Cung song chính quy định hướng trong E3

L

ỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã có những
nhận xét quý báu, động viên giúp đỡ em để em hoàn thành khóa luận này
trong suốt thời gian vừa qua. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành
nhất tới thầy Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện thuận lợi và chỉ bảo tận tình
để em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Lê Thị Hảo

1


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo của các thầy cô giáo trong
khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy
giáo Nguyễn Năng Tâm.
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn. Em xin khẳng định kết quả của đề tài này
không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn
toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Lê T h ị H ảo

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.......................................................................................................... 4
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.............................................................6
1. Không gian Euclid......................................................................................6
2. Hàm vectơ.................................................................................................. 7
3. Cung tham số..............................................................................................8
4. Ánh xạ khả vi............................................................................................. 8
5. Trường vectơ dọc một cung tham số..........................................................9
6. Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số............................................9
3

Chương 2. CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E .....11
3

§1 Cung trong E .......................................................................................... 11
3

1. Cung trong E ........................................................................................11
2. Cung chính quy..................................................................................... 12
3. Cung định hướng...................................................................................12
§2 Độ dài cung. Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy.........................19
1. Độ dài cung........................................................................................... 19
2. Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy.........................22
3. Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy.....................................25
§3 Cung song chính quy trong

3

, độ cong và độ xoắn của nó..................28

1. Độ cong và độ xoắn...............................................................................28
2. Cung song chính quy.............................................................................32
Chương 3. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH
3

HƢỚNG TRONG E ....................................................................................36
KẾT LUẬN.................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................45


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn học nghiên cứu về các số, cấu trúc không gian và các
phép biến đổi. Nói một cách khác người ta cho rằng đó là môn học về “Hình
và Số”.
Bên cạnh sự phát triển của “Số” thì “Hình” cũng là một bộ phận lớn hết
sức phát triển và đa dạng với nhiều môn học như: Hình xạ ảnh, hình Euclid,
hình học vi phân...Trong đó Hình học vi phân là môn có tính hệ thống cao,
chặt chẽ, tính logic, và trừu tượng cao. Ở đó, các khái niệm về cung, cung
song chính quy , cung định hướng...là những khái niệm hết sức cơ bản.Tuy
nhiên, những vấn đề này còn trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại
và hệ thông một cách chi tiết.
Xuất phát từ mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này em đã quyết định chọn đề tài: “Cung song chính quy định hƣớng trong
3

E ” làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao các kiến thức của
3

cung song chính quy định hướng trong E .
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
3

Kiến thức về cung song chính quy định hướng trong E .
3.2. Phạm vi nghiên cứu
3

Khái niệm về cung, cung chính quy, cung song chính quy trong E và
một số bài toán liên quan.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
3

Tìm hiểu về cung song chính quy định hướng trong E .


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phân tích và tổng kết các tài liệu.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu, luận văn gồm các
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
3

Chương 2: Cung song chính quy định hướng trong E .
3

Chương 3: Một số bài tập về cung song chính quy định hướng trong E .


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng ta sẽ nói tới một số định nghĩa, kí hiệu, và
một số định lí cơ bản được sử dụng trong khóa luận này.
1. Không gian Euclid
1.1. Định nghĩa (xem [4], tr. 139)
Cho V là một ¡ - không gian vectơ. Khi đó tích vô hướng trên V
là
ánh xạ:
<. , .> :V V
r ur
x, y a

thỏa mãn 4 tiên đề sau:
r ur ur r
i)
x, y
y, x
r ur r
r ur
r r
ii)
x, y z
x, y
x, z
r ur

r ur
iii)
x, y
r x,r y
x, x 0
iv)
r r
r r0.
x,
0x
x

¡
r ur
x, y

r ur
x, y V
r ur r
x, y, z V
r ur
x, y V ,
r
xV

¡

uur
r
ur

ur
Ta gọi số thực x,
là tích vô hướng của và y .
x
y
r ur
Ngoài ra tích vô hướng còn được kí hiệu bởi x.y .

1.2. Định nghĩa
Không gian vectơ Euclid là một ¡ không gian vectơ nếu trên đó xác
định một tích vô hướng.


Không gian Euclid là một không gian afin liên kết với không gian
Euclid hữu hạn chiều.
Không gian Euclid được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Euclid
liên kết với nó là n chiều.
Ta thường kí hiệu

n

ur
là không gian Euclid n chiều và

n

là không gian

vectơ Euclid n chiều.
ur ur ur n

Với ,
ur ur urur
..cos,.
.

ur ur
bất kỳ, tích vô hướng của hai vectơ vàđược kí
ur ur

hiệu

2. Hàm vectơ
2.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 6)
n

ur
n

:U

Trong
cho U là một tập hợp tùy ý khác rỗng khi đó mỗi ánh xạ
ur ,u a ur
được gọi là hàm vectơ xác định trên U .
(u)

2.2. Định lý (xem [2], tr 6)
Cho U là một tập hợp tùy ý
của
ur

n

:U

ur , u
a

ur
(u) .
Gọi

ur uur

cho hàm vectơ

là một cơ sở trực chuẩn của

uur
e1,e2 ,....,
en

Khi đó, tồn tại duy nhất các hàm số: xi :
U
r
n
ur
xi (u)ei .
x(u)
i L

n,

n.

¡ ,u a
i

x (u) sao cho:


* Nhận xét: Trong

n

cho một hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ

tương ứng và ta gọi các hàm này là các hàm tọa độ.
2.3. Định nghĩa (xem [2], tr. 6)
Cho J là một khoảng trong ¡ .


ur
n

Xét hàm vectơ : J
ur
ur

ur
ur ,t a ur

(t) . Khi đó giới hạn của hàm vectơ (t)
là
(t
t) nếu tồn tại thì được gọi là đạo
li
(t)
hàm của hàm vectơ
m
t 0
t
ur
này tại t. Ta kí hiệu là
(t) .

3. Cung tham số
3.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 16)
n
n
¡ vào
gọi là
từ
một
khoản
g J

Mỗi
ánh
xạ
:J
ntham

.

số (hay một quỹ đạo) trong

3.2. V
í
d
ụ
a)

một
cun
g

n

là ánh
xạ hằng,
(¡

) {O}; ảnh của cung
tham số này

:
¡

là tập chỉ có một điểm O.
b)

:

¡

n

r

r
ur
n

tn là vectơ ≠ 0 của là );
ảnh của
(
r
n

,

(t)

0
đường thẳng đi qua O với vectơ chỉ phương n .
:
¡

n

(t)
0

r r
t n (n
3

ur n
là vectơ ≠ 0
của


), n của
ả h nó

cũng

là đường thẳng nói trên.
4. Ánh xạ khả vi
Định nghĩa: Cho U là
một tập mở trong
m
, V là một tập mở
trong
n
f
f làVmột
,
, p aánh xạ
u
:
thì
f

khả
vi
hà
U n ( (lớp £ k ) nếu
m
với O
p
ur
)
v , O là khả vi (lớp £ k ).
e p
c af
t
(
ơ
p
)
U

n,


Lấy một hệ tọa độ afin trong
p

n

thì: f

f1 p , f2

p

,..., f

n

p .

fi
:
U

¡(i =

1,2,
…,n)

và
ch
ỉ
kh
i
cá
c
hà
m
số
:J

U ,t a

k

£
)
là một khi
hàm
số
trên
U.
Khi
đó f
khả vi
(lớp
f i (i trên U.
Rõ
=
1,2, ràng
…,n) tích
khả các
vi
lớp £
k

ánhlàxạ
khả vi là
(t)
một
ánh xạ khả vi.
Chẳng hạn nếu

cung
tham
số
(khả
vi)
trong
U thì
fo
trong
V.

:J V
là một
cung
tham số
(khả vi)


5. Trƣờng vectơ dọc một cung tham số

xạ
:
J

Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham
số
J , X (t) TE(tn .)
n
mà
ur n

với
mọi t
, ( là một cung tham số
t t (khả vi)
a )

Định
nghĩa:
Cho
:J
t
r
o
n
g

n thì

t (t)
a ( (t), (t)) là một trường
vectơ dọc là

6. Đạo hàm của trƣờng
vectơ dọc cung tham
số
ur
Định nghĩa: Cho
cung tham số:
:J

n

,
t
a

( và cho
t trường
)

ur
ur n
ur
vectơ
dọc , xác
, (t) (
định hàm vectơ : J
(t),
(t))
thể xét trường
vectơ dọc
là: t a
dọc

trong

(t) (
(t),
n.

thì có

gọi là đạo hàm
của

(t))

Ký hiệu trường vectơ

dọc

là:

D
dt

:J

D2
Sau =
dt 2 .
đó,
ur n
có,t a (t) là ánh
thể
xét
trườ
ng
vect
ơ

dọc
, ta
ký ký hiệu
.
hiệu
là


Trong chương này, chúng ta đã xét một số định nghĩa, tính chất, và một
số định lý mang tính chất chuẩn bị. Sau đây, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu
3

hơn về “Cung song chính quy định hướng trong E ”.

10


Chương 2
CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E

3

Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về cung song chính quy
định hướng trong 3 .
§1 CUNG TRONG E
1. Cung trong E

3

3

1.1. Hai cung tham số tương đương
Định nghĩa (xem [2], tr. 69)
Cho I , J là hai khoảng mở trong ¡ . Hàm
số
vi phôi nếu f là một song ánh khả vi và
f
Hai cung tham số
J

:

3

1

là một hàm khả vi.

(t) và r :
I

,t

a

J được gọi là một

f:
I

3

,u

r(u)

a

và r khả vi) gọi là tương đương nếu có vi

( I , J là khoảng trong ¡ ,
phôi:
:J

ta u

1.2. Cung trong

sao cho r o

I
(t)

3

Quan hệ xác định như trên là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương
đương theo quan hệ trên được gọi là một cung. Mỗi cung tham số thuộc một
lớp được gọi là tham số hóa của cung.
Hai tham số hóa của một cung sai khác nhau một vi phôi, ta gọi vi phôi
này là đổi tham số.

14


2. Cung chính quy
2.1. Điểm chính quy
3

Mỗi điểm của cung

trong E được thể hiện trong mỗi tham số hóa

của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hóa:
ta

(t);u a r(u) , nó được thể hiện theo thứ tự t0 và u0 thì: u0

phép biến đổi tham số t a u

(t0 ) ,

là

(t) .

* Chú ý: Ảnh của các tham số hóa của một cung là trùng nhau và
được gọi là ảnh của . Tuy nhiên không thể đồng nhất cung với ảnh của nó,
nhưng để thuận tiện người ta vẫn thường đồng nhất mỗi điểm của
bởi chẳng hạn t0 trong tham số hóa t a

(t) của

gọi tắt đó là điểm t0 hay

xác định bởi t a

(t0 ) của cung

với điểm

xác định
3

(t0 )

và

(t) .

2.1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 70)
Cho cung

xác định bởi
3

:J
Điểm t0

của

ta
mà

(t)

(t0 ) 0 gọi là một điểm chính quy của

(t0 ) 0 thì nó gọi là một điểm kì dị của

còn nếu

.

Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là một
cung chính quy.
* Nhận xét: Các khái niệm trên không phụ thuộc vào tham số hóa của cung.
2.1.2.Ý nghĩa hình học
uuuuuuuuur
ur
r
Ta có (t0 ) (t) (t t0 )( (t0 ) )
(
qua

r

r
→ 0 khi t → t0) nên cát tuyến
uuuuuuuuur (t0 ) (t)

(t0 ) = M0 và (t) =M của cung có một vectơ chỉ phương

t t0

dần


ur (t0 khi
t
tới )

t0 , do đó có thể nói một cách hình ảnh: tiếp tuyến của
điể
m

tại

(t0 )= M0 là “vị trí giới hạn” của các tiếp tuyến M0M khi M
dần tới M0

dọc cung.
2.2. Tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện
2.2.1. Tiếp tuyến (xem [1], tr. 20)
Nếu

(t là điểm chính quy của cung
0 ) đi qua

(t0 ) có vectơ chỉ

thì đường thẳng ( l )

(t0 ) gọi là tiếp tuyến của
tại (t0 ) .

phương Cho
cung tham số:

3

:J
ta
Ta
có
:

1

2

3

x (t), x (t), x (t)

uuuur
(t)

1

2

3

(x ) (t),(x ) (t),(x ) (t)

Phương trình tiếp tuyến:
1

x1(t)

(x1) (t)

2

x2 (t)

(x 2 ) (t)

3

x3 (t)

(x 3 ) (t)

.

2.2.2. Pháp tuyến (xem [1], tr. 20)
Mỗi đường thẳng
đi qua một pháp tuyến
tại (t0 ) .

của

(t và vuông góc với tiếp tuyến ( l )
0 ) gọi là

2.2.3. Pháp diện (xem [1], tr. 20)


Siêu u
( và
ph
) vu
đi
ôn
g
gó
c
với
tiế
p
tuy
ến
(l
)
gọi
là
ph
áp
d

tại
là
m
ặt
p
h
ẳ
n
g
v
u
ô
n
g
g
ó
c
v
ới
(
l
).

(t0 ) , khi


Cho cung tham số :
3

:J

1

ta
Ta có :

uuuur
(t)

2

3

x (t), x (t), x (t)
1

2

3

(x ) (t),(x ) (t),(x ) (t)

Phương trình pháp diện:
X 1 x1(t) (x1) (t)

X2

x2 (t) (x2 ) (t)

2.3. Ví dụ

3

Trong E cho cung đinh ốc tròn:
Chứng minh rằng

(t)

X3

x3 (t) (x3 ) (t)

acost, asin t,bt

(a > 0, b ≠ 0).

là cung chính quy. Viết phương trình tiếp tuyến,

pháp diện tại điểm (t0 ) của

.

Lời giải
Ta có:
(t)

asin t, acost,b
a2

(t)
Do đó:

Vậy

0

(t)

b2

0

0

là cung chính quy.

Tiếp tuyến tại điểm

(t0 ) là:
xacost0
a sin t0

y asin t0
acost0

zbt0
b

Pháp diện tại (t0 ) là:
asin t0 x acost0

acost0 y

asint0

b z bt0

0


3. Cung định hƣớng
3.1. Định nghĩa
3.1.1. Định nghĩa (xem [1], tr. 20)
Định nghĩa: Cho hai cung tham số tương đương
và r :
I

3

,u a r(u) . Giả sử

:J

(t)

3 ,t

I là phép đổi tham số từ

đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm (vì
Suy ra: Hoặc

:J

a

(t)

sang r thì

là vi phôi).

0 với mọi t là điểm trong của J hoặc

(t) 0 với

mọi t là điểm trong của J .
Nếu

(t)

0 ta nói

là phép đổi tham số bảo tồn hướng và nói

và

r là tương đương định hướng.
Ta nhận thấy quan hệ trên là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương
đương theo quan hệ trên được gọi là một cung định hướng.
Vậy: Cung định hướng là một tập hợp tất cả các cung tham số tương
đương cùng hướng với một cung tham số

J

:

3

. Ta gọi

một đại diện hay một tham số hóa của cung định hướng đó.
3.1.2. Ví dụ
Hai cung tham số sau có tương đương định hướng không:
3

:J
ta 0

r:I

J

0,2

r r sin j
cosi

E3

u a 0 cos

u

2

r
u
sin
i

2

r
j

:J

3

là


Hƣớng dẫn tìm (t) :
Ta có :

ur
(t)

r
r( (t))
r
(t)
i sin 2

(t)
r r sin t j
costi
cos
2

Suy
ra:

r
j

(t)
2
(t)
sin t sin 2
cost cos

(t )
2
(t ) 2
(t )
2

t 2k
t 2k
t 2k

(t)

2t

4k

Ta có:

2t

Suy ra:

0 2t 4k

Mặt khác:

4k

3

(1)

2

(0, 2 )
t

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: k = 0.
Suy ra:

(t)

2t

Do đó ta có:

'(t) 2 0 .

.

Lời giải:
Hai cung tham số

và r là tương đương định hướng vì sẽ tồn tại vi phôi
: 0, 2

,3
ta u

bảo tồn hướng thì :

'(t) 2 0

( t J ).

(t)

2t

Ta có:

uuuur

r

r
(t) co
si
rr

uuuur
(r o )
(t
)

sin j
r

r
2t
i sin
2
t (0, 2 )

r( ( r( 2)
r
t)) r cost
2t

sin t j
cos
2t

Suy ra: r o

j

.

Vậy hai cung tham số đã cho là tương đương định hướng.
3.2. Đảo hướng của
một cung định
hướng
3.2.1.Định nghĩa
(xem [1], tr. 20)
Cho hai cung tham
số

3

t
a

:J
có vi phôi đảo
hướng (

t

t

0,

,

t
và

J) :J
u t

r:
I

I,ta

được gọi là cung đảo. hướng của cung
3.2.2.Định nghĩa
Cho cung

là một cung định hướng:

2

:¡
r cost r sin t j
ta 0
Xét vi phôi

:¡

¡

3

,
u
a

r u .Nếu

thì cung


,
Ct
u
na
g
t
h
a
m

u
t
đảo
hướ
ng

(vì

10,

2

s
ố
:
o1 : ¡

r
ua
r u

2

t ¡ ).


r
r u

uur 1
u
o
ur 1
ur
u
cos

2
r
sin ui cosu j

2

r
u i sin
r

u

2

r
uj

3.3. Trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung định hướng
Cho
:J
a

là một cung
3

,t

chính quy

định hướng xác định bởi

t thì rõ ràng trường vecto :U
a

là trường vecto tiếp xúc đơn vị dọc cung

.

U,t

t

t
P

tP


§2 ĐỘ DÀI CUNG. THAM SỐ HÓA TỰ NHIÊN
CỦA CUNG CHÍNH QUY
1. Độ dài cung
1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 31)
Cho cung tham số
mút) [a,b] và giả sử
Với

mỗi

m

i 1

3

: a,b

xác định trên đoạn thẳng (kể cả các

liên tục.
phép

a t0

chia

t1 t2 ...
tm

b,

lập

tổng

. Nếu các tổng đó có cận trên với mọi phép chia như vậy thì
uuuuuuuuuu
ur (ti 1)
(ti )

ta nói cung tham số đó có độ dài cung và độ dài cung đó là cận trên ấy.
1.2. Định lý (xem [2], tr. 31)
Nếu J khả vi lớp £ 1 thì nó có độ dài cung và độ dài cung ấy là:
b

'(t) dt .
a

* Chú ý: Nếu n = 3:
ur (t)
ur (t)
ur

(t)

x(t), y(t), z(t)
x (t), y (t), z (t)
[x (t)]2 +[y (t)]2 +[z (t)]2

Khi đó:
b

b

(t) dt
a

a

[x (t)]2 +[y (t)]2 +[z (t)]2 .

1.3. Ví dụ
3

Trong E tính độ dài các cung đoạn có biểu thức tọa độ Descartes sau
đây:
sin t), a(1cost), 4acos t,
2

a) (t)

a(t

b) (t)
2t

cos t,sin t,cos

c)

acht,asht,at ,

3

3

a

,

0,0 t 2

(0
t 2 )

(t)

a 0,0 t t0

x3 a 2
x,,
,
3a2 2x

d) (x)

a 0, a x 3x

Lời giải
a)

(t)

sin t), a(1cost), 4acos t
2

a(t

a(1cost), asin t, 2a sin t

2

(t)

2 2a sin t
2

(t)

2 2a sin t
2

Do đó:
l(

)

0,2

(2 2asin
4 2acos t 2t )d
2
0

20
b)

(t)
'(t)

2

t

2

3

(0 t 2 )

4
2a
8 2a

0

t

sin d
2 2

3

cos t,sin t,cos2t
3cos2 t sin t,3sin2 t cost, 2sin 2t

'(t)5 sin 2t 2

20

t

.