GT ha NS ung dung cua khai trien taylor va da thuc 07 24

ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH ĐA THỨC
ĐỂ ĐÁNH GIÁ BIỂU THỨC
TS Nguyễn Sơn Hà, Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm – ĐHSP Hà Nội
Email
(Nội dung báo cáo tại khóa tập huấn GV THPT Chuyên Toán năm 2016 khu vực phía Nam)

TÓM TẮT
Bài viết trình bày kinh nghiệm sử dụng khai triển Taylor của một hàm số khả vi
liên tục cấp cao để đánh giá so sánh giá trị của hàm số đó với giá trị của một đa thức. Từ
đó, trong một số điều kiện của hàm số và biến số, giáo viên có thể đưa ra các bài toán
mới liên quan đến bất đẳng thức.
MỤC LỤC
Nội dung

STT
1
2
3
4
5
6

Trang
1
2
4
20
22
22

Mở đầu.

Một số hệ quả của khai triển Taylor.
Khai triển Taylor của một số hàm số và ứng dụng.
Bài tập đề nghị.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.
NỘI DUNG
1.Mở đầu
Với hàm số khả vi cấp cao, ta có khai triển Taylor:

Nếu f  x  khả vi cấp n  1 n  N *  và f ( n1)  x  liên tục tại một lân cận U của x0 thì
x U , tồn tại điểm c giữa hai điểm x và x0 sao cho
n

f  x   f  x0   
k 1

f

k

 x0 

k!

 x  x0 

f   c
n 1

 x  x0  .

 n  1!
n 1

k

n

Trong bài viết này, ta gọi P f ,n, x0   x   f  x0   
k 1

Taylor cấp n của f  x  tại điểm x0 .

f

k

 x0 

k!

 x  x0 

k

là đa thức

f   c
n 1
Khi đó f  x   P f ,n, x0   x  
 x  x0  .

 n  1!
n 1

f   c
n 1
Bài viết này xét các tình huống xác định được dấu của
 x  x0  , từ đó
 n  1!
đánh giá so sánh được f  x  với đa thức P f ,n, x0   x .
n 1

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


2. Một số hệ quả của khai triển Taylor
f   c
n 1
Từ đẳng thức f  x   P f ,n, x0   x  
 x  x0  , ta có một số kết quả sau
 n  1!
n 1

Hệ quả 1. Cho n là số nguyên dương, nếu f  x  là đa thức bậc n thì f  x   P f ,n, x0   x .
Hệ quả 2. Cho n là số nguyên dương lẻ, f  x  xác định trên R thỏa mãn: f  x  khả vi
cấp n  1 n  N *  và f ( n1)  x  liên tục tại một lân cận U của x0 .
a) Nếu f 

n1

 x   0 x  R

thì f  x   P f ,n, x0   x  x  R.

 x   0 x  R thì f  x   P f ,n,x   x  x  R.
Hệ quả 3. Cho n là số nguyên dương chẵn, f  x  xác định trên R thỏa mãn
vi cấp n  1 n  N *  và f ( n1)  x  liên tục tại một lân cận U của x0 .
b) Nếu f 

a)Nếu f 

n1

0

n1

 x   0 x  R

f  x  khả

thì f  x   P f ,n, x0   x  x  x0 và f  x   P f ,n, x0   x  x  x0 .

 x   0 x  R thì f  x   P f ,n,x   x  x  x0 và f  x   P f ,n,x   x  x  x0 .
Hệ quả 4. Cho f  x  xác định trên R thỏa mãn f  x  khả vi cấp 2 và f ''  x  liên tục tại
b)Nếu f 

n1

0

0

một lân cận U của x0 .
a) Nếu f ''  x   0 x  R thì f  x   f  x0   f '  x0  x  x0  x  R.
b) Nếu f ''  x   0 x  R thì f  x   f  x0   f '  x0  x  x0  x  R.
Hệ quả 4 là trường hợp riêng của hệ quả 2 khi n=1.
Hệ quả 5. Cho f  x  xác định trên R thỏa mãn f  x  khả vi cấp 3 và f (3)  x  liên tục
tại một lân cận U của x0 .
a)Nếu f 

3

b) Nếu f 

 x   0 x  R thì f  x   P f ,2,x   x 
0

3

 x   0 x  R thì f  x   P f ,2,x   x 
0

x  x0 và f  x   P f ,2, x0   x  x  x0 .
x  x0 và f  x   P f ,2, x0   x  x  x0 .

Hệ quả 5 là trường hợp riêng của hệ quả 3 khi n=2.
Các hệ quả trên vẫn đúng khi tập xác định của hàm số là một khoảng đồng thời
hàm số có đạo hàm cấp cao liên tục và không đổi dấu trên tập xác định.
Nếu dùng khai triển Taylor thì ta có thể thấy ngay các hệ quả trên. Tuy nhiên khai
triển Taylor không được đưa vào chương trình Trung học phổ thông. Các bài toán sau

đây có được từ việc xét các trường hợp riêng của các hệ quả trên. Trong mỗi trường hợp,
tác giả có đưa ra định hướng cách chứng minh các bất đẳng thức trên cơ sở sử dụng kiến
thức được quy định trong sách giáo khoa hiện hành.
Khi giải nhiều bài toán về bất đẳng thức, ta mò mẫm và dự đoán về một bất đẳng
thức mới và kiểm nghiệm lại xem bất đẳng thức đó có đúng không. Bài viết này tập trung
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


việc sử dụng đa thức P f ,n, x0   x  giúp ta đưa ra một số đánh giá mới trong tình huống liên
quan đến hàm f  x  .

