16 cau the tich khoi chop de 4 co loi giai

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – Đề số 04
Câu 1. Cho tứ diện ABCD với M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính tỉ lệ thể tích của
khối tứ diện AMND và ABCD
A.

1
4

B. 1

C.

1
2

D.

2
5

Câu 2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của CD, I là giao
điểm của AC và BM. Tính tỷ số thể tích (theo thứ tự) các khối chóp S.ICM và S.ABCD
A.

1
2

1
4

B.

C.

1
2

D.

1
12

Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi B ' và D ' theo thứ tự là trung
điểm các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính tỷ số thể tích của hai
khối chóp được chia ra bởi mặt phẳng (AB’D’)
A.

1
2

B.

1
12

C.

1
5

D.

1
6

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB  BC  a, AD  2a , cạnh SA vuông góc với phặt phẳng đáy và SA  2a . Gọi M,N lần
lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a .
A.

a3
3

a3
2

B.

C. a 3

D. 2a 3

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của cạnh
AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính theo V thể tích khối
chóp C.B’D’DB
A.

3V
2

B.

V
4

C.

V
2

D.

3V
4

Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 4 và diện tích mặt bên bằng

2 .

Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A.

4
3

B. 4

C.

4 3
3

D.

4 2
3

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm với BAD  1200 và BD  a . Cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt (SBC) và đáy bằng 600 . Mặt phẳng (P) đi qua BD
và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (P)
tạo ra khi cắt hình chóp.
A. 10

B. 11

C. 12

D. 13


Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy góc
600 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D và N là trung điểm của SC. Tính tỉ số thể tích giữa
hai phần của hình chóp do mặt phẳng (BMN) tạo ra khi cắt hình chóp.
A.

5
7

B.

5

8

C.

5
9

D.

5
11

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy góc
600 . Mặt phẳng (P) qua BC và vuông góc với SA. SA cắt (P) tại D. Tính tỉ số thể tích giữa
hai khối chóp S.BDC và S.ABC
A.

5
7

B.

5
8

C.

5
9

D.

5
11

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của cạnh
AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính theo V thể tích khối
chóp C.AB’D’
A.

3V
2

B.

V
4

C.

V
2

D.

3V
4

Câu 11. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của cạnh
AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần

đó.
A.

1
6

B.

1
9

C.

1
12

D.

1
3

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh lần lượt là SA  a; SB  b; SC  c . Trên
SA, SB, SC lấy các điểm M,N,P sao cho SM  1; SN  2; SP 

1
. Tỷ số thể tích giữa khối
2

chóp S.ABC và S.MNP là:
A.

1
abc

B.

abc
3

C. abc

D.

3
abc

Câu 13. Cho hình chóp tam giác S.ABC và một điểm M nằm trong tam giác ABC. Đường
thẳng qua M song song với SA cắt mặt phẳng (BCS) tại A’. Tỷ số thể tích giữa khối chóp
M.BCS và S.ABC là:
A.

MA '
SM

B.

MA '
SA '

C.

MA '
SA

D.

SM
SA '


Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA   ABCD  . Mặt phẳng
qua AB cắt SC và SD lần lượt tại M và N sao cho
A. 0,25

B. 0,2

VS . ABMN
11
SM

 x . Tìm x biết
VS . ABCD 200
SC
C. 0,3

D. 0,1

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  và SA  2a .
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,BC và CD. Thể tích khối chóp C.MNP là:
A.

a3
32

B.

a3
12

C.

a3
16

D.

a3
24

Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA   ABC  và SA  2a . Gọi
M , N , P lần lượt là trung điểm của SB, BC và SC. Thể tích khối chóp A.MNP là:
A.

a2 3
24

B.

a2 3
12

C.

a2 3
8

D.

a3
24

BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM
01. A
11. D

02. D
12. C

03. C
13. C

04. A
14. D

05. D
15. D

06. A
16. A

07. C

08. A

09. B

10.B


GIẢI CHI TIẾT
1
Câu 1. Ta có VAMND  d  D,  ABC   S AMN
3
1
Lại có VABCD  d  D,  ABC   S ABC
3
Mà S AMN 

