de on thi hoc sinh gioi

Đề On thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán học Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1: Cho y = (-m + 1) x
3
+ 3( m + 1) x
2
- 4 mx - m .
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến .
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng
hàng .
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phơng trình :
1
34
1
2
<
+
+
axax
x
Đợc nghiệm đúng với mọi x .
Bài 3: Giải phơng trình

2
)1(
22
3
=
+
+
xx

xx
Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn
y
6
+ y
3
+ 2 x
2
=
22
yxxy

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM ,
CM, DM. Lần lợt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A
1
, B
1
, C
1
, D
1
.
a) Chứng minh rằng :
1
1
1
1
1
1
1

1
DD
MD
CC
MC
BB
MB
AA
MA
+++
Không đổi .
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1111
MD
DM
MC
CM
MB
BM
MA
AM
P
+++=
Đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài 6: Chứng minh với mỗi số nguyên dơng n thì phơng trình x
2n+ 1
= x + 1 . chỉ có 1
nghiệm số thực x
n
. Khi đó tìm lim x

n
n

Bài 1:
a) (1.5 điểm )
D = R
Cần điều kiện : y = 3 (m + 1) x
2
+ 6 ( m + 1 ) x - 4 m

0
Thoã mãn với

x (0.25 điểm)
+ m + 1 = 0 => m = - 1 có y = 4 > 0 Thoã mãn với

x
vậy m = -1 là giá trị cần tìm . (0.25 điểm)
+ m + 1

0 = > m = - 1 . Để y

0 Thoã mãn với

x cần điều kiện




+++=

>+
0)1(12)1(9
01
2'
mmm
m

1
0)37)(1(
01
<



++
>+

m
mm
m
hoặc m


7
3

(0.50 điểm)
Kết luận: m
(
]

.;
7
3
1;






+
(0.25 điểm)
b) Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với

m
=> m (
03)143
0
2
0
3
00
2
0
3
0

=++
yxxxx
(*)
Để phơng trình (*) không phụ thuộc m cần





=+
=+
03
0143
0
2
0
3
0
0
2
0
3
0
yxx
xxx
Xét phơng trình
0143
0
2
0

3
0
=+ xxx
Gọi f(x) =
0143
0
2
0
3
0
=+ xxx
là hàm số liên tục trên R
+ Có f(0) .f(-1) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0)
(1.0 điểm)
+ Có f(1) .f(2) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2)
+ Có f(-1) > 0 ; khi x

thì f(x) <0.
Vậy phơng trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-
)1;

Vậy phơng trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm .
Các nghiệm ấy thõa mãn :





=+
=+

03
0143
23
23
yxx
xxx
Trừ hai phơng trình cho nhau đợc : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đờng
thẳng y = 4x - 1 .
Bài 2 (3 điểm )
Trớc hết cần ax
2
- 4x + a - 3

0 với mọi x



<=


0)3(4
0
'
aa
a
a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm)
+ Nếu a < -1 thì ax
2
- 4x + a - 3 < 0 với
x

.
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với
x

.

x + 1 > ax
2
- 4x + a - 3 thỏa mãn với
x

.

ax
2
- 5x + a - 4 < 0 thỏa mãn với
x

.


= 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a < -1) (1,0 điểm)


= 4a
2
- 16a - 25 > 0
2
414

<
a
(do a < - 1)
+ Nếu a > 4 thì ax
2
- 4x + a - 3 > 0 với
x

.
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với
x

.

x + 1 < ax
2
- 4x + a - 3 thỏa mãn với
x

.

ax
2
- 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với
x

(1,0 điểm)

= 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a = 4 > 0)

4a
2
- 16a - 25 > 0
2
414
+
>
a
(do a > 4)
Kết luận:








+
+

;
2
414
2
414
;a
(0.5 điểm)
Bài 3: ( 3 điểm )
Tập xác định D =
x


R (0,25 điểm)
Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên phơng trình đã cho
(0,25 điểm)
2
1
1
1
1
22
2
2
3
=

