CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

WWW.DAYHOCTOAN.VN

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017
I. Lý thuyết cần nhớ:
1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì f '( x0 )  0.
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm
số tại ( x0 ; f ( x0 )) song song hay trùng với trục hoành.
2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.
a.) Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng
(a; x0 ) và ( x0 ; b) . Khi đó:
 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0
 Nếu f '( x)  0, x  (a; x0 ) và f '( x)  0, x  ( x0 ; b) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0
b.) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f '( x0 )  0 và f(x) có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . Khi đó:
 Nếu f "( x0 )  0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
 Nếu f "( x0 )  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
II. BÀI TẬP.
Bài 1. Xác định m để mỗi hàm số sau có cực đại và cực tiểu:
3
2
a.) y  x  3x  mx  m  1
4
2
b.) y  x  2(m  1) x  m

x 2  2mx  1
c.) y 

x 1
Gợi ý giải:
a.)
2
2
+ y '  3x  6 x  m ; y '  0  3x  6 x  m  0 (*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
  '  9  3m  0  m  3
Vậy, với m  3 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

b.)
3
2
+ y '  4 x  4(m  1) x  4 x( x  m  1)

x  0
y '  0  4 x( x 2  m  1)  0   2
 x  m  1 (*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
 m  1  0  m  1.
Vậy, với m  1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
1
WWW.DAYHOCTOAN.VN


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

WWW.DAYHOCTOAN.VN

c.)

x 2  2 x  2m  1
+ y' 
;
( x  1)2

x 2  2 x  2m  1
y'  0 
0
( x  1)2
x  1
 2
 x  2 x  2m  1  0 (*)

2
+ Đặt: g( x )  x  2 x  2m  1
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

 '  0
2 m  2  0
m  1



 m  1 .
 g(1)  0
2m  2  0
m  1
Vậy, với m  1 thì hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
1

Bài 2. Cho hàm số: y  x3  mx 2  (m 2  m  1) x  1 .
3

Xác định m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1.
Lưu ý: Hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d ,(a  0) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 khi và chỉ khi
 y '( x0 )  0

 y ''( x0 )  0

 y '( x0 )  0
)
 y ''( x0 )  0

(hoặc 

Ghi nhớ:
Hàm số bậc ba: y  ax 3  bx 2  cx  d , (a  0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y '  0 có hai
nghiệm phân biệt.
Hàm số trùng phương: y  ax 4  bx 2  c, (a  0) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình
y '  0 có ba nghiệm phân biệt.
ax 2  bx  c
, (aa '  0) có cực trị khi và chỉ khi phương trình y '  0 có hai nghiệm
Hàm số: y 
a' x  b'
phân biệt khác 

b'
.
a'

1
3

Bài tập 1. Cho hàm số y  x 3  mx 2  mx  1 . Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x1 ,x2 thoả mãn
x1  x2  4 ?

Gợi ý giải:
* y '  x  2mx  m ; y '  0  x  2mx  m  0 (*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
2

2

m  0
  '  0  m2  m  0  
m  1
* Ta có: x1  x2  4  (x1 - x 2 )2  16  (x1 + x 2 )2  4x1x 2  16 (**)



x + x = 2m

+ Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có: x1 x =2 m
1 2

2
WWW.DAYHOCTOAN.VN


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017


1 - 17
m 
2
2
2
(**)  4m  4m  16  m  m  4  0  
1
+
17
m 

2
1 - 17
1 + 17
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m 
hoặc m 
.
2
2

WWW.DAYHOCTOAN.VN

Bài tập 2. Cho hàm số y  x3  3mx 2  3x  3m  2 có đồ thị là  Cm  . Xác định m để đồ thị  Cm  có điểm
cực đại và cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất?
Gợi ý giải:
2
2
* y '  3x  6mx  3; y '  0  x  2mx  1  0, (*)
+ Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

  '  m 2  1  0, m  R .
Suy ra, với mọi giá trị của m, hàm số luôn có hai điểm cực trị.
* Tìm tọa độ các điểm cực trị của  Cm  : Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị, khi đó hoành độ
điểm A, B là các nghiệm của phương trình (*).
Cách 1: Vì A, B   Cm  nên lần lượt thay các nghiệm của (*) vào hàm số, ta có:
A(m  m2  1; 2m3  2m2 m2  1  2 m2  1  2) ,
B(m  m2  1; 2m3  2m2 m2  1  2 m2  1  2)

Cách 2:
1
3

1
3

- Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng: y  y '.( x  m)  (2m 2  2) x  2m  2 .
- Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có phương trình:
y  (2m2  2) x  2m  2 (**)
- Lần lượt thay các nghiệm của (*) vào (**), ta có:
A(m  m2  1; 2m3  2m2 m2  1  2 m2  1  2) ,
B(m  m2  1; 2m3  2m2 m2  1  2 m2  1  2)