3. Khai triển Taylor một số hàm số và ứng dụng
3.1)Hàm số f  x   x , x 0;  .
1
3
3
 0, f    x   2
 0 x   0;  .
2 x
4x x
8x x
1
xa
P f ,1,a   x   f  a   f '  a  x  a   a 
.
 x  a 
2 a
2 a
f ' x  

1

, f ''  x  

P f ,2,a   x   f  a   f '  a  x  a  

f ''  a 
1
1
2
2
 x  a  a 
 x  a 
 x  a
2!
2 a
8a a

xa
1
2

 x  a .
2 a 8a a
Bài 1. (Sử dụng Hệ quả 5).Cho x  0, a  0. Chứng minh rằng
xa
xa
1
2
 x


a)Nếu x  a thì
 x  a .
2 a
2 a 8a a
xa
1
xa
2
b)Nếu 0  x  a thì x 

.
 x  a 
2 a 8a a
2 a
Cách giải:


+) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm, ta có



x a



xa
.
2 a

2

1
2
xa
x 

x a
 x  a  
8a a
 2 a 8a a

Từ đây, ta có:
xa
xa
1
2
 x

a)Nếu x  a thì
 x  a .
2 a
2 a 8a a
xa
1
xa
2

.
b)Nếu 0  x  a thì x 

 x  a 
2 a 8a a
2 a

+)

x







x 3 a .

3.2)Hàm số f  x   1  x  , x   1;  .


P f ,1,0  x   1   x, P f ,2,0  x   1   x 
f

2

 x      11  x 

 2

,f

3

   1
2

x2 ,

 x      1  21  x 

 3

.



-Khi   N * , P f , ,0  x    Ck x k .
k 0

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


-Khi   1, f  x  
Ta có f '  x  
f

k 

 0   1

k

1
, x  R \ 1.
1 x

1

1  x 

2

, f ''  x  

2

1  x 

3

,f
n

k !  P f ,n,0  x   f  0   

 3

 x 

f

k

3!

1  x 

4

 0xk  1 

k!
Bài 2. (Sử dụng Hệ quả 4).Cho x  1. Chứng minh rằng
k 1

,.., f
n

n

 1 n! .
 x 
n 1
1  x 
n

  1 x .
k

k

k 1

a) 1  x   1   x nếu    ;0   1;  .


b) 1  x   1   x nếu    0;1.


Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số y  1  x   1   x.


Không phải lúc nào cũng có f  x   P  f , n, x0  x hoặc f  x   P  f , n, x0  x. Đa thức
P  f , n, x0  là một trong những biểu thức mà ta sẽ chọn để đánh giá so sánh với f  x  .
Thực tế, sau khi mò mẫm và dự đoán, ta phải kiểm nghiệm xem các bất đẳng thức có
đúng không. Bất đẳng thức trong Bài 2 là bất đẳng thức Bernoulli.
Bài 3. (Sử dụng Hệ quả 5).
   1 2

Cho   2. Chứng minh rằng 1  x   1   x 
x x  0.
2
   1 2

Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số g  x   1  x   1   x 
x.
2
Bài 4. (Nguyễn Vũ Lương, Các bài toán về hàm mũ và loga, NXB Giáo dục, 2013)
1
1
Cho x  0. Chứng minh rằng a)

b)
 1  x  x 2  x3
 1  x  x 2  x3  x 4 .
x 1
x 1
Nhận xét: Có thể dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh các bất đẳng
thức trên.
3.3)Hàm số f  x   e x , x  R.
x2
f  x   e , f '  x   e , f ''  x   e , P f ,1,0  x   1  x, P f ,2,0  x   1  x  .
2
x 2 x3
xn
P f ,n,0  x   1  x    ...  .
2! 3!
n!
Bài 5. (Sử dụng Hệ quả 4). Chứng minh rằng e x  1  x x  R.
x

x

x

Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số y  e x  1  x. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x  0. Như vậy nếu x  0 thì e x  1  x.
Bài 6. (Sử dụng Bài 5). Cho a  e. Chứng minh rằng a x  1  x x  0 .
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


Cách giải: a x  e x  1  x x  0.

Bài 7. (Sử dụng Hệ quả 4). Đề thi Olympic 30 tháng 4 năm 2001.
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có 1  sin A1  sin B 1  sin C   e
Cách giải: 1  sin A1  sin B 1  sin C   e

sin A

.e

sin B

sin C

.e

sin Asin B sin C

e

e

3 3
2

3 3
2

.

.

Bài 8. (Sử dụng Hệ quả 4).
n

Cho n  N * , a1 , a2 ,.., an  0, s   ai . Chứng minh rằng
i 1

n

 1  a   e .
s

i

i 1

n

n

n

i 1

i 1

 ai

Cách giải: Theo Bài 5, 1  ai  eai   1  ai    eai  e i 1  e s .
Bài 9. (Sử dụng Hệ quả 5).
x2

x2
x
Chứng minh rằng a) e  1  x 
x  0, b) e  1  x 
x  0.
2
2

x2 
Cách giải: Hàm số f  x   x  ln 1  x   đồng biến trên 0;  .
2

x


x2 
x2
x  0  f  x   f  0   x  ln 1  x    e x  1  x  .
2
2

Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  0.
n

Bài 10. (Sử dụng Hệ quả 5). Cho n  N , a1 , a2 ,.., an  0,  ai  s. Chứng minh rằng
*

i 1



a

1  ai 
2
i 1 
n

2
i

 s
e .


Cách giải: Theo Bài 9, 1  ai 


a
a
 eai   1  ai 
2
2
i 1 
2
i

n

2
i

n

 ai


ai
i 1
 es .
  e  e
 i 1
n

Bài 11. (Sử dụng Hệ quả 3).
x 2 x3
xn
  ... 
x  0.
2! 3!
n!
n

xk 
Cách giải: Hàm số f  x   x  ln 1    đồng biến trên 0;  .
 k 1 k ! 

Cho n  N *. Chứng minh rằng e x  1  x 

n
n


xk 
xk
x
x  0  f  x   f  0   x  ln 1     e  1   .
k 1 k !
 k 1 k ! 

