CHUYÊN ĐỀ 2 - KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Tính lồi lõm của đồ thị:
Hàm số f xác định trên K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
f gọi là lõm trên K nếu , , 1: f x y � f x f y , x, y �0
f gọi là lồi trên K nếu , , 1: f x y � f x f y , x, y �0
Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm cấp 2 trên K
f '' x
f lõm trên K ۳�
ۣۣ
�f '' x
f lồi trên K
0, x
0, x
K
K.
Điểm uốn của đồ thị:
Điểm U x0 ; f x0
được gọi là điểm uốn của đường cong C : y f x nếu tồn tại một khoảng a; b
chứa điểm x0 sao cho một trong 2 khoảng a; x0 , x0 ; b thì tiếp tuyến tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn
ở khoảng kia thì tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị.
Cho hàm số y f x có đạo hàm cấp 2 một khoảng a; b chứa điểm x0 . Nếu f '' x0 0 và f '' x
đổi dấu khi x qua điểm x0 thì U x0 ; f x0
là điểm uốn của đường cong C : y f x .
Chú ý:
1) Nếu y p x . y '' r x thì tung độ điểm uốn tại x0 là y0 r x0
2) Nếu f lồi trên đoạn a; b thì GTLN max f a ; f b
3) Nếu f lõm trên đoạn a; b thì GTNN min f a ; f b
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm đa thức: gồm 3 bước:
Bước 1: Tập xác định
- Tập xác định D �
Trang 1
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có.
Bước 2: Sự biến thiên
- Tính các giới hạn
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Tính đạo hàm cấp hai, xét dấu để chỉ ra điểm uốn của hàm đa thức
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị
Bốn dạng đồ thị hàm bậc 3: y ax 3 bx 2 cx d , a �0 có tâm đối xứng là điểm uốn.
Bốn dạng đồ thị hàm trùng phương: y ax 4 bx 2 c, a �0
Đường tiệm cận
- Đường thẳng x x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các
điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f x �; lim f x �; lim f x �; lim f x �
x � x0
x �x0
x �x0
x � x0
f x y0 hoặc
- Đường thẳng y y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x nếu xlim
��
lim f x y0
x ��
- Đường thẳng
y ax b, a �0 được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị
y f x
nếu
lim �
�f x ax b �
�f x ax b �
� 0 hoặc xlim
� 0 .
���
x ��
Chú ý:
r x 0 thì tiệm cận xiên: y ax b
1) Nếu chia tách được y f x ax b r x và xlim
���
�: x 2 bx c �x
2) Biểu thức tiệm cận khi x � �
b
2
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ: gồm 3 bước:
Trang 2
Bước 1: Tập xác định
- Tìm tập xác định
- Xét tính chẵn, lẻ nếu có
Bước 2: Chiều biến thiên
- Tính các giới hạn, tìm các tiệm cận
- Tính đạo hàm cấp một, xét dấu
- Lập bảng biến thiên rồi chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và cực đại, cực tiểu
Bước 3: Vẽ đồ thị
- Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai trục tọa độ
- Vẽ đúng đồ thị, lưu ý tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận
Hai dạng đồ thị hàm hữu tỉ bậc 1/1: y
Bốn dạng đồ thị hàm hữu tỉ: y
ax b
với c �0, ad bc �0
cx d
ax 2 bx c
a' x b'
a �0, a ' �0
Chú ý:
1) Từ đồ thị C : y f x suy ra các đồ thị:
y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục hoành
y f x bằng cách lấy đối xứng qua trục tung
y f x bằng cách lấy đối xứng qua gốc
y f x bằng cách lấy phần đồ thị ở phía trên trục hoành, còn phần phía dưới trục hoành thì đối
xứng qua trục hoành.
y f x là hàm số chẵn, bằng cách lấy phần đồ thị ở phía bên phải trục tung, rồi lấy đối xứng phần
đó qua trục tung.
Trang 3
2) Bài toán về biện luận số nghiệm phương trình dạng g x, m 0
Đưa phương trình về dạng f x h m trong đó vế trái là hàm số đang xét, đã vẽ đồ thị C : y f x .
Số nghiệm là số giao điểm của đồ thị C với đường thẳng y h m .
