skkn một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 chứng minh tứ giác nội tiếp

MỤC LỤC
Nội dung
Phần I Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
Phần II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3. Giải pháp xây dựng để giải quyết vấn đề
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Phần III Kết luận và kiến nghị
1. Kết luận
2. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo

Trang
1
1
1
1
1
2
2
2
3
7
7
7
7

9

CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI.
- Giáo dục và Đào tạo (GD&ĐT)
- Trung học cơ sở (THCS).
- Trung học phổ thông (THPT)

0


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Thực hiện Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp hành
Trung ương Đảng khóa XI “Về đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và Đào tạo,
đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường
định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế", trong những năm qua toàn
ngành Giáo dục và Đào tạo đã có những quyết sách thiết thực nhằm thực hiện
thắng lợi Nghị quyết, trong đó phải kể đến đổi mới phương pháp dạy học chuyển
từ cách dạy truyền thống truyền thụ kiến thức một cách thụ động, sang cách dạy
lấy học sinh làm trung tâm phát huy vai trò của người học.
Đặc biệt ngày 20/9/2017 Ban Thường vụ Huyện ủy Quan Sơn đã ban hành
Nghị quyết số 08-NQ/HU về đổi mới, nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo
huyện Quan Sơn đến năm 2020, Nghị quyết đã thổi luồng sinh khí mới đến công
tác quản lí, chỉ đạo dạy học ở các nhà trường trên địa bàn huyện nói chung và
trường THCS Trung Xuân nói riêng.
Những năm qua, khi dự giờ thăm lớp và tham gia ôn tập cho học sinh lớp 9
thi vào lớp 10 PTTH, tôi nhận thấy trong các bài toán về đường tròn, thì phần
chứng minh tứ giác nội là rất quan trọng, nó luôn chiếm một phần trong các đề
thi từ khảo sát học kỳ đến thi chuyển cấp. Bên cạnh đó khả năng tiếp thu phần
hình học của học sinh là rất hạn chế, các em thường có tư tưởng ngại học vì

không nắm rõ bản chất kiến thức và khả năng tư duy.
Với lý do đó, tôi đã tìm tòi để hướng dẫn học sinh có thể làm được các bài
tập đơn giản về chứng minh tứ giác nội tiếp, với đề tài: “Một số kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh lớp 9 chứng minh tứ giác nội tiếp ở trường THCS
Trung Xuân”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp học sinh nắm rõ về tứ giác nội tiếp
và các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, qua đó hướng dẫn học sinh
giải được các bài tập đơn giản về chứng minh tứ giác nội tiếp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9 trường THCS Trung Xuân trong
hai năm học 2016-2017 và 2017-2018.
- Phạm vi nghiên cứu : Tứ giác nội tiếp - Hình Học lớp 9, học kì 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp khảo sát thực tiễn.
- Phương pháp đọc tài liệu.
- Thống kê, lập bảng số liệu đối sánh.
- Rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.

1


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Khái niệm tứ giác nội tiếp
* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác
có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.

B

A
O

* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp
(O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

C
D

Hình 1
2.1.2. Định lý.
* Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.
* Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  A + C = 1800 hoặc B + D = 1800
2.1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm
đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới
một góc  .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trường THCS Trung Xuân thuộc địa bàn xã Trung Xuân, là trường thuộc
vùng sâu của huyện miền núi Quan Sơn, điều kiện kinh tế - xã hội thuộc vùng
đặc biệt khó khăn, dân số chủ yếu là người dân tộc Thái (trên 98%), số lượng
học sinh trong các năm học gần đây đều dưới 90 em, riêng năm học 2017-2018
có 87 em trong đó có 86 em là dân tộc Thái, 1 em là người dân tộc Kinh. Tổng
số cán bộ, giáo viên, nhân viên hiện tại là 13 người (11 biên chế và 2 hợp đồng).
Tổ Khoa học tự nhiên có 4 người, số giáo viên có chuyên môn giảng dạy môn

