Phùng hồ hải, số phức và ý nghĩa hình học

Số phức và ý nghĩa hình học1
Good mathematicians see analogies.
Great mathematicians see analogies between analogies.
S. Banach

1. Số phức
1.1. Mô tả đại số. Tọa độ Descartes
z = a + bi.
Như vậy mỗi số phức được cho tương ứng với một điểm trên mặt phẳng
z ←→ (a, b).
Mặt phẳng khi đó được gọi là mặt phẳng phức. Tất nhiên bằng cách
này ta cũng có một tương ứng giữa các số phức với các vec tơ trên mặt
phẳng phức.
1.2. Mô tả lượng giác. Tọa độ cực:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
z ←→ (r, ϕ).
r được gọi là mô đun của z, ta viết r = |z|, còn ϕ được gọi là Argument
của z, ký hiệu Arg(z).
Như vậy mô đun của z là độ dài véc tơ tương ứng với z còn argument
của z là góc có hướng từ tia Ox tới véc tơ z.
Mối liên hệ giữa hai cách mô tả:
a = r cos ϕ,

b = r sin ϕ.

1

Dựa theo bài viết của GS Ngô Bảo Châu,
1

π , số 1, 2017.

2

1.3. Các phép tính. Cho zi = ai + bi, i = 1, 2. Ta có
z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i.
z1 · z2 = (a1 b1 − a2 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ).
Như vậy phép cộng số phức tương ứng với phép cộng véc tơ. Phép nhân
phức tạp hơn.
Mô tả bằng lượng giác: Cho zi = ri (cos ϕi + i sin ϕi ). Khi đó các công
thức lượng giác đã biết suy ra argument của z1 z2 bằng ϕ1 + ϕ2 và mô
đun của z1 z2 bằng r1 r2 . Trường hợp riêng quan trọng của công thức
này là công thức Moivre:
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos(nϕ) + i sin(nϕ).
Vì 1 = cos 0 + i sin 0 nên ta có công thức cho các căn bậc n của đơn vị:
2kπ
2kπ
εk = cos
+ i sin
, k = 0, . . . , n − 1.
n
n
2. Ý nghĩa hình học của số phức
2.1. Phép cộng số phức. Phép cộng số phức ứng với phép cộng véc
tơ trên mặt phẳng tọa độ. Như vậy, khi cố định một số phức z, ánh xạ
(1)

w →w+z

là một phép tịnh tiến. Tổng của hai số phức ứng với phép hợp thành

của hai phép tịnh tiến.
Ví dụ bài tập ứng dụng: Tính tổng lượng giác
n

cos kϕ.
k=1

2.2. Phép nhân số phức. Khi nhân số phức z với số phức w ta nhận
được số phức mới có argument bằng tổng của argument của hai số phức
đã cho, mô đun bằng tích các mô đun của hai số phức đã cho. Viết
z = r(cos α + i sin α).
Khi đó ánh xạ
(2)

w → wz

có thể được mô tả như là hợp thành của phép quay với góc α và phép
vị tự với tâm O và hệ số r.
Như vậy số phức có thể được dùng để “đo" một phép biến đổi hình
học trên mặt phẳng. Có thể xác định được lớp các phép biến đổi đó bởi
các tính chất sau: tuyến tính (biến đường thẳng thành đường thẳng),
bảo toàn định hướng, bảo toàn góc (bảo giác).


3

Nhìn từ một góc độ khác: nếu tương ứng mỗi số phức với một véc
tơ thì thương của hai số phức xác định hai thông tin: góc giữa hai véc
tơ đó và thương của độ dài hai véc tơ đó. Ví dụ, hai véc tơ song song
ứng với các số phức có thương là một số thực, hai véc tơ vuông góc

ứng với hai số phức có thương là một số thuần ảo.
2.3. Phép liên hợp. Số phức liên hợp với z = a + bi là số phức
z¯ = a − bi. Ý nghĩa hình học của phép liên hợp là phép đối xứng của
mặt phẳng phức qua trục hoành (trục thực). Phép liên hợp giao hoán
với các phép cộng và nhân:
(z + w) = z¯ + w;
¯

(z w) = z¯ w.
¯

Phép liên hợp tuy đơn giản nhưng đóng vai trò rất quan trọng. Ví dụ
ta có:
z z¯ = |z|2 .
Từ đó
z −1 =

z¯
.
|z|2

Ý nghĩa hình học của công thức này là: nghịch đảo của số phức z nằm
trên tia đối xứng với tia chứa z qua trục hoành (trục thực) và có mô
đun bằng nghịch đảo mô đun của z.
Chú ý: phép đối xứng là một phép biến đổi tuyến tính, bảo giác
nhưng đổi hướng.
Với mọi số phức z, các số p = z + z¯ và q = z z¯ là các số thực và z, z¯ là
các nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình bậc 2 với nghiệm thực
x2 − px + q = 0.
Một số phức là số thực khi chỉ khi nó bất biến dưới phép liên hợp:

z = z¯. Tương tự, một số phức là thuần ảo nếu nó thỏa mãn z = −¯
z.
Ứng dụng: hai véc tơ ứng với hai số phức z, w là song song khi và
chỉ khỉ
(3)

z
z
=
w
w

=

z¯
.
w¯

hay là
z w¯ = w¯
z.
Tương tự, z và w vuông góc với nhau nếu
(4)

z w¯ = −¯
z w.


4

3. Một vài ứng dụng vào hình học
Nếu chúng ta giới hạn việc nghiên cứu hình học trong khuôn khổ của
Euclid, nghĩa là khi các phép biến hình bảo toàn góc, như vậy chúng
bao gồm phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng và phép vị tự thì
việc mô tả các điểm, véc tơ thông qua số phức là rất thuận tiện.
Ví dụ: Trọng tâm của tam giác ABC. Nếu A, B, C ứng với các số
phức u, v, w thì trọng tâm G của chúng ứng với số phức
u+v+w
.
3
Ví dụ: Trực tâm của tam giác ABC. Trực tâm H ứng với số phức h
thỏa mãn điều kiện các số phức h − u, v − w, h − v, u − w vuông góc
với nhau đôi một.
Ví dụ: Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Tâm O của
đường tròn ngoại tiếp ứng với số phức o thỏa mãn phương trình o −
(u + v)/2 vuông góc với u − v.
3.1. Chứng minh định lý về đường thẳng Euler. Không mất tính
tổng quát ta sẽ giả sử tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp
nằm tại gốc tọa độ. Để chứng minh ba điềm O, G, H thẳng hàng và
|GH| = 2|GO|, nghĩa là |OH| = 3|OG|, ta cần chứng minh
h = u + v + w.
Theo các tiêu chí ở trên, ta cần chứng minh v + w vuông góc với v − w,
nghĩa là
(v + w)(¯
v − w)
¯ = −(¯
v + w)(v
¯
− w).
Nhắc lại rằng v¯

v = |v|2 = |w|2 . Vậy đẳng thức trên tương đương với
−v w¯ + w¯
v = −(−¯
v w + wv).
¯
Đúng.
3.2. Tỷ số đơn và tỷ số chéo. Cho tam giác ABC, góc (có hướng)
∠BAC được tính bằng công thức
arg

w−u
v−u

,

trong đó u, v, w là các số phức tương ứng với các điểm A, B, C.
Tỷ số
v−u
(u; v, w) :=
w−u
được gọi là tỷ số đơn của ba số phức u, v, w và như ta thấy, argument
của nó cho ta thông tin về góc của tam giác xác định bởi các số u, v, w.


5

Dễ thấy tỷ số đơn là bất biến đối với các phép toán xác định ở (1),
(2). Điều này thực ra tương đương với phát biểu hình học: góc giữa
hai đường thẳng được bảo tồn qua phép tịnh tiến và phép quay (hiển
nhiên).

Ta hãy cho điểm v và w cố định còn u thay đổi (từ nay, để thuận
tiện ta sẽ đồng nhất các số phức với các điểm trên mặt phẳng phức).
Góc nhìn từ điểm điểm u tới đoạn thẳng vw được cho bởi argument
của tỷ số đơn như đã thấy ở trên. Như vậy hai điểm u và u nhìn vw
dưới cùng một góc nếu tỷ số đơn của chúng có cùng argument, điều
này tương với
(u, : v, w)
(u , v, w)
là một số thực! Biểu thức trên được gọi là tỷ số chéo của bố số u, u , v, w,
ký hiệu là
(u − v)(u − w)
.
(u, u , v, w) =
(u − v)(u − w)
3.3. Chứng minh định lý về đường tròn Euler. Ta có thể sử dụng
tỷ số chéo để chứng minh định lý về đường tròn Euler (đường tròn chín
điểm). Giả sử tam giác được xác định bởi các số phức x, y, z, có tâm
đường tròn ngoại tiếp nằm tại gốc tọa độ (số phức 0). Khi đó theo
trên, trực tâm của tam giác ứng với số phức u + v + w. Trung điểm các
đoạn nối từ đỉnh tới trực tâm ứng với các số phức
v+w
w+u
u+v
u+
, v+
, w+
.
2
2
2

Để chứng minh các điểm này cùng trung điểm các cạnh cùng nằm trên
một đường tròn ta chỉ cần chứng minh tỷ số chéo của các số
x+y
y+z
y+z
x+z
, x+
;
,
2
2
2
2
là số thực, nghĩa là
x−z
(x − z)(x + y)
y−z
∈ R.
x =
x(y − z)
x+y
Để chứng minh đường tròn này cũng đi qua chân các đường cao ta chỉ
cần chứng minh góc tạo bởi 3 số phức
y+z
x+z
y+z
x+
;
,
2

2
2


6

là vuông, nghĩa là tỷ số đơn
x+y
∈ iR.
x−y
Phùng Hồ Hải, Viện Toán học, email: