Điều kiện xảy ra đẳng thức trong các bất đẳng thức AM GM, bất đẳng thức cauchy schwarz, bất đẳng thức holder, bất đẳng thức chenychev

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----------***---------Phạm Thị Hƣờng

ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG THỨC
TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM,
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ,
BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER,
BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. Phạm Lƣơng Bằng

HÀ NỘI – 2014


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

LỜI CẢM ƠN
Em xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán trường ĐHSP
Hà Nội 2, các thầy cô giáo tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi để giúp em
hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt em xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy giáo hướng dẫn:
Thạc sĩ Phạm Lương Bằng đã quan tâm hướng dẫn và chỉnh sửa khóa luận
cho em.
Mặc dù đã cố gắng nhưng bản thân em mới làm quen với công tác
nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em hy vọng sẽ
nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô và các bạn để khóa luận

của em hoàn chỉnh hơn.

Sinh viên
Phạm Thị Hƣờng

SV: Phạm Thị Hường

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp là kết quả của sự nỗ lực tự
bản thân em và sự hướng dẫn của thầy giáo hướng dẫn: Thạc sĩ Phạm
Lương Bằng. Nội dung khóa luận không trùng lặp với công trình nghiên
cứu của các tác giả trước đã công bố.

Sinh viên
Phạm Thị Hƣờng

SV: Phạm Thị Hường

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN
là tập số thực.


là tập số thực dương.



là tập số hữu tỉ dương.
là tập số tự nhiên.



là tổng hoán vị.

cyc

Ví dụ: Tổng hoán vị của 3 số dương a,b,c là.

a b  a b  b c  c a
2

2

2

2

cyc



là tích hoán vị.

cyc

Ví dụ: Tích hoán vị của 3 số dương a,b,c là.

a

a

b

c

b  c  b  c .c  a .a  b
cyc

SV: Phạm Thị Hường

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU: …………………………………………………………....1
CHƢƠNG 1: VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC
CAUCHY, SCHWARZ, BUNHIACÔPSKI, HOLDER VÀ
CHEBYSHEV.........................................................................................3
1.1: Nhà toán học Cauchy:………………………………………………….3
1.2: Nhà toán học Schwarz và Bunhiacôpski …………………………...4
1.2.1. Nhà toán học Schwart..............................................................4
1.2.2. Nhà toán học Bunhiacôpski..................................................4
1.3: Nhà toán học Holder: ………………………………………………..5
1.4: Nhà toán học Chebyshev:……………………………………………6
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỀU KIỆN XẢY RA ĐẲNG
THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM, BẤT ĐẲNG
THỨC CAUCHY-SCHWARZ, BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER, BẤT
ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV.....................................................................8
2.1: Bất đẳng thức AM-GM: …………………………………………...8
2.1.1: Chú dẫn và các biểu diễn ………………………...........................8
2.1.2: Sai lầm thường gặp và lời giải đúng khi sử dụng bất đẳng thức
AM-GM...................................................................................................9
2.2: Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz – Holder: ………………………27
2.2.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz (CBS): …………………….........27
2.2.2: Bất đẳng thức Holder: ……………………………………….........35
2.3: Bất đẳng thức Chebyshev: …………………………………………41
2.3.1: Bất đẳng thức Chebyshev trên 2 dãy đơn điệu: …………….......41
2.3.2: Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev: ……………….........43

SV: Phạm Thị Hường

Lớp K36B_Sư phạm Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

CHƢƠNG 3: HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƢỚNG DẪN LỜI GIẢI....49
KẾT LUẬN.............................................................................................55
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................56

SV: Phạm Thị Hường

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Lời mở đầu
1.Lí do chọn đề tài.
Bất đẳng thức là một vấn đề khá phổ biến của Toán học sơ cấp, đây
cũng là một trong những phần toán học sơ cấp đẹp và thú vị nhất, vì thế
luôn cuốn hút nhiều người quan tâm. Bất đẳng thức luôn giữ vị trí quan
trọng trong kì thi học sinh giỏi, thi đại học, Ôlympic quốc gia và quốc tế.
Điểm đặc biệt nhất của bất đẳng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiều
bài toán khó thậm chí là rất khó nhưng luôn có thể giải được bằng những
kiến thức cơ sở, chủ yếu sử dụng các phép biến đổi, đánh giá sơ cấp để thu
được kết quả.
Đối với những bài toán có sự ràng buộc giữa các biến thì cần phải
xác định chính xác nên dùng phương pháp giải nào của bất đẳng thức để

dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra, điều đó tạo ra sự tò mò, hứng thú đối với
em. Xuất phát từ cơ sở lí luận và thực tiễn đó mà em đã quyết định chọn đề
tài “Điều kiện xảy ra đẳng thức trong các bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Chebyshev”
làm đề tài nghiên cứu cho mình.
Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận văn có 3 chương.
Chương 1: Vài nét lịch sử về các nhà toán học Cauchy, Schwarz,
Holder và Chebyshev.
Chương 2: Một số vấn đề về điều kiện xảy ra đẳng thức trong các bất
đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Holder,
bất đẳng thức Chebyshev.

SV: Phạm Thị Hường

1

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Chương 3: Hệ thống bài tập và hướng dẫn giải.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:
Nắm được những kiến thức cơ bản và độc đáo về bất đẳng thức sơ
cấp, từ đó tìm được những phương pháp giải thích hợp, điều kiện để xảy ra
đẳng thức tùy theo yêu cầu bài toán
3. Đối tƣợng nghiên cứu:
Các bất đẳng thức sơ cấp và một số bài toán ứng dụng các bất đẳng

thức rồi tìm điều kiện xảy ra các bất đẳng thức cụ thể.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Đọc, nghiên cứu tài liệu.
So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức.
Sắp xếp và giải bài tập.

SV: Phạm Thị Hường

2

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

CHƢƠNG 1: VÀI NÉT LỊCH SỬ VỀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC
CAUCHY, SCHWARZ, BUNHIACÔPSKI, HOLLDER VÀ
CHEBYSHEV.
1.1: Nhà toán học Cauchy.
CauchyAugustin Cauchy sinh ngày 21 tháng 8 năm
1789. Nhà Toán học đầy óc sáng tạo này có rất nhiều công
trình toán học, chỉ thua Euler mà thôi. Những nhà toán học
hiện đại tiếp thu được từ Cauchy hai điều nổi bật trên con
đường nghiên cứu toán ở thế kỷ 18.
Điều đổi mới đầu tiên là đưa sự chặt chẽ vào giải
thích toán học, mà trước đó các nhà toán học quá dễ dãi.
Điều đổi mới thứ hai, đó là đi vào một hướng trái ngược : giải tích tổ
hợp. Từ phương pháp của Lagrange trong lý thuyết phương trình, Cauchy

đã rút được cái tinh tuý để hệ thống thành những cơ sở đầu tiên của lý
thuyết nhóm. Ông đã nhìn thấy trong tính đối xứng của các công thức đại số
những phép toán và tính chất của chúng dẫn tới lý thuyết nhóm. Ngày nay
lý thuyết sơ cấp đó tuy khá phức tạp đã có vai trò rất quan trọng trong nhiều
lĩnh vực toán học, từ lý thuyết về phương trình đại số cho tới hình học và lý
thuyết cấu trúc nguyên tử.
Trong 19 năm cuối đời mình, Cauchy đã có trên 500 công trình trên
tất cả lĩnh vực của toán học kể cả cơ học, vật lí học, thiên văn học. Cauchy
qua đời đột ngột vào ngày 23 tháng 5 năm 1857 lúc 68 tuổi. Một vài giờ

SV: Phạm Thị Hường

3

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

trước khi mất, Cauchy nói với tổng giám mục Paris: “Những con người sẽ
mất, nhưng những công trình của họ vẫn ở lại”.
1.2: Nhà toán học Schwarz và Bunhiacôpski.
1.2.1: Nhà toán học Schwarz.
Karl Hermann Amandus Schwarz (25/1/1843 30/11/1921) là một nhà toán học người Đức, nổi tiếng
với công trình về giải tích phức. Ông sinh ra
ởHermsdorf, Silesia (nay Jerzmanowa, Ba Lan) và qua
đời tại Berlin. Schwarz ban đầu nghiên cứu hóa học ở
Berlin, nhưng Kummer và Weierstrass thuyết phục ông

