Nguyen ham tich phan ung dung chia theo mức độ có đáp án

Bài 2: TÍCH PHÂN
Mức độ thông hiểu.
π
4

Câu 41: Tích phân

I = ∫ tan 2 xdx

bằng:

0

A. I = 2

B. ln2

C.

I = 1−

π
4

D.

I=

π
3

L=

1
3

1

Câu 42: Tích phân

L = ∫ x 1 − x 2 dx
0

A. L = −1

B.

L=

bằng:

1
4

C. L = 1

D.

2

Câu 43: Tích phân

A.

K = 3ln 2 +

K = ∫ (2 x − 1) ln xdx
1

1
2

B.

K=

bằng:

1
2

C. K = 3ln2

D.

K = 2 ln 2 −

1
2

π

Câu 44: Tích phân
A. L = π

L = ∫ x sin xdx
0

bằng:
B. L = −π

C. L = −2

D. K = 0

π
3

Câu 45: Tích phân

I = ∫ x cos xdx
0

bằng:
π 3 1
−
2
C. 6

π− 3
D. 2

1
( 1 + ln 2 )
B. 2

1
( ln 2 − 1)
C. 2

1
( 1 + ln 2 )
D. 4

ln x
dx
x2
1
bằng:
1
( 1 − ln 2 )
B. 2

1
( ln 2 − 1)
C. 2

1
( 1 + ln 2 )
D. 4

π 3 −1

6
A.

π 3 −1
2
B.
ln 2

∫ xe

I=

Câu 46: Tích phân

0

1
( 1 − ln 2 )
A. 2

−x

dx

bằng:

2

Câu 47: Tích phân

I =∫

1
( 1 + ln 2 )
A. 2
5
dx
∫1 2 x − 1 = ln K
Câu 48: Giả sử
. Giá trị của K là:

A. 9

B. 8
3

∫ 1+

Câu 49: Biến đổi
trong các hàm số sau:
0

C. 81
x
dx
1+ x
thành

D. 3

2

∫ f ( t ) dt
1

1

, với t = 1 + x . Khi đó f(t) là hàm nào


A.

f ( t ) = 2t 2 − 2t

B.

f ( t ) = t2 + t
1

Câu 50: Đổi biến x = 2sint tích phân
π
6

A.

0

B.

0

π
2

I=∫
π
4

Câu 51: Tích phân
A. 4
B. 3
π
e2

I=

∫
1

C.

0

bằng:
C. 1

1

∫ t dt

D.

0

∫ dt
0

D. 2

cos ( ln x )
dx
x
, ta tính được:

C. I = sin1

2 3

π
A. 6

π
3

dx
sin 2 x

B. I = 1

Câu 53: Tích phân

f ( t ) = 2t 2 + 2t

4 − x 2 trở thành:
π
6

∫ dt

D.

dx

π
6

∫ tdt

Câu 52: Cho
A. I = cos1

∫

f ( t ) = t2 − t

C.

∫

I=

2

3
x x −3
2

D. Một kết quả khác

dx

bằng:

π
C. 3

B. π
b

b

∫ f ( x)dx = 2

π
D. 2
c

∫ f ( x)dx = 3

∫ f ( x)dx

Câu 54: Giả sử
và
và a < b < c thì a
bằng?
A. 5
B. 1
C. -1
D. -5
Câu 55: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên do quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn
bởi các đường y = (1 – x2), y = 0, x = 0 và x = 2 bằng:
a

8π 2
A. 3

46π
C. 15

B. 2 π
I = ∫ xdx
1

5π
D. 2

π
4

16

Câu 56: Cho
A. I < J

c

và
B. I > J

J = ∫ cos 2 xdx

. Khi đó:
C. I = J

0

D. I > J > 1

4

Câu 57: Tích phân
A. 0
B. 2
Câu 58: Tích phân
2
A. π − 4

I = ∫ x − 2 dx
0

π

bằng:

C. 8

D. 4

I = ∫ x 2 sin xdx
0

bằng :
2
B. π + 4

2
C. 2π − 3

2
D. 2π + 3

dx
1 x
là:

∫
Câu 59: Kết quả của
A. 0

B.-1

1

1
C. 2

D. Không tồn tại

2


2

Câu 60: Cho
A. 2

∫ f ( x ) dx = 3
0

2

∫ 4 f ( x ) − 3 dx

.Khi đó 0
B. 4

3

Câu 61. Tích phân I =

x

∫

x −1
2

2

1

Câu 62. Tích phân I =
1 3
− ln
A. 3 2

∫x
0

2

có giá trị là:
C. 2 2 + 3

1
dx
+ 4x + 3

Câu 63. Tích phân I =

1 3
ln
C. 2 2

x

∫

x2 −1

2

1 3
− ln
D. 2 2

dx

có giá trị là:

B. 2 2 − 3

A. 2 2

D. 3

có giá trị là:

1 3
ln

B. 3 2
3

D. 8

dx

B. 2 2 − 3

A. 2 2

bằng:
C. 6

C. 2 2 + 3

D. 3
2

3
2
3
2
Câu 64. Cho f ( x ) = 3 x − x − 4 x + 1 và g ( x ) = 2 x + x − 3x − 1 . Tích phân

∫ f ( x ) − g ( x ) dx

−1

bằng với tích phân:

2

A.

∫ (x

2

)

∫(x

∫(x

3

3

B. −1

−1
1

C.

1

− 2 x − x + 2 dx

3

2

)

− 2 x 2 − x + 2 dx +

−1

∫ (x

3

)

− 2 x − x + 2 dx −
2

2

∫(x

3

)

− 2 x 2 − x + 2 dx

1

)

− 2 x 2 − x + 2 dx

D. tích phân khác

1

π
2

Câu 65. Tích phân
1 1
− ln 2
A. 3 2

sin x. cos 3 x
∫0 cos 2 x + 1 dx
1 1
+ ln 2
B. 2 2
1

Câu 66. Cho tích phân
A. I > J

bằng:

I =∫
0

x
x+3

1 1
− ln 2
C. 2 3
π
2

dx

và

cos x
dx
3 sin x + 12
0

J =∫

1

I = ∫ x 2 (1 + x )dx
0

, phát biểu nào sau đây đúng:

1
J = ln 5

3
C.

B. I = 2

Câu 67. Cho tích phân

1 1
− ln 2
D. 2 2

bằng:

3

D. I = 2 J


1

A.

∫(x

3

1

)

+ x 4 dx

0

a

Câu 68. Tích phân
π .a 4
A.

1

 x3 x4 
 + 
3
4 0
B. 

∫x
0

π .a
B. 16

8
8

Câu 69. Tích phân
141
A. 10

C.

a 2 − x 2 dx ( a > 0 )

2

∫
1

x3
(x + )
3 0
2

D. 2

bằng:
π .a 3
C. 16

4

π .a 3
D. 8

x −1
dx
3
x

bằng:

142
B. 10

8
C. 5

D. một kết quả khác

e

1 + ln 2 x
∫1 x dx
Câu 70. Tích phân I =
có giá trị là:
1
A. 3

2
B. 3

C.
1

Câu 71. Tích phân I =
e2 + e
A. 2

x +1

∫ x.e dx

−

4
3

4
D. 3

2

0

có giá trị là:

e2 + e
B. 3

e2 − e
C. 2

e2 − e
D. 3

1

∫ (1 − x ) e dx
x

Câu 72. Tích phân I =
A. e + 2

0

B. 2 - e
0

Câu 73. Tích phân I =
A. ln3

C. e - 2

−

Câu 74. Tích Phân

2

∫ sin

3

A. 8

bằng:

1
D. 64

C. 4
1

f (x)dx

0

B. 2

D. ln2

x.cosxdx

0

1

Câu 75. Nếu

có giá trị là:
C. - ln2

B. 5

∫

D. e

cos x

∫π 2 + sin x dx

B. 0
π
6

A. 6

có giá trị là:

=5 và

∫

2

f (x)dx
= 2 thì

2

C. 3

∫ f (x)dx
0

bằng :

D. -3

4


π
3

∫ tanxdx

Câu 76. Tích Phân I =
A. ln2

là :

0

1
C. 2 ln2

B. –ln2

1
D. - 2 ln2

1

Câu 77. Cho tích phân
1

A.

∫(x

2

0

bằng:

1

)

+ x dx
3

I = ∫ x(1 + x )dx

0

1

 x2 x3 
 + 
2
3 0
B. 
3

Câu 78. Tích Phân I =

∫ ln(x

2

C.

− x)dx

2

A. 3ln3

x3
(x + )
3 0
2

D. 2

là :

B. 2ln2

C. 3ln3-2

D. 2-3ln3

π
4

Câu 79. Tích Phân I =
π
+1
A. 4

∫ x.cosx dx
0

là :
π 2
2
+
+1
2
C. 8

2
B. 3

π 2
2
+
−1
2
D. 8

3

Câu 80. Tích phân I =
A. −4 ln 2 − 3

∫ ln[2 + x(x

2

− 3)]dx

2

B. 5ln 5 − 4 ln 2 − 3

có giá trị là:

C. 5ln 5 + 4 ln 2 − 3

D. 5ln 5 − 4 ln 2 + 3

Mức độ vận dụng.
b

∫ ( 2 x − 4 ) dx = 0

Câu 81: Biết 0
.Khi đó b nhận giá trị bằng:
b
=
0
b
=
2

A.
hoặc
B. b = 0 hoặc b = 4
C. b = 1 hoặc b = 2

D. b = 1 hoặc b = 4
1

Câu 82: Để hàm số
giá trị :
A. a = π , b = 0

f ( x ) = a sin π x + b

C. a = 2π , b = 2

thỏa mãn

B. a = π , b = 2
D. a = 2π , b = 3

5

f ( 1) = 2

∫ f ( x ) dx = 4

và 0

thì a, b nhận

π
4
0

I =∫
Câu 83:

(

dx

)

cos4 x 1+ tan2 x

A. 1

bằng

1
C. 2

B. 0
π
4

Câu 84: Giả sử
A.

−

1
6

I = ∫ sin3xsin2xdx = a + b
0

3
B. 10

Câu 85: Giả sử
A. 30

D. Không tồn tại

2
2

khi đó a+b là

3
1
C. 10
D. 5
0
3x2 + 5x − 1
2
I=∫

dx = aln + b
x− 2
3
−1
−

B. 40

C. 50

. Khi đó giá trị a + 2b là
D. 60

m

Câu 86. Tập hợp giá trị của m sao cho
A. {5}

B. {5 ; -1}

∫ (2x − 4)dx
0

= 5 là :

C. {4}

D. {4 ; -1}

5

1
∫1 2x− 1dx
Câu 87. Biết rằng
= lna . Gía trị của a là :
A. 9

B. 3

C. 27
1

Câu 88. Biết tích phân
A. 35
B. 36

∫x

3

1 − x dx =

0

M
N

D. 81

M

, với N là phân số tối giản. Giá trị M + N bằng:

C. 37

D. 38

Câu 89. Tìm các hằng số A , B để hàm số f(x) = A.sinπx + B thỏa các điều kiện:
2

f ' (1) = 2 ;

A.

2

A = −
π

 B = 2

∫ f ( x)dx = 4
0

B.

2

A =
π


 B = −2

C.

π

A = −
2

 B = 2

HD: f ' (x) = A.πcosπx ⇒ f ' (1) = - Aπ mà f ' (1) = 2 ⇒ A =
2

∫
0

2

f ( x )dx =

...= 2B mà

∫ f ( x)dx = 4
0

⇒B=2

6

D.
−

2
π

2

A =
π

 B = 2


a

Câu 90. Tìm a>0 sao cho

x

∫ x.e 2 dx = 4
0

1
B. 4

A. 4

1
C. 2

D. 2

HD:
a
2

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần tính được I = 2e (a − 2) + 4
Vì

I=4 =>a=2
b

∫ (2 x − 6)dx = 0

Câu 91. Giá trị nào của b để
A.
C.

b = 2 hay b = 3

0

B.

b = 5 hay b = 0

b = 0 hay b = 1
D.

b = 1 hay b = 5

b

∫ (4 x − 4)dx = 0

Câu 92. Giá trị nào của a để
A.

a=0

C.

a=2

0

B.

a=1

D.

a = -1

π
2

Câu 93. Tích phân I =
1

A. 3

sin 3 x
∫0 1 + cos x dx

1
B. 4

1
C. 2
1

Câu 94. Tích phân I =

∫x

1
dx
+ x +1

2

0

π 3
A. 3

D. 2

có giá trị là:

π 3
B. 6
7

Câu 95. Tích phân I =
9
3
+ 3ln
2
A. 2

có giá trị là:

∫ 1+
0

π 3
C. 4

π 3
D. 9

1
dx
x +1
có giá trị là:

3

9
3
− 3ln
2
B. 2

9
2
+ 3ln
3
C. 2

9
2
− 3ln
3
D. 2

Bài 1: NGUYÊN HÀM
Mức độ thông hiểu.
Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số:

I = ∫ sin 4 x cos xdx

7

là:


A.

I=

sin 5 x
+C
5

B.

I=

cos5 x
+C
5

C.

I=−

sin 5 x
+C
5

D.

I = sin x + C
5

Câu 37. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
f ( x) =

1
cos (2 x + 1)
1
2
A. sin (2 x + 1)
2

−1
B. sin (2 x + 1)

1
tan(2 x + 1)
C. 2

2

D.

1
co t(2 x + 1)
2

Câu 38. Nguyên hàm
A.
C.

3
1
+ 2 +C

x 2x

F ( x) = x - 3ln x +

3
1
+C
x 2x2

F ( x)

.

3
+2
x

C.

D.

F ( x) = 2x +

3
- 4
x

F ( x) =

3

1
+C
x 2x2

F ( x) = x - 3ln x -

3
1
+ 2 +C
x 2x

f ( x) =

2x + 3
x2

B.
D.

3
+2
x

F ( x) = 2ln x -

3
+4
x

F ( x)

,

,

1
+4
x

B.

2

x
1 7
- +
2 x 2

Câu 41. Hàm số
f ( x) = 2xe
.x

D.

F ( x) = ex

của hàm số

.

F ( x) = x2 +
F ( x) =

1
+2
x

là nguyên hàm của hàm số

f ( x) = e2x

D.

f ( x) = x2.ex - 1

2

2

8

b
x2

là biểu thức nào sau đây

x2 1 5
+ +
2 x 2

B.

2

ex
f ( x) =
2x
C.

( x ¹ 0)

f ( x) = ax +

2

A.

là

F ( x) = x - 3ln x -

F ( - 1) = 1 F ( 1) = 4 f ( 1) = 0 F ( x)

F ( x) = x2 -

( x ¹ 0)

x3

F ( x) = 2ln x +

Câu 40. Tìm một nguyên hàm

A.

B.

3

, biết rằng

là biểu thức nào sau đây

F ( x) = 2x -

rằng

f ( x)

là nguyên hàm của hàm số

F ( 1) = 1 F ( x)

C.

của hàm số

F ( x) = x - 3ln x +

Câu 39.

A.

F ( x)

( x - 1)
=

( x ¹ 0)

, biết


f ( x) =

Câu 42. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
x2 + x - 1
A. x + 1
x2 + x + 1
C. x + 1

x ( 2 + x)

( x + 1)

2

x2 - x - 1
B. x + 1
x2

D. x + 1
2

Câu 43. Nguyên hàm
A.

F ( x) =

F ( x)

của hàm số

3

x
1
- + 2x +C
3 x

B.

æ
x2 + 1ö
÷
÷
f ( x) = ç
ç
÷
ç
÷

ç
è x ø

F ( x) =

( x ¹ 0)

là

3

x
1
+ + 2x +C
3 x

æx3
ö3
÷
ç
+ x÷
ç
÷
ç
3
ç
÷
F ( x) = ç 2 ÷
÷ +C
ç

x ÷
ç
÷
÷
ç
÷
ç
è 2 ø
D.

x3
+x
3
F ( x) =
+C
x2
2
C.

Câu 45. Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. cos6x

11
1

 sin 6 x + sin 4 x ÷
4

C. 2  6

B. sin6x

1  sin 6 x sin 4 x 
− 
+
÷
4 
D. 2  6

Câu 46: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sin3xcos2x
1
cos5 x + cos x + C
B. 5

1
− cos 5 x − cos x + C
A. 5

C. 5cos5 x + cos x + C
D. Kết quả khác
Câu 47: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
A. x2 + x + 3
B. x2 + x - 3
C. x2 + x
khác

D. Kết quả

Câu 48: Tìm hàm số f(x) biết rằng f’(x) = 4 x − x và f(4) = 0
8 x x 2 40

− −
3
2
3
B.

8 x x x 2 40
−
−
2
3
A. 3

8 x x x 2 40
− +
3
2
3 D. Kết quả
C.

khác
x
∫ xe dx
2

Câu 49: Nguyên hàm của hàm số

là

x2

x2

A. xe + C

e
+C
2
B.

2

x
C. e + C

x
D. x + e

2

2
Câu 50: Tìm hàm số y = f (x) biết f ¢(x) = (x - x)(x+1) và f (0) = 3

A.

y = f (x) =

x4 x2
+3
4 2

B.
9

y = f (x) =

x4 x2
- 3
4 2


C.

y = f (x) =

x4 x2
+ +3
4
2

2
D. y = f (x) = 3x - 1

ò(sin x+1)

3

Câu 51: Tìm

cos xdx

là:

4

sin4 x
+C
B. 4

(cos x +1)
+C
4
A.
(sin x +1)4
+C
4
C.

