dayhotoan vn TÍCH PHÂN hàm ẩn có đáp án CHI TIẾT năm 2018
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (245.54 KB, 12 trang )
Tích phân nâng cao
Câu 1. Nếu f ( 0 ) = 1 , f ' ( x ) liên tục và
3
∫ f ' ( x ) dx = 9 thì giá trị của f ( 3) là:
0
A. 3.
B. 9.
C. 10.
D. Đáp án khác.
Câu 2. Cho f ( x ) và g ( x ) là hai hàm số liên tục trên [ −1,1] và f ( x ) là hàm số chẵn, g ( x ) là hàm số lẻ.
Biết
1
1
0
0
∫ f ( x ) dx = 5 và ∫ g ( x ) dx = 7 . Mệnh đề nào dưới đây sai?
1
A.
∫
1
f ( x ) dx = 10 .
B.
−1
1
C.
10 .
∫ f ( x ) + g ( x ) dx =
D.
6
∫
0
3
f ( x ) dx = 20 . Tính tích phân I = ∫ f ( 2 x ) dx .
0
B. I = 10 .
A. I = 40 .
C. I = 20 .
Câu 4. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn
của biểu=
thức P
2
6
0
4
4
0
2
∫ f ( x ) dx = 10 và ∫ f ( x ) dx = 6 . Tính giá trị
π
π
2
2
0
0
cos x. f ( sin x ) dx 8 . Tính tích phân K = ∫ sin x. f ( cos x ) dx .
∫=
B. 2.
1
1
0
0
5 . Tính ∫ f ( x ) dx .
∫ 3 − 2 f ( x ) dx =
D. −2 .
C. 1.
Câu 7. Cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1], có
A. −10 .
D. K = 16 .
C. K = 8 .
B. K = 4 .
Câu 6. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và có
tích phân
=
I
D. P = 10 .
C. P = 8 .
B. P = 16 .
Câu 5.=
Cho tích phân I
A. −1 .
D. I = 5 .
6
∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
A. P = 4 .`
A. K = −8 .
10 .
∫ f ( x ) − g ( x ) dx =
−1
−1
Câu 3. Cho tích phân
∫ g ( x ) dx = 14 .
−1
1
1
1
0
0
∫ f ( x ) dx = 4 và ∫ g ( x ) dx =
∫ f ( x ) − 3g ( x ) dx .
B. 10 .
C. 2.
D. −2 .
Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) = 2 . Biết
1
1
0
0
∫ f ( x ) dx = 1 , tính tích phân I = ∫ x. f ' ( x ) dx .
A. I = 1 .
C. I = 3 .
B. I = −1 .
1
Câu 9. Cho hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 . Tính tích phân I = ∫ f ' ( x ) dx .
0
1
D. I = −3 .
−2 . Tính
(
A. I = ln 2 .
)
B.=
I ln 1 + 2 .
C. . I = ln 2
D. . I = 2 ln 2
Câu 10. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; ln3] và thỏa mãn f (1) = e 2 ,
ln 3
∫ f ' ( x ) dx=
9 − e 2 . Tính I = f ( ln 3) .
1
B. I = 9 .
A. I= 9 − 2e 2 .
C. I = −9 .
D.=
I 2e 2 − 9 .
Câu 11. Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn
1
∫
f ' ( x ) .g ( x ) dx = 1 ,
1
∫
0
0
A. I = −2 .
1
f ( x ) .g ' ( x ) dx = −1 . Tính I = ∫ f ( x ) .g ( x ) dx .
/
0
B. I = 0 .
C. I = 3 .
D. I = 2 .
π
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R, thỏa mãn
1
∫
=
I
f ( x ) dx = 1 . Tính
C. I =
B. I = −1 .
2
+ 1) . f ( tan x ) dx .
0
0
A. I = 1 .
∫ ( tan
4
π
4
D. I = −
.
1
1
Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và thỏa mãn f ( x ) + 2 f =
3 x với x ∈ ;2 . Tính
x
2
9
.
2
A.
B.
3
.
2
9
C. − .
2
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) =
π
4
2
∫
1
2
.
f ( x)
dx .
x
3
D. − .
2
2 + 2 cos 2 x . Tính
π
I=
2
∫π f ( x ) dx .