Toán là 1, trong đó có 4 giáo viên hợp đồng.
Trường nằm trên địa bàn đông dân với nhiều thành phần kinh tế khác nhau
và khá phức tạp, do đó có ảnh hưởng đến nhận thức và học tập của học sinh.
Một số phụ huynh rất quan tâm đến việc học tập của con em mình nhưng một số
vẫn còn thờ ơ, chưa có sự phối hợp với nhà trường trong việc giáo dục ý thức
2


học cho các em. Trường có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, nhiều giáo viên giảng
dạy lâu năm có kinh nghiệm; đội ngũ giáo viên trẻ giàu nhiệt huyết, chuẩn về
trình độ chuyên môn.
Ban lãnh đạo nhà trường đã tạo được một khối đoàn kết nhất trí cao trong tập
thể sư phạm. Chi bộ nhà trường chỉ đạo kịp thời, sâu sát. Chính quyền, công đoàn,
đoàn thanh niên phối hợp với nhau nhịp nhàng, chặt chẽ, trên cơ sở tôn trọng lẫn
nhau, đã góp phần thúc đẩy nhà trường thực hiện tốt kế hoạch năm học do hội nghị
cán bộ, viên chức đề ra. Hội Khuyến học, Ban đại diện cha mẹ học sinh hoạt động
có hiệu quả góp phần thúc đẩy nhà trường không ngừng phát triển.
2.2.1 Những ưu điểm :
Việc đổi mới phương pháp dạy học “lấy học sinh làm trung tâm” đã và
đang được áp dụng trong nhà trường giúp học sinh phát huy được vai trò chủ
động của mình trong việc lĩnh hội kiến thức, kích thích khả năng sáng tạo của
học sinh trong quá trình học tập. Cùng với việc đổi mới về phương pháp, một số
phương tiện, kĩ thuật dạy học hiện đại cũng đã được áp dụng vào quá trình giảng
dạy của giáo viên trên lớp giúp giờ học sinh động và mang lại hiệu quả cho giờ
học.
2.2.2. Những bất cập:
Khả năng tiếp thu của học sinh còn nhiều hạn chế, đặc biệt là phân môn
hình học. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về
quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác
nội tiếp, …. đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong

chương III hình học 9. Đây là việc làm hết sức quan trọng, nhưng hầu hết học
sinh rất khó nắm bắt.
Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở
định lý đảo “Tứ giác nội tiếp” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt
hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên
chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội
tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu.
Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một
đường tròn. Trong nhiều bài tập không hề yêu cầu chứng minh tứ giác nội tiếp.
nhưng nếu chúng ta chứng minh tứ giác nội tiếp thì lại chứng minh được yêu cầu
của bài toán rất rễ dàng.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Học sinh nắm được phương pháp để học tốt môn Hình học lớp 9 .
Đối với học sinh THCS, đặc biệt là học sinh lớp 9 môn Toán là môn học
khó, bởi có rất nhiều kiến thức và các bài toán vẽ hình, tính toán phức tạp. Để
học tiếp thu được môn Hình học lớp 9 nói riêng và môn Toán 9 nói chung, ta cần
lưu ý thêm những điều sau đây:
2.3.1.1.Nắm thật chắc lý thuyết.
Chương trình Toán lớp 9 có rất nhiều lý thuyết, định nghĩa, định lý, do đó
học sinh phải nắm thật chắc lý thuyết, thuộc các định lý thì mới có thể hiểu và
áp dụng chúng vào các bài tập. Đặc biệt khi chứng minh tứ giác nội tiếp học
3


sinh phải nắm vững các lý thuyết về đường tròn, các các định nghĩa như: góc nội
tiếp, tứ giác nội tiếp, định lí về tứ giác nội tiếp, ....
2.3.1.2. Rèn luyện kỹ năng vẽ hình.
Đối với môn Hình học lớp 9, để làm được bài một cách chính xác trước hết
học sinh cần đọc thật kỹ đề bài. Tôi thường hướng dẫn học sinh vẽ hình bằng bút
chì để có thể dễ dàng sửa lại các lỗi sai, đồng thời vẽ hình thật to và rõ ràng để

làm bài được dễ dàng hơn.
2.3.1.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán.
Để có kỹ năng giải Toán hình học 9 một cách nhanh chóng và chính xác
bạn cần làm thật nhiều bài tập, trước hết là các ví dụ cơ bản trong sách giáo khoa
và sách bài tập, sau đó nên làm các bài tập tổng hợp và nâng cao. Trong mỗi bài
tập nên rút ra các làm tổng quát cho các dạng bài để không bị bỡ ngỡ khi gặp
những bài tương tự, ngoài ra các bạn còn phải đọc sách tham khảo để có được
những bài toán và các dạng toán riêng.
2.3.2. Bài tập minh họa chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1:
A
Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’.
B'
Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
C'
Chứng minh:
Cách 1: Lấy O là trung điểm của cạnh BC.
Xét BB’C có: BB’C = 900 (Giả thiết);
O
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
C
B
(1)
 OB’ = OB = OC = r
Xét BC’C có: BC’C = 900 (Giả thiết).
Tương tự trên  OC’ = OB = OC = r (2)
Từ (1) và (2)  B, C’, B’, C  (O; r)
 Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn.
Cách 2: Ta có: BB’  AC (Giả thiết)  BB’C = 900.

CC’  AB (Giả thiết)  BC’C = 900.
 B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
 B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Bài tập: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O.
Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm
của DE với CB. Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp.
(Đề thi khảo sát chất lượng học kỳ 2 năm học 2016-2017 của Sở GD&ĐT
Thanh Hóa).
Hướng dẫn:
Chứng minh: BEC = BDC = 900
=> Tứ giác BCDE nội tiếp (đpcm)
4


Phương pháp 2: Dựa vào định lý
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn  A + C = 1800 hoặc B + D = 1800
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp
(O), 2 đường cao BB’, CC’.
a. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp.
b. Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.

A
C'

B'

I

O
C

B

D

Chứng minh:
a. (Bài toán 1)
b. Từ câu a  BCB’ + BC’B = 1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà : BCB’ = BDA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
 BDI + BC’I = 1800
 Tứ giác BDIC’ nội tiếp đường tròn (Tổng số đo hai góc đối của tứ giác bằng 1800).
Bài tập: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) đường kính AD. Hai đường chéo
AC và BD cắt nhau tại E. Gọi F là điểm thuộc AD sao cho EF vuông góc với
AD. Đường thẳng CF cắt (O) tại điểm thứ hai là M. BD và CF cắt nhau tại N.
Chứng minh rằng: Tứ giác CEFD nội tiếp. (Đề thi vào lớp 10 THPT của Sở
GD&ĐT Thanh Hóa năm học 2016-2017).
Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc

5


Bài toán 3: Cho  ABC cân ở A
nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB
lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy
điểm N sao cho AM=CN. Chứng minh
tứ giác AMNO nội tiếp.

M
A
1 2

O
B

1

C

N

Chứng minh:
Ta có:  ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC
 A1 = A2
AOC cân tại O (vì OA = OC)
 A2 = C1 nên A1 = A2 = C1 . Mà A1 + OAM = 1800 và C1 + OCN = 1800
 AOM = OCN.
Xét OAM và OCN có :
OA = OC; AOM = OCN (chứng minh trên)
AM = CN (giả thiết)

OAM = OCN (c.g.c)

AMO = CNO hay AMO = ANO
=> Tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng
nhìn cạnh OA dưới cùng một góc).
Bài tập: Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài bằng a. Trên cạnh BC lấy

điểm H và cạnh CD lấy điểm K sao cho góc HAK = 45 0. Gọi M và N lần lượt là
giao điểm của AH, AK với BD.
(Đề khảo sát chất lượng học kỳ II năm học 2017-2018 của Sở GD&ĐT
Thanh Hóa).
Hướng dẫn:

6


+ BD là đường chéo của hình vuông
ABCD => BDC = 450 hay MDK = 450
+ MAK = MDK = 450
=> Tứ giác AMKD nội tiếp (Hai đỉnh
kề nhau A và D cùng nhìn cạnh MK
dưới một gọc 450 không đổi)

Phương pháp 4: Dựa vào đặc điểm tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh
bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của
cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác
PEDC nội tiếp được đường tròn.
M
Chứng minh:
Ta có : MEP = sđ(AD + MB)
A E
P
B
2
( góc có đỉnh nằm bên trong (O))
O

Mà DCP = sđ DM
2
D
(góc nội tiếp)
C
Hay => DCP = sđ(AD + MA)
2
Lại có : AM = MB
Nên : MEP = DCP
Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau nhiều nỗ lực, cố gắng,tìm tòi và không ngừng đổi mới, tôi nhận thấy
không khí và thái độ của học sinh trong giờ học toán, đặc biệt là học toán hình
đã thay đổi đáng kể, nhiều học sinh đã được các bài toán về chứng minh tứ giác
nội tiếp. Kết quả cụ thể như sau:

Năm học

Lớp

Sĩ
số

2016-2017
2017-2018

9
9

21
27

Số học sinh chứng Số học sinh chứng
minh được
minh được
Ghi chú
SL
TL %
SL
TL %
5
23.81
16
76.19
11
40.74
16
59.26

7


Nhận xét: Như vậy, so sánh kết quả khảo sát năm học 2016-2017 với năm học
2017-2018 số lượng học sinh nắm được cách chứng minh tứ giác nội tiếp đã
tăng lên, mặc dù số học sinh chưa nắm được cách chứng minh còn cao nhưng
đây cũng là kết quả tương đối khả quan so với năng lực nhận thức của các em.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận:

Từ việc nghiên cứu đề tài tôi rút ra kết luận sau:
- Đổi mới phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực cho học sinh là một
việc làm cần thiết và phải được thực hiện trong suốt quá trình dạy - học. Để học
sinh có hứng thú trong giờ học và yêu thích môn Toán thì giáo viên cần có “nghệ
thuật” thu hút các em vào bài giảng.
- Từng bước hình thành và củng cố phương pháp học tập bộ môn cho học
sinh. Khi dạy học, cần hướng dẫn kĩ cho học sinh cả kĩ năng vẽ hình, kĩ năng
chứng minh,…
- Đặc biệt, vào giai đoạn ôn luyện cho học sinh thi chuyển cấp đạt kết quả,
giáo viên nên có thao tác hệ thống lại tất cả các kĩ năng, và ra hệ thống bài tập
rèn luyện theo từng dạng bài tập, cho học sinh rèn luyện thành thạo kĩ năng và
nắm vững kiến thức để có thể tự tin khi chứng minh hình.
3.2. Kiến nghị.
Qua việc nghiên cứu và thực hiện đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn
học sinh lớp 9 chứng minh tứ giác nội tiếp ở trường THCS Trung Xuân”, tôi xin
đề xuất một số ý kiến như sau:
* Đối với giáo viên:
- Chấp hành nghiêm chỉnh chủ trương về đổi mới phương pháp dạy học của
Bộ GD&ĐT.
- Thực hiện đúng qui chế chuyên môn, không ngừng học hỏi kinh nghiệm
trong giảng dạy để có phương pháp tối ưu phù hợp với trình độ học sinh ở địa
phương.
- Trong quá trình giảng dạy phải nắm vững trình độ của học sinh để đưa ra
phương pháp giảng dạy phù hợp, linh hoạt, tạo hứng thú cho học sinh và phát
huy tính chủ động sáng tạo của các em.
- Tránh tạo áp lực không cần thiết đối với các em trong các giờ học, luôn
gần gũi và thân thiện với học sinh, dạy bảo các em nhiệt tình, tâm huyết; phát
huy tối đa tính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh, lôi cuốn học sinh vào
bài giảng.
* Đối với học sinh:

- Phải có sự chuẩn bị tốt bài ở nhà theo định hướng của thầy, phần chuẩn bị
phải thật cụ thể, chi tiết.
- Trong giờ học tích cực phát biểu ý kiến xây dựng bài, tự giác và sáng tạo
trong qua trình thảo luận nhóm dưới sự hướng dẫn của thầy.
- Phải nắm chắc kiến thức sau mỗi bài học và áp dụng vào làm các bài tập
để khắc sâu kiến thức.
- Phải có thái độ tôn trọng thầy cô, bạn bè, tôn trọng môn học.
8


Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tôi đã áp dụng qua những
năm giảng dạy. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ nhiều hơn nữa của
Phòng GD&ĐT, Ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn và của các đồng
nghiệp để tôi hoàn thiện bản thân mình.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 4 năm2018.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Đỗ Văn Sơn

Tài liệu tham khảo
1. Thiết kế bài giảng Toán 9 tập 2 - Tác giả Nguyễn Ngọc Diệp (Chủ biên)
2. Toán 9 tập 2 – Tác giả Phan Đức Chính (Tổng chủ biên)
3.Ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán- Tác giả: Tôn Thân (Chủ biên).
4. Các đề kiểm tra học kỳ, đề thi vào lớp 10 THPT của Sở GD&ĐT Thanh Hóa.

9