Winner - 2016
Hong Bỏ Mnh_ST:0986.960.312
CHNG I: HM S
1. Túm tt lý thuyt
1.1.
nh ngha: y f x : t tng ng s thc x vi 1 v ch 1 s thc y thụng qua quy tc f
1.2.
Min xỏc nh: D các giá trị x đảm bảo biểu thức của f(x) có nghĩa
1.3.
1.4.
1.5.
Min giỏ tr: G các giá trị của y có được từ x thông qua quy tắc f(x)
Tớnh n iu, b chn trờn, b chn di, b chn
Hm ngc: y f x x f 1 y f x đơn điệu
2. Bi tp
2.1.
2.2.
x 3 1
; y 1 ln 2e e 2x
3x 1
Hm s sau cú hm ngc khụng: y x 2 ln x ; y x 3 3x 4 ; y x 3 3x 2 3x 1
Tỡm MX: y ln ln 1 x ; f x 4
CHNG I: GII HN V TNH LIấN TC CA HM S
1. Túm tt lý thuyt
1.1.
Gii hn
Kớ hiu: L lim f x ; L lim f x ; lim f x ; lim f x
x
x a
x a
x a
Cỏc phộp toỏn: nu cú lim f x m ; lim g x n
x a
x a
lim f x g x lim f x lim g x m n
x a
x a
x a
lim f x .g x lim f x . lim g x m .n
x a
lim
x a
x a
x a
f x m
f x lim
x a
n 0
g x lim g x n
x a
lim f x
x a
g x
lim g x
x a
lim f x
x a
mn
m 0
Gii hn mt s hm c bn:
lim a x a 1
x
lim a x 0
x
0 a 1
lim arccos x 0
lim ln x
x
x
lim arccos x
lim ln x
x 0
2
lim arcsin x
lim arc cot x
x
x 1
lim cot x
lim tan x
x 0
lim arccotx 0
x 1
x
x 1
2
2
lim arctan x
x
2
Khụng tn ti gii hn x ca cỏc hm s: sin x ,cos x , tan x ,cot x
Gii hn vụ nh c bn
lim
x 0
sin x
x
lim
x 0
ln 1 x
x
e x 1
1;
x 0
x
lim
u u x 0 khi x 0 thỡ: lim
x 0
sin u
u
lim
ln 1 u
x 0
u
eu 1
1
x 0
u
lim
Mt s cỏch tớnh gii hn thụng dng
(*) Dựng vụ cựng bộ tng ng: sin x ~ x ; ln 1 x ~ x ; e x 1 ~ x ;tan x ~ x ;arcsin x ~ x
1
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
f x
lim
L
g x x a g x
f x
L
(*) Lopitan: lim
x a
(*) Định lý kẹp: lim f x 0 và g x bị chặn hay g x M thì lim f x .g x 0
x a
x a
1.2.
Hàm số liên tục
Với f x xác định trên D , xét x 0 D :
lim f x f x 0
x x
(*) f x liên tục tại x 0 o
lim f x lim f x
x x 0
x x 0
(*) f x liên tục trên D f x liên tục tại mọi điểm x 0 D
2. Bài tập
2.1.
Bài tập giới hạn
Thay
VCB
tương
đương
sin 2x 2 4x 6
L1 lim
ln x 3 26
x 3
L4 lim
x 3
ln cos3x
ln 1 tan x
2
L5 lim
x 0
L10 lim cot 2 x
1
x 2
L3 lim
2
tan 4 x
1 cos x
2
1 1
L6 lim
ln 1 x tan x
x 2 sin 3 x
x 0
L9 lim
L11 lim sin x ln 3 x
L12 lim
L13 lim
x 5 sin x
3x 5 3 2 8x 3
x 0
x
sin t dt
L14 lim
0
2
x 0 x
x 0
ln cos 2t dt
ln 2 cos t dt
2
ln 1 tan 3x 3x 2
2 x
e
L15 lim 0
1 tan 2x
x 0
0
Kẹp
Lũy
thừa
mũ
L16 lim
x x 1 cos x
3
L19 lim 2x 2
2
x
L22 lim tan 3x
1
2 x
L20 lim e cos x
2 x 3 x
L23 lim x cos3x
3x
5
2
1 dt
3x sin 5x
L18 lim
x
e 2x
2
x 0
1
L24 lim x 3
7
x x
sin2 x
x
Nhân
3
1 5x sin 2 x 1
L25 lim x 2 2x x
L26 lim
liên
x
x 0 tan x ln cos3x
hợp
2.2.
Bài tập về sự liên tục của hàm số
L27 lim 2x 1
x
1 sin 2 x
(2) f x
e3
2
t2
3
x 0
4
;x 1
1 x cos
(1) f x
x 1
0
;x 1
x e
0
L21 lim x cot x x
x
x
x 0
L17 lim sin x 1 sin x
x
x 4x 8
x
x 1 x 3x 2
x
1 cos3x
sin x 2 x 2
L8 lim cot 3x
x 0 x 3x
x 3
sin x
x3
x 0
sin 3x 2 2x 8
x 2
L7 lim ln x .ln 1 x
x 0
Ứng
dụng
đạo
hàm
1 x
ln 1 x
L2 lim
x 0
x
arcsin
2
x2
;x 0
;x 0
4x 1
x3 x
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
3
3
;x 1
1 x sin
(3) y
x 1
0
;x 1
(4) f x
x 2
1
1 e 2 x
1
1 4x 2 1cos2 x ; x 0
(5) y
a
;x 0
Tìm a
để
hàm số
1
6
5
liên
;x 3
x 3 arctan
(7) f x
x 3
tục
a
;x 3
x
2
;x 2
4 x sin
(6) y
x 2
a
;x 2
CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ
1. Tóm tắt lý thuyết
f x f x0
f x f x0
; f x 0 lim
x x
x x
x x0
x x0
dy df x
4
5
n
1.2. Kí hiệu đạo hàm của y f x : y f x
; y , y , y , y ,..., y ,...
dx
dx
1.1. Định nghĩa đạo hàm: f x 0 lim
0
0
1.3. Công thức đạo hàm hàm số cơ bản
1.4. Đạo hàm theo quy tắc
Nếu có u u x ; v v x sao cho tồn tại u x ; v x thì:
Với C là hằng số
C0
Cu Cu
uv u v v u
u v u v
u u v v u
v v 2
1.5.Đạo hàm của hàm hợp
Nếu có hàm số của biến u là f u , trong đó u là hàm số của x , tức là u u x thì:
f x
df u df u du
.
f u .u x
dx
du dx
1.6. Khai triển Taylor, Mac Laurin
Tay lor: f x f x 0
f x0
1!
x x0
f x 0
2!
x x0
2
f n x 0
n
...
x x 0 r x
n!
f c
n 1
n
x x 0 với c nằm giữa x và x 0
r x o x x 0 hoặc r x
n 1!
n 1
Mac Laurin: f x f 0
f 0
1!
r x o x n hoặc r x
x
f 0
2!
x2
f 0
3!
x 3 ...
f n 0 n
x r x
n!
f n 1 c n 1
x với c nằm giữa x và 0
n 1!
1.7. Vi phân
3
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
Xét y f x có đạo hàm tại x 0 (còn gọi là khả vi tại x 0 ). Khi đó:
f x 0 lim
x x 0
f x f x0
f x f x 0 x x 0 f x 0 o x x 0
x x0
Vi phân của hàm f x tại điểm x 0 là: df x 0 x x 0 f x 0 .
x x x 0 ; f x f x f x 0 thì: df x 0 x .f x 0 và y f x x .f x 0 o x
Tổng quát ta có:
dy df x x .f x
y dy o x dy ®iÒu nµy gióp ta tÝnh to¸n xÊp xØ
2. Bài tập
2.1.Đạo hàm
Dùng định nghĩa tìm công thức đạo hàm của: sin x ; cos x ; tan x ; arcsin x ; a x ; ln x ; loga x
Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau
c , f x x 4 ln 3 5x 2 9
b , y x 1 sin 2 x 2 1
a, y f x 2 x 1 x 2
1
1
6
5
5
4
; x 1
;x 2
x 2 arctan
x 1 cos
e, y
d,y
x 1
2x
0
0
; x 1
;x 2
Chứng minh hàm số sau liên tục nhưng không có đạo hàm tại x 0
a, f x
x
x 1 1
b , y x 1arctan x 1 ,
x0 1
3
, x0 1
Chứng minh các hàm số có hàm ngược và tính
a, y f x x 3 3x 2 6x 2
b , y f x 2x cos x ;
TÝnh f 1 2
4
1
TÝnh f
1
1
2
3
;x 3
x 3 sin
y
3x
0
;x 3
3
arctan
;x 0
x
c , f x
;x 0
2
c , y f x 2x 2 ln x
1
TÝnh f
e , y f x 3x 3cos x
6
d , y f x 1 2x x 3
TÝnh f
1
TÝnh f
2
f , y f x x 3 3x 2 3x 1
2
TÝnh f
1
Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm
(1) y 2 3x .
3
2 3
5 x
3x 2 x
1 2t 2 dt
(4) y
1
2
(2) f x e
2
4
(5) y
8
x
4x 1
x
(3) f x e x e t t 1dt
2
x2
x
x
x
arctan
2
x
arctan
ln
x
1
2
2 4
2
4
4
x2
3 x
x 2 t 3 2
(6) y e 2t 3dt
0
(9) y 2 x 2 2 arccos
3x
(7) y
x 1
3
1 t dt 2x
2
0
x 4x2
2
Khai triển Taylor, Mac Laurin
3
3
(8) y
0
x2
4
3
2 9t 2 dt 3 3x
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
(2) f x ln 1 x
(1) y e 2x 3x 1 Mac Laurin cấp 3
x 1
Mac Laurin cấp 4
(3) f x ln x 2 5x 6 Mac Laurin cấp 4
(4) y 4xe x x 2 3 , Taylor bậc 3 tại x 0
(5) y x 3x 1 , Mac Laurin bậc 5
(6) f x
(7) y x 1 arcsin x 1 , Taylor bậc 5 tại 1
(8) y x 1 arctan x 1 ,Taylor bậc 5 tại 1
e 6 x
(9) y 2
, Mac Laurin cấp 2
x 15x 26
(10) y e sin x dx , Mac Laurin cấp 4
3x 1
, Taylor bâc 3 tại 1
x 5x 6
2
3
3
x
0
Ứng dụng phân tích kinh tế
1) Một doanh nghiệp độc quyền đứng trước đường cầu Q D 100 2 p . Tính hệ số co giãn của cầu
theo giá tại mức giá p 10 và nêu ý nghĩa.
2) Hàm cầu và hàm cung của người tiêu dùng đối với một loại sản phẩm lần lượt là
Qd 54 3 p ;Qs 2 p 2 10 . Tính hệ số co dãn của hàm cung và hàm cầu tại mức giá cân bằng
và giải thích ý nghĩa.
1
3) Một công ty độc quyền có hàm doanh thuTR 200Q Q 2 . Tính hệ số co giãn của cầu theo
6
giá tại mức giá p 50 và giải thích ý nghĩa.
5Q 2
4) Biết hàm tổng chi phíTC 5000
, Q là sản lượng. Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại
Q 3
Q = 17 và giải thích ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.
2
3
5) Ước lượng hàm sản suất của một công ty có dạng Q 90L L 0 .Cho biết giá sản phẩm
bằng 3, giá thuê 1 đơn vị lao động bằng 2 và chi phí cố định 100 000. Xác định mức sử dụng lao
động L để công ty tối đa lợi nhuận
6) Một doanh nghiệp độc quyền có hàm doanh thu biến MR 300 Q và hàm tổng chi phí
TC 2Q 2 30 . Tìm mức sản lượng mà doanh nghiệp tối đa lợi nhuận.
7) Hàm cầu đối sản phẩm của một nhà độc quyền là Q 80 0,2 p . Hàm chi phí biên của nhà sản
suất tại mỗi mức sản lượng MC 3Q 2 20Q 200 . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức
giá mà doanh nghiệp tối da lợi nhuận và nêu ý nghĩa kinh tế của kết quả nhận được.