chuyển sang toán học. Giữa năm 1867 và năm 1869 ông làm việc tại Halle,
sau đó tại Zürich. Từ 1875 ông làm việc tại Đại học Göttingen, giao dịch
với các đối tượng của lý thuyết chức năng, hình học vi phân và các phép
tính của các biến thể. Tác phẩm của ông bao gồm Bestimmung
Minimalfläche speziellen einer, được trao vương miện bởi Học viện Berlin
vào năm 1867 và được in vào năm 1871, và Gesammelte Mathematische
Abhandlungen (1890). Năm 1892 ông trở thành một thành viên của Viện
Hàn lâm Khoa học Berlin và là giáo sư tại Đại học Berlin, nơi sinh viên của
ông bao gồm Lipot Fejer, Paul Koebe và Ernst Zermelo.
1.2.2: Nhà toán học Bunhiacôpski.
Nói đến các bất đẳng thức quan trọng trong đại số,
ta thường nhắc tới và vận dụng bất đẳng thức
BunhiaCôpski, nhà toán học Nga Bunhiacôpski sinh ngày
16-12-1804 là viện sĩ Viện Hàn lâm Pêtecbua từ khi mới

SV: Phạm Thị Hường

4

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

24 tuổi và sau này trở thành phó chủ tịch của Viện từ năm 1864 cho tới năm
1889 là năm ông mất. Ông mất ngày 12-12-1889
từ 16 tuổi đến 21 tuổi ông đã theo học ở Pari, lúc đó có nhiều giáo sư nổi
tiếng dạy như Laplaxơ, Phuriê, Côsi, Lơgiăngđrơ. Ông bảo vệ luận án tiến

sĩ toán tại Pari vào năm 1825 lúc ông 21 tuổi. Trở về nước, ở Pêtecbua ông
đã hoạt đọng tích cực trong lĩnh vực giáo dục, giảng dạy toán cho đến năm
1846. Trong 15 năm sau, từ 1846 đến 1859 ông dạy tại trường Đại học
Pêtecbua, phụ trách các môn cơ học giải tích, lí thuyết xác suất và giải tích
toán học. Bắt đầu từ năm 1858, ông trở thành chuyên gia quan trọng của
chính phủ về các vấn đề thống kê và bảo hiểm.
Có thể nói rằng lĩnh vực hoạt động của ông rất rộng lớn và đầy kết
quả tốt đẹp. Ông đã có đến 168 công trình nghiên cứu. Công trình ưu việt
của Bunhiacôpski là lí thuyết số, lí thuyết xác suất và ứng dụng. Ông còn
nghiên cứu nhiều về giải tích, hình học và đại số, quan tâm đến cả tính toán
trong thực tiễn; góp phần vào việc cải tiến các tính toán của nước Nga.
Ông là hội viên danh dự của tất cả các trường Đại học Nga, của nhiều hội
khoa học, đồng thời là phó chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học và Viện đã đặt
ra giải thưởng mang tên ông cho những tác phẩm toán học có giá trị lớn.
1.3: Nhà toán học Holder.
Ông là học trò của nhà Toàn học Đức nổi
tiếng Karl Weierstrass. Ông sinh năm 1859 và mất
năm 1937. Sau khi bảo vệ thành công luận án tiến sĩ
năm 1882 ở Đại học Tubingen, Holder dạy ở đại học
Gottingen từ năm 1884. Ông quan tâm đến nhiều
lĩnh vực của Toán học, nhưng ông đã biết tiếp tục

SV: Phạm Thị Hường

5

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

tinh thần của Thầy học nên đã đóng góp sức mình hy vọng góp phần làm
cho Toán học có một tầm vóc mới; ông đã làm cho Toán học tách ra khỏi
phép tính hình thức, trở nên chặt chẽ hơn.
Nhưng với bản chất trầm tĩnh, và tính tình hòa nhã, độ lượng nên ông
được nhiều người mến mộ. Otto Holder nghiên cứu hàm biến thực và phức.
Từ Weierstrass trở về trước các nhà Toán học thường nghĩ rằng một hàm
liên tục thì khả vi trừ tại một số điểm.
Holder nêu ra một điều kiện để cho hàm liên tục là khả vi và bây giờ
người ta đưa tên ông vào điều kiện đó. Ông còn tìm cách phân tích một hàm
bất kỳ thành chuỗi Fourier, điều này dẫn ông đến tổng quát hóa tích phân
một số hàm không bị chặn. Holder say mê Lý thuyết Galois và Lý thuyết
Nhóm. Để nghiên cứu cách giải một phương trình bậc n ông có sáng kiến
đưa ra những phương trình phụ, điều này dẫn ông đến chỗ định nghĩa các
nhóm thương. Năm 1889, ông phát biểu lại Định lý phân tích của Jordan
với khái niệm mới này và chứng minh tính duy nhất của nhóm thương trong
định lý mới từ nay mang tên hai người: Holder và Jordan. Từ năm 1892 đến
năm 1895 ông nghiên cứu chi tiết các nhóm hữu hạn, đặc biệt là tất cả các
nhóm của một thứ tự cho trước.
Từ năm 1914 đến năm 1923, Holder hướng suy nghĩ của ông về Triết
học trong Logic toán. Điều này thấy rõ trong tác phẩm của ông Phương
pháp Toán học.
1.4: Nhà toán học Chebyshev.
(Pafnutij L'vovich Chebyshev; 1821 - 1894), nhà toán học và cơ học
Nga. Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Pêtecbua (1856), người sáng lập
Trường phái khoa học Pêtecbua. Đã gắn toán học với các bài toán trong tự