V
1
1
S ABC � AMND 
4
VABCD 4

Chọn A
1
Câu 2. Ta có VS . ICM  d  S ,  ABCD   .S ICM
3
1

Lại có VS . ABCD  d  S ,  ABCD   .S ABCD
3
Ta có S BCM 

� S ICM 

1
1
S ABCD mà S ICM  S BCM
4
4

V
1
1
S ABCD � S .ICM 
12
VS . ABCD 12

Chọn D
Câu 3. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. SO cắt B’D’ tại I.
Nối AI cắt SC tại C’ nên A, B’, C’, D’ đồng phẳng.
Đặt VS . ABCD  V � VS . ACD  VS . ABC 

V
2

Ta có

VS . AC ' D ' SC ' SD '

VS . AC ' B ' SC ' SB '

.

.
và
.
VS . ACD
SC SD
VS . ACB
SC SB

Do đó

VS . AC ' B ' VS . AC ' D ' SC '
V
1 SC ' 1


� S . AB 'C ' D '  .

VS . ACB VS . ACD
SC
V
2 SC 6

Vậy

VS . AB ' C ' D ' 1
V

V 5V
 � VS . AB ' C ' D '  � VAB 'C ' D '. ABCD  V  
V
6
6
6
6

Hay tỷ số thể tích của hai khối chóp được chia ra bởi (AB’D’) là:
VS . AB 'C ' D '
VAB 'C ' D '. ABCD



V 5V 1
:

6 6 5

Chọn C
Câu 4. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD
Suy ra MN song song với AD và MN 

�MN PBC
1
AD � �
2
�MN  BC

Do đó BCNM là hình bình hành mặt khác CB  BM
Nên BCNM là hình chữ nhật nên S BCNM  2S BCM � VS . BCNM  2VS .BCM
1
1
1
a3
VS . BCM  BC.S SBM  BC.S SAB  a.2a.a 
3
6
6
3
Chọn A
Câu 5. Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích, ta có:
VA.B 'CD ' AB ' AC AD ' 1
V

.
.
 � VA. B 'CD ' 
VA. BCD
AB AC AD 4
4
Mà VA. BCD  VA.B 'CD '  VC .BDD ' B ' � VC . BDD ' B '  V 

V 3V

4
4

Chọn D

Câu 6. Gọi H là tâm của hình vuông ABCD.
Vì SA  SB  SC  SD nên SH   ABCD 
Đặt AB  x , khi đó x 2  4 � x  2 . Gọi M là trung điểm của
AB.
Xét tam giác SAB cân tại S, có
1
S SAB  .SM . AB  2 � SM  2
2
Xét tam giác SHM vuông tại H, có SH  SM 2  MH 2  1
1
4
Vậy thể tích khối chóp là VS . ABCD  .SH .S ABCD 
3
3
Chọn A
Câu 7. Gọi O là tâm của đáy ABCD, M là trung điểm của BC.
Từ O kẻ OH vuông góc với SC, ta có SC   BDH 
Ta có

VS . AHD SH VS . AHB SH

,

mà
VS . ACD SC VS . ACB SC

1
V
VS . ACD  VS . ACB  VS . ABCD 
2

2
VS . AHD  VS . AHB 2 SH
V
SH

� S . ABHD 
V
Nên
SC
V
SC
2
�  600 � SA  3a
Có BC   SAM  nên �
 SBC  ;  ABCD    SMA
2


Mặt khác CAS : CHO �
Suy ra

CH CO
a

� CH 
CA SA
13

SH SC  HC
HC 11

11

 1
 � VS . ABHD  V
SC
SC
SC 13
13

Do đó VH .BCD  V  VS . ABHD  V 

11
2
V V
12
13

Chọn D
Câu 8. Gọi Q là trung điểm của AD. Và MN cắt SD tại P.
Suy ra P là trọng tâm của tam giác SMC nên

SP 2

SD 3

Gọi h là độ dài đường cao của tứ diện, do đó
h
h
d  P;  ABCD    , d  N ;  ABCD    .
3