8) Hàm cầu thị trường đối với sản phẩm của một hãng độc quyền có dạng p 1400 4Q :
a. Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại p 80 và nếu ý nghĩa
b. Biết hàm chi phí sản xuất của hãng là TC Q 3 7Q 2 80Q 844 , hãy xác định mức sản
lượng tối đa lợi nhuận
2.2.Vi phân
(1) Viết biểu thức vi phân của các hàm số sau:
a, y e
2x
2x 1
b , y ln
x 1 3x 2
3
x 2
c , y ln tan
2x 1
4
(2) Cho hàm số f x 3x 4 4x 3 . Tính df 1 trong các trường hợp
a , x 1
b , x 0,2
c , x 0,05
CHƯƠNG III: HÀM NHIỀU BIẾN: ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN – CỰC TRỊ
5
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hàm 2 biến: z f x ; y , n biến: w f x 1 ; x 2 ;...; x n
w
f x x ; y f x
x
2w
2w
2w
2 ; w xy
Đạo hàm cấp 2, hỗn hợp cấp 2: w x2 w xx
; w yx
x
x y
y x
1.3. Công thức định nghĩa: f x ; y với x 0 ; y 0 thuộc miền xác định
1.2. Đạo hàm riêng: w f x ; y ; z : w x
f x ; y 0 f x0 ; y 0
x x0
Riêng
cấp 1
f x x 0 ; y 0 lim
Hỗn
hợp
cấp 2
f xy x 0 ; y 0 lim
x x 0
y y 0
f x0; y f x0; y 0
y y
y y0
f x ; y 0 f y x 0 ; y 0
f yx x 0 ; y 0 lim y
x x
x x0
f y x 0 ; y 0 lim
0
f x x 0 ; y f x x 0 ; y 0
y y0
0
1.4. Vi phân toàn phần của hàm w w x ; y ; z
Cấp 1
dw w x dx w y dy w zdz
1.5. Hàm ẩn
Hàm
Cấp 2
d w w x dx w y dy w z dz 2 2w xy dxdy 2w xz dxdz 2w yz dydz
2
2
2
2
2
2
Đạo hàm
Phương trình xác định
y y x
F x ; y 0
y x
z z x ; y
F x ; y ;z 0
z x
F
F x
; y x y x x
F
F y
y
F x
F y
F x
F x
; z ; z x ; z xy
F
F z y
F z
F z x
y y
2
1.6.Cực trị w w x ; y ; z
Cực trị tự do
Hàm số
w x ; y
w x ; y ;z
Điều kiện cần
Đạo hàm bậc 2
a11 w x2
w x 0
M x 0 ; y 0 a22 w y2
w
0
y
a12 a21 w xy
w x 0
w y 0
w z 0
M x0; y 0;z 0
Điều kiện đủ
Cực đại
a11 0
a11 0
a a a a 0
a11a22 a12a21 0 11 22 12 21
a11 a12 a13 D1 0; D 2 0;
H a21 a22 a23 D 3 0
k
a
31 a32 a33 1 D k 0
;... k 1,2,3
a11 w x2 ;a12 w xy
6
Cực tiểu
D1 0; D 2 0;
D3 0
Dk 0
k 1,2,3
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
Cực trị với điều kiện
(*)Hàm Lagrange Hàm số
(*)Điều kiện cần
(*)L w x ; y
Đạo hàm bậc 2
b g x ; y
w x ; y
0 g1 g 2
H g 1 L11 L12
g L
L22
2
21
g 1 g x ; g 2 g y
Lx 0
(*) L y 0 M x 0 ; y 0
L 0
g x ; y b
Điều kiện đủ
Cực đại
Cực tiểu
H 0
H 0
L11 Lx ; L12 Lxy
víi 0
2
2. Bài tập
2.1.Đạo hàm riêng
3y
2 x
(2)w x 2 y 2 f
x g
x y
4y
(3) Cho f x khả vi tại mọi x và f 1 1 1; f 1 0 . Xét hàm số
(1)w x 2 2 y 2 f x 2 y 2
Dạng
1
w 2x 3y f x 2 y 2 . Hãy tính đạo hàm riêng cấp 2:
2w
0; 1
x y
x
y
u
u
(5) u f ;tan cmr: x
y
0
x
x
y
y
(6) Cho f u ;v thỏa mãn f 1;0 f u 1;0 2; fv 1;0 1 và
(4)w e 3x
2
y
5zx
3
2 y 2 x . Tính w 1;2;0
y
y x
w x y .f ;sin
. Tính: w x 2;2
2x y
x
1
(1) f x ; y 2 3 y 2 . Tính f y 1;3
(2) f x ; y y 2 3 3 x . Tính f x 2;1
x
2y 1
2
; x ; y 2 : x 0
x y 2 arctan
x
(3) w
. Tính f x 0;3 ; f y 0;3
2
0
; x ; y ;x 0
x 3 xy y 3 2
;x y 2 0
2
2
Dạng (4) f x ; y x y
2
0
;x y 0
xy 2x 2 y 2
;x 2 y 2 0
(5) f x x 2 y 2
0
;x y 0
Tính f xy 0;0
Tính f x 0;0 , f y 0;0
x 3 xy y 3
;x 2 y 2 0
2
2
(6) f x ; y x y
0
;x y 0
Tính f x x ; y
x 2 2y 3
;x 2 y 2 0
2
2
(7) f x ; y 2 y 3x
0
;x y 0
Tính f xy x ; y
2.2.Vi phân toàn phần
Viết biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số sau
1) z 5x 7
2
3x 2 y
2)w y 3arc cot x
2
7
y
5x 2 5z 3
3)w
4
2y
sin y
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
x
z
4) z z x ; y xác định bởi
ln 1
z
y
5) z z x ; y xác định bởi z e y sin
6) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của F x ; y 4 3y 8x 4x 2 y 2
x
2y
z
7) Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 của z z x ; y xác định bởi x 2 y 2 z 2 x y 4z
9
0
2
2.3.Cực trị
Cực trị tự do
a , u 3x 2 4 y 2 5z 2 4xz 6x 8 y 15
c, w 4x 2 2 y 2 5z 2 4xy 12 y 15z 4
1
e , z y 4 8xy 4x 2 13
8
g , z z x ; y z 1 xác định bởi:
b , w 3x 2 3y 2 11z 2 6xz 12x 12 y 20z 1
d , u x 2 4 y 2 9z 2 4 yz 6x 8z 5
1
f , z y 4 12xy 6x 2 11
3
h , z z x ; y z 1 xác định bởi phương trình:
x 2 3y 2 z 3 2x 12 y 15z 27 0
x 2 3y 2 z 3 2x 12 y 2z 14 0
Cực trị kèm điều kiện
1) w x 0,5 y 0,3 điều kiện 5x 2 y 656
1
1 1
1 1
3) z điều kiện 2 2
x
y
x y
9
2) w x 0,8 y 0,6 điều kiện 8x 5y 280
4) z 2x 2 y 2 2xy 3x 4 y ; x 2 y 3
2.4.Ứng dụng phân tích kinh tế
Hàm
sản
xuất
Cực
trị
tự do
1. Mô ̣t doanh nghiê ̣p có hàm sản xuấ t Q 8 3 K L .
a. Đánh giá hiệu quả theo quy mô của doanh nghiệp
b. Hãy tính sản phẩ m hiê ̣n vâ ̣t câ ̣n biên của tư bản và lao đô ̣ng ta ̣i mức L 16; K 8 và
giải thích ý nghĩa.
2
1
2. Cho hàm sản xuất Q 65K 3 L3
a. Tính sản phẩm hiện vật cận biên theo vốn và lao động tại mức K = 64, L = 125 và
cho biết ý nghĩa kinh tế.
b. b. Nếu giá một đơn vị tư bản K là 16$ và giá một đơn vị lao động L là 7$ và doanh
nghiệp sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức k = 64, L = 125 thì doanh nghiệp nên sử
dụng thêm một đơn vị tư bản hay một đơn vị lao động mỗi ngày? Vì sao?
1. Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là:TC 7Q12 2Q 22 5Q1Q 2
Biết giá các sản phẩm tương ứng là p1 65, p 2 45 . Hãy các định các mức sản lượng cho
lợi nhuận tối đa.
2. Một doanh nghiệp độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm tổng chi phí:
TC Q12 2Q1Q 2 Q 22 40
Cầu của thị trường đối với xác sản phẩm như sau Q1 35 0,5 p1 ; Q 2 40 p 2 . Hãy chọn
mức sản lượng kết hợp và giá bán cho lợi nhuận tối đa. Tại điểm tối đa hóa lợi nhuận,
nếu giả sản phẩm 1 tăng 3% thì cầu sản phẩm đó thay đổi như thế nào?
3. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hoạp 3 loại sản phẩm với hàm tổng
3
chi phí kết hợpTC Q12 2Q 22 Q 32 Q1Q 3 2Q 2Q 3 . Hãy chọn kết hợp sản lượng cho
2
lợi nhuận tối đa khi giá các sản phẩm là p1 20$; p 2 28$; p 3 26$ .
4. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường khác nhau
(Được phép phân biệt giá). Cho biết hàm chi phí cận biên:
8
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
MC 3,5 0,1Q ; Q Q1 Q 2
Và cầu của các thị trường đối với sản phẩm: p1 24 0,3Q1 và p 2 18 0,15Q 2 .