SV: Phạm Thị Hường

6

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

nhiên và kĩ thuật; sáng lập lí thuyết xấp xỉ tốt nhất
các hàm bằng đa thức; chứng minh luật số lớn
dưới dạng rất tổng quát, chứng minh luật phân bố
số nguyên tố. Các công trình của Chebyshev đặt
nền tảng cho nhiều ngành toán học. Khó mà đánh
giá được những phát minh khoa học của
Chebyshev trong lĩnh vực lý thuyết số. Nó đã đem
lại vinh quang cho nền khoa học toán của Nga và đã có ảnh hưởng lớn lao
đối với những sáng tạo khoa học của nhiều nhà bác học xuất sắc trong và
ngoài nước.
Nhưng Chebyshev không chỉ nghiên cứu một lý thuyết số. Ông còn
nghiên cứu rất nhiều, chẳng hạn trong lĩnh vực giải tích toán học, ông đã
thiết lập một ngành hoàn toàn mới nổi tiếng là “Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất
các hàm số bằng các đa thức”. Chebyshev còn có hàng loạt công trình nổi
tiếng về lý thuyết xác suất và nhiều môn toán khác.

SV: Phạm Thị Hường

7

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

CHƢƠNG 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỀU KIỆN XẢY RA
ĐẲNG THỨC TRONG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM,
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ, BẤT ĐẲNG
THỨC HOLDER, BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV.
2.1. Bất đẳng thức AM-GM.
2.1.1: Chú dẫn và các dạng biểu diễn.
a, Chú dẫn:
Tên gọi AM-GM là viết tắt của thuật ngữ tiếng anh Arithmetric
mean-Geametric mean nêu lên bản chất của bất đẳng thức.
Cho bộ số

ai  0, i  1, n , khi đó ta có

a1  a2  ...  an n
 a1.a2 ...an
n

Dấu “=” xảy ra khi a1  a2  ...  an .
Các sách toán học đã xuất bản ở Việt Nam thường gọi là bất đẳng
thức trên là bất đẳng thức Côsi. Cách gọi này xuất phát từ việc nhà toán học
Pháp Côsi (Cauchy) là người đầu tiên đã chứng minh bất đẳng thức này và
ông đã chứng minh nó bằng một phương pháp qui nạp đặc biệt gọi là qui
nạp Côsi. Có các cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM đó là: phương

pháp qui nạp thông thường và phương pháp qui nạp Côsi.
b, Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức AM-GM.
+ Dạng tổng quát:
Dạng 1

SV: Phạm Thị Hường

Dạng 2

8

Dạng 3

Lớp K36B_Sư phạm Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

a1  a2  ...  an n
a  a  ...  an
 a1 ..an 1 2
n
 n n a1a2 ..an

 a1  a2  ...  an 


n



 a1a2 ...an

n

+ Hệ quả:
- Nếu a1  a2  ...  an  S _ const thì:
n

S
S
max(a1a2 ...an )    xảy ra  a1  a2  ...  an 
n
n
- Nếu a1a2 ...an  P là hằng số thì:
min(a1  a2  ...  an )  n n P xảy ra  a1  a2  ...  an  n P

2.1.2: Sai lầm thƣờng gặp và lời giải đúng khi sử dụng bất đẳng thức
AM-GM.
a, Các bài toán đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
Bài 1: Cho a>3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S  a 

1
a

Giải:
- Sai lầm: S  a 

1

1
 2 a.  2  MinS  2
a
a

- Nguyên nhân sai lầm: minS=2  a 

1
 a  1 mâu thuẫn với giả thiết
a

a3
- Phân tích và tìm lời giải:
Tính đạo hàm của hàm S  a 

1
để dự đoán tìm minS.
a

Ta thấy S là hàm số đồng biến trên

, bất đẳng thức AM-GM xảy ra

dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau nên “ tại điểm rơi

SV: Phạm Thị Hường

9

Lớp K36B_Sư phạm Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

1
a=3” ta không thể sử dụng trực tiếp AM-GM cho hai số a và 1/a vì 3  .
3
 a 1
Lúc này ta giả định sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho cặp số  ,  để
 a 
tại điểm rơi a=3 thì

a





1
. Từ đó ta có sơ đồ “ điểm rơi” sau:
a

a 3
  
1 3
a  3 
     9 là hệ số điểm rơi.
3 

1  1
 a 3
- Lời giải đúng:

S a

1  a 1  8a
a 1 8a 10
  
2 . 
 a  3
a 9 a 9
9 a 9
3

Dấu “=” xảy ra khi

a 1
  a  3 thì minS=10/3.
9 a

Bài 2: Cho a  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức S  a 

1
.
a2

Giải.
- Sơ đồ điểm rơi :

a 2
  
1 2
a 2
     8 là hệ số điểm rơi.
4 
1 1
 a 2 4
- Sai lầm thường gặp:

SV: Phạm Thị Hường
Toán

10

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

1
a 1
7a
a 1 7a
2
7a
(  2)
2 . 2 



2
a
8 a
8
8 a
8
8a 8
2
7.2 9



8
4
8.2
S a

Với a=2 thì minS=9/4.
- Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a=2 và minS=9/4 là đáp số
đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu

a  2 thì

2
2
2


 là đánh giá sai.
8a
8.2 4

Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S
sao cho khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM sẽ khử hết biến số a ở mẫu số,
mà số hạng

1
có mẫu dạng bậc 2, vậy muốn khử được mẫu ta sẽ sử
a2

dụng bất đẳng thức AM-GM với 3 số hạng.
- Lời giải đúng:

S a

1
a a 1
6a
a a 1 6a
3

(


)


3.

. . 
a2
8 8 a2
8
8 8 a2
8


3 6.2 9

 a  2.
4 8
4

a 1
9
 minS  . Dấu “ =” xảy ra khi  2  a  2
8 a
4
Bài 3: Cho a,b,c,d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a
b
c
d
bcd cd a






bcd cd a bd a abc
a
b
bd a abc


c
d
S

SV: Phạm Thị Hường
Toán

11

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Giải.
Bài toán được giải thường mắc sai lầm như sau:
- Sai lầm 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 cặp số ta có:


a
bcd


 2.

b

c

d
a


b
cd a

 2.

b
c  d  a

c
abd


 2.
a  b  d
c

abc
 d


 2.
 a  b  c
d

a
bcd
.
2
bcd
a
b
cd a
.
2
cd a
b
c
abd
.
2
abd
c
d
abc
.
2
abc
d

 S  8  minS  8

- Sai lầm 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp cho 8 số.

a
b
c
d
bcd cd a
.
.
.
.
.
bcd cd a bd a abc
a
b
S  8. 8
bd a abc
.
.
c
d
8
 minS  8
Chúng ta có thể thấy ngay sai lầm này khi xét điều kiện minS=8 xảy
ra khi và chỉ khi:

a
b
c
d

bcd cd a





bcd cd a bd a abc
a
b
bd a abc


c
d

SV: Phạm Thị Hường
Toán

12

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

a  b  c  d
b  c  d  a



Hay MinS=8
c  a  b  d
d  a  b  c
 a  b  c  d  3.(a  b  c  d )  1  3
Điều này vô lí, sai lầm bắt nguồn từ sự cẩu thả không kiểm tra kĩ điều
kiện xảy ra dấu bằng (hay điểm rơi) trong bất đẳng thức.
- Phân tích và tìm lời giải:
Để tìm min S ta cần chú ý S là 1 biểu thức đối xứng với a,b,c,d do đó
min S (hoặc max S) nếu có thường “đạt tại điểm rơi tự do” a=b=c=d >0.
Vậy ta cho trước a=b=c=d=1 >0 và dự đoán minS 

4
 12 . Từ đó
3

suy ra các đánh giá của bất đẳng thức bộ phận phải có điều kiện dấu “=”
xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán a=b=c=d >0.
- Sơ đồ điểm rơi: Cho a=b=c=d >0 ta có:

a
b
c
d
1






 b  c  d c  d  a b  d  a a  b  c 3

b  c  d  c  d  a  b  d  a  a  b  c  3
  a
b
c
d



3

1
    9 (là hệ số điểm rơi).
 3

- Lời giải đúng:
Kí hiệu

 f  a, b, c, d  là tổng hoán vị của 4 số a,b,c,d.
cyc

Sử dụng AM-GM cho 8 số ta có:

SV: Phạm Thị Hường
Toán

13

Lớp K36B_Sư phạm

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

a
bcd 
8 bcd

S  

 .
9a  cyc 9
a
cyc  b  c  d
 8. 8

bcd
9a

a

 b  c  d .
cyc

cyc

8 b c d c d a a b d a b c 
             

9 a a a b b b c c c d d d 


8 8 12 b c d c d a a b d a b c
 .12 . . . . . . . . . . .
3 9
a a a b b b c c c d d d

8 32 40
 

3 3
3
Dấu “=” xảy ra tại a=b=c=d >0 thì Min S 

40
3

Bài 4: Cho a,b>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 

ab
ab
.

ab a  b

Giải.
- Sai lầm thường gặp: S 

ab

ab
a  b ab

2
.
 2  MinS  2 .
ab a  b
ab a  b

- Nguyên nhân sai lầm:

minS  2 

ab
ab

 ab  a  b
ab a  b

mà(a  b)  2 ab  1  2 (điều này vô lí).

- Phân tích:
Do S là 1 biểu thức đối xứng với a,b nên dự đoán min S đạt tại a=b>0
- Sơ đồ điểm rơi:

SV: Phạm Thị Hường
Toán

14

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

 a  b 2a 2
 ab   a  
2 1
ab
     4 là hệ số điểm rơi.
 2
 ab  a  1
 a  b 2a 2

- Lời giải đúng:
S

ab
ab  a  b
ab  3(a  b)
a  b ab 3(a  b)



2
.

7


ab a  b  4 ab a  b 
ab
4 ab a  b
ab

Với a=b>0 thì minS  7 .
Bài 5:

a, b, c  0
1 1 1

Cho 
3 Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c   
a b c
a  b  c  2
Giải.
- Sai lầm thường gặp:

S abc

1 1 1
1 1 1
   6 6 a.b.c. . .  6  minS  6
a b c
a b c

- Nguyên nhân sai lầm:
Nếu minS=6, dấu bằng xảy ra khi:

a bc

1 1 1
3
   a  b  c  1  a  b  c  3  (trái với giả thiết).
a b c
2

- Phân tích và tìm lời giải: Do S là 1 biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự

1
đoán minS đạt tại a  b  c  .
2
Cũng tương tự như bài tập 4, ta sẽ tách tổng thành các tổng hợp lí để
có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM.
SV: Phạm Thị Hường
Toán

15

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

- Sơ đồ điểm rơi:

1


a

b

c

1 
2 1
2
abc 
     4 (là hệ số điểm rơi).
1
1
2
2  1
 2



 a  b  c 
- Lời giải đúng:
S abc

1 1 1 
1
1
1  3
3
3

   a  b  c 

 


a b c 
4a 4b 4c  4a 4b 4c

1 1 1 3 31 1 1
. . . .3. . .
4a 4b 4c 4
a b c
9 1
9
1
9 1 15
3 . 3
3 .
3 . 
4 abc
4 abc
4 1 2
3
2

 6. 6 a.b.c.

Do a  b  c 

3

theo giả thiết.
2

Dấu “=” xảy ra khi a  b  c 

1
thì min S= 15/2.
2

Bài 6:

 a, b  0
1
Cho 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của S  ab 
ab
a  b  1
Giải.
- Sai lầm thường gặp: S  ab 

1
1
 2 ab.
 2  MinS  2
ab
ab

- Nguyên nhân sai lầm:
MinS=2 thì dấu “ =” xảy ra khi ab 

SV: Phạm Thị Hường
Toán

16

1
ab 1
 1  ab 

ab
2
2

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

1
 1  (vô lí). Do ràng buộc a+b=1 nên dẫn đến mâu thuẫn trên.
2
- Phân tích và tìm lời giải: Biểu thức S chứa 2 biến số a, b nhưng nếu đặt
t=ab hoặc t 

1
1
thì S  t  là biểu thức chứa 1 biến số.Việc đặt trên có
ab

t

mục đích tách tổng S  ab 

1
thành tổng các số hạng mới thông qua việc
ab

tìm hệ số điểm rơi. Khi đổi biến số ta sẽ tìm miền xác định cho biến số mới,
cụ thể là:
Đặt: t 

1
1
 ab  và
ab
t

t

1
1
1

2 
2  4.
ab  a  b   1 

  
 2  2

Khi đó bài toán trở thành: Cho t  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

1
S t  .
t
- Sơ đồ điểm rơi:

t 4
  
4 1
t 4
     16 là hệ số điểm rơi.
 4
1  1
 t 4
- Lời giải đúng: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

1  t 1  15t
t 1 15t
S t    
 2.
. 
t  16 t  16
16 t 16
2 15.4 17
 

4 16
4

Dấu “=” xảy ra khi

SV: Phạm Thị Hường
Toán

t 1
 t 4
16 t

17

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

Kết hợp với điều kiện đề bài cho 2 biến số a,b ta có:

 a, b  0
17

1
.
a  b  1  a  b  thì minS =
2
4
1
 4

 ab

a, b, c  0
1
1
1

2
2
2
Bài 7: Cho 
3 . Tìm min S  a  2  b  2  c  2 .
b
c
a
a  b  c  2
Giải.
- Sai lầm thường gặp:

S  3. 3 a 2 

1
1
1
1 
1 
1

. b 2  2 . c 2  2  3. 6  a 2  2  b 2  2  c 2  2  .
2

b
c
a
b 
c 
a 



1 
1 
1 
 3. 6  2 a 2 . 2  2 b 2 . 2  2 c 2 . 2   3. 6 8  3 2  MinS  3 2 .
b 
c 
a 

- Nguyên nhân sai lầm:

minS  3 2  a  b  c 

1 1 1
3
   1 a  b  c  3 
a b c
2

3
(điều này trái với giả thiết cho là a  b  c  ).
2

1
- Phân tích và tìm tòi lời giải: Dự đoán minS đạt tại điểm rơi a  b  c  .
2
- Sơ đồ điểm rơi:

1
 2
a  b2  c2 

1 
1 4
4
abc 
     16 (là hệ số điểm rơi).
1
1
2  1
4 
 2 2
2
 a  b  c
SV: Phạm Thị Hường
Toán

18

Lớp K36B_Sư phạm


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.s Phạm Lương Bằng

- Lời giải đúng: Biến đổi S, tách từng tổng trong căn thức thành nhiều tổng
nhỏ dựa vào hệ số điểm rơi và sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

S  a2 

1
1
1
1
1
1
 ... 
 b2 
 ... 
 c2 
 ... 
2
2
2
2
2
16b
16b
16c
16c
16a
16a 2

16 sô

16 sô

16

16 sô

16

16

 1 
 1 
 1 
 1717 a .
 1717 b 2 .
 1717 c 2 .
2 
2 
2 
 16b 
 16c 
 16a 
2



a
a

a 
a 17 a 17 a
3 17
17
17
17

 17 



17
3.
.
.

8 16
168 c16
168 a16 
168 b16 168 c16 168 a16

 16 b
 3 17.17

1
3 17


5 5 5
5

16 a b c
17
2.  2a.2b.2c 
8

Dấu “=” xảy ra khi a  b  c 

3 17
 2a  2b  2c 
2.17 

3



15







3 17
2

1
3 17
thì min S 
.

2
2

Bài 8. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2c  2d 
 2a  2b 
S  1  1  1 
1 

 3b  3c  3d  3a 
Giải.
- Sai lầm thường gặp:

2a 2b
2c
2d 64
64
 2a  2b  2c  2d 
S  1  1  1  1    2
.2
.2
.2
  minS 
3b
3c 3d
3a 9
9
 3b  3c  3d  3a 
- Nguyên nhân sai lầm:

min S 

64
2a 2b 2c 2d 2(a  b  c  d ) 2
 1




  Vô lý
9
3b 3c 3d 3a 3(a  b  c  d ) 3

- Phân tích và tìm tòi lời giải:
SV: Phạm Thị Hường
Toán

19

Lớp K36B_Sư phạm