2
1
a 2h
Ta có VN .BCM  .d  N ;  ABCD   .S BCM 
và
3
6
VP.MQD

1
a2h
. Nên
 d  P;  ABCD   .S MQD 
3
36

VNBC . PQD 

a 2 h a 2 h 5a 2 h
a 2h 5a 2h 7a 2 h


� VSABNPQ 


6
36
36
3
36

36

Vậy tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (BMN) là
Chọn A
Câu 9. Gọi M là trung điểm của BC, H là tâm của đáy ABC.
Ta có SH   ABC  � SH  BC và SM  BC nên
BC   SAM  .
Từ M kẻ MD vuông góc với SA tại D nên SA   DBC  � P 
�  600
Lại có �
SA;  ABC    �
SA; AH   SAH
� 
Do đó cos SAH

AH
AH
2a
� SA 

0
SA
cos 60
3

VNBC .PQD
VSABNPQ



5
7


Xét tam giác SAB cân tại A, có đường cao BD, gọi K là trung điểm của AB suy ra
2

2

a 13
�2a � �a 13 � 5a 3
. Khi đó SD  SB 2  BD 2  � � �
SK . AB  BD.SA � BD 
�
�  12
4
�3� �
�4 �
Vậy

VS . BDC SD SB SC 5

. .

VS . ABC SA SB SC 8

Chọn B
Câu 10. Áp dụng công thức thể tích, ta có

VS . B 'CD ' AB ' AD ' 1 1 1

V

.
 .  � VS . AB ' D ' 
VS . BCD
AB AD 2 2 4
4

Chọn B
Câu 11. Áp dụng công thức thể tích, ta có

VC . BB ' D ' B 

VS . B 'CD ' AB ' AD ' 1 1 1
V

.
 .  � VC . AB ' D '  và
VS . BCD
AB AD 2 2 4
4

VC . AB ' D ' V 3V 1
3V
 :

. Suy ra
VS . BB ' D ' B 4 4 3
4

Chọn D
Câu 12. Áp dụng công thức tỷ số thể tích, ta có

�

VS .MNP SM SN SP 1 2 1
1

.
.
 . . 
VS . ABC
SA SB SC a b 2c abc

VS . ABC
 abc
VS .MNP

Chọn C.
Câu 13. Kẻ AM cắt BC tại N.
Từ M kẻ MA’ song song với SA, với A ' �SN
Xét NMA ' : NAS �

MA ' MN

SA
NA

1
�

VM . BCS  VS .MBC  d  S ;  ABC   .S MBC
�
V
S
�
3
� M . BCS  MBC
Ta có �
VS . ABC SABC
1
� V
d  S ;  ABC   .S ABC
S . ABC 
�
3
Mà

V
MA '
S MBC d  M ; BC  MN MA '
� M .BCS 



VS . ABC
SA
S ABC
d  A; BC 
AN
SA

Chọn C
Câu 14. Kẻ MN//CD, với N �SD nên

SM SN

x
SC SD


1
1
Ta có VS . ACB  VS . ACD  VS . ABCD  V
2
2
Và

VS . AMN SM SN
V
SM

.
 x 2 , S . AMB 
x
VS . ACD SC SD
VS . ACB SC

VS . AMN VS . AMB
VS . ABMN x 2  x
x 2  x 11

2


x

x
�

Do
�

VS . ACD VS . ACB
VS . ABCD
2
2
200
1 0  0
�
�� 2
� x  0,1
100 x  100 x  11  0
�
Chọn D
Câu 15. M là trung điểm của SB nên
d  S ;  ABCD    2 s  M ;  ABCD  
Do đó d  M ;  ABCD   

SA
a
 a � VC .MNP  VM . PCN  S PCN

2
3

1
1
a2
Mà S PCN  CN .CP  CB.CD 
2
8
8
a a 2 a3
Vậy thể tích khói chóp S.MNP là VC .MNP  . 
3 8 24
Chọn D
Câu 16. Vì M, P, N lần lượt là trung điểm của SB, SC, BC.
Nên d  M ;  ABC    d  P;  ABC   
Và S ABN  S ANC 
Mà

1
1
d  S ;  ABC    .2a  a
2
2

1
a2 3
a2 3
SABC 
� VM . ABN  VP. ANC 

2
8
24

VS . AMP SM SP 1
a3 3

;
 � VS . AMP 
VS . ABC
SB SC 4
24

Do đó VA.MNP  VS . ABC  VM . ABN  VP. ANC 
Chọn A

a3 3 a3 3 a3 3


6
8
24