Xác định giá bán trên mỗi thị trường để công ty thu lợi nhuận tối đa
1. Cho hàm lơ ̣i ích của hô ̣ gia đình khi tiêu dùng 2 loa ̣i hàng hoá U 10x 0,6 y 0,4 trong đó x
là lươ ̣ng hàng hoá thứ nhấ t, y là lươ ̣ng hàng hoá thứ 2. Trong điề u kiê ̣n giá của hàng hoá
thứ nhấ t là 10$, giá của hàng hoá thứ 2 là 3$ và thu nhâ ̣p dành cho tiêu dùng là 3000$.
Hãy xác định cơ cấ u tiêu dùng tố i đa hoá lơ ̣i ić h và xác định mức lơ ̣i ić h tố i ưu tăng thêm
khi lươ ̣ng tiề n dành cho tiêu dùng tăng 1$ (và khi tăng 1%).
2
3
Cực
trị
điều
kiện
1
3
2. Cho hàm lơ ̣i ích U 20x y với x,y lầ n lươ ̣t là lươ ̣ng cầ u của hàng hóa 1 và 2. Biế t giá
mỗi đơn vi ̣hàng hóa lầ n lươ ̣t là $8 và $4. Hãy tìm lươ ̣ng cầ n x,y để người tiêu dùng tố i
thiể u hóa chi tiêu của mình với lơ ̣i ić h không đổ i là 400.
3. Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q 120K 0,7 L0,4 . Sử dụng phương pháp nhân
tử Lagrange, tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào của sản xuất sao cho doanh nghiệp phải
bỏ ra chi phí nhỏ nhất khi sản xuất Q 0 4000 đơn vị sản phẩm. Cho biết giá thuê tư bản
và lao động lần lượt là w K 16 ; w L 14 .
4. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q 20K 0,4 L0,4 . Giả sử giá thuê một đơn vị tư bản là
$10, giá thuê một đơn vị lao động là $8 và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách
cố định là $320. Tìm mức sử dụng lao động và tư bản để doanh nghiệp có sản lượng cực
đại. Khi ngân sách sản xuất tăng 3% thì sản lượng cực đại thay đổi như thế nào?
CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN
1. Tóm tắt lý thuyết
b
1.1.Tích phân: f x dx ; f x dx
a
x
1.2.Hàm cận trên: nếu có f x F x thì: F x f t dt ; với u u x thì F u
a
b
u x
a f t dt
1.3.Định lý giá trị trung bình: f x dx f c b a trong đó c là 1 giá trị nào đó nằm giữa a, b
a
1.4.Bảng nguyên hàm
1. kdx kx C
2.
x dx
u u x ; du u dx
x 1
C 1
1
u du
u 1
C
1
3.
du
2 u C
u
du
u ln u C
au
u
a
du
C
ln a
sin udu cosu C
7.
cos xdx sin x C
tan xdx ln cos x
cosudu sin u C
tan udu ln cosu C
dx
2 x C
x
dx
4.
ln x C
x
ax
C
5. a x dx
ln a
6. sin xdx cos x C
8.
C
9
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
9.
cot xdx ln sin x
10.
11.
dx
1 x
2
dx
cot udu ln sin u C
C
arcsin x C
ln x x 2 b C
1u 2
arcsin u C
du
ln u u 2 b C
u b
du
1 u 2 arctanu C
x b
dx
12.
arctan x C
1 x 2
2
du
2
1.5.Các dạng tích phân thông dụng
Công thức tích phân từng phần:
Đặc điểm
u P x là đa thức
Bất định
b
b b
a udv uv a a vdu
udv uv vdu
v sin ax ; cos ax ; e ax ; ln ax ; arctan ax
Đổi biến: t
Xác định
ax b ; 3 ax b ; ...