3) Điểm đặc biệt của họ đồ thị: Cm : y f x, m
- Điểm cố định của họ là điểm mà mọi đồ thị đều đi qua:
M 0 x0 ; y0 � Cm , m � y0 f x0 , m , m
- Điểm mà họ không đi qua là điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua với mọi tham số:
M 0 x0 ; y0 � Cm , m ۹ y0
f x0 , m m
Nhóm theo tham số và áp dụng các mệnh đề sau:
Am B 0, m � A 0, B 0
Am 2 Bm C 0, m � A 0, B 0, C 0
Am B �0, m � A 0, B �0
Am 2 Bm C �0, m � A 0, B 0, C �0
hoặc A �0, B 2 4 AC 0
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 2.1: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a) y x 3 2 x 2 x 1
b) y x 4 8 x 2 9
Hướng dẫn giải
a) D �. Ta có y ' 3 x 2 4 x 1, y '' 6 x 4
2
2
2
y '' 0 � x ; y '' 0 � x ; y '' 0 � x
3
3
3
�2 29 �
, hàm số lồi trên khoảng
�
�3 37 �
Vậy điểm uốn I � ;
� 2�
�; �và lõm trên khoảng
�
� 3�
�2
�
.
� ; ��
�3
�
b) D �. Ta có y ' 4 x 3 16 x, y '' 12 x 2 16 0x
Vậy đồ thị không có điểm uốn và hàm số lõm trên �.
Bài toán 2.2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của đồ thị:
a) y
x2 2x 3
x 1
b) y
2x 1
x5
Hướng dẫn giải
Trang 4
a) D �\ 1 . Ta có y
Nên y ' 1
6
x 1
2
x2 2x 3
6
x 3
x 1
x 1
, y ''
12
x 1
3
�0, x �1
y '' 0 � x 1; y '' 0 � x 1
Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng �; 1 và lõm trên khoảng 1; � .
b) D �\ 5 . Ta có y '
11
x 5
2
, y ''
22
x 5
3
�0, x �5
y '' 0 � x 5; y '' 0 � x 5
Vậy đồ thị không có điểm uốn, hàm số lồi trên khoảng �;5 và lõm trên khoảng 5; � .
Bài toán 2.3: Chứng minh rằng với mọi a, đồ thị hàm số y
xa
luôn có ba điểm uốn thẳng hàng.
x x 1
2
Hướng dẫn giải
Ta có:
y ''
x
y'
2
x 1 x a 2 x 1
x 2 x 1
2
x 2 2ax a 1
x
2
x 1
2
2 x3 3ax 2 3 a 1 x 1
x
2
x 1
3
y '' 0 � x3 3ax 2 3 a 1 x 1 0
3
2
Đặt f x x 3ax 3 a 1 x 1, x ��
Ta có: f 0 1 0, f 1 1 0
lim f x �, lim f x � và đồng thời hàm số này liên tục trên tập số thực nên phương trình
x��
x ��
f x 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng �; 1 , 1;0 , 0; � .
Giả sử hoành độ của một trong các điểm uốn là x0 nên
x03 3ax02 3 a 1 x0 1 0
3
2
Ta có: x0 3ax0 3ax0 3a 1 3x0 3a
� x0 3a 1 x02 x0 1 3 x0 a
Trang 5
x0 3a 1 x02 x0 1 x0 3a 1
x0 a
Suy ra y0 2
x0 x0 1
3
3 x02 x0 1
Vậy các điểm uốn của đồ thị thuộc đường thẳng y
x 3a 1
nên chúng thẳng hàng
3
Bài toán 2.4: Cho hàm số: y x3 6 x 2 3mx m 2 , m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 3
b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đai, cực tiểu A và B mà khoảng cách AB 4 65 .
Hướng dẫn giải
a) Khi m 3 hàm số trở thành y x 3 6 x 2 9 x 1
Tập xác định D �
Sự biến thiên: y ' 3 x 2 12 x 9
y ' 0 � x 1 �x 3
Bảng biến thiên:
x
�
y'
1
+
y
0
�
3
−
0
�
3
�
+
−1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �;1 và 3; � , nghịch biến trên 1;3 . Hàm số đạt cực đại khi
x 1 , yC Ð 3 và đạt cực tiểu tại x 3, yCT 1 .