+
+
=








+
+

x
x
x
x
x
xx
x
xx
(0,5 điểm)
x
x
x

x
1
1
1
2
2
+=






+
(0,5 điểm)
Đặt
.
1
t
x
x
=+
Điều kiện
2

t

(vì
2
11

+=+=
x
x
x
xt
) (0,25 điểm)
Ta đợc phơng trình mới
2t
2
- 5t + 2 = 0 (0,25 điểm)




=
=

)(
2
1
2
mãnthoả khôngdo loạit
t
(0,25 điểm)
Với t = 2
012
2
2
1
2

=+
=+
xx
x
(0,5 điểm)
1= x
Kết luận: Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25 điểm)
Bài 4: (3 điểm )
Điều kiện : xy - x
2
y
2

0

hay
10

xy
(0,25 điểm)
Ta có :
xy - x
2
y
2
= -
4
1
4
1

4
1
22
+






+
xyyx
(0,25 điểm)
2
1
22

yxxy
( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy =
2
1
)
Do đó : y
6
+ y
3
+ 2x
2

2

1

(0,25 điểm)
Kết hợp với giả thiết
2
1
4)2(12
3322
++++
yxyyxx
(0,25 điểm)
Cộng hai vế hai bất đẳng thức ta có :
14)2(14
3226
++++
xyyxxy
(0,25 điểm)

1
2
)2(1 yx
+
23
)2( xy

Do

1
2
)2(1 yx

+
0

dấu bằng xảy ra khi 1 + (2x - y )
2
=1
và
0)2(
23

xy
(0,25 điểm)
nên ta có

1
2
)2(1 yx
+
)2(
3
xy
=
= 0



=
=

02

02
3
yx
xy
(0,25 điểm)
Giải hệ này ta đợc





=
=



=
=



=
=
2
1
1
;
1
1
;

0
0
3
3
2
2
1
1
x
y
x
y
x
y
(0,5 điểm)
Thử lại chỉ thấy : (x ; y ) =







1;
2
1
thoả mãn (0,5 điểm)
Bài 5: (4 điểm )
a) Gọi thể tích các khối tứ diện M.BCD ; M.ACD ; M.ABC và ABCD là V
1

, V
2
, V
3
, V
4
và V khi đó :
V
V
AA
MA
1
1
1
=
;
V
V
BB
MB
2
1
1
=
;
V
V
CC
MC
3

1
1
=
;
V
V
DD
MD
3
1
1
=
(1,0
điểm)
Cộng 4 đẳng thức trên = > khết quả = 1 (không đổi ) (0.5 điểm )
b) Theo kết quả câu a để thuận tiên gọi V
1
= a
2

; V
2
= b
2
; V
3
= c
2

; V

4
= d
2
.
Khi đó :
2
2222
11
1
a
dcba
V
V
MA
AA
+++
==
=>
=
1
MA
AM
2
222
a
dcb
++

Tơng tự:
=

1
MB
BM
2
222
b
acd
++
=
1
MC
CM
2
222
c
bad
++
=
1
MD
DM
2
222
d
cba
++
. (1,0 điểm)
Mặt khác theo Bất đẳng thức Bunhi a ta có :
(b + c + d )
2

3 (b
2
+ c
2
+ d
2
)
=>






++

++
=
a
dcb
a
dcb
AM
BM
3
1
222
1
(0,5 điểm)

Tơng tự :
b
dca
MB
BM
++

3
1
1
c
dba
MC
CM
++

3
1
1
d
cba
MD
DM
++

3
1
1
Dấu = xảy ra khi a
2

= b
2
= c
2
= d
2
(0,5 điểm)
=>T
3412.
3
1
3
1
=






++
+
++
+
++
+
++

d

cba
c
dba
b
acd
a
dcb
(Theo BĐT cô si cho 2 số không âm )
Vậy T min = 4
3
khi a
2
= b
2
= c
2
= d
2