+ AB  (2 m2  1;4m2 m2  1  4 m2  1)
 AB  2 (m 2  1)(4m 4  8m 2  5)  2 (m 2  1)[4(m 2  1)2  1]  2 5

Cách 3:
- Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (*) và lần lượt thay vào (**) , ta có:
A( x1; (2m2  2)x1  2m  2) ,
B( x2 ; (2m2  2)x2  2m  2)
 AB  ( x2  x1 )2  (2m2  2)2 ( x2  x1 )2

 (4m4  8m  5)[( x2  x1 )2  4 x1 x2 ]
 x + x = 2m

- Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có:  x1 x =2 -1
1 2


3
WWW.DAYHOCTOAN.VN


WWW.DAYHOCTOAN.VN

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

 AB  (4m 4  8m  5)(4m 2  4)
 2 [4(m 2  1)2  1](m 2  1)  2 5

+ ABmin  2 5  m  0 .
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m = 0 .
Bài tập 3. Cho hàm số y  x 3  mx 2  12 x  3 . Xác định m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm
cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = x -7?
Gợi ý giải:
* y '  3x 2  2mx  12
y '  0  3x 2  2mx  12  0 (*)
+ Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
 m  6
  '  0  m 2  36  0  
m  6

1
3

1
9

2
9

4
3

* Chia y cho y’ và viết lại hàm số dạng: y  ( x  m).y ' (8  m 2 ) x  m  3 .
2
9

4
3

Suy ra đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu có phương trình y  (8  m 2 ) x  m  3
* Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng -1

2
2
81
9
 1.(8  m 2 )  1  8  m 2  1  81  2 m 2  0  m 2 
m
.
9

9
2
2
9
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m  
2
3
2
Bài tập 4. Cho hàm số y  2 x  3(2m  1) x  6m  m  1 x  1 (1)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đố i xứng nhau qua đường thẳ ng (d): y = x + 2.
Gợi ý giải:
2
* y '  6 x  6(2m  1) x  6m  m  1
y '  0  6 x 2  6(2m  1) x  6m  m  1  0

 x 2  (2m  1) x  m  m  1  0 (*)

+ Vì   1  0, m nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x  m, x  m  1
* Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị ta có: A(m;2m3  3m2  1) , B(m  1;2m3  3m2 )
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị, ta có phương trình:
y   x  2m3  3m2  m  1

Có thể học sinh giải cách khác:
1
3

1
6

- Chia y cho y’ và viết lại hàm số dưới dạng: y  [ x  (2m  1)].y'  x  2m3  3m 2  m  1 .
- Suy ra, đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B của đồ thị có pt: y   x  2m3  3m2  m  1
Trong trường hợp này việc chia đa thức cũng dễ dẫn đến kết quả sai.
1
2

1
2

* Gọi I là trung điểm của AB, ta có: I (m  ;2m3  3m 2  )

4
WWW.DAYHOCTOAN.VN


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017
 AB  (d )
+ A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) khi và chỉ khi: 
 I  (d ), (Với I là trung điểm AB)

WWW.DAYHOCTOAN.VN

 Với mọi m đường thẳng AB luôn vuông góc với (d).


I  (d )  2m3  3m 2 

1
1
 m   2  2m3  3m 2  m  2  0  (m  1)(2m 2  m  2)  0

2
2

 m  1

 m  1  17

4

Ghi nhớ:
1.) A và B cách đều đường thẳng (d)  d ( A, d )  d (B, d ) .
2.) A và B cách đều gốc tọa độ O  OA = OB.

O  AB
OA  OB

3.) A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O  

 AB  (d )
 I  (d ), (Với I là trung điểm AB)

4.) A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d)  

Bài tập 5. Cho hàm số y  x 4  2m 2 x 2  1 . Xác định m để hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam
giác vuông cân.
Gợi ý giải:
3
2
2
2

+ y '  4 x  4m x  4 x ( x  m )
x  0
y'  0  4 2
2
 x  m  0 (*)

+ Hàm số có ba điểm cực trị  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

m0
+ Gọi A(0;1), B(m; m  1), C(m; m4  1) là các điểm cực trị của đồ thị.

+ Tính: AB  (m; m4 )  AB  m2  m8

AC  (m; m4 )  AC  m2  m8
+ Vì ABC
cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác vuông cân khi và chỉ khi
 
 
AB  AC  AB. AC  0 .
 m2  m8  0  m2 (m6  1)  0
m  0

 m  1
+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m  1 .
4

Bài tập 6. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m2  m (1) , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  2 .
b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có góc bằng 120 .

Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
5
WWW.DAYHOCTOAN.VN


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017
x  0
b) + y '  4 x3  4mx  4 x( x 2  m) ; y '  0   2
 x  m (*)
+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  m  0
+ Gọi A(0; m2  m), B( m; m),C( m; m) là các điểm cực trị của đồ thị.

+ Ta có: AB  ( m; m2 )  AB  m4  m

AC  ( m ; m 2 )  AC  m 4  m

BC  (2 m ; 0)  BC  4m  2  m
WWW.DAYHOCTOAN.VN

+ Vì ABC cân tại A nên 3 điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 120 khi và
 

 

chỉ khi ( AB, AC )  1200  cos( AB, AC )  

1
2

 
AB.AC
1
m  m4
1
m4  m
1

 
  4
   2(m4  m)   m 4  m
AB.AC
2
2
m m
2
m4  m . m4  m
m  0
4
3
 3m  m  0  m(3m  1)  0  
m  3  1
3


+ Đối chiếu điều kiện, ta được: m  3 

1
3

Bài tập 7. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 (1) , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1 .
b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có diện tích bằng 4 2 .
Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
x  0

b) + y '  4 x3  4mx  4 x( x 2  m) ; y '  0  

2
 x  m (*)

+ Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  m  0
+ Gọi A(0; m  1), B( m; m2  m  1),C( m; m2  m  1) là các điểm cực trị của đồ thị.


+ Ta có: AB  ( m; m2 )  AB  m4  m


AC  ( m ; m 2 )  AC  m 4  m

BC  (2 m ; 0)  BC  4m  2  m
+ Vì
ABC cân tại A nên gọi I là trung điểm BC khi đó IA là đường cao

+ IA  (0; m2 )  IA  m2
1
+ Diện tích: SABC  4 2  IA.BC  4 2
2

1 2
 m .2 m  4 2  m5  32  m5  (2)5  m  2
2
+ Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m  2 .

6
WWW.DAYHOCTOAN.VN


WWW.DAYHOCTOAN.VN
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017
4
Bài tập 8. Cho hàm số y  x  2mx 2  m  1 (1) , với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1.
b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 .

Gợi ý giải:
a) (Học sinh tự giải)
x  0

b) + y '  4 x3  4mx  4 x( x 2  m)  0  

2
x  m
+ Hàm số (1) có ba điểm cực trị  m  0 .
+ Gọi A(0; m  1), B( m; m2  m  1), C( m; m2  m  1) là các điểm cực trị của đồ thị.

+ Ta có: AB  ( m; m2 )  AB  m4  m


AC  ( m ; m 2 )  AC  m 4  m

BC  (2 m ; 0)  BC  4m  2 m

+ ABC cân tại A, gọi I là trung điểm của BC, ta có: I (0; m2  m  1)  AI  (0; m2 )  AI  m2
1
1
 SABC  AI .BC  m 2 .2 m  m 2 m (1)
2
2

AB. AC.BC
m 4  m . m 4  m .2 m (m 4  m) m


(2)
4R
4.1
2
(m 4  m ) m
+ Từ (1) và (2) suy ra:
 m2 m  m(m3  1) m  2m 2 m
2
m  0
m  1

m  0
m  0

 3


  m  1  5
2
2
 m  2m  1  0
(m  1)(m  m  1)  0


1  5
m 

2
1  5
+ Đối chiếu với điều kiện, ta được kết quả: m  1, m 
.
2

+ Mặt khác: SABC 

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Cho hàm số y  x 3  3x 2  m 2 x  m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0

1
2

b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng (d ) : y  x 

5
2

Bài 2. Cho hàm số y  x 3  3(m  1) x 2  (2m 2  3m  2) x  m(m  1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu tạo với đường
1
4

thẳng y   x  5 một góc 450.
Bài 3. Cho hàm số y   x 3  3x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1
7
WWW.DAYHOCTOAN.VN


WWW.DAYHOCTOAN.VN

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu cách đều gốc toạ độ O.
Bài 4. Cho hàm số y  2 x 3  9mx 2  12m 2 x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại x CD và cực tiểu x CT đồng thời x CD
 x CT
4
2
2
Bài 5. Cho hàm số y  f  x   x  2  m  2  x  m  5m  5
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác

vuông cân.
Bài 6. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Hướng dẫn:
b) + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu: m >0.
+ Gọi A(0;2m  m4 ) , B( m; m4  m2  2m) , C( m; m4  m2  2m) là các điểm cực trị.
+ ABC là tam giác đều khi và chỉ khi AB = AC = BC.
+ Đối chiếu điều kiện để kết luận: m  3 3 .

8
WWW.DAYHOCTOAN.VN