• Đồ thị:
y '' 6 x 12 ,
y '' 0 � x 2
nên tâm đối xứng là điểm uốn I 2;1 .
Cho x 0 thì y 1 .
b) Ta có y ' 3 x 2 12 x 3m
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
y ' 0 có hai nghiệm phân biệt � ' 36 9m 0 � m 4
Gọi các điểm cực trị là A x1; y1 , B x2 ; y2 .
Trang 6
�x1 x2 4
�x1 x2 m
Theo định lý Viet �
Ta có y1 2m 8 x1 m 2, y2 2m 8 x2 m 2
AB
x1 x2
2
2m 8
2
x2 x1
2
2
2
1 2m 8 �
�x1 x2 4 x1x2 �
�
4m
2
32m 65 16 4m
193m 0 � m 4m
2
nên AB 4 65 � 4m 32m 65 16 4m 1040
� 4m3 48m 2
2
48m 193 0
� m 0 (thỏa mãn). Vậy m 0 .
Bài toán 2.5: Cho hàm số: y
2 3
5
x m 1 x 2 3m 2 x có đồ thị Cm với m là tham số.
3
3
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2
b) Tìm m để trên đồ thị Cm có hai điểm phân biệt có hoành độ cùng dấu và tiếp tuyến của Cm tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x 3 y 1 0 .
Hướng dẫn giải
a) Khi m 2 hàm số trở thành y
2 3
5
x x2 4x .
3
3
Tập xác định D �
Sự biến thiên: y ' 2 x 2 2 x 4 ;
y ' 0 � x 1 �x 2
Bảng biến thiên
x
�
y'
y
−1
−
0
�
�
2
+
0
+
5
−4
�
Trang 7
Hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 và nghịch biến trên mỗi khoảng �; 1 , 2; � .
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 và yCT 4 , đạt cực đại tại x 2 và yC Ð 5 .
Đồ thị:
�
�
5�
3�
0; �,
Đồ thị cắt Oy tại �
y '' 4 x 2 ,
y '' 0 � x
1
nên đồ thị nhận điểm uốn
2
�1 1 �
I � ; �làm tâm đối xứng.
�2 2 �
2
b) y ' 2 x 2 m 1 x 3m 2
Hệ số góc của d : x 3 y 1 0 là k
1
3
Tiếp tuyến của Cm tại mỗi điểm vuông góc với đường thẳng d : x 3 y 1 0 khi y ' 3
� 2 x 2 2 m 1 x 3m 2 3
� 2 x 2 2 m 1 x 3m 1 0
Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 0
2
�
m 3
�
m 2 4m 3 0
�
' m 1 2 3m 1 0
�
�
� �3m 1
��
��
1
1
�
1 m
m
0
�
�
3
�
3
�
� 2
1
3
Vậy m 3 hay 1 m .
Bài toán 2.6: Cho hàm số y
1 3 1 2 3
x x x 2 . Tìm m để hai điểm A, B thuộc đồ thị C có tung độ m
6
2
2
và gốc O tạo thành tam giác OAB cân tại O.
Hướng dẫn giải
Hai điểm A, B thuộc đồ thị C có tung độ m nên thuộc đường thẳng d : y m .
Hoành độ giao điểm của d và đồ thị C là nghiệm của phương trình
Phương trình � x3 3x 2 9 x 12 6m 0
1 3 1 2 3
x x x2m
6
2
2
(1)
Trang 8
17
�5
�m �
�
Đường thẳng d cắt C tại A, B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O khi � 2
6 và phương trình (1)
�
m �0
�
có nghiệm x1 , x1 , x2 (trong đó x1 , x1 là hoành độ của A, B)
2
2
Khi đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình x x1
xx 0
3
2
2
2
Phương trình � x x2 x x1 x x1 x2 0
2
(2)
x2 3
�
�2
x1 9
Đồng nhất các hệ số của (1) và (2): �
�
x12 x2 12 6m
�
Suy ra 12 6m 27 � m
5
2
Bài toán 2.7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) y x 3 3x 2 4 x 2
b) y x3 3 x 2 3 x 1
Hướng dẫn giải
a) y x 3 3x 2 4 x 2
Tập xác định D �
y � và lim y �
Sự biến thiên xlim
��
x ��
Ta có y ' 3 x 2 6 x 4 0, x nên hàm số nghịch biến trên �. Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên
x
�
y'
y
�
−
�
�
Đồ thị: y '' 6 x 6, y '' 0
� x 1 nên đồ thị có điểm uốn I 1;0 .