òx 2

Câu 52: Tìm
A.
C.

3
D. 4(sin x+1) + C

dx
3x + 2 là:

x- 2
+C
x- 1

ln

1
1
- ln
+C
x- 2
x- 1

B.

ln

x- 1
+C
x- 2

D. ln(x- 2)(x- 1) +C

ln

ò xcos2xdx là:

Câu 53: Tìm

1

1
xsin2x + cos2x + C
4
A. 2
x2 sin2x
+C
C. 4

1
1
xsin2x + cos2x +C
2
B. 2

D. sin2x+C

Câu 54: Lựa chọn phương án đúng:
A. ∫

cot xdx = ln sin x + C

1

C.

∫x

2

dx =

1
+C
x

Câu 55: Tính nguyên hàm
A. sin x + C
4

∫ sin

3

x cos xdx

B.

∫ sin xdx = cos x + C

D.

∫ cos xdx = − sin x + C

ta được kết quả là:

1 4
sin x + C
B. 4

4

C. − sin x + C

D.

1
− sin4 x + C
4
2
Câu 56: Cho f (x) = 3 x + 2 x − 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x = 1 . Nguyên hàm
đó là kết quả nào sau đây?
3
2
A. F (x) = x + x − 3 x

3
2
B. F (x) = x + x − 3x + 1

3
2
C. F (x) = x + x − 3x + 2

3
2
D. F (x) = x + x − 3x − 1

Câu 57. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số
x2 − x −1
A. x + 1

x2 + x − 1
B. x + 1

x2 + x + 1
C. x + 1

Câu 58: Kết quả nào sai trong các kết quả sau:
10

f (x) =

x(2 + x )
(x + 1)2

x2
D. x + 1


2 x +1 − 5 x −1
1
1
dx =
+ x
+C
∫
x
x
10
5.2 .ln2 5 .ln5
A.

x2
1 x +1
∫ 1 − x 2 dx = 2 ln x − 1 − x + C

C.

3 2 4
∫  x + x ÷dx
Câu 59: Tìm nguyên hàm
53 5
x + 4 ln x + C
A. 3

∫ 1− x

2

dx

D.

∫ tan

2

−

xdx = tan x − x + C

33 5

x + 4 ln x + C
5

là:
−1

A.

∫

33 5
x + 4 ln x + C
D. 5
x

Câu 60: Kết quả của

B.

B.

33 5
x − 4 ln x + C
C. 5

x 4 + x −4 + 2
1
dx = ln x − 4 + C
3
x

4x

1− x + C
2

B.

1− x

2

1

+C

C.

1 − x2

+C

D.

− 1− x + C
2

Câu 61: Tìm nguyên hàm

∫ (1 + sin x) dx
2

2
1
x + 2 cos x − sin2 x + C
4
A. 3
2
1
x − 2 cos2 x − sin2 x + C
4
C. 3

Câu 62: Tính
A. x − tan x + C

∫ tan

2

xdx

2
1
x − 2 cos x + sin2 x + C
4
B. 3
2
1
x − 2 cos x − sin2 x + C
4

D. 3

, kết quả là:
B. − x + tan x + C

C. − x − tan x + C

D.

1 3
tan x + C
3

Câu 63: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai ?
1
1
( I ) ò sin x sin 3 xdx = (sin 2 x - sin 4 x) + C
4
2
1
( II ) ò tan 2 xdx = tan 3 x + C
3
x +1
1
( III ) ò 2
dx = ln(x 2 + 2 x + 3) + C
x + 2x +3
2

A. Chỉ (I) và (II)

B. Chỉ (III)

C. Chỉ (II) và (III)

D. Chỉ (II)

Câu 64. Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là nguyên hàm của
f ( x) =

4
1
+
−5
1 − 3x 2 x
−4
ln 1 − 3x + x − 5 x
A. 3

4
4
4
ln 1 − 3 x
ln 1 − 3 x − 5 x
ln 1 − 3 x + x
B. 3
C. 3
D. 3
x
Câu 66. Hàm số F (x) = e + tanx + C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào ?

11


1
sin2 x
A.
1
f (x) = ex −
cos2x
C.
f (x) = ex −

f (x) = ex +

B.

f (x) = ex +

D.

