Hàm với biến phân bị chặn và hàm liên tục tuyệt đối

1

mPackage inputenc Error: Keyboard character used is undefinedin inputencoding
‘utf8’See the inputenc package documentation for explanation.You need to provide a
definition with or before using this key.m3


LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i
2 dưói sn hưóng dan cna TS. Tran Văn Bang.
Em xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô giáo trong
nhà trưòng và các thay cô giáo khoa Toán-Trưòng Đai Hoc Sư Pham
Hà N®i 2 đã giúp đõ em trong suot quá trình hoc t¾p.
Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS. Tran Văn Bang, ngưòi
đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tình hưóng dan em trong quá trình
thnc hi¾n lu¾n văn này.
Em xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân, ban bè đã
đ®ng viên và tao đieu ki¾n đe em hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i, ngày 09 tháng 05 năm 2011
Tác giá

Tran Th% Hoàn


LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i
2 dưói sn hưóng dan cna TS. Tran Văn Bang.
M®t so ket quá đã đat đưoc trong lu¾n văn là mói và chưa tùng

đưoc công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào cna ai khác.

Hà N®i, ngày 09 tháng 05 năm 2011
Tác giá

Tran Th% Hoàn


Mnc lnc

Lài cám ơn

2

Lài cam đoan

3

Má đau

5

1

Hàm vái bien phân b% ch¾n

7

1.1. Bien phân theo tùng điem . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Phép hop các hàm trong BP V (I)......................................27
1.3. Không gian BP V (I)........................................................31
1.4. Chí đo Banach............................................................................ 40
2

Hàm liên tnc tuyêt đoi

48

2.1. Không gian các hàm liên tuc tuy¾t đoi....................................48
2.2. Quy tac đao hàm hàm hop và phép đoi bien.........................73
2.3. Hàm kì d%.......................................................................................... 89
Ket lu¾n

92

Tài li¾u tham kháo

93

4


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Các hàm đơn đi¾u đóng vai trò quan trong trong giái tích co đien.
Neu đe nói ve vi¾c nghiên cúu hàm đơn đi¾u thì có le phái dùng chính
ngôn ngu cna Toán hoc là "vô cùng". Như ta đã biet: Cho khoáng

I ⊂ R. T¾p hop các hàm đơn đi¾u u : I → R không là không gian
vectơ, vì nói chung, hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u thì không đơn đi¾u. V¾y
m®t câu hói đ¾t ra là: Li¾u có the tìm đưoc m®t không gian véc tơ nào
chúa tat cá các hàm đơn đi¾u hay không? Câu trá lòi là có, ngưòi ta đã
sú dung ngôn ngu "Bien phân" đe xây dnng m®t không gian, có tên
là "Không gian tat cá các hàm có bien phân b% ch¾n" chính là
không gian nhó nhat chúa tat cá các hàm đơn đi¾u. Tuy nhiên không
gian này còn khá r®ng đe nghiên cúu moi liên h¾ giua phép tính vi tích
phân và phép tính tích phân (theo nghĩa Lebesgue). Đe khac phuc han
che đó, ngưòi ta lai đi tìm m®t không gian véc tơ nhó hơn "Không gian
tat cá các hàm liên tnc tuy¾t đoi". Các hàm trong không gian này
thóa mãn Đ%nh lý cơ bán ve phép tính vi tích phân đoi vói tích phân
Lebesgue. Mó r®ng roi lai thu hep, moi quan h¾ giua hai không gian trên
như the nào? và chúng có nhung tính chat đ¾c bi¾t gì? Đieu đó, đã thúc
đay em đi đen vi¾c chon đe tài "Hàm vái bien phân b% ch¾n và hàm
liên tnc tuy¾t đoi"nham muc đích tìm hieu ve hai loai hàm trên và
tìm hieu câu trá lòi cho nhung câu hói vùa nêu trên.