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


n
1
Bài 12. (Sử dụng Hệ quả 5). Cho n  N * , a1 , a2 ,.., an  1,  ai  n  . Chứng minh rằng
n
i 1

 1  a   2
n

2
i

i 1

nn

e.





n

n
1
1
Cách giải: Đặt ai  1  xi , xi  0 i  1, n .  ai  n    xi  .
n
n
i 1
i 1

n
n

xi2 
2
2
n


1  a    1  1  xi     2  2 xi  xi   2 1  xi  2 .

i 1
i 1
i 1
i 1 


n

n

2
i

n

 xi

1

x
x 
xi
xi
i 1
Theo Bài 8, 1  xi   e   1  xi     e  e
 e n  n e.
2
2  i 1
i 1 
2
i

2
i

n

n

  1  ai2   2n n e.
n

i 1

Ngoài những bất đẳng thức được phát hiện ra nhờ khai triển Taylor, có thể kết hợp bất
đẳng thức đại số để đưa ra bất đẳng thức mới.
Bài 13. (Sử dụng Hệ quả 4).
n

minh rằng

e

ak

k 1

Cho các số thực a1, a2 ,..., an thỏa mãn

n

a
k 1




 n  2   ak2  .
 k 1 
n

n

e

Cách giải: Theo Bài 4, ta có

ak

k 1

n

n

k 1

k 1

  1  ak   n   ak .

 n 2
Ta sẽ chứng minh  ak  2   ak 
k 1
 k 1 
n

n
n
n
 n
 n
 n

2
2
Ta có   ak    ak   ak   ai    ak   ak
k 1
k 1
k 1
 k 1 
 i 1,i k  k 1
2

n

n

n

k 1

k 1

 n
  ai
 i 1,i k





  ak   ak  ak   2 ak .
k 1

2

2

 n

 n  2   ak2  .
k 1
 k 1 
Bài 14. (Sử dụng Hệ quả 4). (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012)
Cho x  y  z  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Từ các kết quả trên, ta có

n

e

P3

ak

x y

3

yz

3

zx

 6 x2  6 y 2  6 z 2 .

Cách giải: Theo Bài 13, ta có:
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

k

 0. Chứng


3

x y

3

yz

3



zx



3 2 x  y  y  z  z  x .
2

2

2

x  y  y  z  z  x  2  x 2  y 2  z 2   2  xy  yz  zx 
2

2

2

 2  x 2  y 2  z 2    x 2  y 2  z 2   3 x 2  y 2  z 2  .
3

x y

3

yz

3

zx

 3  6  x 2  y 2  z 2   P  3.

P  3 tại  x, y, z    0;0;0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3.

Ta có thể sử dụng khai triển Taylor để đề xuất các bất đẳng thức mới, từ đó xét tính bị
chặn và hội tụ của dãy số.
Bài 15. (Sử dụng Hệ quả 4). Cho các dãy số dương  un  ,  sn  ,  vn  thỏa mãn
n

n

k 1

k 1

sn   uk , vn   1  uk , n  N *. Chứng minh rằng  sn  hội tụ khi và chỉ khi  vn  hội tụ.
n

n

Cách giải: Áp dụng Bài 5, ta có

n

 1  u    e
k

k 1

uk

 uk

 e k 1 .

k 1

Các dãy số  sn  ,  vn  là dãy tăng các số dương và sn  vn  esn n  N *.
Dễ thấy  sn  bị chặn khi và chỉ khi  vn  bị chặn.
Vì vậy  sn  hội tụ khi và chỉ khi  vn  hội tụ.

n

Bài 16. (Sử dụng Hệ quả 5). Cho các dãy số dương  un  ,  sn  ,  wn  thỏa mãn sn   uk ,
k 1

n
1 

wn   1  uk  uk2 , n  N *. Chứng minh rằng  sn  hội tụ khi và chỉ khi  wn  hội tụ.
2 
k 1 
n

Cách giải: Áp dụng Bài 4, ta có



 uk

1 
 uk2    euk  e k 1 .
2  k 1
k 1
Các dãy số  sn  ,  wn  là dãy tăng các số dương và sn  wn  esn n  N *.
n

 1  u

n

k

Dễ thấy  sn  bị chặn khi và chỉ khi  wn  bị chặn.
Vì vậy  sn  hội tụ khi và chỉ khi  wn  hội tụ.

n
 m ui 
Nhận xét, có thể tổng quát Bài 15 và Bài 16 với dãy số  wn  mà wn     k  trong
k 1  i 0 i ! 
đó m là hằng số nguyên dương.
Bài 17. (Sử dụng Hệ quả 4). Cho   1 và dãy số dương  un  thỏa mãn

n
1

un    1  

k
k 1 


*
, n  N . Chứng minh rằng dãy  un  hội tụ.


Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


n

 k

1
k

1

1 

Cách giải: Áp dụng Bài 4, ta có un   1      e  e k 1 .
k  k 1
k 1 
n
1
Bổ đề: Cho   1 và  vn  thỏa mãn vn    , n  N *. Ta có dãy  vn  bị chặn trên
k 1 k
n

n

1
.
x
k  N * , theo định lí Lagrang tồn tại xk   k ; k  1 thỏa mãn

Xét f  x   x1 , x   0;  . Ta có f '  x   1    x  


f  k  1  f  k 
1
1
1
1
1  1
1
 f '  xk  






.
 1
k  1
xk
xk   1  k  1  k  1 1 

 k  1  k
 k  1
xk   k ; k  1 

1

 k  1






1
1
1  1
1



  1

 1  .
xk


1
k
 k  1
 k  1 



n 1
n 1

1
1
1  1
1
   1 

1





 1  .
 1
k

1
k 1 k
k 1  k  1
k 1   1  k




n

n 1
1
1
1  1
1 

1

1


.

  1   1  
 1

 1 1
n    1   1 n 1
k 1 k
k 1  k  1
n



Vì   1 nên


1





 vn 
n  N *
 1
  1   1 n
 1
 1

Áp dụng bổ đề, ta có un  e


 1

(đpcm).

n  N *.