Cho x 0 � y 2 . Cho y 0
� x3 3x 2 4 x 2 0
� x 1 x 2 2 x 2 0 � x 1
b) y x 3 3x 2 3x 1
Trang 9
Tập xác định D �
y � và lim y �
Sự biến thiên: xlim
��
x ��
Ta có y ' 3 x 2 6 x 3 3 x 1 �0, x nên hàm số đồng biến trên �, hàm số không có cực trị.
2
Bảng biến thiên:
�
x
y'
�
1
+
0
−
y
�
�
Đồ thị: y '' 6 x 6, y '' 0
� x 1 nên đồ thị có điểm uốn I 1;2
Cho x 0 � y 1 .
3
2
2
Bài toán 2.8: Cho hàm số: y x 3 m 3 x 3 m 3m 5 x 1 , m là tham số. Tìm m để đồ thị của
hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 x1 x2 7 .
Hướng dẫn giải
D �,
y ' 3 x 2 6 m 3 x 3 m 2 3m 5
y ' 0 � 3 x 2 6 m 3 x 3 m 2 3m 5 0
Hàm
số
cực
đại,
cực
tiểu
x1 , x2 � ' 3m 4 0 � m
tại
x1 , x2
khi
phương
trình
có
2
nghiệm
phân
biệt
4
3
2
Ta có x1 x2 2 m 3 ; x1 x2 m 3m 5
Do đó x1 x2 x1 x2 7 � 2 m 3 3m 5 7
2
� m 2 5m 11 7
2
�
�
m2 5m 11 7
�
�m 5m 4 0
��2
��2
�1 m 4
m 5m 11 7
�
�m 5m 18 0
Kết hợp thì chọn: 1 m
4
3
Bài toán 2.9: Cho hàm số: y x 4 2mx 2 2m 1 , với m là tham số.
Trang 10
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 3
b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
a) Khi m 3 , hàm số trở thành y x 4 6 x 2 5
Tập xác định D �, hàm số chẵn.
3
2
Sự biến thiên: y ' 4 x 12 x 4 x x 3
y ' 0 � x 0 hoặc x � 3
Bảng biến thiên
x
�
3
y'
y
−
0
0
+
0
�
�
3
−
0
+
�
5
−4
Hàm số đồng biến trên khoảng 3;0 ,
−4
3; � và nghịch biến trên khoảng �; 3 ; 0; 3
Hàm số đạt cực đại tại x 0, yC Ð 5 và đạt cực tiểu tại x � 3, yCT 4
Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận Oy tại trục đối xứng
2
b) Ta có D �. y ' 4 x x m
y ' 0 � 4 x x 2 m 0 � x 0 hoặc x 2 m
Hàm số có 3 điểm cực trị � y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt � m 0
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
A m ; m 2 2m 1 , B 0;2m 1 , C
m ; m 2 2m 1
Trang 11
Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại B �Oy , A và C đối xứng nhau qua Oy.
ABC là tam giác vuông � tam giác ABC vuông cân tại B
� AC AB. 2 � m 2 m � m 1 hoặc m 0 .
Vậy chọn m 1 .
Bài toán 2.10: Cho hàm số: y x 4 mx 2 2m 1 , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số cho có 3 điểm
cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi.
Hướng dẫn giải
Ta có y ' 4 x 3 2mx
x0
�
y ' 0 � 4 x 3 2mx 0 � � 2
2x m
�
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt � m 0
Khi đó các điểm cực trị:
� m m2
�
� m m2
�
A�
;
2m 1 �
, B 0;2m 1 , C � ;
2m 1 �
4
4
� 2
�
�2
�
Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên O, A, B, C là 4 đỉnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình
thoi
� O và B đối xứng nhau qua AC �
yO yB
yA
2
2m 1
m2
�
2m 1 � m 2 4 m 2 0
2
4
� m 2 � 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 � 2 .
Bài toán 2.11: Cho hàm số: y x 4 2mx 2 m 2 m , với m là tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 2
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành Ox tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho AB BO OC CD .
Hướng dẫn giải
a) Khi m 2 hàm số trở thành y x 4 4 x 2 2
Tập xác định D �, hàm số chẵn
3
2
Sự biến thiên: y ' 4 x 8 x 4 x x 2
y ' 0 � x 0 �x � 2
Bảng biến thiên
Trang 12
x
�
y'
2
+
0
y
0
−
0
−
�
2
0
6
�
+
6
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �; 2
�
2
và 0; 2 ; nghịch biến trên mỗi khoảng 2;0 và
2; � . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , giá trị cực tiểu yCT 2 ; hàm số đạt cực đại tại các điểm
x � 2 , giá trị cực đại yC Ð 6 .
Đồ thị: nhận Oy là trục đối xứng
b) Cho y 0 � x 4 2mx 2 m 2 m 0
Đặt t x 2 , t �0 thì PT: t 2 2mt m 2 m 0
Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi phương trình bậc 2 có 2 nghiệm dương phân biệt t1 t2 .
�
�
' m2 m2 m 0
2m 2 m 0
�
�
� �S 2m 0
��
m0
�P m 2 m 0
�
m2 m 0
�
�
1
�
m 0 �m
�
2
�
1
��
m0
� 1 m
2
�
1 m 0
�
�
Vì đồ thị đối xứng qua trục tung nên 4 giao điểm A, B, C, D thỏa mãn AB BO OC CD khi và chỉ khi
t2 2 t1 � t2 4t1 .
2
Theo định lý Viet ta có t1 t2 2m; t1t2 m m .
Trang 13
5t1 2m
�
Do đó �
4t m m
�
2
1
2
� 4.4m 2 25 m 2 m
25
.
41
� 42m 2 25m 0 � m 0 hay m
Ta chọn m
25
.
41
Bài toán 2.12: Cho hàm số y
1 4
x 2 x2 3
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
4
2
b) Tìm m để phương trình x 8 x 6 m có 8 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải
a) y
1 4
x 2x2 3 .
4
Tập xác định D �. Hàm số chẵn.
3
2
Sự biến thiên: y ' x 4 x x x 4
y ' 0 � x 0 hay x �2
Bảng biến thiên
x
�
y'
y
−2
−
0
�
0
+
0
−
0
+
�
3
−1
�
2
−1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2;0 ; 2; � , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
0;2 . Hàm số đạt cực đại tại
�; 2 ;
x 0; yC Ð 3 , đạt cực tiểu tại x �2, yCT 1 .
Đồ thị: Đồ thị C hàm số nhận Oy là trục đối xứng
Trang 14
b) Ta có phương trình
x 4 8 x 2 12 m �
1 4
m
x 2 x2 3
4
4
1 4
x 2 x 2 3 được suy ra từ đồ thị C bằng cách giữ nguyên phần nằm
4
Đồ thị C ' của hàm số y
phía trên Ox, còn phần nằm phía dưới Ox thì lấy đối xứng qua Ox.
1 4
m
m
x 2x2 3
là giao điểm của đồ thị C ' và đường thẳng y .
4
4
4
Số nghiệm của phương trình
Dựa vào đồ thị, phương trình có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
0
Bài toán 2.13: Cho hàm số: y
m
1� 0 m 4 .
4
1 4
x 3m 1 x 2 2 m 1 , với m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số có 3
4
điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.
Hướng dẫn giải
y ' x3 2 3m 1 x x �
x 2 2 3m 1 �
�
�
y ' 0 � x 0 �x 2 2 3m 1
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị � 3m 1 0 � m
Khi
C
đó
3
điểm
cực
trị
của đồ
thị
là:
1
3
A 0;2m 2 ,
B 6m 2; 9m 2 4m 1
và
6m 2; 9m 2 4m 1
Vì hàm số chẵn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, C đối xứng nhau qua Oy.
Trang 15
O là trọng tâm của tam giác ABC � y A yB yC 0
� 2m 2 2 9m 2 4m 1 0
2
�
m
�
1
3
� 9m 2 3m 2 0 � �
. Chọn giá trị m .
1
3
�
m
� 3
Bài toán 2.14: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
a) y x 4 2 x 2 5
b) y
x4
3
x2
2
2
Hướng dẫn giải
a) y x 4 2 x 2 5 .
Tập xác định D �. Hàm số chẵn
y � và lim y �
Sự biến thiên xlim
��
x ��
y ' 4 x3 4 x 4 x x 2 1 , y ' 0 � x 0
BBT
x
�
y'
�
0
+
y
0
−
5
�
�
Hàm số đồng biến trên khoảng �;0 và nghịch biến trên khoảng 0; �
Hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 : yC Ð 5 .
Đồ thị: y '' 12 x 2 4 0, x nên đồ thị không có điểm uốn.
Cho y 0 � x � 6 1
x4
3
b) y
x2
2
2
Tập xác định D �: Hàm số chẵn.
y �.
Sự biến thiên: xlim
���
y ' 2 x3 2 x 2 x x 2 1 , y ' 0 � x 0 .
Trang 16
BBT
�
x
y'
−
y
�
0
0
+
�
�
−3/2
Hàm số đồng biến trên khoảng
�
�
0; � , nghịch biến trên khoảng �;0
và
3�
2�
0; �
đạt cực tiểu tại �
.
Đồ thị: y '' 6 x 2 2 0, x nên đồ thị không có điểm uốn.
�
�
3�
2�
0; �
Giao điểm với trục tung �
, giao điểm với trục hoành 1;0 và 1;0 .
Bài toán 2.15: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y
x3 2
x2 2x
b) y
x2 x 1
5 x 2 2 x 3
Hướng dẫn giải
a) D �\ 0;2 suy ra 2 TCĐ: x 0 và x 2 .
x3 2
4x 2
Ta có y 2
nên TCX: y x 2 .
x2 2
x 2x
x 2x
� 3�
� 5
1; �suy ra 2 TCĐ: x 1 và x
b) D �\ �
Ta có lim y
x ���
3
.
5
1
1
nên TCN: y .
5
5
Bài toán 2.16: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) y x
3
x
b) y
x2 4x 3
Hướng dẫn giải
y � nên TCĐ: x 0 (khi x � 0 )
a) D 0; � . Ta có xlim
�0
Ta có lim y x lim
x ��
x ��
3
nên TNX: y x (khi x � �).
x
Trang 17
b) D �;1 � 3; � . Đồ thị không có TCĐ.
Gọi y ax b là TCN, TCX thì:
y
x2 4x 3
4 3
lim
lim 1 2 1 ;
x �� x
x ��
x ��
x
x x
a1 lim
b1 lim y x lim
x ��
lim
x ��
x2 4x 3 x
x ��
3
x
lim
2
2
x ��
4 3
x 4x 3 x
1 2 1
x x
4
4 x 3
Vậy tiệm cận xiên: y x 2 (khi x � �).
y
x2 4x 3
lim
x �� x
x ��
x
a2 lim
lim
4 3
x x 2 lim 1 4 3 1
x ��
x
x x2
x 1
x ��
b2 lim y x lim
x ��
lim
x ��
4 x 3
x2 4x 3 x
4
lim
x ��
x ��
x 1
x2 4x 3 x
4 x 3
x ��
4 3
x 1 2 x
x x
lim
3
x
4 3
1
x x2
4
2
2
Vậy tiệm cận xiên: y x 2 (khi x � �)
Cách khác: y
và vì lim
x ���
x2 4x 3 x 2
x2 4x 3 x 2
x 2 4 x 3 x 2 0 suy ra TCX.
Bài toán 2.17: Tùy theo m, tìm các tiệm cận của đồ thị:
a) y
x 2 mx 1
x 1
b) y
mx 3 1
x 2 3x 2
Hướng dẫn giải
Trang 18
x 2 mx 1
m2
a) Ta có y
x m 1
, x �1
x 1
x 1
m2
0 nên y x m 1 là tiệm cận xiên. Ta có:
x ��� x 1
- Khi m �2 thì lim y x m 1 lim
x ���
x 2 mx 1
lim
�
x �1
x 1
x 2 mx 1
Khi m 2 và lim
� khi m 2 nên TCĐ x 1 .
x �1
x 1
- Khi m 2 thì
x 1
y
x 1
2
(với x �1 ), đồ thị là đường thẳng (trừ điểm 1;0 ) nên nó trùng với tiệm
cận xiên.
mx3 1
7 mx 1 6m
b) Ta có: y 2
mx 3m 2
x 3x 2
x 3x 2
Khi m 1 thì y
x3 1
x2 x 1
, x �1, x �2
x 2 3x 2
x2
x3 8
x2 2x 4
1
, x �1, x �2
Khi m thì y
8 x 1
8 x 2 3x 2
8
Từ đó suy ra: Với m 1 thì x 2 là tiệm cận đứng
Với m
1
thì x 1 là tiệm cận đứng.
8
1
8
Với m �1 và m � thì đồ thị có hai tiệm cận đứng là x 1 và x 2 .
7 mx 1 6 m
0 nên đồ thị có TCN, TCX: y mx 3m .
x ��� x 2 3 x 2
Ta có lim y mx 3m lim
x ���
2 x 2 m 1 x 3
Bài toán 2.18: Cho đường cong Cm : y
xm
a) Tìm m để tiệm cận xiên của Cm đi qua A 1;1
2
b) Tìm m để giao điểm của hai tiệm cận nằm trên P : y x 3
Hướng dẫn giải
2 x 2 m 1 x 3
y
lim
lim
2
a) Ta có
x �� x
x ��
x x m
Trang 19
�2 x 2 m 1 x 3
�
lim y 2 x lim �
2
x
�
�
x ��
x ���
� x x m
�
2 x 2 m 1 x 3 2 x 2 2mx
lim
1 m
x ��
xm
Suy ra phương trình tiệm cận xiên là y 2 x 1 m .
TCX đi qua A 1;1 khi và chỉ khi: 1 2.1 1 m � m 2 .
b) Đồ thị có tiệm cận đứng là x m . Từ đó suy ra giao điểm của hai tiệm cận là I m;1 3m .
Giao điểm này nằm trên đường cong y x 2 3 khi
1 3m m 3 � m 2 3m 2 0 � m 1 hoặc m 2
2
x2 1 m x 2
Bài toán 2.19: Cho hàm số y
Cm . Tìm m để tiệm cận xiên của Cm tạo với các trục tọa
x 1
độ thành một tam giác có diện tích bằng 18.
Hướng dẫn giải
Hàm số y x m
m2
, D �\ 1 .
x 1
y x m 0 nên tiệm cận xiên d của Cm có phương trình y x m . Giao điểm của d
Ta có xlim
���
với Ox: A m;0 , giao điểm của d với Oy: B 0; m
Diện tích tam giác OAB là S
Điều kiện S 18 �
1 2
m .
2
1 2
m 18 � m �6
2
Bài toán 2.20: Cho hàm số: y
2x 1
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
b) Suy ra đồ thị y
2x 1
.
x 1
Hướng dẫn giải
a) y
2x 1
.
x 1
Tập xác định D �\ 1 .
Trang 20
y � và lim y �
Sự biến thiên: Ta có: lim
x �1
x �1
Do đó đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng
y lim y 2 nên đường thẳng y 2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì xlim
��
x ��
Ta có: y '
1
x 1
2
0, x �1
Bảng biến thiên
x
�
y'
�
1
−
−
y
�
2
2
�
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng �;1 , 1; �
�1
�2
�
�
Đồ thị: Đồ thị C cắt Ox tại � ;0 �cắt Oy tại 0;1 .
C
nhận giao điểm I 0;2 hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
�2 x 1
2x 1 �
� x 1
�
b) Ta có y
x 1 � 2x 1
� x 1
khi x 1
khi x 1
nên đồ thị C ' giữ nguyên phần bên phải tiệm cận đứng x 1
của đồ thị C , còn phần bên trái tiệm cận đứng x 1 của đồ thị C thì lấy đối xứng qua trục hoành.
Trang 21
Bài toán 2.21: Cho hàm số: y
2x 2
.
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến cắt đường tiệm cận đứng tại A, cắt đường tiệm cận
ngang tại B mà OB 2OA .
Hướng dẫn giải
a) y
2x 2
x 1
Tập xác định D �\ 1
lim y � và lim y �
Sự biến thiên: Ta có x �
x � 1
1
Do đó đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng
y lim y 2 nên đường thẳng y 2 là tiệm cận đứng
Ta có xlim
��
x ��
y'
4
x 1
2
0, x �1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �; 1 ; 1; �
Đồ thị: Đồ thị C cắt Ox tại 1;0 , cắt Oy tại 0; 2 , và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng.
b) Phương trình tiếp tuyến tại M x0 ; y0 C , x0
d:y
4
x0 1
2
x x0
1
2 x0 2
x0 1
Trang 22
� 2 x0 6 �
�;
� x0 1 �
1;
Giao điểm của d với tiệm cận đứng x 1 là A �
Giao điểm của d với tiệm cận ngang y 2 là B 2 x0 1;2 .
2
Do đó OB 2OA �
4 2 x0 1
2
�2 x 6 �
2 1 � 0
�
�x0 1 �
�
2 x0 1
�2 x0 6 � �
2
� 2 x0 1 4 �
�� �
x
1
�0
� �
2 x0 1
�
�
2
� x0
�
2 x02 x0 13 0 VN
�� 2
4 x0 12
2 x0 7 x0 11 0
�
x0 1
7 � 137
. Thế vào d thì có tiếp tuyến cần tìm.
4
Bài toán 2.22: Cho hàm số: y
a) y
4 x0 12
x0 1
x2
.
x 1
x2
.
x 1
Tập xác định: D �\ 1
y � và lim y �
Sự biến thiên: Ta có lim
x �1
x �1
Do đó đường thẳng x 1 là tiệm cận đứng.
y lim y 1 nên đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang.
Vì xlim
��
x ��
Ta có y '
1
x 1
2
0, x �1 .
Bảng biến thiên
x
�
y'
�
1
+
y
+
�
1
1
�
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �;1 , 1; �
Đồ thị: Đồ thị C cắt Ox tại 2;0 , cắt Oy tại 0;2 , C nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng.
Trang 23
b) Vì x 1 không là nghiệm nên phương trình
x 2 x 1 m 5 �
x2
m5
x 1
�x 2
x2 �
�x 1
�
Ta có: y
x 1 � x 2
� x 1
Suy ra đồ thị C ' của y
x 2 qua trục hoành.
khi x �2
khi 1 �x 2
x2
gồm phần của C ứng với x �2 và đối xứng phần C ứng với
x 1
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị C ' và đường thẳng y m 5 :
Xét m 5 �1 hay m 5 0 hay m 5 1
۳ m 6 hay m 5 hay m 4 thì phương trình có 1 nghiệm.
Xét 0 m 5 1 � 5 m 6 thì phương trình có 2 nghiệm.
Xét 1 �m 5 0 � 4 m 5 thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán 2.23: Cho hàm số: y
mx
, với m là tham số. Tìm m để đường thẳng d : 2 x 2 y 1 0 cắt đồ thị
x2
tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là S
3
.
8
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm
x m
1
x
x2
2
� 2 x 2 x 2 m 1 0, x �2
Ycbt là phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 phân biệt khác −2
Trang 24
� 17
17 16m 0
�
m
�
�
��
� � 66
2
2 2 2 2 m 1 �0
�
�
m �2
�
1
�
�x1 x2
Ta có �
2 nên AB
�
�x1 x2 m 1
2
x2 x1
2
2
x2 x1
x2 x1
2
y2 y1
4 x1 x2
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là h
SOAB
2
2
2
. 17 16m
2
1
2 2
1
1 2
1
17 16m
AB.h .
. 17 16m .
2
2 2
8
2 2
Nên SOAB
3
17 16m 3
1
�
� m (thỏa mãn).
8
8
8
2
x 1
. Tìm trên H các điểm A, B sao cho độ dài AB 4 và đường thẳng
x2
AB vuông góc với đường thẳng y x .
Bài toán 2.24: Cho hàm số y
Hướng dẫn giải
Vì đường thẳng AB vuông góc với y x nên phương trình của AB là:
y x m .
Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình
x 1
x m
x2
� x 2 m 3 x 2m 1 0, x �2 .
Điều kiện phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và khác 2:
2
�
m 3 4 2m 1 m 2 2m 5 0, m
�
�
4 m 3 .2 2 m 1 1 �0, m
�
luôn thỏa mãn. Ta có x1 x2 m 3; x1.x2 2m 1
Nên AB 2 16 � x2 x1 y2 y1 16
2
2
� x2 x1 x2 m x1 m 16
2
2
� x2 x1 8 � x1 x2 4 x1 x2 8
2
2
Trang 25