Ứng dụng của Maple vào dạy và học nội dung hàm số.doc

Lời giới thiệu
Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề được tất cả các thầy, cô giáo
và những người làm trong lĩnh vực giáo dục quan tâm. Đặc biệt là vấn đề đổi mới
phương pháp giáo dục phổ thông.
Môn Toán trong nhà trường phổ thông có vai trò quan trọng, hơn nữa môn
Toán được đánh giá là một môn khó đối với cả người dạy và người học. Câu hỏi
đặt ra là: làm thế nào để việc dạy và học môn Toán trở lên thuận lợi hơn? Có hiệu
quả hơn?
Maple là một phần mềm Toán học có khả năng ứng dụng trong hầu hết các
nội dung của môn Toán trong nhà trường phổ thông. Với khả năng tính toán, minh
họa của mình, Maple là một công cụ rất tốt, giúp cho giáo viên và học sinh thuận
lợi hơn trong quá trình tìm hiểu và học tập môn Toán.
Dưới đây là một ứng dụng của Maple trong dạy và học
nội dung hàm số
Khai thác Maple ở khả năng thiết lập hàm số bằng cách đặt tương ứng giữa hai đại
lượng khi ta nhập chúng vào chương trình
* Nhập hàm số, câu lệnh
> f:= x-> x^3 - 3*x^2 + 2;
:= f → x − + x
3
3 x
2
2
> g:= x-> (2*x^2-3*x+1)/(x+1);
:= g → x
− + 2 x
2
3 x 1
+ x 1
> h:= unapply(4*x^4 - 3*x^2 - 1,x);
:= h → x − − 4 x

4
3 x
2
1
Có thể cho hàm từng khúc bằng câu lệnh “piecewise”
> k:= piecewise(x<=-1, x^2 -1, x<=1, 1-abs(x), sin(x-
1)/x);
:= k











− x
2
1 ≤ x -1
− 1 x ≤ x 1
( )sin − x 1
x
otherwise
Maple cũng có thể cho hàm dạng tổng quát, sau đó cụ thể bằng lệnh gán các
hệ số bởi các số cụ thể;
> f:= x->a*x^3+b*x^2+c*x+d;
:= f → x + + + a x

3
b x
2
c x d
> a:=2;b:=3;c:=4;d:=-9;f =f(x);
:= a 2
:= b 3
:= c 4
:= d -9
= f + + − 2 x
3
3 x
2
4 x 9
Sau khi xây dựng hàm số xong, Maple cho phép làm hầu hết các công việc
liên quan đến hàm số đó, chẳng hạn như tính giá trị của hàm số tại các điểm nào đó,
tính đạo hàm, nguyên hàm và tích phân, tính giới hạn, xét tính liên tục, khảo sát và
vẽ đồ thị, tìm giao điểm của nó với trục toạ độ, với đồ thị của một hàm số khác, vẽ
được tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại một điểm bất kì trên đồ thị, tìm được min
và max của hàm số trong một miền nào đó…
VD: Hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. (a
≠
0) ;
> f:=x->a*x^3+b*x^2+c*x+d;
:= f → x + + + a x
3

b x
2
c x d
> a:=1;b:=-3;c:=0;d:=2; y:=f(x);
:= a 1
:= b -3
:= c 0
:= d 2
:= y − + x
3
3 x
2
2
Chương trình dưới đây là các lệnh đơn giản được sử dụng để hỗ trợ một bài
toán khảo sát hàm số trong chương trình Đại số lớp 12. Chương trình này gồm các
lệnh tính:
+ Đạo hàm bậc nhất;
+ Giải phương trình để tìm hoành độ các điểm cực trị.
+ Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị;
+ Giải bất phương trình để cho biết tính đồng biến, nghịch biến.
+ Tính giới hạn
+ Vẽ đồ thị hàm số
{Đạo hàm bậc nhất của hàm số y; kí hiệu là y1 = y’}
> y1:=diff(y,x);
:= y1 − 3 x
2
6 x
{Xét sự đồng biến, nghịch biến, cực trị}
> solve(y1,{x});
,{ } = x 0 { } = x 2

> f[0]=f(0);f[2]=f(2);
= f
0
2
= f
2
-2
{Xét sự biến thiên của hàm số }
> solve(y1>0,{x});
,{ } < x 0 { } < 2 x
Hàm số đồng biến khi x < 0; x > 2
> solve(y1<0,{x});
{ },
<
0 x
<
x 2
Hàm số nghịch biến khi 0 < x < 2
Hàm số đạt cực đại tại (0; 2), cực tiểu tại (2; -2)
{Tính giới hạn của hàm số tại vô cùng}
> Limit(f(x),x=infinity)=limit(f(x),x=infinity);
= lim
→ x ∞
− + x
3
3 x
2
2 ∞
> Limit(f(x),x=-infinity)=limit(f(x),x=-infinity);
= lim

→ x ( )−∞
− + x
3
3 x
2
2 −∞
{Xét tính lồi lõm, điểm uốn}
> y2:=diff(y1,x);
:= y2
−
6 x 6
> solve(y2,{x});
{ }
=
x 1
> f[1]=f(1);
= f
1
0
> solve(y2>0,{x});
{ }
<
1 x
> solve(y2<0,{x});
{ }
<
x 1
Đồ thị hàm số lồi khi x < 1, lõm khi x > 1, toạ độ điểm uốn là (1; 0)
{Vẽ đồ thị hàm số}
> plot(f(x),x=-2 4,-3 3,title=`do thi ham so y=x^3-

3*x^2+2`);
Ta cũng có thể tìm được giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên một
miền xác định nào đó bằng câu lệnh “maximize”, “minimize”:
> maximize(f(x),x=-1 3);
2
> minimize(f(x),x=-1 3);
-2
…
Với một hàm số bất kì, để nghiên cứu nó một cách đầy đủ và chi tiết nhất,
không có một cách nào khác là khảo sát hàm số đó. Cũng chính vì lí do đó mà
trong chương trình Toán phổ thông, xuyên suốt nội dung môn Toán, nội dung hàm
số chiếm một lượng rất lớn, nhưng cái đích cuối cùng cũng là việc hướng dẫn cho
học sinh biết cách khảo sát hàm số, từ đó nghiên cứu và khai thác các ứng dụng của
nó, phục vụ cho nhiều nội dung khác.
Trên đây giới thiệu đầy đủ các lệnh trong Maple để có thể hỗ trợ cho một bài
khảo sát hàm số. Với một chu trình như vậy chúng ta có đủ cơ sở để khảo sát một
hàm số bất kì, đặc biệt là những hàm số quen thuộc như hàm số phân thức có mẫu
bậc cao, hàm số có chứa căn, hàm mũ, hàm lượng giác… mà nếu như không sử
dụng phần mềm hỗ trợ thì việc làm đó thực sự rất khó khăn. Chẳng hạn, chúng ta sẽ
khảo sát hàm số
2
2 1
3 2
x
y
x x
−
=
− +
{Lệnh xây dựng hàm số y = f(x)}

> f:=x->(2*x-1)/(x^2-3*x+2);y:=f(x);
:= f → x
− 2 x 1
− + x
2
3 x 2
:= y
− 2 x 1
− + x
2
3 x 2
{Tìm điều kiện để hàm số xác định}
> solve(x^2-3*x+2,{x});
,{ } = x 2 { } = x 1
Vậy hàm số xác định khi x
≠
1 và x
≠
2;
{Tính đạo hàm bậc nhất, kí hiệu y1 = y’}
> y1:=diff(f(x),x);
:= y1 −
2
− + x
2
3 x 2
( ) − 2 x 1 ( ) − 2 x 3
( ) − + x
2
3 x 2

2
{Rút gọn y1 để có kết quả tốt hơn}
> factor(%);
−
− − 2 x
2
2 x 1
( ) − x 1
2
( ) − x 2
2
{Giải phương trình y1 = 0, từ đó suy ra các điểm cực trị}
> solve(y1,{x});
,{ } = x −
1
2
3
2
{ } = x +
1
2
3
2
{Giải các bất phương trình y1 > 0; y1 < 0, từ đó suy ra tính đồng biến,
nghịch biến của hàm số}
> solve(y1>0,{x});solve(y1<0,{x});
,{ }, < −
1
2
3

2
x < x 1 { }, < 1 x < x +
1
2
3
2
, ,{ } < x −
1
2
3
2
{ }, < +
1
2
3
2
x < x 2 { } < 2 x
Hàm số đồng biến trên
1 3 1 3
,1 1,
2 2 2 2
   
− ∪ +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Hàm số nghịch biến trên
( )
1 3 1 3
, ,2 2,

2 2 2 2
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- ¥ - È + È +¥
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
{Tính giá trị cực trị}
> f(1/2-sqrt(3)/2);
−
3
+ +








−
1
2
3

2
2
1
2
3 3
2
> factor(%);
− 2 3 4
> f(1/2+sqrt(3)/2);
3
+ −








+
1
2
3
2
2
1
2
3 3
2
> factor(%);

− − 2 3 4
{Tính các giới hạn, tại các điểm gián đoạn và tại vô cùng};
> Limit(y,x=2,right)=limit(y,x=2,right);
Limit(y,x=2,left)=limit(y,x=2,left);
Limit(y,x=1,right)=limit(y,x=1,right);
Limit(y,x=1,left)=limit(y,x=1,left);
Limit(y,x=infinity)=limit(y,x=infinity);
= lim
→ +x 2
− 2 x 1
− + x
2
3 x 2
∞
= lim
→ -x 2
− 2 x 1
− + x
2
3 x 2
−∞
= lim
→ +x 1
− 2 x 1
− + x
2
3 x 2
−∞
= lim
→ -x 1

− 2 x 1
− + x
2
3 x 2
∞
= lim
→ x ∞
− 2 x 1
− + x
2
3 x 2
0
{Vẽ đồ thị}
> plot(y,x=-1 4,-12 8);
{Giao điểm của đồ thị với trục hoành}
> solve(y,{x});
{ } = x
1
2