2. Mnc đích nghiên cNu
Bưóc đau làm quen vói công vi¾c nghiên cúu khoa hoc và tìm hieu
ve các tính chat đ¾c trưng cna hai không gian: Không gian các hàm có


6

bien phân b% ch¾n và không gian các hàm liên tuc tuy¾t đoi.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Ngiên cúu m®t so đ%nh nghĩa, đ%nh lý, tính chat ve: Hàm vói bien
phân b% ch¾n và hàm liên tuc tuy¾t đoi.

Đưa ra m®t so bài t¾p áp dung các đ%nh lý và các tính chat trên
cùng vói m®t so bài t¾p và ví du phán chúng.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Hàm vói bien phân b% ch¾n và hàm liên tuc tuy¾t đoi.

5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích loi và giái tích
bien phân hi¾n đai.

6. Cau trúc khóa lu¾n
Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham kháo, khóa
lu¾n cna em gom 2 chương:
Chương I: Hàm vói bien phân b% ch¾n.
Chương II: Hàm liên tuc tuy¾t đoi.


Chương 1
Hàm vái bien phân b% ch¾n
Cho khoáng I ⊂ R. T¾p hop các hàm đơn đi¾u u : I → R không
là không gian vectơ, vì nói chung, hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u thì không
đơn đi¾u.
Trong chương này, chúng ta se mô tá không gian véc tơ nhó nhat các
hàm u : I → R chúa tat cá các hàm đơn đi¾u.

1.1.

Bien phân theo tNng điem
Cho khoáng I ⊂ R. M®t phân hoach cna I là m®t t¾p P :=

{x0, x1, ..., xn} ó đó, x0 < x1 < ... < xn.
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R.
Bien phân theo tùng điem (goi tat là bien phân) cúa u trên khoáng I là
giá tr%:

n

Varu := sup,

.

,
|

−1)|

(1.1)

u(xi) − u(xi
i=1

trong đó, c¾n trên đúng đưoc lay trên tat cá các phân hoach P :=
{x0, x1, ..., xn} cúa I, n ∈ N.
Hàm u : I → R đưoc goi là có bien phân huu han ho¾c bien phân b%
ch¾n neu Varu < ∞.
7


8

Không gian tat cá các hàm u : I → R vói bien phân b% ch¾n đưoc
kí hi¾u là: BV P (I).
Nh¾n xét 1.2. Chú ý rang, neu m®t trong các điem đau mút, chang
han b := supI ∈ I thì trong đ%nh nghĩa cúa Varu, ta chs can xét
nhung phân hoach có xn = b. Th¾t v¾y, neu P := {x0, x1, ..., xn}
là m®t phân hoach vói xn < b thì P r := {x0, x1, ..., xn, b} cũng là
m®t phân hoach cúa I và
n

.
i=
1

n

|u(xi) − u(xi−1)| . |u(xi) − u(xi−1)| + |u(b) − u(xn)| ≤
≤
Varu
i=
1

Đe nhan manh sn phu thu®c vào khoáng I, chúng ta thưòng kí
hi¾u VarI u.
Neu khoáng I suy bien túc là inf I = supI thì ta viet VarI u =
0.
Hàm u : I → R đưoc goi là có bien phân huu han đ%a phương
ho¾c bien phân b% ch¾n đ%a phương neu Var[a,b] u < ∞, ∀[a, b] ⊂ I.
Không gian tat cá các hàm u : I → R có bien phân b% ch¾n đ%a
phương đưoc kí hi¾u là BP Vloc (I).
Neu I = [a, b] thì BP Vloc ([a, b]) = BP V ([a, b]).

Neu Ω ⊂ R là m®t t¾p mó thì ta có the viet Ω như hop đem
đưoc các khoáng mó đôi m®t ròi nhau:
[
Ω=
In
n

Khi đó, bien phân cna u : Ω → R đưoc đ%nh nghĩa bói:
.
Varu :=
Var
I u
n
n

và u đưoc goi là có bien phân b% ch¾n trong Ω neu Varu < ∞.
Không gian tat cá các hàm u : Ω → R có bien phân b% ch¾n
cũng đưoc kí hi¾u là: BP V (Ω).


Neu u : I → Rd thì ta đ%nh nghĩa bien phân cna u giong như Đ%nh
nghĩa 1.1 nhưng giá tr% tuy¾t đoi bây giò đưoc thay the bói chuan trong
Rd .
Không gian tat cá các hàm u : I → Rd có bien phân b% ch¾n
(bien phân b% ch¾n đ%a phương) đưoc kí hi¾u là BP V (I; Rd)(tương
úng,
BP Vloc (I; Rd)).
Sau đây là m®t so bài t¾p:
Bài t¾p 1.3. (i)Neu u : [a, b] → R khá vi khap nơi và đao hàm ur
cúa nó b% ch¾n thì u ∈ BP V ([a, b]).

(ii)Neu u : [a, b] → R khá vi khap nơi và ur khá tích Riemann thì u
∈
BP V ([a, b]) và
Varu =

¸

b

|ur(x)| dx.

a

Đoi chieu vói đ%nh lý Katznelson-Stromberg dưói đây.
Bài t¾p 1.4. Cho u : [0, 1] → R đưoc đ%nh nghĩa bói:
.
neu 0 < x ≤ 1,
x
u(x) :=
1b
a
x .sin
0
neu x = 0.
trong đó a, b ∈ R. Vói giá tr% nào cúa a,b hàm u có bien phân b%
ch¾n. Chúng minh rang ton tai các giá tr% a, b sao cho vói a, b đó u
có bien phân b% ch¾n nhưng ur không b% ch¾n.
Bài t¾p 1.5. Cho u, v ∈ BP V ([a, b]).Chúng minh rang:
(i)u ± v ∈ BP V ([a, b]).
(ii) u · v ∈ BP V ([a, b]).

(iii)

Neu v(x) ≥ c > 0, ∀x ∈ [a, b] và vói c > 0v ∈ BP V ([a, b]).
thì

u

(iv)Đieu gì se xáy ra neu ta thay the [a, b] bói m®t khoáng bat kỳ I ⊂
R
(có the không b% ch¾n)?


Chúng ta chuyen sang m®t vài tính chat chung cna hàm vói bien
phân b% ch¾n.


M¾nh đe 1.6. Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R. Khi đó ta có
(i)Vói moi c ∈ I,
sup |u(x)| ≤ |u(c)| + Varu.
x∈I

Do đó, neu u ∈ BP V (I) thì u b% ch¾n.
(ii)Neu c ∈ I, thì
VarI∩(−∞,c] u + VarI∩[c,∞)u = Varu.
(iii)Neu I không chúa đau mút phái cúa nó thì
lim
x→(supI)

−

VarI∩(−∞,x] u = Varu.

Đong thòi,neu I không chúa đau mút trái cúa nó thì
lim
x→(inf I)

+

VarI∩[x,∞)u = Varu.

Chúng minh. (i)Co đ%nh c ∈ I. Vói moi x ƒ= c, xét phân hoach P
:=
{c, x}. Khi đó
|u(x)| ≤ |u(c)| + |u(x) − u(c)| ≤ |u(c)| +
Varu,
và vì
v¾y

sup |u(x)| ≤ |u(c)| + Varu.
x∈I

(ii)Goi I1 := I ∩ (−∞, c] và I2 := I ∩ [c, +∞). Giá sú P := {x0, x1,
..., xn}
và Q := {y0, y1, ..., ym} là phân hoach cna I1 và I2. Theo Nh¾n xét
1.2 ta có the giá sú rang xn = y0 = c. Khi đó, P ∪ Q là m®t phân
hoach cna I và vì v¾y
n

.
i=1

m

|u(xi) − u(xi−1)| . |u(yi) − u(yi−1)| ≤ Varu.
+
i=
1

Đau tiên, lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach P cna I1 sau đó
lay trên tat cá các phân hoach Q cna I2 ta có ket quá:
VarI1 u + VarI2 u ≤ Varu.


Đáo lai, giá sú P := {x0, x1, ..., xn} là m®t phân hoach cna I. Lay
m ∈ {1, 2, ..., n} sao cho xm−1 ≤ c ≤ xm. Khi đó, P1 := {x0, x1, ...,
xm−1, c}
và P2 := {c, xm, ..., xn} tương úng là các phân hoach cna I1 và I2, do
đó
n

.
i=
1

m−

|u(xi) − u(xi−1)| 1 |u(xi) − u(xi−1)| + |u(xm) ± u(c) −
.
=
u(xm−1)|

i=
1

n

.

+

|u(xi) − u(xi−1)|

i=m
m−1 +1

≤

.

|u(xi) − u(xi−1)| + |u(c) − u(xm−1)|

i=1

+ |u(xm) − u(c)|

n
.

|u(xi) − u(xi−1)|

i=m

+1

+
≤ VarI1 u + VarI2 u.

Lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach P cna I, ta có
Varu ≤ VarI1 u + VarI2 u.
(iii) Theo phan (ii), ta chí can xét trưòng hop Varu > 0. Giá sú I
không chúa đau mút phái (các trưòng hop khác cna nó tương tn) và co
đ%nh 0 < t < Varu. Theo Đ%nh nghĩa cna Varu ta có the tìm m®t
phân hoach P := {x0, x1, ..., xn} cna I sao cho
n

t<

.

|u(xi) −

u(xi−1)|.
i=
1

Vói moi x ∈ (xn, supI), ta có P là m®t phân hoach cna I ∩ (−∞, x|,
và vì v¾y theo phan (ii),
n.
t<
|u(xi) − u(xi−1)|
,x ≤ Varu.
≤ VarI (

i=1

Cho x → (supI)−, ta có


t≤

∩ −∞ |

lim
x→(supI)

−

VarI∩(−∞,x] u ≤ Varu,


do hàm x ∈ I ›→ VarI∩(−∞,x] u là hàm tăng (theo phan (ii)). Bây giò
cho
t ƒ Varu, ta có đieu phái chúng minh.
Nh¾n xét 1.7. Lay I = [a, b], vói a < b, theo M¾nh đe 1.6 (ii) vói
moi
c ∈ [a, b], ta có
Var[a,c] u + Var[c,b] u = Var[a,b] u.
Bài t¾p 1.8. Cho khoáng I ⊂ R và u ∈ BP V (I). Chúng minh
rang, neu I chúa điem mút phái b := supI và u liên tnc trái tai b thì
lim Var
I∩(−∞,x] u = Varu.
−
x→b

Ví dn 1.9. Hàm u(x) := sinx, x ∈ R là hàm b% ch¾n và thu®c
BP Vloc (R)
nhưng không thu®c BP V (R) (vì sao?)
Tiep theo chúng ta nghiên cúu moi quan h¾ giua hàm đơn đi¾u và
hàm có bien phân b% ch¾n.
M¾nh đe 1.10. Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R là hàm đơn
đi¾u. Khi đó, vói moi khoáng J ⊂ I,
VarJu = sup u + inf u.
J

J

Nói riêng, u ∈ BP Vloc (I). Hơn nua, u ∈ BP V (I) neu và chs neu nó b
%
ch¾n.
Chúng minh. Giá sú rang u là hàm tăng và khoáng J ⊂ I. Khi đó, vói
moi phân hoach P := {x0, x1, ..., xn} cna J ta có,
n

.
i=1

n

|u(xi) − u(xi−1)| . (u(xi) − u(xi−1))
=
i=
1

= u(xn) − u(x0) ≤ sup u − inf u.
J

J

Lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach cna J cho ket quá,


VarJu ≤ sup u − inf u.
J

J


Đe chúng minh bat đang thúc ngưoc lai (V arJ u ≥ supJ u − infJ u),
ta
chí can xét trưòng hop J là t¾p không suy bien. Xét phân hoach
P := {a, b} ⊂ J , vói inf J ≤ a < b ≤ supJ . Khi đó,
u(b) − u(a) = |u(b) − u(a)| ≤ VarJu.
Neu supJ ∈ J thì lay b = supJ , ta có u(b) = supJ u, neu
supJ

∈/ J thì

cho b ƒ supJ , ta có u(b) → supJ u.
Bi¾n lu¾n tương tn cho điem đau mút trái, ta có
sup u − inf u ≤ VarJu.
J

J

Ta có đieu phái chúng minh.
Hàm V đưoc giói thi¾u trong đ%nh lý sau đây đ¾c bi¾t quan trong
trong phan tiep theo.
Đ%nh lí 1.11. (Bien phân bat đ%nh)
Cho khoáng I ⊂ R, điem x0 ∈ I và hàm u ∈ BP Vloc (I).Vói moi x ∈
I, đ%nh nghĩa:

.
V (x) :=

Var[x ,x]u
≥ x0 ,
0

(1.2)

neu x

−Var[x,x0 ] u neu x <
x0 .
Khi đó, vói ∀x, y ∈ I, vói x < y, ta có
|u(y) − u(x)| ≤ V (y) − V (x) = Var[x,y] u.

(1.3)

Nói riêng, ta có V và V ± u là các hàm tăng.
Chúng minh. Co đ%nh x, y ∈ I, vói x < y. Theo Nh¾n xét 1.7,
 Var[x ,y]u


0
0

− Var[x

,x]u

= V(y) − V(x) neu x0 ≤ x <

y,

Var[x,y] u : Var
[x,x0 ] u − Var[y,x0 ] u =−V(x) + V(y)
=
 ≤ x0 ,

neu x < y




Var[x,x0 ] u + Var[x0 ,y] u =−V(x) + V(y)
x0 ≤ y.

neu x ≤
(1.4)


Vì |u(y) − u(x)| ≤ Var[x,y] u nên ta có bat đang thúc (1.3).
Tù (1.3) ta suy ra V (x) ≤ V (y) và

±(u(y) − u(x)) ≤ |u(y) − u(x)| ≤ V (y) − V (x).(1.5)
Do đó, hàm V và V ± u là các hàm tăng.
Hàm V trên đây đưoc goi là bien phân bat đ%nh cna hàm u.
Nh¾n xét 1.12. Đe nhan manh sn phn thu®c vào x0 ho¾c vào u,
khi can thiet chúng ta se viet: Vx0 ho¾c Vx0,u.
Nh¾n xét 1.13. Chú ý rang khi inf ∈ I, thì bang cách chon x0 ∈ inf
I
ta có hàm đơn gián hơn:
V∞ (x) := VarI∩(−∞,x] u,
Tuy nhiên, neu inf I
∈/

x ∈ I.

(1.6)

I ho¾c inf I = −∞ thì hàm V∞ có the vô han,

trù khi u ∈ BP V (I).
Bài t¾p 1.14. Cho khoáng I ⊂ R và u ∈ BP Vloc (I), V là bien phân bat
đ%nh cúa u.
(i) Chúng minh rang, neu u liên tnc phái (tương úng, liên tnc trái) tai
x ∈ I thì cũng liên tnc phái (trái) tai điem đó.
(ii) Chúng minh rang neu u ∈ BP V (I) thì supI V − infI V = Varu.
Tù Bài t¾p 1.14 cùng vói (1.3), ta thay u liên tuc tai x neu và
chí neu V liên tuc tai x.
Tuy nhiên, bài t¾p sau đây cho thay đieu này không đúng vói tính khá
vi.
Bài t¾p 1.15. Cho u : [0, 1] → R đưoc xác đ%nh bói:
.

neu 0 < x ≤ 1,
x
u(x) :=
xa.cos 1
0
neu x = 0.


ó đó, a > 0. Chúng minh rang:
(i) Neu a = 2 thì ur(0) = 0 ƒ= V r(0) < ∞ .
(ii) Neu 1 < a < 2 thì ur(0) = 0, trong khi V r(0) = ∞.
Bài t¾p 1.16. Cho hàm u : [a, b] → R, các so thnc mó r®ng:
n
.
+
P Varu := sup, (u(xi) 1)) ,
và
,

− u(xi

−

i=1
n

.

N Varu := sup, (u(xi)

−
))
,,
1
−

− u(xi
i=1

ó đó, c¾n trên đúng đưoc lay trên tat cá các phân hoach P := {x0, x1,
..., xn} cúa [a, b], n ∈ N lan lưot đưoc goi là bien phân dương và âm
cúa u trên [a, b]. Chúng minh rang, neu u ∈ BP V ([a, b]) thì
Varu = PVaru + NVaru
và
u(b) − u(a) = P Varu − NVaru.
H¾ quá sau đây cna Đ%nh lý 1.11 tương tn H¾ quá 0.40.
H¾ quá 1.17. Cho khoáng I ⊂ R và u : I → R là m®t hàm đo đưoc.
Khi đó, vói h > 0,ta có
¸
1 |u(x + h) − u(x)| dx ≤ Varu
h Ih
ó đó, Ih := {x ∈ I : x + h ∈ I}.
Chúng minh. Neu Varu = ∞ thì bat đang thúc trên hien nhiên
đúng. Giá sú rang Varu < ∞. Co đ%nh [a, b] ⊂ I vói 0 < h ≤ b −
a. Theo (1.3) và H¾ quá 0.40 áp dung cho hàm V , ta có
¸
¸
u(x + h) − u(x)|
(V (x + h) − V (x)) dx
1

1
dx ≤
b−h
b−h
|
h a
h a
≤ V (b) − V (a) = Var[a,b] u.


Xây dnng m®t dãy tăng cna các đoan [an, bn] sao cho an \ inf I,
bn ƒ supI. Neu diamIh > 0 thì vói moi n đn lón, ta có 0 < h < bn
− an
và vì v¾y theo bat đang thúc trên, ta có
¸
1 bn−h
|u(x + h) − u(x)| dx ≤ Var[an ,bn ] u ≤ Varu
h an
Cho n → ∞ và sú dung Đ%nh lý h®i tu đơn đi¾u Lebesgue ta có
¸
1
|u(x + h) − u(x)| dx ≤ Varu.
h Ih
Rõ ràng bat đang thúc van đúng neu diamIh = 0, vì lúc đó tích
phân bên trái bang 0. Đieu phái chúng minh.
M¾nh đe đáo cna H¾ quá 1.17 se đưoc chúng minh trong H¾ quá
1.43. M®t h¾ quá khác cna Đ%nh lý 1.11 là ket quá đưoc đe c¾p ó
đau chương, đó là đ¾c trưng cna không gian véc tơ nhó nhat các hàm
u : I → R chúa tat cá các hàm đơn đi¾u.
Đ%nh lí 1.18. Cho khoáng I ⊂ R. Không gian véc tơ nhó nhat các

hàm u : I → R chúa tat cá các hàm đơn đi¾u (tương úng, các hàm
đơn đi¾u b% ch¾n) là không gian BP Vloc (I) (tương úng,BP V (I)).
Hơn nua, moi

hàm thu®c BP Vloc (I) (tương úng,BP V (I)) đeu có

the viet thành hi¾u

cúa 2 hàm tăng (tương úng, hai hàm tăng và b%

ch¾n).
Chúng minh. Giá sú u, v : I → R và t ∈ R. Theo (1.1) vói moi
khoáng
J ⊂ I, ta có
VarJ(tu) = |t| VarJu, VarJ(u + v) ≤ VarJu + VarJv.
(1.7)
Do đó, BP Vloc (I) (tương úng, BP V (I)) là m®t không gian véc
tơ(kgvt).

Theo M¾nh đe 1.10 không gian BP Vloc (I) (tương úng,BP


V (I)) chúa tat

cá các hàm đơn đi¾u (tương úng, chúa tat cá các hàm

đơn đi¾u b% ch¾n). Đe chúng minh rang nó là nhó nhat, ta chí can
chúng minh moi hàm

thu®c BP Vloc (I) (tương úng,BP V (I)) đeu có the viet thành hi¾u
cna

hai hàm tăng (tương úng, hai hàm tăng b% ch¾n). Th¾t v¾y, ta có
u = V − (V − u)
=

u

ho¾c

1
1
(V + u)− (V
2
2

u)

Bài t¾p 1.19. Cho I = [a, b]. Chúng minh rang:
(i) Neu v : I → R có bien phân b% ch¾n và có tính chat giá tr% trung
gian thì v liên tnc.
(ii) Neu u : I → R là hàm khá vi và ur có bien phân b% ch¾n thì ur
liên tnc.
Bài t¾p 1.20. Cho khoáng I ⊂ R và hàm u ∈ BP Vloc (I) liên tnc
phái (tương úng,liên tnc trái). Chúng minh rang 2 hàm
và

1

1

(V + u)

(V − u)
2

2

không cùng gián đoan tai x ∈ I0 .
Bài t¾p 1.21. Cho 2 khoáng I, J ⊂ R, hàm f ∈ BP Vloc (I) và u : I →
J
là m®t hàm đơn đi¾u. Chúng minh rang f ◦ u ∈ BP Vloc (I).
1

2 2

−n x

Bài t¾p 1.22. Cho un(x) = n2 e
(i)Tính Varun .
(ii)Đ¾t u(x) :=
.∞

un(x),

,

x ∈ R.

x ∈ R.

n=
1

Chúng minh rang u ∈ BP V (R).
.∞
r
(iii) Chúng minh rang
n= un (x) không h®i tn đeu trong [−1, 1].
1
(iv) Tìm m®t công thúc cho ur.
(v) Nhung kien thúc gì liên quan đen Bài t¾p này.
Ket quá theo sau là h¾ quá cna Đ%nh lý 1.18.
H¾ quá 1.23. Cho khoáng I ⊂ R và hàm u ∈ BP Vloc (I). Khi đó,
vói

moi x ∈ I, các giói han


lim
y→x+

u(y) := u+(x), u(y) := u−(x)
lim
y→x−


ton tai trong R, u có không quá đem đưoc các điem gián đoan và khá
vi hau khap nơi(h.k.n) trong I. Hơn nua, vói moi [a, b] ⊂ I,

¸ b
|ur (x)| dx ≤ Var[a,b] u.
(1.8)
a

Neu thêm giá thiet u ∈ BP V (I) thì u b% ch¾n và ton tai các giói han,
lim
y→(inf I)+

ur khá tích Lebesgue và
¸

lim

u(y)

y→(supI)

(1.9)

−

|V r| dx ≤ sup V − inf V = Varu.

¸
r
|u | dx ≤
I

u(y),

I

I

I

(1.10)

Chúng minh. Bưóc 1: Theo Đ%nh lý 1.18 vói moi hàm thu®c
BP Vloc (I)
là hi¾u cna 2 hàm tăng nên tù Đ%nh lý 1.2 và Đ%nh lý Lebesgue, ta
có u+(x) và u−(x) ton tai trong R, vói moi x ∈ I. Do đó u có
không quá đem đưoc các điem gián đoan và khá vi h.k.n trong I. Đe
chúng minh (1.8), lay [a, b] ⊂ I và xét hàm tăng V đưoc đ%nh nghĩa
trong (1.2). Lay x ∈ (a, b) sao cho cá 2 hàm u và V đeu khá vi tai x.
Khi đó, tù (1.3) suy ra vói y > x,
|u(y) − u(x)|
y−x

+

và cho y → x , ta
có

V (y) − V
( x)
y−x

≤

|ur(x)| ≤ V r(x).

(1.11)

Áp dung 1.37 vói V và theo (1.3), ta có
¸ b
¸ b
r
|u | dx
|V r | dx ≤ V (b) − V (a) = Var[a,b] u.
≤

(1.12)

a

a

Bưóc 2: Neu u ∈ BP V (I) thì lai theo Đ%nh lý 1.18, u là hi¾u cna 2
hàm
tăng và b% ch¾n. Do đó, u b% ch¾n và các giói han (1.9) ton tai trong
R. Đe chúng minh (1.10), ta tien hành như phan cuoi cna chúng minh
M¾nh đe 1.10, tù (1.12) suy ra
¸
¸

|ur| dx ≤


|V r| dx ≤ sup V − inf V

= Varu,
I

I

I

(theo Bài t¾p 1.14 ). Đieu phái chúng minh.

I