1
sin2 x

1
cos2x

3

2

Câu 67. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 4x − 3x + 2 trên R thoả mãn điều kiện
F (−1) = 3 là
4
3
4
3
A. x − x + 2x + 3
B. x − x + 2x − 4
4
3
4
3
C. x − x + 2x + 4
D. x − x + 2x − 3
. os3x là
Câu 68. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2sin3xc
1
1
cos2x
− cos6x
A. 4
B. 6
C. − cos3x.sin3x
D.

1
− sin2x
4

2
Câu 69: Một nguyên hàm của hàm số y = x 1 + x là:

)

(

2
x2
1+ x2
2
A.
2
1
F ( x) =
1 + x2
3
C.

F ( x) =

1
2
B.
1
F ( x) =
3
D.
F ( x) =

)

(

(
(

)
1+ x )

1 + x2

2

2

3

3
Câu 70: Một nguyên hàm của hàm số y = sin x.cos x là:

A.
C.

F ( x) =
F ( x) =

sin 4 x
+1
4

2

B.
4

cos x cos x
−
2
4

D.

F ( x) =

sin 4 x cos 2 x
4
2

F ( x) = −

cos 2 x cos 4 x
−
2
4

2 ln x
x
Câu 72: Một nguyên hàm của hàm số
là:
ln 2 x

2
F
x
=
(
)
2
A. F ( x ) = 2 ln x
B.
2
F ( x ) = ln x
F ( x ) = ln x 2
y=

C.

D.

e t anx
2
Câu 76: Một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x là:
e t anx
t anx
t anx
t anx
2
A. cos x
B. e
C. e + t anx
D. e .t anx

2
Câu 77: Nguyên hàm của hàm số y = (t anx + cot x) là:

1
F ( x ) = (t anx + cot x)3 + C
3
A.
1
1
F ( x ) = 2(t anx + cot x)( 2 − 2 ) + C
cos x sin x
C.

12

B. F ( x ) = t anx- cot x + C
D. F ( x ) = t anx+ cot x + C


1
2
Câu 78: Nguyên hàm của hàm số: y = cos x sin x là:
2

A. tanx.cot x + C
.

B. − tanx- cot x + C

C. tanx-cot x + C

1
x
sin + C
D. 2 2

1

( 1 − 4x ) là:
Câu 79: Nguyên hàm của hàm số: y =
10

3

−7
−3
( 1− 4x) 3 + C
A. 7
−7
3
( 1− 4x) 3 + C
C. 28

−7
12
( 1− 4x) 3 + C
B. 7
−7
3
− ( 1− 4x) 3 + C

D. 28
.

x2
3
Câu 80: Một nguyên hàm của hàm số: y = 7 x + 1 là:
1
1
ln 7 x3 + 1
ln 7 x 3 + 1
ln 7 x3 + 1
A.
B. 7
C. 21
1
ln 7 x3 + 1
14

D.

x
−x
Câu 81: Nguyên hàm của hàm số f(x) = e (2 − e ) là:

x
−x
B. e − e + C

x
A. 2e + x + C

x
C. 2e − x + C

x
D. 2e + 2 x + C

Mức độ vận dụng.
cos x
Câu 82: Một nguyên hàm của hàm số: y = 5sin x − 9 là:
1
1
ln 5sin x − 9
− ln 5sin x − 9
ln 5sin x − 9
A.
B. 5
C. 5

D.

5ln 5sin x − 9
P = ∫ x.e x dx

Câu 83: Tính:
x
A. P = x.e + C
x
x
C. P = x.e − e + C

x
B. P = e + C
x
x
D. P = x.e + e + C .

Câu 84: Tìm hàm số f(x) biết rằng
x2 1 5
+ +
A. 2 x 2

f '( x) = ax+

x2 1 5
− +
B. 2 x 2

b
, f '(1) = 0, f (1) = 4, f ( −1) = 2
x2

x2 1 5
+ −
C. 2 x 2

Kết quả khác
Lược giải:
Sử dụng máy tính kiểm tra từng đáp án:
13

D.


- Nhp hm s
- Dựng phớm CALC kim tra cỏc iu kin

f '(1) = 0, f (1) = 4, f (- 1) = 2

- ỏp ỏn ỳng: B
2
Cõu 85: Hm s no sau õy l mt nguyờn hm ca hm s f ( x) = x + k vi

k ạ 0?

A.
B.
C.

x 2
k
x + k + ln x + x 2 + k
2
2
1 2
x
f ( x) =
x + k + ln x + x 2 + k
2
2

k
f ( x) = ln x + x 2 + k
2
1
f ( x) =
x2 + k
f ( x) =

D.
Lc gii:

x
1+
Â
2
ổx
ử 1 2
k
x
x
k
x +k
ỗ
x 2 + k + ln x + x 2 + k ữ
=
x +k +
+
= x2 +k
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố2
ứ 2
2
2 x 2 + k 2 x+ x 2 + k
2
Cõu 86: Nu f ( x) = (ax + bx + c) 2 x -1 l mt nguyờn hm ca hm s
ổ
ử
10 x 2 - 7 x + 2
1
ỗ
g ( x) =
; +Ơ ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ứ thỡ a+b+c cú giỏ tr l
2 x -1
trờn khong ố2

A. 3
C. 4
Lc gii:

B. 0
D. 2

2
2
 5ax + (- 2a + 3b)x - b + c 10x - 7x + 2
(ax 2 + bx + c) 2x - 1 =
=
2x - 3
2x - 3
ùỡù a = 2
ù
ớ b =- 1 ị a + b + c = 2
ùù
ùùợ c = 1

(

)

2
Cõu 87: Xỏc nh a, b, c sao cho g ( x) = (ax + bx + c) 2 x - 3 l mt nguyờn hm ca

f ( x) =

20 x 2 - 30 x + 7
2x - 3
trong khong

hm s
A.a=4, b=2, c=2
C. a=-2, b=1, c=4
Lc gii:

ổ3
ỗ
; +Ơ
ỗ
ỗ
ố2

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

B. a=1, b=-2, c=4
D. a=4, b=-2, c=1

14


2
2
¢ 5ax + (- 6a + 3b)x - 3b + c 20x - 30x + 7
(ax 2 + bx + c) 2x - 3 =
=
2x - 3
2x - 3
ïìï a = 4
ï
Û í b =- 2

ïï
ïïî c = 1

(

)

2
Câu 88: Một nguyên hàm của hàm số: f ( x) = x sin 1 + x là:
2
2
2
A. F ( x) = − 1 + x cos 1 + x + sin 1 + x

B.

F ( x) = − 1 + x 2 cos 1 + x 2 − sin 1 + x 2
2
2
2
C. F ( x) = 1 + x cos 1 + x + sin 1 + x
2

2

F ( x) = 1 + x cos 1 + x − sin 1 + x

D.

2

Lược giải:
Đặt

I = ò ( x sin 1 + x 2 )dx

ò
- Dùng phương pháp đổi biến, đặt t = 1 + x ta được
- Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt u = t, dv = sin tdt
I=

2

t sin tdt

ò
- Ta được
Câu 89: Trong các hàm số sau:
I =- t cos t -

cos tdt =- 1 + x 2 cos 1 + x 2 - sin 1 + x 2 + C

2
(I) f ( x) = x +1

f ( x) =
(III)

2
(II) f ( x) = x +1 + 5

1

f ( x) =

2

x +1

(IV)

1
2

x +1

-2

F ( x ) = ln x + x 2 +1

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (III)
C. Chỉ (II)
D. Chỉ (III) và (IV)
Lược giải:

( ln x +

x 2 +1

)

¢
=

1+

x
2

x +1
2

x + x +1

=

1
2

x +1
2

æ3
ö
1 ÷
f ( x) = ç
x+
÷

ç
÷
ç
è
x ø là hàm số nào sau đây:
Câu 90: Một nguyên hàm của hàm số
3
ö
1æ
1
3
3 3 2 12 6 5
÷
F ( x) = ç
÷
ç x+
F ( x) = x x +
x + ln x
÷
3ç
è
xø
5
5

A.

B.

(

F ( x) = x 3 x + x

C.
Lược giải:

)

3
12
F ( x) = x 3 x 2 + ln x + 5 x 6
5
5
D.

2

15


2
¢ æ
ö
æ
ö
3
12
1
3
6

2
5
3
÷
÷
ç x+
ç
x x +
x + ln x ÷
÷
ç
÷= ç
ç5
÷
ç
è
ø
è
5
xø

Câu 91: Xét các mệnh đề
2

æ x
xö
f ( x) = ç
sin - cos ÷
÷
ç

÷
ç
è 2
2ø
(I) F ( x) = x + cos x là một nguyên hàm của
3
x4
f ( x) = x3 +
F ( x) = + 6 x
x
4
(II)
là một nguyên hàm của

(III) F ( x) = tan x là một nguyên hàm của f ( x ) = - ln cos x
Mệnh đề nào sai ?
A. (I) và (II)
B. Chỉ (III)
C. Chỉ (II)
D. Chỉ (I) và (III)
Lược giải:

(-

ln cos x ) ¢= tan x

(vì - ln cos x là một nguyên hàm của tanx)
Câu 92: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?

ò

(I) x

xdx
1
= ln( x 2 + 4) + C
+4 2

2

1

(II)

ò cot xdx = - sin
òe

2cos x

(III)
A. Chỉ (I)
C. Chỉ (I) và (II)
Lược giải:

2

x

+C

1

sin xdx = - e2cos x + C
2

B. Chỉ (III)
D. Chỉ (I) và (III)

xdx
1 d(x 2 + 4) 1
2
=
ò x 2 + 4 2 ò x 2 + 4 = 2 ln(x + 4) +C
1
1 2cos x
2cos x
2cos x
ò e sin xdx =- 2 ò e d(cos x) =- 2e + C
x 2
2
Câu 93: Tìm nguyên hàm F ( x) = e ( a tan x + b tan x + c) là một nguyên hàm của
æ p pö
ç
÷
ç- ; ÷
x 2
3
÷
è 2 2ø
f ( x) = e tan x trên khoản ç
1
F ( x ) = e x 2 ( tan 2 x 2

A.
1
F ( x ) = e x 2 ( tan 2 x +
2
C.

2
2
tan x +
)
2
2

1
2
1
F ( x) = e x 2 ( tan 2 x tan x + )
2
2
2
B.
1
2
2
F ( x ) = e x 2 ( tan 2 x tan x )
2
2
2
D.

2
1
tan x + )
2
2

Lược giải:
- Có thể dùng đạo hàm để kiểm tra từng đáp án.
x 2
2
- Hoặc tìm đạo hàm của F ( x) = e (a tan x + b tan x + c) rồi đồng nhất với

f ( x) = e x

2

tan 3 x

16


é2a(1 + tan 2 x) tan x + b(1 + tan 2 x)ù
ê
ú
ë
û
x 2 é
3
2
ù

= e ê2a tan x + ( 2a + b) tan x + (2a + 2b) tan x + b + 2c ú
ë
û
F ( x) là nguyên hàm của f(x) nên F '( x) = f ( x)
F '( x) = 2e x 2 (a tan 2 x + b tan x + c ) + e x

2

Suy ra
ïìï 2a = 1
ïï
ïï 2a + b = 0
Û
í
ïï 2a + 2b = 0
ïï
ïï b + 2c = 0
î

ìï
1
ïï a =
ïï
2
ïï
ïí b =- 2
ïï
2
ïï
ïï c = 1

ïï
2
î

Đáp án đúng: B

ex
x
Câu 94: Nguyên hàm của hàm số: y = 2 là:
ex
ex
+C
+C
x
x
(1
−
ln2)2
2
ln2
A.
B.

Câu 95: Nguyên hàm của hàm số: y =
1
(x + sin x) + C
A. 2

cos 2

1
(1+ cosx) + C
B. 2

ex
+C
x
C. x.2

ex ln2
+C
x
D. 2

x
2 là:
1
x
cos + C
C. 2 2

1
x
sin + C
D. 2 2

.
Câu 96: Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
1 3
cos x + C

A. 3
1
− cos3 x + C
3
.

1 3
sin x + C
C. 3

3

B. − cos x + C

ex
x
Câu 97: Một nguyên hàm của hàm số: y = e + 2 là:
x
x
x
x
A.2 ln(e + 2) + C
B. ln(e + 2) + C
C. e ln(e + 2) + C

Câu 98: Tính:

1
P = − sin x + sin 3 x + C
3

B.
1
P = cosx + sin 3 x + C
3
D.
.

A. P = 3sin x.cos x + C
1
P = − cos x + cos3 x + C
3
C.

y=

Câu 99: Một nguyên hàm của hàm số:
A. x 2 − x

B.

2x
D. e + C.

P = ∫ sin 3 xdx

2

2

D.

−

(

1 2
x +4
3

)

2 − x2

17

x3
2 − x 2 là:


1
− x2 2 − x2
C. 3

D.

−

(

1 2

x −4
3

)

2 − x2

18