Vì  un  đơn điệu tăng và bị chặn trên nên  un  hội tụ.
Bài 18. (Sử dụng Hệ quả 4).
Cho dãy số ( xn ) : x1  1, xn

n


2

 n  1 n 2  3n  3 n  1
n  n 1

2

n

3

xn1 n  N * , n  2.

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.
Cách giải: xn
xn

n


xn 

2

n


2

 n  1 n 2  3n  3 n  1
n2  n  1

 n  1 n 2  3n  3 n3  1

n

2

 n  1

2

n3

n3

xn1

n


2

xn1 n  2.

 n  1 (n  2) 2  (n  2)  1 n3  1
xn1 n  2.
2
n3
(n  1)2  (n  1)  1

f  n  f  n  2 
1
1  3  xn1 n  2 trong đó f  x   x 2  x  1.
2 

 f  n  1   n 

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


f  n  1
1  f  n  2

xn  1  3 
xn1 n  2.
f  n
 n  f  n  1
n
f  n  1
1
1


Đặt un 
xnn  1  un  1  3  un1   1  3 .
k 
f  n
 n 
k 1 

 xn 

f  n
n2  n  1 n 
1

un  2

1  3 .
f  n  1
n  n  1 k 1  k 
n 1


k 1 

Với mỗi n nguyên dương, đặt un   1 
n2  n  1
 1, theo Bài 17
n n 2  n  1

Ta có lim

n2  n  1
1
Ta
có
x

un n  N *.
.
n
2
3 
n  n 1
k 

 un  hội tụ. Vậy  yn  hội tụ.

Bài 19. (Sử dụng Hệ quả 4). Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán của Việt Nam, 2011.
2n n1
Cho dãy số thực  xn  xác định bởi x1  1, xn 
. x n  2, n  N .
2  i
n

1
  i1
Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn  xn1  xn . Chứng minh rằng dãy số  yn  có giới hạn
hữu hạn khi n  .
n 1
2n n1
(n  1)2
Cách giải: xn 
xi 
xn .
 xi  
(n  1)2 i 1
2n
i 1


2(n  1) n
2(n  1)  n1
 2(n  1)  (n  1) 2
xn1 

xi 
xi  xn  
 xn  xn .




2
2
2
n
n
n
i 1
 i 1

 2n


 xn1 

xn1 
(n  1)(n2  1)
1  xn
x


1

n  N *.

n

3
2 
n
n 1  n  n

n
n
xk 1
xn1
1  xk
1 x



  1  2 

  1  2  1 n  N *.
k k
n  1 k 1  k  1
k 1 k  1
k 1 
n

n 1
1 
1



 xn1   n  1  1  2   xn  n 1  2 .
k 
k 
k 1 
k 1 
n
n 1
1 
1 


 yn  xn1  xn   n  1  1  2   n 1  2 .
k 
k 
k 1 
k 1 
n


1   n1 
1   1 1  n1 
1 

 yn   n  1 1  2   n   1  2   1   2   1  2 .
 n   k 1  k   n n  k 1  k 

n 1
1 

 1 1

Với mỗi n nguyên dương, đặt un   1  2 . Ta có yn  1   2  un n  N *.
k 
 n n 
k 1 



1 


Ta có lim 1   2   1, theo Bài 16  un  hội tụ. Vậy  yn  hội tụ.
n
n n
1

Nhờ khai triển Taylor, ta có thể đề xuất các bất đẳng thức, từ đó đề xuất các bài giải
phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá.
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


Bài 20. (Sử dụng Hệ quả 4). Giải phương trình e x  1  x.
Cách giải: Sử dụng Bài 5, phương trình có tập nghiệm S  0.
Bài 21. (Sử dụng Hệ quả 4). Giải phương trình 10 x  1  x .
Cách giải: Sử dụng Bài 6, phương trình có tập nghiệm S  0.
Bài 22. (Sử dụng Hệ quả 4). Giải phương trình x  1  ln x.
Cách giải: Điều kiện x  0. Đặt t  ln x. Phương trình trở thành et  1  t.
Sử dụng Bài 20, ta có t  0  x  1.
x 2  1  1  log x 2  1.

Bài 23. (Sử dụng Hệ quả 4). Giải phương trình

Cách giải: Đặt t  log x2  1, t  0. Phương trình trở thành 10t  1  t.
Sử dụng Bài 6, ta có t  0  x  0.
x2
x
Bài 24. (Sử dụng Hệ quả 5). Giải phương trình e  1  x  .
2
Cách giải: Sử dụng Bài 9, phương trình có tập nghiệm S  0.
Bài 25. (Sử dụng Hệ quả 5). Giải phương trình 10
Cách giải: Đặt t  x ln10  10 x  et  et  1  t 

x

 x ln10 
 1  x ln10 

2

2

.

t2
 t  0  x  0.
2

Bài 26. (Sử dụng Hệ quả 5). Giải phương trình
ln 2 2  ln 2 3  ln 2 5 2
x
x

x
2  3  5  3  x ln 30 
x.
2
ln 2 2  ln 2 3  ln 2 5 2
Cách giải: 2 x  3x  5x  3  x ln 30 
x.
2
 2 3 5
x

x

x

 x ln 2
 1  x ln 2 

2

2

 x ln3
 1  x ln3 

2

2

 x ln5

 1  x ln5 

2

.

2

Sử dụng kết quả Bài 8, ta có:
Nếu x  0 thì
e

x ln 2

 x ln 2
 1  x ln 2 

2

2

2 3 5
x

x

x

,e

e

 x ln3
 1  x ln3 

2

 x ln 2
 1  x ln 2 
2

2

,e

2

2

 x ln 2 
 1  x ln 2 

Nếu x  0 thì
x ln 2

x ln 3

x ln 3

2

,e

x ln 5

,e

x ln 5

 x ln5
 1  x ln5 

2

2
2
2
x ln 3
x ln 5


 1  x ln 3 
 1  x ln 5 
.
2
2

 x ln3
 1  x ln3 
2

2

 x ln5
 1  x ln5 
2

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

.

2

.


2 3 5
x

x

x

 x ln 2 
 1  x ln 2 
2

2

 x ln 3

 1  x ln 3 

2

 x ln 5
 1  x ln 5 

2
2
2
ln 2  ln 3  ln 2 5 2
x
x
x
Nếu x  0 thì 2  3  5  3  x ln 30 
x.
2
Vậy, phương trình có tập nghiệm S  0.

2

2

.

3.4)Hàm số f  x   ln 1  x  , x   1;  .
f ' x  

1
1

2
3
, f ''  x  
, f    x 
.
2
3
x 1
x

1
x

1
 
 

x2
P f ,1,0  x   x, P f ,2,0  x   x  .
2
x2
x  0.
2
g  x
lx n

Bài 27. (Sử dụng Hệ quả 4 và 5). Chứng minh rằng x  ln 1  x   x 
Cách

giải:

Xét

sự

biến

thiên

của

các

hàm

số

1 


x2 
h  x   ln 1  x    x   .
2

Bài 28. (Sử dụng Hệ quả 4).
n

1
a)Cho dãy số  un  thỏa mãn un    ln  n  1 ,n  N *. Chứng minh rằng dãy số có
k 1 k

giới hạn hữu hạn.
b)Cho các hằng số nguyên dương a, b (avn 

bn

1
n  N *. Tìm lim vn
n
k  an 1 k



c)Cho dãy số  wn  thỏa mãn wn 

2016 n



k  n 1

e

1
k

2016

k

n  N *. Tìm lim wn
n

Cách giải:
1
1
 n 1

a) un1  un    ln  n  2     ln  n  1  
 ln  n  2   ln  n  1.
k 1 k
 k 1 k
 n 1
1
1 

*
un1  un 
 ln 1 
 n  N .
n 1
 n 1
1 
1
1
1 






ln
1

Theo Bài 27 ln 1 


  0  un1  un  0.
 n 1 n 1 n 1
 n 1
 un1  unn  N *   un  là dãy tăng
n 1

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

x ,


Với hàm số f  x   ln x, x   0;   , k  N * , theo định lí Lagrange, tồn tại xk   k ; k  1
f  k  1  f  k 
1
 f '  xk   ln  k  1  ln k  .
xk
 k  1  k

thỏa mãn

1
1
 ln  k  1  ln k  .

k 1
k
n
n 1
n 1
1
1
 ln  n  1  1  
 ln  n  1  1   ln  k  1  ln k   ln  n  1.

k 1 k
k 1 k  1
k 1
 un  1  ln n  ln  n  1  1.


 un 

tăng và bị chặn nên có giới hạn hữu hạn.

 bn 1

b) lim  ubn  uan   0  lim    ln  bn  1  ln  an  1  0.
n
n
 k an1 k

1
b
bn  1

n  ln b .
lim ln  bn  1  ln  an  1   lim ln
 lim ln
n
n
an  1 n a  1
a
n
bn

bn

1
k

m

1
b
e
b
 ln  lim 
 ln .
n
a n k an1 k
a
k  an1 k

 lim



bn

1
b
 ln ).
n
a
k  an 1 k

(Nhận xét: Ta có thể sử dụng tích phân để có ngay kết quả lim
1



1
k

1
1 1
 1  2016 
k  N *.
2
2016
k
k 2
k
1
1 1

1
1


1

2016 n
2016 n
2016
2016
k 2 2016 k 2
k w 
 

n
k
k
k  n 1
k  n 1

c)Theo Bài 9, ta có: 1  2016

e

2016

2016 n

2016 n
1 2016 n 1

1 2016 n 1
1 2016n 1
    2017  wn     2017   1009 n  N *.
2 k n1 1008
k  n 1 k
k n 1 2016
k n 1 k
k n 1 2016
k
k
k

Sử dụng bổ đề trong Bài 16, ta có
2016 n

lim

n

1



k  n 1

k

2016 n

lim

n

1



k n 1

2017
2016

k

1009
1008

n

1

 lim  v2016 n  vn   0, vn  
n

k 1

 lim  v '2016 n  v 'n   0, v 'n 
n

k

2017
2016

2016 n

1



k n 1

.

k

1009
1008

.

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


2016 n

Theo Bài 27.b ta có
Vậy

n

1

 k  ln 2016.

lim

k  n 1

lim wn  ln 2016.

n

Bài 29. (Sử dụng Hệ quả 4). Đề thi thử Đại học lần 3 năm 2016 của Trường THPT
Nguyễn Tất Thành – Đại học Sư phạm Hà Nội.

Cho các số dương x, y, xy  x 2  y 2   x3  y 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

 ln x   ln y 
P  2   2  .
 x   y 
Trước hết, tác giả của Bài 29 xin giải thích con đường ra đời bài toán này
ln 1  x   x x  1  ln x  x  1 x  0.
3

1 1
1
1
ln x 1 1

 ln   1 x  0   ln x   1 x  0  ln x  1   2  2  3 .
x x
x
x
x
x
x
ln y 1
1
Chứng minh tương tự 2  2  3 .
y
y
y
2
2
3
3
ln x ln y 1 1
1
1 xy  x  y   x  y
 2  2  2 3 2 3
 0.
x
y
x
x
y
y
x3 y 3
3

3

ln x
ln y  ln x   ln y 
 ln x   ln y 
  2   2     2    2    2   0.
2
x
y
 x   y 
 x   y 
3

3

1
Như vậy, lời giải của bài toán bắt đầu từ việc phát hiện ra bổ đề ln x  1  x  0.
x
x 4 x6
Bài 30. (Sử dụng Hệ quả 5). Giải phương trình ln 1  x 2   x 2    0.
2
3
Cách giải: x  0 là nghiệm.
x4
2
2
2
Nếu x  0 thì x  0  ln 1  x   x  .
2

x 4 x6
x4
x 4 x6 x6
 ln 1  x 2   x 2    x 2   x 2     0.
2 3
2
2 3
3
Vậy phương trình có tập nghiệm S  0.

Bài 31. (Sử dụng Hệ quả 4 và 5). Cho p * , xét dãy số  un  xác định bởi

1p 
2 p 
3p  
np 
un  1  p1 1  p1 1  p1  ...1  p1  n  N *.
 n  n  n   n 
Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Cách giải: Theo Bài 30, ta có:
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


x2
kp
k2p
kp
kp
 ln(1  x)  x x  0  p1  2 p2  ln(1  p1 )  p1 .

2
n
2n
n
n




1p 
2p 
3p 
np 
ln un  ln 1  p1   ln 1  p1   ln 1  p1   ...  ln 1  p1  .
 n 
 n 
 n 
 n 
x

n
 kp
k2p 
kp
   p1  2 p2   ln un   p1 .
2n
k 1  n
k 1 n

n

1p  2 p  ...  n p 12 p  22 p  ...  n2 p
1p  2 p  ...  n p


 ln un 
.
n p1
2n 2 p  2
n p1
12 p  22 p  ...  n2 p n.n2 p
1
12 p  22 p  ...  n2 p
Ta có 0 
 2 p2 
 lim
 0.
2n 2 p  2
2n
2n n
2n 2 p  2
1p  2 p  ...  n p
1
Ta chứng minh lim

.
p 1
n
p 1

Áp dụng định lí Stolz cho hai dãy xn  1p  2 p  ...  n p , yn  n p1.
xn  xn1
np
1
lim
 lim p 1
 lim
p

1
n y  y
n n
n
1
 (n  1)
n
n 1
n  n(1  ) p1
n
1
1
1
p 1
 lim

 limln un 
 lim un  e.
n
1
p 1


 p 1
n  n 1  ( p  1)  ...
n


3.5)Hàm số f  x   sin x.

f

n

 x   sin  x  n




, f
2

2n

 0   0, f 2n1  0    1

n

.

x3
x3 x5

P f ,1,0  x   x, P f ,3,0  x   x  , P f ,5,0  x   x  
.
6
6 120
1 x 2 k 1

P f ,2 n1,0  x   
k 0  2k  1!
n

k

.

x3
Bài 32. (Sử dụng Hệ quả 4 và 5). Chứng minh rằng x   sin x  x x  0.
6
Cách giải
+) Trước hết, ta chứng minh sin x  x x  0.

x  1, bất đẳng thức đúng vì sin x  1  x
Xét x  0;1, f  x   sin x  x nghịch biến trên x  0;1, x  0;1  f  x   f  0 .
 f  x   0  sin x  x.
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


Vậy sin x  x x  0.
+) sin x  x x  0  sin

x x

x x2
  sin 2  x  0.
2 2
2 4

1  cos x x 2
x2

 x  0  1   cos x x  0.
2
4
2
3
x
Hàm số g ( x)  x   sin x nghịch biến trên 0;   , x  0  g  x   g  0 .
6
x3
 g  x   0  x   sin x x  0.
6
Bài 33. (Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994, tr.82 )

x3
x3 x5
Chứng minh rằng x   sin x  x  
x  0.
6
6 120
x2 x4
Cách giải: Sử dụng bất đẳng thức cos x  1  
x  0 và xét sự biến thiên của hàm

2 24
x3 x5
số y  x  
 sin x.
6 120
Bài 34. (Sử dụng Hệ quả 4 và 5).
1
1
1
1 

 sin
 ...  sin
 sin
.
Tính lim sin

n
n

1
n

2
2016
n

1
2016
n



1
1
1 1 2016 n  1
1  2016 n 1 2016n 1
Cách giải: Theo Bài 30, ta có  3  sin      3    sin   .
k 6k
k k
6k  k n1 k k n1 k
k n 1  k
2016 n

1 1 2016 n 1 2016 n 1 2016 n 1
    3   sin   .
6 k n1 k k n1 k k n1 k
k n 1 k
0

2016 n

2016 n
1 2016 n 1 2015n 2015
1




lim
 0.




3
3
3
2
3
n
n
n
k n1 k
k n1 n
k n1 k
2016 n

Mặt khác ta có lim

n

1

 k  ln 2016.

k  n 1

1
1
1
1 


 lim sin
 sin
 ...  sin
 sin
 ln 2016.
n
n2
2016n  1
2016n 
 n 1
Bài 35. (Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994, tr.85)
a0  
.
Cho số thực    0; . Dãy số  an  được xác định như sau 
*
a

sin
a

n

N
n 1
 n
Xét dãy số  bn  được xác định như sau bn  nan2 n  N *. Chứng minh rằng
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

a)  bn  là dãy số bị chặn trên.

b)  bn  là dãy số tăng.

Cách giải
a)Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp
0  an 

Xét n=1, 0  a1  sin   1 

3
n  N *.
n 1

3
, mệnh đề đúng với n=1.
2

Giả sử mệnh đề đúng với n  k  N * , tức là 0  ak 
Vì 0  ak 

3
.
k 1

3
3 
3

 nên 0  sin ak  sin

.
k 1
2 2
k 1
3

5

3
3
1
3 
1 
3 
Theo Bài 31, ta có sin

 
 

 .
k 1
k  1 6  k  1  120  k  1 
2
4
3  1
3 
1 
3 
1  
 sin ak 

 


k  1  6  k  1  120  k  1 


 ak 1 


.



3  1 3
1
9 

.
1  .
.
k  1  6 k  1 120  k  12 

Ta sẽ chứng minh

3  1 3
1
9 
3

.


.
1  .
2
k  1  6 k  1 120  k  1 
k 2

Bất đẳng thức trên tương đương với 1 
1

1
3
k 1


.
2
2  k  1 40  k  1
k 2

1 1
3
1


2 k  1 40  k  12

1
1
1

k 1

.

1
2

1 
1 1
3
1

 1 

 0.
 1
2 k  1 40  k  12
 k 1
1
1
3
 1
Xét hàm số f  x   1  x  2  1  x  x 2 , x  0;  .
2
40
 2

f ' x  

3

1
1 3
1
1

x
  2   x, x  0;  .
2
2 20
 2

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội




5
3
3
3
5
f ''  x   1  x  2 
 
 1 .

4
20 20  1  x 5







3 
5
3  800 
 1
x  0;  , f ''  x   
 1  
 1  0.
5
2
20
20
243




 1  1 



  2 


 1
x  0;  , f '  x   f '  0   f '  x   0.
 2
 1

x   0;  , f  x   f  0   f  x   0 
 2

 1 
f
  0.
 k 1

1

1 2
1 1
3
1

 1 

1


 0.

2 k  1 40  k  12
 k 1

Mệnh đề đúng với n  k  1. Vậy 0  an 

3
n  N *.
n 1

 nan2  3 n  N *  bn  3 n  N *.

x3
b) Ta có sin x  x   0 x   0;2.
6
2


an3 
2
2
 bn1   n  1 an1   n  1 sin an   n  1  an   .
6

2


an3 
an2 an4 
an2 
2
2
 n  1  an     n  1 an 1      n  1 an 1  .
6
3 36 
3




3 

2


 a 
3
1 

2
0  an 
  n  1 an2 1  n    n  1 an2 1  n  1    n  1 an2 1 
  nan
n 1
3
3 
 n 1




 bn1  bn .

3.6)Hàm số f  x   cos x, x  R.
f

n

 x   cos  x  n




, f
2

 2n

 0   1

n

,f

2 n 1

 0   0.

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


n
1 x 2 k
x2
x2 x4

P f ,2,0  x   1  , P f ,4,0  x   1   , P f ,2 n,0  x   
.
2
2 24

 2 k !
k 0
k

Bài 36. (Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994, tr.82 )
Chứng minh rằng 1 

x2
x2 x4
 cos x  1  
x  0.
2
2 24

x2 x4

 cos x.
2 24
Bài 37. Đề thi Olympic Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, 2013

Cách giải: Sử dụng kết quả của Bài 31 và xét hàm số y  1 
1  x  x5  3 3x  1
Giải phương trình sin x 
.
x2  1

1  x  x5  3 3x  1
Cách giải: sin x 
 1  x  x5  3 3x  1   x 2  1 sin x
2

x 1
 x5  1  x  3 3x  1   x 2  1 sin x  0.

Xét f  x   x5  1  x  3 3x  1   x 2  1 sin x.
f ' x   5x4  1 

1
3 3  3x  1

2

 2 x sin x   x 2  1 cos x, x 

f '  x   5 x 4  1  2 x sin x   x 2  1 cos x, x 

1
.
3

1
.
3

Xét g  x   5x 4  1  2 x sin x   x 2  1 cos x, x  R, g  0   0.
Ta có g   x   g  x  x  R. Ta sẽ chứng minh g  x   0 x  0.

 x2 
x3 
2
x  0, g  x   5 x  1  2 x  x     x  1 1  .

6
2


4

x4
x4 x2
2
x  0, g  x   5 x  1  2 x   x  1   .
3
2 2
4

2

 1
x  0, g  x   4 x 4  x 2  0. Do đó g  x   0 x  R  f '  x   0 x  R \  .
3
 1
f '  x   0 x  R \   và f  x  là hàm liên tục trên R nên f  x  đồng biến trên R.
3
Vì f  x  đồng biến trên R, f  0   0 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 0.

Bài 38. Đề thi Olympic Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, 2009

 x1  2009
Cho dãy số thực  xn  xác định bởi 
.
3 6 x  6sin x , n  N *

x


n

1
n
n

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


Chứng minh rằng dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Cách giải
Sử dụng bất đẳng thức x  sin x x  0 và phương pháp quy nạp ta có xn  0 n  N *.
xn  0  sin xn  xn 

xn3
 xn3  6 xn  6sin xn  xn  3 6 xn  6sin xn .
6

 xn  xn1 n  N *.

 xn  giảm knn và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.

Giả sử lim xn      0,  6  6sin   sin    
3

n

3
6

   0.

1
 
3.7)Hàm số f  x   tan x, x  0;  , f '  x  
. Ta có P f ,1,0  x   x,
cos 2 x
 2
 
Bài 39. Chứng minh rằng tan x  x x   0;  .
 2
 
Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số y  tan x  x, x  0; .
 2
3.8) Một số hàm số khác
x
  1
 2
 n 
, x  0. Tính lim  f  2   f  2   ...  f  2   .
Bài 40. Cho f  x  
n
x 1
n 
 n 
 n 
Bài 40 được tác giả của bài viết tham khảo từ đề thi Olympic Trường THPT Thực hành

sư phạm Đại học An Giang.
x
x2
Với hàm f  x  
, ta có P f ,1,0  x, P f ,2,0  x  . Ta có thể chứng minh được
2
x 1
x2
x   f  x   x x  0. Nhờ khai triển Taylor, ta có thể mò mẫm, dự đoán và kiểm
2
nghiệm được kết quả trên. Trong đề thi Olympic Trường THPT Thực hành sư phạm Đại
x2
học An Giang, có nội dung chứng minh x   f  x   x x  0.
2
Bài 41. Đề chọn đội tuyển Toán THPT tỉnh Cần Thơ
 x 2  xy  2 y 2  y 2  xy  2 x 2  2  x  y 

.
Giải hệ phương trình 
8 y  6 x  1  2  x  2 y  4 y  2  3










Cách giải:Điều kiện x  2, y  2. Xét f  t   t 2  t  2, ta có
f 't  

2t  1

3
3
3t  5
,
f
1

2,
f
'
1

,
P
t

t

1

2

.









f
,1,1


4
4
4
2 t2  t  2

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


Ta sẽ chứng minh

t2  t  2 

3t  5
t  0.
4

7  t  1
3t  5
9t 2  30t  25
2

t  0 ta có t  t  2 
t t 2

 0.
4
16
16
3t  5
Vậy t 2  t  2 
.
4
2

2

2

x x
 y y
Với x, y  0, ta có x  xy  2 y  y  xy  2 x  y     2  x     2
x x
 y y
x
y
3 5
3 5
y
 x 2  xy  2 y 2  y 2  xy  2 x 2  y
x x
 2  x  y .

4
4
Từ đây ta giải được hệ phương trình đã cho nhờ tính chất x  y.
Bài 42. Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng
2sin A  2sin B  2sin C  3tan A  3tan B  3tan C  5 .
3
 
f  x   2sin x  3tan x, x  0;  , f '  x   2cos x 
,P
 5 x.
cos 2 x  f ,1,0
 2
2

2

2

2

2

 
Cách giải: Sử dụng bổ đề 2sin x  3tan x  5 x x   0; .
 2
4. Bài tập đề nghị
n 
1 
Bài 43. Chứng minh rằng  1 
  9 n  N , n  2.

k
k

1
k 1




n
1

Bài 44. Chứng minh rằng  1  2   9 n  N , n  2.
k 
k 1 
1
Bài 45. Cho a, b, c, d  0, a  b  c  d  . Chứng minh rằng
2
 a2  2a  2b2  2b  2 c2  2c  2 d 2  2d  2  27,2.

Bài 46. Cho a, b, c, d  0, a  b  c  d  5. Chứng minh rằng

a

2

 1 b2  1 c 2  1 d 2  1  46.

an
Bài 47. Cho các hằng số a  1, k  N . Chứng minh rằng lim k  .

n 
n
Bài 48. Cho các hằng số a  0, x  R. Chứng minh rằng
a)Nếu x   ;0   1;   thì a x  1  x  a  1 b)Nếu x   0;1 thì a x  1  x  a  1.
*

Bài 49. Cho a, b  1, a  b. Giải phương trình a x  b x  2  x  a  b  2 .
Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội


Bài 50. Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010-2011
1 1 1
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2  2  2  1. Tìm giá trị lớn nhất của
a b c
1
1
1
biểu thức P 


.
2
2
2
2
2
2
5a  2ab  2b
5b  2bc  2c
5c  2ca  2a

Bài 51. Cho x  0, a  1. Chứng minh a

x

 x ln a 
 1  x ln a 

2

 x ln a 
 ... 

n

 n  N .
*

2
n!
x 2 ln 2 2
Bài 52. Cho x  0. Chứng minh rằng 2 x  1  x ln 2 
.
2
Bài 53. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có
A 
B 
C

a) 1  sin 1  sin 1  sin   e3 . b) 1  cos A1  cos B 1  cos C   e3 .
2 

2 
2

Bài 54. Chứng minh rằng các dãy số sau hội tụ
n
n
n
1 
1
1 



*
a) un   1  2 , n  N *. b) un   1 
c)
u

1

, n  N *.
,
n

N
.

n



3 
k 
k 
k k
k 1 
k 1 
k 1 

n
1
1 

d) un   1 
 3 , n  N *.
k k 2k 
k 1 
Bài 55. (Sử dụng Bài 13). Cho các số thực dương x1, x2 ,..., xn thỏa mãn x1x2 ...xn  1.
n

Chứng minh rằng

e
k 1

ln xk

n

 n  2  ln xk  .
2

k 1

Bài 56. (Sử dụng Bài 36).
1
1
1
1


Tính lim cos
 cos
 ...  cos
 cos
 n .
n
n 1
n2
2016n  1
2016n


Bài 57. (Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994, tr.84)
Cho k  N , chứng minh rằng
a)sin x  x 

x3 x5
x 4 k 3
x 4 k 5
  ... 


x  0.
3! 5!
 4k  3!  4k  5!

x3 x5
x 4 k 1
x 4 k 3
b)sin x  x    ... 

x  0.
3! 5!
 4k  1!  4k  3!

Bài 58. (Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994, tr.84)
Cho k  N , chứng minh rằng
a)cos x  1 

x2 x4
x 4 k 2
x 4 k 4
  ... 

x  0.
2! 4!
 4k  2 !  4k  4 !

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

x2 x4
x4k
x 4 k 2
b)cos x  1    ... 

x  0.
2! 4!
 4k !  4k  2 !

5. Kết luận
Bài viết trình bày lại khai triển Taylor của một hàm số khả vi liên tục cấp cao và đưa
ra nhiều hệ quả của khai triển này. Đồng thời, tác giả trình bày lại khai triển Taylor 7
hàm số thường gặp và ứng dụng của các khai triển đó. Thông qua khai triển Taylor, tác
giả làm sáng tỏ một con đường tìm đến các bổ đề giải một số bài toán liên quan đến bất
đẳng thức và làm sáng tỏ một con đường đưa đến các bài toán mới. Giáo viên THPT có
thêm một định hướng để sáng tác nhiều bài toán mới về bất đẳng thức và ứng dụng của
bất đẳng thức. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh mò mẫm và dự đoán về điều kiện xảy
ra đẳng thức trong một số bài toán bất đẳng thức, dự đoán về nghiệm của phương trình
trong một số bài toán giải phương trình, từ đó chọn x0 phù hợp để thực hiện khai triển
Taylor.
6.Tài liệu tham khảo
1. Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994.
2. Nguyễn Vũ Lương, Các bài toán về hàm mũ và loga, Nhà xuất bản Giáo dục, 2013
3.Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, Giáo trình Lý thuyết và bài tập có hướng dẫn, Tập 1,
Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2010.
4. Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán 11, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
Hà Nội, 2014.

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội