) - p < a - p <-

c)

3p
Þ cos(a + p) < 0
2

p
Þ tan(a - p) > 0
2

æ 2p ö
2p
2p 9p
2p
<
Þ 0< a +
< p Þ sinç
a+ ÷
÷
ç
÷> 0
ç
è
5

5 10
5
5ø

d) -

æ3p
ö
p 3p
3p
p 3p
p
÷
< - a<
Þ - < - a < Þ cosç
a
÷
ç
÷> 0
ç
è
ø
8 8
8
2 8
2
8

Bài 6.14: Cho tam giác ABC có góc A tù. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) M = sin A + sin B + sin C

A. M > 0

B. M £ 0

C. M ³ 0

D. M < 0

C. N £ 0

D. N > 0

C. P > 0

D. P £ 0

b) N = cos A.cos B.cosC
A. N ³ 0
c) P = cos
A. P < 0

B. N < 0
A
B
C
.sin .cot
2
2
2
B. P ³ 0

d) Q = cot A tan B cot C

18


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. Q ³ 0

B. Q < 0

C. Q £ 0

D. Q > 0

Lời giải :
Bài 6.14: a) M > 0

b) N < 0

c) P > 0

d) Q < 0

DẠNG TOÁN 3 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH
BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC GÓC x , ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ và sử
dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi
+ Khi chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến

đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
+ Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố
gắng làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để rút gọn hoặc làm xuất
hiện các hạng tử trái dấu để rút gọn cho nhau.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có
nghĩa)
a) cos4 x + 2sin2 x = 1+ sin4 x
b)

sin x + cos x
= cot3 x + cot2 x + cot x + 1
3
sin x

cot2 x- cot2 y cos2 x- cos2 y
=
c)
cot2 x.cot2 y
cos2 x.cos2 y
d)

æ pö
æ
ö
p
sin4 x + 4cos2 x + cos4 x + 4sin2 x = 3tan ç
x+ ÷
- x÷
÷tan ç

÷
ç
ç
ç
÷ è
ç6
÷
3ø
è
ø
Lời giải :

a) Đẳng thức tương đương với cos4 x = 1- 2sin2 x +( sin2 x)

2

2

Û cos4 x = ( 1- sin2 x) (*)

19


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Mà sin2 x + cos2 x = 1Þ cos2 x = 1- sin2 x
2

Do đó (*) Û cos4 x = ( cos2 x) (đúng) ĐPCM.
b) Ta có VT =

sin x + cos x
1
cos x
=
+ 3
3
2
sin x
sin x sin x

Mà cot2 x +1=

1
sin x
và tan x =
nên
2
cos x
sin x

VT = cot2 x + 1+ cot x( cot2 x + 1) = cot3 x + cot2 x + cot x + 1= VP ĐPCM.
c) Ta có VT =

cot2 x- cot2 y
1
1
=
= tan2 y - tan2 x
2
2

2
2
cot x.cot y
cot y cot x
æ 1
=ç
ç
2
ç
ç
ècos y

ö
÷
1÷
÷
÷
ø

æ 1
ç
ç
ç
ècos2 x

ö
cos2 x- cos2 y
1
1
1÷

=
=
= VP
÷
÷ cos2 y cos2 x
ø
cos2 x.cos2 y

ĐPCM.
d) VT = sin4 x + 4( 1- sin2 x) + cos4 x + 4( 1- cos2 x)
=

( sin x)
2

2

- 4sin2 x + 4 +

( cos x)
2

2

- 4cos2 x + 4 =

( sin

2

2

x- 2) +

( cos

2

x- 2)

2

= ( 2- sin2 x) +( 2- cos2 x) = 4- ( sin2 x + cos2 x) = 3
æ pö
æ
ö p
æ
ö
æ pö
p
p
x+ ÷
+ç
- x÷
= Þ tanç
- x÷
= cotç
x+ ÷
÷
÷

÷
÷
Mặt khác vì ç
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷nên
ç
ç6
ç6
ç
3ø è
3ø
è
ø 2
è
ø
è
æ pö
æ pö
VP = 3tanç
x+ ÷
cotç
x+ ÷
÷
÷

ç
ç
÷
÷= 3 Þ VT = VP ĐPCM.
ç
ç
3ø è
3ø
è
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
B
B
cos3
2
2
= tan A.cot(B + C)
æA + 2B + C ö
æ
A
+
2
B +C ö
÷
÷
ç
ç
cosç
÷
÷
ç

÷ sinè
÷
ç
ç
2
2
è
ø
ø
sin3

20


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải :
Vì A + B + C = p nên

VT =

sin3

B
2

æ
p Bö
÷
ç
cosç + ÷

÷
ç2 2ø
è

B
B
B
sin3
cos3
B
Bö
2 =
22 =- æ
ç
sin2 + cos2 ÷
÷=- 1
ç
ç
÷
æ
B
B
2
2ø
p Bö
è
÷
ç
cos
sinç + ÷ - sin

÷
ç2 2ø
2
2
è
cos3

VP = tan A.cot( p - A ) = tan A.( - cot A ) =- 1
Suy ra VT = VP . ĐPCM
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
æ3p
ö
æ3p
ö
÷
÷
ç
+
x
+
tan
x
a) A = cos(5p - x) - sinç
÷
÷
ç
ç
÷
÷+ cot(3p - x)
ç2

ç2
è
ø
è
ø
B. cosx

A.0
b) B =

A.

D. - 2cosx

C. 1

sin(900°+ x) - cos(450°- x) + cot(1080°- x) + tan(630°- x)
cos(450°- x) + sin(x- 630°)- tan(810°+ x) - tan(810°- x)
- 2sin x
sin x + cos x

c) C = 2 A. -

B. cosx

C.

- 2sin x
sin x + cos x

D. - 2cosx

1
1
1
.
+
với p < x < 2p
sin( x + 2013p) 1+ cos x 1- cos x

2cot2 x

B.

2cot2 x

C. -

3cot2 x

D. - cot2 x

Lời giải :
a) Ta có cos(5p - x) = cos( p - x + 2.2p) = cos( p - x) =- cos x
æ3p
ö
æ p
ö
æ
ö

p
sinç
+ x÷
= sinç
p + + x÷
=- sinç
+ x÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷=- cos x
ç
ç
ç
è2
ø
è
ø
è2
ø
2
æ3p
ö
æ p
ö

æ
ö
p
÷
÷
÷
ç
ç
tanç
x
=
tan
p
+
x
=
tan
x
÷
÷
÷= cot x
ç
ç
ç
÷
÷
ç2
ç
ç
è

ø
è
ø
è
ø
2
2 ÷

21


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
cot(3p- x) = cot( - x) =- cot x
Suy ra A =- cos x- ( - cos x) + cot x +( - cot x) = 0
0
0
0
b) Ta có sin(900°+ x) = sin( 180 + 2.360 + x) = sin( 180 + x) =- sin x

cos( 4500 - x) = cos( 900 + 3600 - x) = cos( 900 - x) = sin x
cot(1080°- x) = cot(3.360°- x) = cot( - x) =- cot x
tan(630°- x) = tan(3.180°+ 900 - x) = tan(900 - x) = cot x
sin(x- 630°) = sin ( x- 2.3600 + 900 ) = sin ( x+ 900 ) = cos x
tan(810°+ x) = tan(4.180°+ 900 + x) = tan(900 + x) =- cot x
tan(810°- x) = tan(4.180°+ 900 - x) = tan(90°- x) = cot x
Vậy B =

- sin x- sin x- cot x + cot x
- 2sin x
=

sin x + cos x- ( - cot x) - cot x sin x + cos x

c) Ta có sin( x + 2013p) = sin( x + p + 1006.2p) = sin ( x + p) =- sin x nên
C = 2+

1
1- cos x + 1+ cos x
.
sin x ( 1- cos x) ( 1+ cos x)

æ
ö
1
2
1
2
1
÷
ç
÷
ç
= 2+
.
= 2+
.
= 2ç1+
÷
2
2
÷

ç
sin x 1- cos x
sin x sin x
sin
x
sin
x
÷
è
ø
Vì p < x < 2p Þ sin x < 0 nên
æ
1 ö
÷
C = 2ç
1÷
ç
÷=ç sin2 xø
è

2cot2 x

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức.
a) A =

sin6 x + cos6 x + 2
sin4 x + cos4 x + 1

22

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A.

3
2

B. cosx

C. 1

D. - 2cosx

C. 1

D. - 2cosx

1+ cot x
2+ 2cot2 x
B
=
b)
1- cot x ( tan x- 1) ( tan2 x +1)
A.

3
2

B. cosx

c) C = sin4 x + 6cos2 x + 3cos4 x + cos4 x + 6sin2 x + 3sin4 x
A.

3
2

B. cosx

D. - 2cosx

C. 3
Lời giải :
2

a) Ta có Ta có sin4 a + cos4 a = ( sin2 a + cos2 a ) - 2sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a
3

3

sin6 a + cos6 a = ( sin2 a ) +( cos2 a ) = ( sin2 a + cos2 a ) ( sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a )
= sin4 a + cos4 a - sin2 a cos2 a = 1- 2sin2 a cos2 a - sin2 a cos2 a = 1- 3sin2 a cos2 a
2
2
1- 3sin2 a cos2 a + 2 3( 1- sin a cos a ) 3
=
=
Do đó A =
1- 2sin2 a cos2 a + 1 2( 1- sin2 a cos2 a ) 2

Vậy A không phụ thuộc vào x .

2cos2 x
1
2+
tan x sin2 x
b) Ta có B =
1
1
1( tan x- 1) 2
tan x
sin x
1+

2
2
tan x + 1 2( sin x + cos x) tan x + 1- 2
=
=
=1
tan x- 1
tan x- 1
tan x- 1

Vậy B không phụ thuộc vào x .
c) C =

( 1-

2

cos2 x) + 6cos2 x + 3cos4 x +

( 1-

2

sin2 x) + 6sin2 x + 3sin4 x

23


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
= 4cos4 x + 4cos2 x + 1+ 4sin4 x + 4sin2 x + 1
=

( 2cos

2

2

x + 1) +

( 2sin

2

x + 1)

2

= 2cos2 x + 1+ 2sin2 x + 1
=3
Vậy C không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập.
Giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa.
Bài 6.15: Rút gọn các biểu thức sau:
æ
ö
p
+ x÷
a) A = cosç
÷
ç
÷+ cos(2p - x) + cos(3p + x)
ç
è2
ø
B. cosx

A. - sinx

C. 1

D. - 2cosx

æ
ö
æ3p
ö
7p

- x÷
+ cotç
- x÷
b) B = 2cos x- 3cos(p - x) + 5sinç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è2
ø
è2
ø
B. cosx

A. - sinx

C. tanx

D. - 2cosx

c) C = 2sin( 900 + x) + sin(9000 - x) + sin( 2700 + x) - cos( 900 - x)
B. cosx

A. - sinx

d) D =

sin(5p + x)cos(xcos(5p - x)sin(

A. - sinx

C. tanx

D. - 2cosx

C. - tan2x

D. - 2cosx

9p
)tan(10p + x)
2
.

11
p + x)tan(7p - x)
2
B. cosx

Lời giải :
Bài 6.15: a) A =- sin x + cos x - cos x =- sin x
b) B = 2cos x + 3cos x- 5cos x + tan x = tan x
c) C = 2cos x + sin x- cos x- sin x = cos x

24

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
d) D =

- sin x sin x tan x
=- tan2 x
( - cos x) ( - cos x) tan x

Bài 6.16: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có
nghĩa)
a) tan2 x- sin2 x = tan2 x.sin2 x
b)

tan3 x
1
cot3 x
+
= tan3 x + cot3 x
sin2 x sin x cos x cos2 x

c) sin2 x- tan2 x = tan6 x(cos2 x- cot2 x)
d)

tan2 a- tan2 b sin2 a- sin2 b
=
tan2 a.tan2 b
sin2 a.sin2 b
Lời giải :

Bài 6.16: a) tan2 x- sin2 x =

b)

sin2 x
- sin2 x = sin2 x( 1+ tan2 x) - sin2 x = tan2 x.sin2 x
2
cos x

tan3 x
1
cot3 x
+
= tan3 x( cot2 x + 1) - tan x( cot2 x + 1) + cot3 x( tan2 x + 1)
2
2
sin x sin x cos x cos x

= tan x + tan3 x- cot x- tan x + cot x + cot3 x = tan3 x + cot3 x
c) tan6 x(cos2 x- cot2 x) = tan6 x cos2 x- tan6 x cot2 x = tan4 x sin2 x- tan4 x
= tan4 x.cos2 x = tan2 x.sin2 x = tan2 x- sin2 x (do câu a))
d)

tan2 a- tan2 b
1
1
1
1
sin2 a- sin2 b
2
2

=
=
cot
b
cot
a
=
=
tan2 a.tan2 b tan2 b tan2 a
sin2 b sin2 a sin2 a.sin2 b

Bài 6.17: Đơn giản các biểu thức sau
a)

1
- tan2 ( 1800 - x) - cos2 ( 1800 - x)
2
cos x
A. sin2 x

b)

B. 2sin2 x

C. 1+ sin2 x

D. sin2 x + cos x

cos2 x- sin2 x
- cos2 x

2
2
cot x- tan x

25