b
Công thức thế cận: F x f x f x dx F x
a
b
F b F a
a
1.6.Tích phân suy rộng, hội tụ, phân kì
2. Bài tập
Phân thức
1)
Lượng
giác
1)
1)
Căn thức
1
dx
4x 5x 1
2
dx
cos x
2)
dx
2 1 6x 1 3x
2)
3
cos4 x
dx
x 4x 5
2
2x 4 x 2
b , 3x 1 cos 3x dx
d ,
e,
1)
1
x2
dx
x 4x 5x 1
0
2
x
4) x 2e 3 dx
0
7) e 2 x cos 2xdx
x2
arctan x
x
2
dx
dx
xdx
4x 20x 2 26
2)
5)
0
4
dx
4 x 1 2 x
8) 3x 2 sin 5xdx
0
10
2sin x cos x 3
dx
x 2 4 x 5
2
a , 7x 1 e 3x 1dx
dx
dx
1
5)
ln 2x 5
4
3)
4) x 3 1 x 2 dx
3
Suy rộng
Tính và
cho biết
các tích
phân sau
hội tụ hay
phân kì
3)
dx
1
0
Từng phần
xdx
x 5x 2 6
0
3)
dx
2)
5 4x x 2
dx
6)
x 4x 4 1
c , e 3x sin 2xdx
f ,4 x
3)
2
1 x
e dx
x x
dx
x 3x 2 4
4
6) e x cos 2xdx
0
9)
1
ln 5x 2
x2
dx
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
CHƯƠNG V: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1.Phương trình vi phân : F x ; y ; y ; y ;dy ;dx 0
1.2.Nghiệm tổng quát và tích phân tổng quát
y y x C =>Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (Rút được y theo x)
x ; y C =>Tích phân tổng quát của phương trình vi phân (Không rút được y theo x)
1.3.Một số dạng phương trình vi phân cấp 1 có thể giải được
Phương trình
Dạng
Cách xử lý
f x dx g y dy
Phân ly biến
Lấy tích phân 2 vế
Đưa về phân ly
dy
f ax by
dx
dy
f x ; y f
dx
dz
dy
a b
dx
dx
dy
dz
Đặt y zx
z x
dx
dx
M y N x
Đặt z ax by
y
1; x
Tích phân tổng quát: x ; y C với:
y
x
x ; y M x ; y 0 dx N x ; y dx
Vi phân toàn
phần
x0
M x ; y dx N x ; y dy 0
y0
x
y
x0
y0
M x ; y dx N x 0 ; y dy
M y N x
f x dx
f x p x e
N
M y N x
f y dy
f y p y e
M
Thừa số tích
phân
Tuyến tính
y p x y q x
Bernoulli
y p x y y q x 1
Biến thiên hằng số
Đưa về tuyến tính bằng cách:
y
p x y 1 q x
y
Rồi đặt z z x y 1
2. Bài tập
Phân ly biến (tách biến)
xy
1
1)
y
2x 3
Đưa về phân ly biến
a , y sin 2x y
dy 2x y
dx x 2 y
g , 3x y dx x 2 y dy 0
d,
2) y 3x 2 y 4x 2 y 3
3) x 2 3x 2 y 2 y y x 1
c , 2x 6 y 3 dx x 3y 1 dy 0
b , y 4x 2 y
dy
2
f , x 2 6xy y 3y 2 5x 2 2xy
e , 8x 2 y 1
dx
h , 4 y 6x 3 dx 3x 2 y 4 dy 0
Phương trình vi phân toàn phần
11
Winner - 2016
Hoàng Bá Mạnh_SĐT:0986.960.312
x
1, xy 2 x 2 y 2 dx x 2 y y 2 5 dy 0
3
2
2
2x
y 3x
3, 3 dx
dy 0
4
1
2x
2, 2xy 2 dx x 2 3 dy 0
y
y
3
4, 2xydx x 2 y 2 dy 0 thỏa y 1; x 0
y
y
5, y 2 x y ln x y dx x 2 x y ln x y dy 0
Thừa số tích phân
2, 3x 1 y 4x 5y
1, ydx x y 2 dy
4, 2xydx y x 2 dy 0
5,
dy 1 xy
dx x 1
y2
3, 2x
3x 3 dx xy y dy 0
2
6, y 2 cos xydx y xy cos xy dy 0
Phương trình tuyến tính
1) y
y
x 1
x 2 x 2 ln 3x
4) y y 4 x
1
x x
7) 3x 1 y 4x 5y
2) xy y x 2e x
5) y y
2 x e x
x
dy 1 xy
8)
dx x 1
3
3) x
dy
2 x y x x 2 e x
dx
6) x 2 3x 2 y 2 y y x 1
9) y
2x 6
y 2x 7
x 6x 13
2
Phương trình Bernoulli
1) y . y 7xy 2 2x
4) y y 2e x 2 y 0
dy
7)
3y tan 3x y 2 2x 5 cos3x
dx
9)
y 5 ln x
x
x
2
3
5) 3y y y x 0
2) y
2y
3) y 3x 2 y 4x 2 y 3
6) xy y x 3 y 4
8) 3 y 2 x 2 dx y 6xy dy 0
dy
4 y tan 2x 4 cos2x
dx
12