Điều kiện cực trị cho bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***************

VƢƠNG THỊ HẰNG

ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU
TOÀN PHƢƠNG VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƢƠNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS. TS. NGUYỄN QUANG HUY

HÀ NỘI - 2014


LỜI CẢM ƠN
Khoá luận được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Quang Huy.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
Nhà trường và các thầy cô giáo dạy chuyên ngành Toán giải tích, đặc biệt là
thầy Nguyễn Quang Huy đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã động viên và
tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành bài khoá luận này.

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Vƣơng Thị Hằng

i


LỜI CAM ĐOAN
Bài khoá luận được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Quang Huy.
Một số kết quả đã đạt được trong khoá luận là của riêng bản thân,
không trùng với kết quả của tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Vƣơng Thị Hằng

ii


BẢNG KÝ HIỆU
: Đường thẳng thực.

n : Không gian Euclid n-chiều
Sn : Tập hợp các ma trận đối xứng cấp nn
: Tập hợp tất cả các ma trận đói xứng cấp nn nửa xác định dương
A0 : Ma trận A nửa xác định dương
I : Ma trận đơn vị
diag(1, 2,… n) :Ma trận đường chéo cấp n
e:=(1, 1,..., 1)T
f(x) : Gradient của f tại x
f(x) : Hessian của f tại x

 : Kết thúc chứng minh

iii


Mục lục
Mở đầu ................................................................................................... 1
Chƣơng 1. Bài toán quy hoạch toàn phƣơng ...................................... 6
1.1. Bài toán quy hoạch toán học ............................................................ 6
1.2. Bài toán quy hoạch toàn phương ................................................... 11
Chƣơng 2. Điều kiện tối ƣu toàn cục cho bài toán tối ƣu toàn
phƣơng với ràng buộc toàn phƣơng .................................................... 14
2.1. Bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương ................ 14
2.2. Điều kiện tối ưu toàn cục cho bài toán tối ưu toàn phương với ràng
buộc hộp .................................................................................................. 15
2.2.1. Điều kiện cần tối ưu toàn phương ................................................. 15
2.2.2. Điều kiện đủ tối ưu toàn phương .................................................. 25
2.3. Điều kiện tối ưu toàn cục cho bài toán tối ưu toàn phương với
ràng buộc rời rạc...................................................................................... 35
2.3.1. Điều kiện cần tối ưu toàn phương ................................................. 35
2.3.2. Điều kiện đủ tối ưu toàn phương .................................................. 38
Kết luận .................................................................................................. 53
Tài liệu tham khảo ................................................................................ 54

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay, tối ưu hoá đã trở thành một lĩnh vực rất phát triển, góp phần

quan trọng trong việc ứng dụng Khoa học công nghệ vào cuộc sống và
sản xuất.
Từ thế kỷ XVIII, một hướng mới của Giải tích toán học, gọi là phép
tính biến phân chuyên nghiên cứu các bài toán cực trị với hàm mục tiêu là
phiếm hàm tích phân được phát triển mạnh mẽ và trở thành ngôn ngữ của
Khoa học tự nhiên. Vào những năm từ thập kỷ thứ 4 đến thập kỷ thứ 7 của
thế kỷ XX, Lý thuyết tối ưu được hình thành với tư cách là một lý thuyết
toán học độc lập; có thể nói, lý thuyết tối ưu bắt đầu từ quy hoạch tuyến
tính, tiếp đó là quy hoạch lồi. Đối tượng nghiên cứu của những lý thuyết
ngày càng mở rộng, hình thành những hướng khác nhau của lý thuyết tối ưu.
Các bài toán tối ưu hay còn gọi là bài toán quy hoạch toán học,
được chia thành các lớp sau đây:
• Bài toán quy hoạch tuyến tính;
• Bài toán tối ưu phi tuyến hay còn gọi là bài toán quy hoạch phi
tuyến, bao gồm cả bài toán quy hoạch lồi và bài toán quy hoạch
toàn phương;
• Bài toán tối ưu rời rạc, bài toán tối ưu nguyên và hỗn hợp
nguyên;
• Bài toán quy hoạch động;
• Bài toán quy hoạch đa mục tiêu;
1


• Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên…
Những vấn đề chính được nghiên cứu trong lý thuyết tối ưu bao
gồm:
• Nghiên cứu định tính(các điều kiện cần và đủ tối ưu, các định lý
đối ngẫu, sự tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm, độ nhạy
nghiệm…).
• Nghiên cứu định lượng( xây dựng các thuật toán tìm nghiệm

thoả mãn tiêu chuẩn cho trước, hay xác định toàn bộ tập
nghiệm…)
Điều kiện tối ưu đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu
hoá. Nhận dạng một nghiệm tối ưu toàn cục bằng phương pháp tìm điều
kiện cần và đủ tối ưu toàn cục là nền tảng cơ bản và quan trọng trong tối ưu
không lồi. Những điều kiện tối ưu là những công cụ chính giúp cho việc
phát triển những phương pháp số hữu hiệu trong lý thuyết tối ưu: Nếu điều
kiện cần tối ưu không thoả mãn tại một điểm, ta biết rằng đó không là
nghiệm; do đó ta cũng có thể loại bỏ điểm này. Nếu một điểm nào đó thoả
mãn các điều kiện cần tối ưu toàn cục và nếu có các điều kiện đủ tối ưu toàn
cục, khi đó ta có thể kiểm tra xem điểm này có phải là một nghiệm tối ưu
toàn cục hay không.
Năm 1965, A.Ya. Dubovitskii và A.A. Milyutin đã đưa ra lý thuyết
các điều kiện cần tối ưu dưới ngôn ngữ giải tích hàm và cho ta phương pháp
giải tích hàm hiệu quả để nghiên cứu các bài toán tối ưu và điều khiển.
Những điều kiện tối ưu toàn cục cho lớp các bài toán tối ưu toàn phương đã
được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu[ 4, 7, 9,11, 12, 16, 17, 20]. Đặc
biệt một đặc trưng đầy đủ tối ưu toàn cục đã được đưa ra cho một lớp rất
2


đặc biệt của các bài toán quy hoạch toàn phương trên miền ràng buộc có
dạng hộp mà ở đó hàm mục tiêu là tổng có trọng của các bình phương đối
với các biến. Một đặc trưng tối ưu toàn cục cho những bài toán cực tiểu
toàn phương với miền ràng buộc chỉ có duy nhất một hàm toàn phương là
đã biết và có thể tìm thấy trong [2, 16]. Tuy nhiên, một đặc trưng đầy đủ
nghiệm tối ưu toàn phương vẫn còn là một câu hỏi mở với lớp bài toán toàn
phương tổng quát trên miền ràng buộc bao gồm nhiều hàm toàn phương.
Điều kiện cần tối ưu toàn cục cho các bài toán cực tiểu toàn phương
với hàm mục tiêu là tổng có trọng của các bình phương đối với các biến

trên miền ràng buộc ellipsoid đã được thiết lập trong [17]. Các điều kiện
cần trừu tượng tối ưu toàn cục theo nghĩa dưới đạo hàm suy rộng cũng đã
được đưa ra trong [22] cho các bài toán quy hoạch toàn phương có ràng
buộc. Gần đây, các điều kiện cần cũng như các điều kiện đủ tối ưu toàn cục
đã được phát triển cho những lớp bài toán khác nhau của tối ưu trơn không
lồi với ràng buộc có dạng hộp trên cơ sở việc tìm các đánh giá dưới đối với
hàm mục tiêu và khai thác tính bị chặn của các biến (xem [13, 14, 15]).
Là một sinh viên chuyên ngành sư phạm toán, tôi mong muốn được
tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tối ưu nói chung và các bài toán quy hoạch
toàn phương với miền ràng buộc toàn phương nói riêng. Đề tài “Điều kiện
cực trị cho bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương” tập
trung làm rõ các vấn đề liên quan đến bài toán quy hoạch toàn phương, đặc
biệt nhằm mở rộng cách tiếp cận trên cho bài toán quy hoạch toàn phương
với ràng buộc toàn phương.

3


Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng bản thân còn hạn chế
nên khoá luận mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, trình bày các nội dung
chính theo chủ đề dặt ra. Trong quá trình viết khoá luận cũng như xử lý văn
bản, sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự
đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc, để đề tài được hoàn thiện hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về các nội dung liên quan đến bài toán quy hoạch toàn
phương. Đặc biệt nghiên cứu các điều kiện cần và đủ tối ưu toàn cục cho
các bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc toàn phương trên cơ sở
việc tìm đánh giá dưới đối với hàm mục tiêu và khai thác tính bị chặn của
các biến nhằm đưa ra các đặc trưng cần cũng như đủ cực trị toàn cục cho
bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu về bài toán quy hoạch toàn phương.
3.2. Nghiên cứu điều kiện tối ưu toàn cục cho bài toán quy hoạch toàn
phương với ràng buộc toàn phương.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Quy hoạch toán học, Lý thuyết tối ưu, Tối ưu toàn cục.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
6. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu và đưa ra được các điều kiện cần và đủ tối ưu toàn cục sẽ
là những đóng góp có ý nghĩa giúp giải các bài toán tối ưu toàn phương với
ràng buộc toàn phương.

