Đề kiểm tra học kì 2 toán 9 quận nam từ liêm 2017 2018 có đáp án biểu điểm chi tiết

UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM
PHÒNG GIÁO DỤC VA ĐAO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MÔN: TOÁN 9
Năm học: 2017-2018
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đê)
(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài I. (2 điểm)

A=

x
+
x +2

x +2
−
x −2

(

2x + 8
x +2

)(

x −2

Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị biểu thức B khi x = 25.
2) Rút gọn biểu thức A.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A : B.

)

B=
và

2
x −6

với x≥0, x≠4 và x≠36

Bài II. (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một tổ sản xuất theo kế hoạch cần làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định. Thực tế, do thao tác
hợp lý mỗi ngày tổ làm thêm được 10 sản phẩm nên không những hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày mà còn
vượt mức kế hoạch 50 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà tổ phải làm mỗi theo kế hoạch.
Bài III (2 điểm).

1) Giải hệ phương trình :


2 ( x + y ) + x + 2 = 7


5 ( x + y ) − 2 x + 2 = 4

x 2 − 2( m + 1) x + 4m = 0.
2) Cho phương trình:
(x là ẩn, m là tham số)
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn:
x12 + x22 − ( x1 + x2 ) = 4.

Bài IV. (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP, AQ của (O), với P,
Q là tiếp điểm. Qua P kẻ đường thẳng song song với AQ cắt (O) tại M. Gọi N là giao điểm của thứ hai của đường
thẳng AM với (O).
1) Chứng minh APOQ là tứ giác nội tiếp.

AP 2 = AM . AN

2) Chứng minh
3) Kẻ đường kính QS của (O). Gọi H là giao điểm của PQ và NS, I là giao điểm của NM và QS.
a) Chứng minh NS là tia phân giác của góc PNM
b) Chứng minh HI//PM
4) Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K. Gọi G là giao điểm của AO và PN; E là trung điểm của AP.
Chứng minh Q, E, G thẳng hàng.

x2 +
Bài V. (0,5 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

4
=1
y2
.

M=

3x y
+
y 2x

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
…………………………………..HẾT…………………………………..
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm


UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM
PHÒNG GIÁO DỤC VA ĐAO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2017-2018
MÔN: TOÁN 9

A. Hướng dẫn chung
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản, nếu học sinh giải theo cách khác mà
đúng và đủ các bước thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi bài, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.
- Bài hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình thì mới chấm điểm, nếu không có hình vẽ đúng ở phần nào
thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình của phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.
B. Đáp án và thang điểm
Bài
Y
Đáp án

Điểm
Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B, ta có:
0,25
2
1
B=
= −2
(0,5đ)
0,25
25 − 6
. Vậy với x = 25 thì B = -2.

x
x +2
+
−
x +2
x −2

A=

x

=

Bài I
(2đ)

2
(1đ)

=

=

(

(

Bài II
(2đ)

x +2

(

x +2

)

)(

(

2

(

(

x +2

x+2
x −2

)(

)(

)(

)

x −2

x −2

)

0,25

2

x + 2 − ( 2 x + 8)
x −2

)

0,25

x − 2 x + x + 4 x + 4 − 2x − 8

P = A: B =
3
(0,5đ)

) (

x −2 +

2x + 8

x −2

)

=

)

=

(

2 x −4
x+2

)(

x −2

)

0,25

2
x +2

2
2
:
=
x +2 x −6

0,25

x −6
8
=1−
x +2
x +2

8
8
x≥0⇔ x +2≥2⇔ −
≥ −4 ⇔ 1 −
≥ −3 ⇔ P ≥ − 3
x +2
x +2

Vì
Dâu “=” xảy ra khi x = 0 (tmđk). Vậy GTNN của P là -3 khi x =0.
Gọi số sản phẩm tổ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x(sản phẩm,
x∈N*)
Thực tế, mỗi ngày tổ làm được số sản phẩm là: x + 10 (sản phẩm)

Thời gian tổ phải làm 600 sản phẩm theo kế hoạch là:

600
x

(ngày)

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25


Số sản phẩm làm trên thực tế là: 600+50 = 650 (sản phẩm)

Thời gian tổ sản xuất làm trên thực tế là:

650
x + 10

0,25
(ngày)

600 650
−
=2
x
x + 10

0,25

Ta có phương trình:
Đưa được về phương trình bậc hai: x2 + 35x – 3000 = 0
Giải phương trình tìm được x1 = 40(TMĐK), x2 = -75 (loại)
Vậy số sản phẩm tổ làm mỗi ngày theo kế hoạch là 40 sản phẩm

2 ( x + y ) + x + 2 = 7

5 ( x + y ) − 2 x + 2 = 4

1
(1đ)

(ĐKXĐ: x ≥-2)

 2a + b = 7

5a − 2b = 4

a = x + y, b = x + 2

Đặt

ta có hệ phương trình
Giải hệ được a = 2, b =3

x + y = 2
 x = 7(tmdk)
x + y = 2
⇔
⇔


x + 2 = 9
 y = −5
 x+2 =3
Khi đó
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(7;-5)
x 2 − 2( m + 1) x + 4m = 0 ( a = 1, b ' = − ( m + 1) , c = 4m )

∆ = b '2 − ac =  − ( m + 1)  − 4m = ( m − 1)
2

Bài III
(2đ)

2

ta có
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì Δ’ > 0 ⇔ (m-1)2 > 0
⇔ m≠1 vì (m – 1)2 ≥ 0 với mọi m.
Với m ≠1, phương trình có hai nghiệm phân biệt, theo định lý Viets, ta
2

(1đ)

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

 x1 + x2 = 2m + 2

 x1 x2 = 4m

có:
Ta có

0,25

x12 + x2 2 − ( x1 + x2 ) = 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 − ( x1 + x2 ) = 4
2

⇔ 4m 2 − 2m − 2 = 0

 m = 1(L)
⇔ ( m − 1) ( 2m + 1) = 0 ⇔ 
−1
 m = (tmdk)

2

0,25


Bài IV
(3,5đ)

S

P

H

E

M

N

I

A
G

O

F

0,25

K

1
(1đ)

Q

Vẽ hình đúng đến câu a
Xét tứ giác APOQ có

·APO = 900

·AQO = 900

0,25
(do AP là tiếp tuyến của (O) tại P)
0,25

(do AQ là tiếp tuyến của (O) tại Q)

⇒ ·APO + ·AQO = 1800
·APN = ·AMP

2
(1đ)

(góc nt và góc tạo bởi tia tt và dây cung cùng chắn cung NP)

Xét ΔAPN và ΔAMP có
⇒ ΔAPN

⇒

∽

0,25

⇒ APOQ là tứ giác nội tiếp

·
NAP

là góc chung,

·APN = ·AMP

0,25
0,25

ΔAMP (g.g)

AP AM
=

⇒ AP 2 = AM . AN
AN AP

0,25

a) Ta có AQ⊥QS (AQ là tt của (O) ở Q) mà AM//PQ (gt ) nên PM⊥QS
Đường kính QS ⊥ PM nên QS đi qua điểm chính giữa cung PM nhỏ

»
PS

¼ ⇒ PNS
·
·
SM
= SNM

⇒sđ
= sđ
NS là tia phân giác của góc PNM
3
(1đ)

(2 góc nt cùng chắn cung bằng nhau) hay

0,25

·
·
SNM

= PQS

b) Chứng minh

·
·
⇒ HNI
= HQI
·
·
⇒ HIN
= HIQ

(2 góc nt cùng chắn 2 cung bằng nhau)
⇒ HNQI nội tiếp

·
·
⇒ HIN
= PMN
⇒ HI / / PM

(2 góc nt

cùng chắn cung PN của (O))
Gọi F là giao điểm AO và PQ
Ta có AP = AQ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OP=OQ=R nên AO là đường
trung trực của PQ ⇒ F là trung điểm của PQ.

Chứng minh ΔAKN

∽

⇒
ΔPKA (g.g)

0,25

·
·
HQN
= PMN

(2 góc nt cùng chắn cung HN) mà

4
(1đ)

0,25

AK NK
=
⇒ AK 2 = NK .KP
PK AK

0,25
0,25


Chứng minh ΔKNQ

∽

⇒ KQ 2 = NK .KP
ΔKQP (g.g)

⇒ AK 2 = KQ 2 ⇒ AK = KQ
ΔAPQ có hai trung tuyến AF và PK cắt nhau ở G nên G là trọng tâm tam giác
mà E là trung điểm của AP nên A, G, E thẳng hàng.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi

1 = x2 +

0,25

4
4
x
x 1
y
≥ 2 x2. 2 = 4 ⇒ 0 < ≤ ⇒ ≥ 4
2
y
y
y
y 4
x
0,25

M=

3x y 3x 3 y 5 y
x y
5y 3 5
11
+
= +
+
≥ 3.2. .
+
≥ + .4 =
y 2 x y 16 x 16 x
y 16 x 16 x 2 16
4

Bài V
(0,5đ)

Dấu “=” xảy ra khi

2

x
=

y


2
 y = 4x

x =
⇔
2
 2
2
x
+
4
y
=
1

y = 2 2

x
y
 =
 y 16 x
x=

Vậy Mmin = 11/4 khi

2
,y =2 2
2

.

0,25