4


7. Cấu trúc khoá luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, khoá luận bao gồm hai chương:
Chương 1. Bài toán quy hoạch toàn phương
Chương 2. Điều kiện tối ưu toàn cục cho bài toán tối ưu toàn phương
với ràng buộc toàn phương.

5


Chƣơng 1. Bài toán quy hoạch toàn phƣơng
Bài toán quy hoạch toàn phương là một phần của bài toán quy hoạch
phi tuyến. Chương này, trình bày một số nội dung liên quan đến quy hoạch
toán học, bài toán quy hoạch toàn phương. Chẳng hạn, khái niệm bài toán
quy hoạch toán học, nghiệm toàn cục, nghiệm địa phương, bài toán quy

hoạch toàn phương, ma trận xác định dương (tương ứng, xác định âm), ma
trận xác định nửa dương (tương ứng, xác định nửa âm)…
1.1.Bài toán quy hoạch toán học
̅
Trong phần này, ta ký hiệu 

,

-



*

+

*

+ là

đường thẳng thực mở rộng, n là không gian Euclid n chiều với chuẩn

‖ ‖

(∑

+

với mọi x=(x1, x2,…, xn)n và tích vô hướng
〈

〉

∑

với mọi x=( x1, x2,…, xn), y=( y1, y2,…, yn) n. Trong đó, xT là ma trận
chuyển vị của x. Trong tính toán ma trận, vector được hiểu như là một ma
trận cột những số thực.

6


Hình cầu mở trong  có tâm tại x với bán kính >0 được ký hiệu là
B(x,). Hình cầu đóng tương ứng được ký hiệu là ̅ (
( )

 ‖

*

+. Hình cầu đóng đơn vị ̅ (

+ ̅(

‖

)

*

)
 ‖

‖

) được ký hiệu là ̅  . Cho một tập  ,

̅ và bd được sử dụng tương ứng để biểu thị phần trong
các ký hiệu int, 
của , bao đóng của  và biên của .
̅
Do đó, 

*



trong  chứa  và int=*

(



)



(

+ là tập đóng nhỏ nhất

)+ là tập con mở lớn

̅ \(int).
nhất trong  , bd=
Ta nói, U là một lân cận của x nếu tồn tại >0 sao cho
( )U.
Bài toán được mô tả dưới dạng
* ( )
trong đó, hàm f : 

+

̅ là một hàm cho trước,


(P)
 là một tập hợp con

xác định.
Định nghĩa 1.1. Bài toán (P) được gọi là một bài toán quy hoạch toán học.
Hàm f dược gọi là hàm mục tiêu và

là tập ràng buộc (hay miền chấp

nhận được) của bài toán (P). Các phần tử của tập ràng buộc
các vector chấp nhận được của bài toán (P).

7

được gọi là

Nếu

 thì ta nói bài toán (P) là một bài toán không có ràng

buộc, ngược lại, bài toán (P) là bài toán có ràng buộc.
Ví dụ 1.1.Bài toán ( )

với điều kiện ràng buộc

{
} với điều kiện ràng buộc

Ví dụ 1.2. Bài toán min{f (x)=3

{
Định nghĩa 1.2. Vector chấp nhận được ̅

cuả bài toán (P) gọi là

nghiệm tối ưu (nghiệm tối ưu toàn cục hoặc nghiệm cực tiểu toàn cục) của
bài toán (P) nếu f (x)≥ f ( ̅ ), với mọi x
Ta nói, ̅

.

là nghiệm tối ưu địa phương (nghiệm cực tiểu địa

phương) của bài toán (P) nếu tồn tại lân cận U của ̅ sao cho

f(x)≥f( ̅ ), x

U.

(1.1)

Tập các nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) được kí hiệu là
Sol(P). Tập các nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P), ký hiệu là
loc(P). Hai bài toán tối ưu gọi là tương đương nếu tập nghiệm của chúng
trùng nhau.

8


Định nghĩa 1.3. Giá trị tối ưu v(P) của (P) được xác định bởi
v(P)=inf* ( )

+

(1.2)

Nếu ≠ thì quy ước v(P)=+ .
Nhận xét 1.1. Hiển nhiên, ta có Sol(P)loc(P).
Ví dụ 1.3. Xét bài toán (P) với f(x)=cosx, x =. Khi đó min f(x), với mọi
x , có vô số nghiệm tối ưu toàn cục, cụ thể
Sol(P)={x : cosx=-1}={x=(2k+1)π, k} và v(P)=-1.

Nhận xét 1.2. Nói chung, loc(P)\ Sol(P)

.

Ví dụ 1.4. Cho bài toán (P) với hàm f(x)=2x3-3x2+1 và tập =[-1, + ) thì
̅ =1 là nghiệm địa phương nhưng không phải nghiệm toàn cục của bài toán
(P), vì Sol(P)={-1}.
Ví dụ 1.5. Với trường hợp loc(P)\ Sol(P)= , chẳng hạn cho bài toán (P) với
f(x)=x2 thì ̅ =0 là nghiệm địa phương cũng là nghiệm toàn cục.
Nhận xét 1.3. Thay bài toán (P) ở trên bằng bài toán tìm giá trị lớn nhất sau
max{f(x): x }.

(P1)

Nghiệm ̅ được gọi là nghiệm (nghiệm tối ưu toàn cục hoặc nghiệm
cực đại toàn cục) của (P1) nếu f(x) f(̅) , với mọi x .

9


Ta nói, ̅ 

là nghiệm tối ưu địa phương (nghiệm cực đại địa

phương) của (P1) nếu tồn tại một lân cận U của ̅ sao cho f(x) f(̅) , với
mọi x

U.

Rõ ràng, ̅ là nghiệm cực đại toàn cục (tương ứng, nghiệm cực đại
địa phương) của bài toán (P1) khi và chỉ khi ̅ là nghiệm cực tiểu toàn cục
(tương ứng, nghiệm cực tiểu địa phương) của bài toán tìm giá trị nhỏ nhất sau
min{( -f(x)): x }.

Do vậy, bất kì bài toán tìm giá trị lớn nhất dạng(P1) đều có thể đưa về
bài toán tìm giá trị nhỏ nhất dạng (P). Chẳng hạn, ta xét bài toán tìm giá trị
lớn nhất dạng
maxf(x)= 3x1- x2+

, x=(x1,x2,x3)

với các ràng buộc
{
Ta có, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất dạng
min(-f(x))= -3x1+x2với các ràng buộc
{

10

, x=(x1,x2,x3)


Nhận xét 1.4. Trong trường hợp v(P) là một số thực hữu hạn, vẫn có thể
xảy ra khả năng Sol(P)= .
(

Ví dụ 1.6. Cho bài toán min{f(x)=≥

Ta có, Sol(P)= , loc(P)={x

)

≥

≥ +

+.

Có những cách khác nhau để phân loại bài toán quy hoạch toán học:
 Lồi và lõm
 Trơn và không trơn
 Tuyến tính và phi tuyến tính.
1.2. Bài toán quy hoạch toàn phƣơng.
Định nghĩa 1.4. Chúng ta nói rằng, hàm f : 
phương nếu tồn tại một ma trận vuông A

 là một hàm toàn

cấp n, một vector b và

một số thực α thoả mãn
〈

f(x)=

〉

〈

+ ; b=( + ; x=(

Nếu A=(

( )

(∑ ∑

)

11

〉



α

+ thì (1.3) có nghĩa là

∑

α

(1.3)


Từ

(

) , với mọi x , ta có thể thay thế ma trận A

trong công thức (1.3) bằng ma trận đối xứng (

) Do đó, chúng ta có

thể giả thiết rằng các ma trận vuông của hàm toàn phương là đối xứng. Tập
các ma trận đối xứng cấp n×n được ký hiệu là

.

Định nghĩa 1.5. Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch toàn phương
nếu f là một hàm toàn phương.
Trong (1.3) nếu A là ma trận không thì f là một hàm aphin. Do đó
việc nghiên cứu bài toán tuyến tính là một phần của bài toán toàn phương.
Nói chung, bài toán toàn phương là bài toán không lồi.
Rõ ràng, nếu xoá hằng số α của f trong công thức (1.3) thì chúng
không làm thay đổi các giả thiết của bài toán min{f(x): x }.
Vì vậy để đơn giản hoá hàm mục tiêu, chúng ta thay (1.3) bằng công thức
f(x)=

.

Vẫn dùng các thuật ngữ trong quy hoạch tuyến tính, chúng ta gọi các
dạng của bài toán toàn phương
min= {



≥ },

min= {



≥

min= {



≥

12

≥

},
},


lần lượt là dạng chuẩn tắc, dạng chính tắc và tổng quát. Trong đó,
A là ma trận vuông đối xứng cấp n;
B là ma trận cấp m×n;
D là ma trận cấp s×n;
b là vector n chiều mô tả hệ số của hàm mục tiêu;
x là vector biến quyết định;
c là vector m chiều;
e là vector s chiều.
Các định nghĩa trên của quy hoạch toàn phương được chấp nhận bởi
vì quy hoạch tuyến tính là dạng đặc biệt của quy hoạch toàn phương (với A
là ma trận không).
Định nghĩa 1.6. Một ma trận vuông A 

cấp n được gọi là xác định

dương (tương ứng, xác định âm) nếu vTAv>0, (tương ứng,vTAv<0), với mọi
v \{0}. Nếu vTAv≥0, (tương ứng, vTAv 0) với mọi v thì ma trận A
được gọi là nửa xác định dương( tương ứng, nửa xác định âm).
Trong trường hợp ma trận A là ma trận nửa xác định dương và
tập lồi thì bài toán (P) là một bài toán lồi.

13

là


Chƣơng 2. Điều kiện tối ƣu toàn cục cho bài toán tối ƣu toàn
phƣơng với ràng buộc toàn phƣơng
Chương này trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu toàn cục cho các
bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc toàn phương; đưa ra một vài ví
dụ nhằm minh hoạ cho các điều kiện cần và đủ tối ưu.
2.1. Bài toán tối ƣu toàn phƣơng với ràng buộc toàn phƣơng
Xét bài toán tối ưu với ràng buộc hộp
(GP)

f(x)



với ràng buộc {
ở đó

∏

,



∏

,

-

, f, gk (k=1,2,…,m) là các hàm khả vi liên

-

tục đến cấp hai trên một tập mở của  chứa D.
Xét bài toán tối ưu với ràng buộc rời rạc:
(BP)

f(x)



với ràng buộc {
ở đó



∏

*

+

, f, gk (k=1,2,…,m) là các hàm khả vi liên tục đến cấp hai trên

một tập mở của  chứa D

∏

,

-

14


Trong chương này, ta xét bài toán tối ưu toàn phương với ràng buộc
toàn phương (QP), (BQ) lần lượt là trường hợp đặc biệt của bài toán (GP)
và (BP):
(QP)



với ràng buộc {

ở

đó

A=(

)

Sn,



b ,

∏
Ak=(

,



)

,

bk ,

ck,

,

bk ,

ck,

k=1,2,…,m.
(BQ)



với ràng buộc {

ở

đó

A=(

)

Sn,



b ,

∏
Ak=(

*
)

+


k=1,2,…,m.
2.2. Điều kiện tối ƣu toàn cục cho bài toán tối ƣu toàn phƣơng với ràng
buộc hộp
2.2.1. Điều kiện cần tối ƣu toàn phƣơng
Xét bài toán (QP).

15


Trong mục này, ta luôn giả thiết rằng các ma trận Ak, k=1,2,…,m có
các phần tử không âm trên đường chéo.
Đặt

f(x)=

,

gk(x)=

và gọi  :={xD: gk(x) 0,k=1,2,…,m} tập các điểm chấp nhận
được của bài toán (QP). Lấy ̅ . Khi đó, với mỗi i=1,2,…,n, k=1,2,…,m,
đặt
( )  }

{

( ̅) (

√(

̅)

̅ ( ̅)

̅)

{

̅) ̅
(

)

( ̅)

(
(

(

(2.2)

̅) ≥

( ̅)

(

̅)

̅)

và
( ̅) (

̅ ( ̅)

(

̅)
̅) ̅

(

√(

̅)

( ̅)

( ̅)

(

̅)

(

{

(

̅)

̅)

Hiển nhiên, với mỗi i= 1, 2,…, n và k =1, 2 ,…, m ta có ̅ ( ̅ )
̅ ( ̅)
( ̅ )={

. Ta dễ dàng kiểm tra được rằng ̅ ( ̅ )
*

̅ ( ̅)

̅ ( ̅)

)

ế

16

̅

và

̅ ( ̅ ) Đặt

̅ ( ̅ ) ̅ ( ̅ )
á ườ
ợ
á

(2.4)


( ̅ )={
̅

*

̅ ( ̅)

* ( ̅)

+

̅ ( ̅)

* ( ̅)
̅

̅ ( ̅ )
ợ
á

̅ ( ̅)
á ườ

ế

(2.5)

+.

(2.6)

Nhận xét 2.1. Lấy ̅ là một điểm chấp nhận được của (QP). Ta khẳng định
rằng với mỗi i= 1, 2,…, n và xi[ ̅
( ̅

̅

̅ - ta có
̅

̅ )

là một điểm chấp nhận được của (QP). Thật vậy, vì xi[ ̅

̅ - nên xiD.

Từ (2.1)- (2.6) suy ra rằng với mỗi i= 1, 2,…, n và k =1, 2 ,…, m ta có
(

̅)

(

̅) (

( ̅)

( ̅)

(

)

tại ̅ ta có

Áp dụng công thức Taylor với
( )

̅)

( )

∑

(

̅ )(

∑(

( )

(

(

̅)

̅)

17

(

̅)

̅) (

̅)

(

̅) (

̅) (

̅)

̅)


Từ (2.7) ta suy ra rằng

(

( )

(

̅)

̅) (

̅)

( ̅)

Do đó xi là một điểm chấp nhận được của (QP).
Lấy ̅ là một điểm chấp nhận được của (QP) . Với mỗi i= 1, 2,…, n,
đặt
( )

{

}

̅
̅
̅
̅
̅
̅
̅

̅
̅ , ̅ ̅ -

(

)

(

)

̅

̃
{(

̅)
*

+

(2.10)

Kết quả sau đây cho một đặc trưng điều kiện cần tối ưu toàn cục cho bài
toán tối ưu (QP).
Định lý 2.1. Nếu ̅ là nghiệm cực tiểu toàn cục của bài toán (QP) thì với
mỗi i=1,2,…,n, ta có
( ̅

̅)

̃(

Chứng minh. Vì

18

̅)

(

)


f(x)=

, gk(x)=
( )=A,

nên f(x)=Ax+b,
và

( )

( )

,

.

Gọi  :={xD: gk(x) 0,k=1,2,…,m} là tập các điểm chấp nhận được của
bài toán (QP). Vì ̅ là nghiệm cực tiểu toàn cục của (QP) nên
f(x)-f( ̅ ) ≥ , x.

(2.12)

Áp dụng công thức Taylor cho hàm f tại ̅ , ta suy ra rằng với mọi x, tồn
tại zD sao cho
( )

( ̅)

( )

∑

( )

∑( ∑

(

(

̅ )(

̅ )(

̅)

̅)

Do đó với mỗi i=1, 2,…, n và xi[ ̅

̅ -, ta có

(

̅) (

(

̅)

(

Thật vậy, nếu trái lại thì phải tồn tại i0 và

[ ̅

được thoả mãn. Khi đó, bằng việc lấy ̃

( ̅

(và do đó ̃  bởi nhận xét 1.1), ta có

19

∑(

̅) (

̅) (

̅)

̅)≥

̅ ), ≥

(

)

̅ - sao cho (2.13) không
̅

̅

̅ )


( ̃)

( )

( ̅)
(

(

̅ )

(

(

̅ )

̅) (
̅) (

̅ )
̅ )

Điều này mâu thuẫn với (2.12), và do đó ta có (2.13).
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng (2.13) tương đương với (2.11) bằng việc
xét 4 khả năng có thể xảy ra dưới đây:
Trường hợp 1: ̅
Trường hợp2: ̅
xi( ̅

̅

̅ . Rõ ràng (2.13) tương đương với (2.11).

̅

̅ . Khi đó (2.13) được thoả mãn khi và chỉ khi

̅ -,
(

Nếu

≥

nếu (

̅)

(

̅) ≥

thì (2.14) thoả mãn khi và chỉ khi (
̅)

thì lấy

)

̅ ) ≥ . Thật vậy,

đủ gần ̅ , ta có

(

̅)

(

̅)

Điều này mâu thuẫn với (2.14). Ngược lại, nếu (

̅) ≥

thì hiển

≥ .

nhiên (2.14) được thoả mãn khi
Nếu

(

ta kiểm tra được rằng (2.14) thoả mãn khi và chỉ khi
( ̅

̅)

(

20

̅) ≥