−
2
A. I = −1 .
B. I = 1 .
C. I = −2 .
π
Câu 15. Biết hàm số=
y f x + là hàm số chẵn trên đoạn
2
π π
− 2 ; 2 và f ( x ) +
D. I = 2 .
π
f x + = sin x + cos x
2
π
2
. Tính I = ∫ f ( x ) dx .
0
A. I = 0 .
C. I =
B. I = 1 .
1
.
2
D. I = −1 .
e x . Tính I =
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R, thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) =
1
∫ f ( x ) dx .
−1
A. I =
e2 − 1
.
2019e
B. I =
e2 − 1
.
2018e
C. I = 0 .
2
D. I =
e2 − 1
.
e
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
1
2 . Tính
10 và 2 f (1) − f ( 0 ) =
∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx =
0
A. I = 8 .
B. I = −8 .
C. I = 4 .
1
I = ∫ f ( x ) dx .
0
D. I = −4 .
1
Câu 18. Cho hàm số f ( x ) thỏa f=
ae + b . Tính biểu thức
( 0 ) f=
(1) 1 . Biết ∫ e x f ( x ) + f ' ( x ) dx =
0
=
Q a
2018
+b
2018
.
B. Q = 6 .
A. Q = 8 .
C. Q = 4 .
Câu 19. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ( 0;+∞ ) và thỏa
D. Q = 2 .
x2
∫ f ( t ) dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) .
0
A. f ( 4 ) = 123 .
B. f ( 4 ) =
Câu 20. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn
2
.
3
f ( x)
∫
C. f ( 4 ) =
3
.
4
D. f ( 4 ) =
1
.
4
1
.
2
D. f ( 4 ) = 3 12 .
t 2 .dt = x.cos π x . Tính f ( 4 ) .
0
B. f ( 4 ) = −1 .
A. f ( 4 ) = 2 3 .
C. f ( 4 ) =
Câu 21. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f ( x ) > 0 khi x ∈ [1, 2] . Biết
2
∫
f ' ( x ) dx = 10 và
1
( )
∫ f ( x ) dx = ln 2 . Tính f ( 2 ) .
2
f' x
1
A. f ( 2 ) = −10 .
B. f ( 2 ) = 20 .
C. f ( 2 ) = 10 .
D. f ( 2 ) = −20 .
Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ −1;1] , thỏa mãn f ( x ) > 0 ∀x ∈ R và
f '( x) + 2 f ( x) =
0 . Biết f (1) = 1 , tính f ( −1) .
e −2 .
A. f ( −1) =
e3 .
B. f ( −1) =
e4 .
C. f ( −1) =
3.
D. f ( −1) =
Câu 24. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R, nhận giá trị dương trên khoảng ( 0;+∞ ) và thỏa
f (1) ==
1 , f ( x ) f ' ( x ) 3 x + 1 . Mệnh đề nào đúng?
A. 1 < f ( 5 ) < 2 .
B. 4 < f ( 5 ) < 5 .
C. 2 < f ( 5 ) < 3 .
D. 3 < f ( 5 ) < 4 .
Câu 24. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R và f ( x ) > 0 khi x ∈ [0; a] ( a > 0 ). Biết
a
dx
.
1+ f ( x)
0
f ( x). f ( a − x) =
1 , tính tích phân I = ∫
A. I =
a
.
2
Câu 25. Cho hàm số
G ( x)
=
B. I = 2a .
C. I =
π
x
∫ t.cos ( x − t ) .dt . Tính G ' 2 .
0
3
a
.
3
D. I =
a
.
4
π
B. G ' = 1 .
2
π
A. G ' = −1 .
2
π
C. G ' = 0 .
2
π
D. G ' = 2 .
2
x2
Câu 26. Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos t .dt ( x > 0 ). Tính G ' ( x ) .
0
A. G ' ( x ) = x 2 .cos x .
B. G ' ( x ) = 2 x.cos x .
Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của G =
( x)
x
∫ (t
2
C. G ' ( x ) = cos x .
' ( x ) cos x − 1 .
D. G =
+ t ) dt trên đoạn [ −1;1] .
1
A.
1
.
6
5
C. − .
6
B. 2 .
Câu 28. Cho hàm số G (=
x)
x
∫
D.
5
.
6
1 + t 2 dt . Tính G ' ( x ) .
1
A.
x
1+ x
2
B. 1 + x 2 .
.
Câu 29. Cho hàm số F ( x ) =
x
∫ sin t .dt
( x > 0 ). Tính F ' ( x ) .
sin x
.
2 x
C.
2
1
C.
1+ x
D. ( x 2 + 1) x 2 + 1 .
.
2
1
A. sin x .
B.
2sin x
.
x
D. sin x .
x
Câu 30. Tính đạo hàm của f ( x ) , biết f ( x ) thỏa ∫ t.e f (t ) dt = e f ( x ) .
0
A. f ' ( x ) = x .
B. f ' ( x=
) x2 + 1 .
C. f ' ( x ) =
1
.
x
D. f ' ( x ) =
1
.
1− x
Câu 31. (Trích Câu 32 mã đề 101 TNPT 2017). Cho F ( x) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x)e 2 x .
Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x)e 2 x .
∫ f ′( x)e dx =−x + 2 x + C
C. ∫ f ′( x)e dx = 2 x − 2 x + C
A.
2x
2x
∫ f ′( x)e
D. ∫ f ′( x)e
2
B.
2
2x
dx =− x 2 + x + C
2x
dx =
−2 x 2 + 2 x + C
Câu 32. (Trích Câu 40 mã đề 102 TNPT 2017). Cho F ( x=
) ( x − 1)e x là một nguyên hàm của hàm số
f ( x)e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x)e 2 x .
2− x x
A. ∫ f ′( x)e 2 x dx =−
B. ∫ f ′( x=
)e 2 x dx
e +C
(4 2 x)e x + C
2
C. ∫ f ′( x)e 2 x dx =
D. ∫ f ′( x)e 2 x dx =
(2 − x)e x + C
( x − 2)e x + C
Câu 33. (Trích Câu 37 mã đề 103 TNPT 2017). Cho F ( x) = −
Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) ln x .
ln x
1
A. ∫ f ′( x) ln xdx = 3 + 5 + C
x
5x
B.
4
f ( x)
1
là một nguyên hàm của hàm số
.
3
x
3x
∫ f ′( x) ln xdx =
ln x
1
− 5 +C
3
x
5x
ln x
1
+ 3 +C
3
3x
x
∫ f ′( x) ln xdx =
C.
D.
ln x
−
∫ f ′( x) ln xdx =
x
Câu 34. (Trích Câu 42 mã đề 104 TNPT 2017). Cho F ( x) =
Tìm nguyên hàm của hàm số f ′( x) ln x
1
ln x
− 2 + 2 + C
A. ∫ f ′( x) ln xdx =
2x
x
ln x 1
− 2 + 2 + C
C. ∫ f ′( x) ln xdx =
x
x
3
+
1
+C
3x3
1
f ( x)
là một nguyên hàm của hàm số
.
2
x
2x
ln x 1
+ +C
x2 x2
ln x
1
f ′( x) ln xdx = 2 + 2 + C
2x
x
B.
∫ f ′( x) ln xdx =
D.
∫
Đáp Án
Câu
Chọn
Câu
Chọn
1
C
18
D
2
B
19
D
3
B
20
D
4
A
21
B
5
C
22
C
6
A
23
D
7
B
24
A
8
A
25
B
9
B
26
B
10
B
27
C
11
B
28
A
12
A
29
B
13
B
30
D
14
D
31
D
15
D
32
C
16
A
33
C
17
B
34
A
Lời Giải
3
Câu 1: C Ta có:
∫
f ' ( x ) dx = f ( x ) 0 = f ( 3) − f ( 0 ) = 9 ⇔ f ( 3) − 1 = 9 ⇔ f ( 3) = 10 ⇒ Chọn C
3
0
Câu 2: B Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh:
1. Nếu hàm f ( x ) CHẴN thì
a
∫
−a
a
f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
2. Nếu hàm f ( x ) LẺ thì
0
a
∫ f ( x ) dx = 0
−a
Nếu chứng minh thì như sau:
1
0
−1
−1
1
f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
∫=
Đặt A
=
0
A1
0
A1 =
∫ f ( x ) dx .
A2
Đặt t = − x ⇒ dt =
−dx
−1
Đổi cận:
0
⇒ A1 =
f ( −t ) . ( −dt ) =
∫
1
1
1
∫
f ( −t ) dt =
0
1
∫ f ( − x ) dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
0
f ( x) )
phân) = ∫ f ( x ) dx (Do f ( x ) là hàm chẵn ⇒ f ( − x ) =
0
1
1
1
−1
0
0
Vậy A = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 10 (1)
5
1
g ( x ) dx
∫=
Đặt B
=
−1
0
1
∫ g ( x ) dx + ∫0 g ( x ) dx
−1
B1
B2
0
−dx
B1 = ∫ g ( x ) dx . Đặt t = − x ⇒ dt =
−1
Đổi cận:
0
⇒ B1 =
1
∫ g ( −t ) . ( −dt ) =
∫ g ( −t ) dt =
1
0
1
∫ g ( − x ) dx
(Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
0
1
−g ( x) )
phân) = − ∫ g ( x ) dx (Do f ( x ) là hàm chẵn ⇒ g ( − x ) =
0
1
1
1
−1
0
0
Vậy B =
− ∫ g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx =
0 (2)
∫ g ( x ) dx =
Từ (1) và (2) ⇒ Chọn B
3
Câu 3: B I = ∫ f ( 2 x ) dx Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx Đổi cận:
0
6
6
1
1
=
⇒I
=
f ( t ) dt
f ( x ) dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân )
∫
20
2 ∫0
=
1
.20 10 ⇒ Chọn B
=
2
2
6
6
Câu 4: A Ta có: P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
0
4
6
0
4
6
4
2
6
6
2
=∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 10 − 6 = 4 ⇒ Chọn A
0
4
0
4
6
4
2
6
π
2
Câu 5: C I = ∫ cos x. f ( sin x ) dx
π
Đặt =
t
2
0
π
∫π cos 2 − t . f
0
=
⇒I
π
−dt )
sin 2 − t . (=
−dx Đổi cận:
− x ⇒ dt =
π
π
2
2
x ) .dt
∫ sin t. f ( cos =
0
∫ sin x. f ( cos x ) .dt (Tích phân xác định
0
2
không phụ thuộc vào biến số tích phân) = K ⇒ K =I =8 ⇒ Chọn C
1
Câu 6: A Ta có:
1
1
1
5 ⇔ ∫ 3dx − 2 ∫ f ( x ) dx =
5 ⇔ 3 x 0 − 2 ∫ f ( x ) dx =
5
∫ 3 − 2 f ( x ) dx =
1
0
0
1
1
0
0
0
0
⇔ −2 ∫ f ( x ) dx = 5 − 3 = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx = −1 ⇒ Chọn A
6
1
1
1
0
0
0
Câu 7: B I = ∫ f ( x ) − 3 g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x ) dx = 4 − 3 ( −2 ) =10 ⇒ Chọn B
1
Câu 8: A Ta có: I = ∫ x. f ' ( x ) dx
0
Đặt u =x ⇒ du =dx , dv = f ' ( x ) dx
chọn v
=
f ' ( x ) dx
∫=
1
1
0
0
f ( x)
⇒I=
x. f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx =
1. f (1) − 0. f ( 0 ) − ∫ f ( x ) dx =
2 −1 =
1 ⇒ Chọn A
1
1
f ' ( x ) dx = f ( x ) 0 = ln x + x 2 + 1
∫
Câu 9: B Ta có: I =
1
0
ln 3
Câu 10: B Ta có:
f ( x)
∫ f ' ( x ) dx =
ln 3
1
1
(
)
= ln 1 + 2 ⇒ Chọn B
0
=
f ( ln 3) − f (1) =
9 − e 2 (gt)
1
⇒ f ( ln 3) − e 2 =9 − e 2 ⇒ f ( ln 3) =9 ⇒ Chọn B
1
Câu
11: B I
=
x ) .g ( x ) dx
∫ f (=
/
0
1
1
0
0
1
∫ f ( x ) .g ' ( x ) + f ' ( x ) .g ( x ) dx
0
= ∫ f ( x ) .g ' ( x ) dx + ∫ f ' ( x ) .g ( x ) dx = 1 − 1 = 0 ⇒ Chọn B
Câu 12: A Đặt t = tan x ⇒ dt =(1 + tan 2 x ) dx . Đổi cận:
1
=
⇒I
f=
( t ) dt
∫
0
1
∫ f ( x ) dx
(Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) = 1 ⇒ Chọn A
0
2
Câu 13: B Đặt A = ∫
f ( x)
1
2
1
t. f
t =
=
⇒A ∫
( −dt )
t2
2
1
2
x
2
∫
1
2
1
1
dt
dx (1) Đặt t =⇒ dt =
− 2 dx ⇒ − 2 =dx Đổi cận:
x
x
t
1
f
t
=
dt
t
2
∫
1
2
1
f
x dx (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
2
phân) (2)
Ta có: (1) + 2 ( 2 ) ⇒ 3 A=
2
∫
1
2
1
f ( x) + 2 f
x dx=
x
2
3x
∫1 x dx=
2
7
2
2
∫ 3dx=
1
2
⇒ 3A =
3x
1
2
9
3
⇒ A = ⇒ Chọn B
2
2
π
Câu 14: D I =
2
∫π f ( x ) dx (1)
−
−
⇒=
I
2
π
π
2
2
∫
Đặt t =− x ⇒ dt =−dx Đổi cận:
f ( −t ) . ( −dt=
)
π
∫π
π
−
2
2
∫π f ( − x ) dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
f ( −t ) dt
=
−
2
2
phân)
π
2
∫π
(1) + (2) ⇒ 2 I=
−
π
f ( x ) + f ( − x ) dx=
2
∫π
−
2
2 + 2 cos 2 xdx
2
π
π
π
π
π
2
2
2
2
2
π
π
π
π
−
=∫ 2 (1 + cos 2x )dx = 2 ∫
−
−
2
2 cos 2 xdx= 2 ∫ cos x dx= 2 ∫ cos xdx= 2sin x
−
2
−
2
2
= 2 1 − ( −1)=
4
π
2
⇒I=
2 ⇒ Chọn D
π
Câu 15: D Đặt t = − x ⇒ dt =−dx Đổi cận:
2
π
0
I
⇒
=
∫
π
π
f − t . ( −=
dt )
2
2
∫
0
π
π
f −t=
dt
2
2
π
∫ f 2 − x dx (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số
0
2
π
=
tích phân)
2
π
π
π
π
Vì f + x là hàm số chẵn ⇒ f + x = f − x
2
2
2
∫ f 2 + x
0
π
π
π
Vậy 2 I =∫ f ( x ) + f x + dx =∫ ( sin x + cos x ) dx =( cos x − sin x )
2
0
0
Chọn D
2
2
1
Câu 16: A I =
∫ f ( x ) dx
π
2
=−1 − 1 =−2 ⇒ I =−1 ⇒
0
−dx Đổi cận:
(1) Đặt t = − x ⇒ dt =
−1
−1
⇒ I=
∫
f ( −t )( −dt =
)
1
∫
f ( −t ) dt=
−1
1
1
∫ f ( − x ) dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích
−1
1
phân) .Ta có: (1) + 2018 ( 2 ) =
I + 2018 I =
∫ f ( x ) + 2018 f ( − x ) dx
−1
1
⇔ 2019 I = ∫ e x dx = e x
−1
1
Câu 17: B =
A
1
−1
=e −
1 e2 − 1
=
e
e
∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx
e2 − 1
⇒ Chọn A
⇒I=
2019e
Đặt u = x + 1 ⇒ du = dx , dv = f ' ( x ) dx chọn v = f ( x )
0
8
1
1
1
1
0
0
0
0
⇒ A=
2 f (1) − f (0) − ∫ f ( x ) dx =
2 − ∫ f ( x ) dx =
10 ⇒ ∫ f ( x ) dx =
−8
( x + 1) . f ( x ) 0 − ∫ f ( x ) dx =
1
⇒ Chọn B
Câu 18: D
1
A=
x
∫ e f ( x ) + f ' ( x ) dx =
0
1
1
x
x
∫0 e f ( x ) dx + ∫0 e f ' ( x ) dx
A1
A2
1
A1 = ∫ e x f ( x ) dx
0
1
Đặt u= f ( x ) ⇒ du= f ' ( x ) dx , dv = e x dx chọn v = e x ⇒
=
A1 e x . f ( x ) − ∫ e x f ' ( x ) dx
0
0
1
A2
Vậy A =e x f ( x ) − A2 + A2 =e x f ( x ) =e. f (1) − f ( 0 ) =e − 1
1
1
0
0
a = 1
⇒
⇒ a 2018 + b 2018 = 1 + 1 = 2 ⇒ Chọn D
b = −1
Câu 19: D
Ta có: F ( t =
)
∫ f ( t ) dt ⇒ F ' ( t=)
x2
Đặt =
G ( x)
( t ) dt
∫ f=
f (t )
F ( x2 ) − F ( 0)
0
⇒ G ' ( x=
) F ( x 2 )= 2 x. f ( x 2 ) (Tính chất đạo hàm hợp: f ' u ( x ) = f ' ( u ) .u ' ( x ) )
/
Mặt khác, từ gt:
=
G ( x)
x2
f ( t ) dt
∫=
x.cos π x
0
⇒ G '( x) =
− xπ sin π x + cos π x
( x.cos π x ) ' =
⇒ 2 x. f ( x 2 ) =
− xπ sin π x + cos π x (1)
Tính f ( 4 ) ⇒ ứng với x = 2
1
−2π sin 2π + cos 2π =
1 ⇒ f ( 4) =
Thay x = 2 vào (1) ⇒ 4. f ( 4 ) =
⇒ Chọn D
4
Câu 20: D
f ( x)
∫
0
f ( x)
t3
t dt =
30
2
⇒ f=
( x)
3
f ( x )
3
x cos π x ⇒ f ( x ) =
3 x.cos π x
=
=
3
3
3 x cos π x ⇒ f =
( 4)
3
12 ⇒ Chọn D
9
Câu 21: B
2
Ta có:
∫ f ' ( x ) dx = f ( x )
2
1
= f ( 2 ) − f (1) = 10 (gt)
1
2
f '( x)
∫ f ( x ) dx =ln f ( x )
2
1
1
f ( 2)
=ln f ( 2 ) − ln f (1) =ln
=ln 2 (gt)
f (1)
f ( 2 ) − f (1) =
10
f ( 2 ) = 20
Vậy ta có hệ: f ( 2 )
⇒ Chọn B
⇔
=
2
=
f
1
10
(
)
f 1
( )
Câu 22: C
0 ⇒ f '( x) =
−2 f ( x ) ⇒
Từ gt: f ' ( x ) + 2 f ( x ) =
⇒∫
f '( x)
f ( x)
=
−2
f '( x)
dx =−
2dx ⇒ ln f ( x ) =
−2 x + C ⇒ f ( x ) =
e −2 x +C
∫
f ( x)
e 4 ⇒ Chọn C
Có f (1) =1 ⇔ e −2+ c =1 = e0 ⇒ c = 2 ⇒ f ( x ) = e −2 x + 2 ⇒ f ( −1) =
Câu 23: D
f ( x)
Từ gt:=
⇒∫
1
f ' ( x ) 3x + 1 ⇒ =
3x + 1
f '( x)
=
dx
f ( x)
2
f ( x)
2
3 x +1+C
2
dx ⇒ ln f ( x=
3x + 1 + C ⇒ f ( x ) =
e3
)
3
3x + 1
1
∫
Vì f (1) =1 ⇔ e 3
f '( x)
.2+C
=1 =e0 ⇒ C =−
2
4
⇒ f ( x) =
e3
3
3 x +1−
4
3
4
⇒ f ( 5) =
e 3 ≈ 3,79 ⇒ Chọn D
a
dx
(1) Đặt t =a − x ⇒ dt =−dx Đổi cận:
1 + f ( x)
0
Câu 24: A I = ∫
0
a
a
dt
1
1
⇒ I =∫−
=∫
dt = ∫
dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào
1+ f (a − t ) 0 1+ f (a − t )
1 + f (a − x)
a
0
biến số tích phân)
(1) + (2)=
⇒ 2I
a
0
1
1
∫ 1 + f ( x ) + 1 + f ( a − x ) dx
1 + f (a − x) + 1 + f ( x)
2 + f (a − x) + f ( x)
=
=
=
dx ∫
dx
1 + f ( x). f ( a − x) + f ( x) + f ( a − x)
2 + f (a − x) + f ( x)
0
Câu 25: B Cách 1: Ta có: F ( t=
)
2
∫ t.cos ( x − t ) dt ⇒ F ' ( x=)
10
a
dx
∫=
0
t.cos ( x − t )
a
a ⇒ I = ⇒ Chọn A
2
Đặt G ( x ) =
x
∫ t.cos ( x − t ) dt =
F ( x ) − F ( 0)
0
/
/
π
⇒ G ' ( x ) = F ( x ) − F ( 0 ) = F ' ( x ) − F ' ( 0 ) = x cos ( x − x ) − 0 = x ' = 1 ⇒ G ' =
1 ⇒ Chọn B
2
Cách 2: Ta có
G ( x)
=
x
− sin ( x − t )
t du =dt=
. Đặt u =⇒
, dv cos ( x − t ) dx chọn v =
∫ t.cos ( x − t ) dt
0
x
x
0
0
⇒ G ( x) =
−t.sin ( x − t ) 0 + ∫ sin ( x − t ) dt =
cos ( x − t ) 0 =
cos 0 − cos x =
1 − cos x
∫ sin ( x − t ) dt =
x
x
π
π
⇒ G ' ( x ) =sin x ⇒ G ' =sin =1 ⇒ Chọn B
2
2
Câu 26: B Tương tự Câu 25:
Ta có F (=
t)
∫ cos
x2
tdt ⇒ F ' (=
t ) cos t ⇒ G ( x ) =
∫ cos
tdt = F ( x 2 ) − F ( 0 )
0
x.cos x 2 2 x.cos x
2 x.F' ( x 2 ) 2=
⇒ G ' ( x ) = F ( x 2 ) − F ( 0 ) = F ( x 2 ) − F ( 0 ) = F ( x 2 ) = =
/
/
/
/
⇒ Chọn B
x
t3 t2
x3 x 2 1 1 x3 x 2 5
Câu 27: C G ( x ) = ∫ ( t + t ) dt = + =
+
− + =
+
−
3
2 3 2 3
2 6
3 2 1
1
x
2
⇒ G ' ( x ) =+
x 2 x ⇒ bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ⇒ Chọn C
Câu 28: A
Đặt F ( t ) =∫ 1 + t 2 dt ⇒ F ' ( t ) = 1 + t 2
x
G ( x ) = ∫ 1 + t 2 dt = F ( x ) − F (1) ⇒ G ' ( x ) = F ' ( x ) − F ' (1) = F ' ( x ) =
1
x
1 + x2
Câu 29: B
G ( x)
Đặt F ( t ) = ∫ sin t dt ,=
2
⇒ G ' ( x )= F '
( x ) − F ' (1)=
x
=
t dt
∫ sin
2
F
( x ) − F (1)
1
( x )= ( x ) '.sin ( x ) =
2
F'
sin x
⇒ Chọn B
2 x
Câu 30: D
Đặt F ( t=
)
∫ t.e
f (t )
dt ⇒ F ' ( t=
) t.e
f (t )
x
⇒ G ( x ) = ∫ t.e
f (t )
0
11
dt = F ( x ) − F ( 0 )
⇒ Chọn A
⇒ G ' ( x ) = F ' ( x ) = e f ( x ) (gt) ⇔ x.e
f ( x)
e f ( x )
=
e f ( x ) ⇒ x.e f ( x ) =
/
⇒ e f ( x ) + x. f ' ( x ) .e f ( x ) =
f ' ( x ) .e f ( x ) ⇒ 1 + x. f ' (=
x ) f ' ( x ) ⇒ f ' (=
x)
1
⇒ Chọn D
1− x
Câu 31: D. Từ giả thiết ⇒ F=
' ( x ) f ( x ) .e 2 x ⇔ (=
x 2 ) ' f ( x ) .e 2 x ⇔=
2 x f ( x ) .e 2 x (1)
Đặt A = ∫ f ' ( x ) .e 2 x dx .
Đặt u = e 2 x ⇒ du =
2e 2 x dx ,dv=f’(x)dx chọn v=f(x)
2 x − 2F ( x ) + C =
e 2 x . f ( x ) − 2 ∫ f ( x ) .e 2 x dx =
⇒ A=
−2 x 2 + 2 x + C ⇒ Chọn D.
x
Câu 32 : C. Từ giả thiết ⇒ F '=
f ( x ) .e 2 x
( x ) f ( x ) .e2 x ⇔ ( x − 1) .e=
/
x.e x
x
1− x
x
⇔ x.e = f ( x ) .e ⇔ f ( x ) = 2 x = x ⇒ f ' ( x ) =
... =
x =
e
e
ex
e
1− x
Đặt =
A ∫ f ' ( x ) .e 2 x dx
= ∫ x .e 2 x dx
= ∫ (1 − x ) e x dx
e
1 x ⇒ du =−dx
u =−
Đặt
⇒ A =−
e x ( 2 − x ) + C ⇒ Chọn C.
(1 x ) e x + e x + C =
(1 x ) e x + ∫ e x dx =−
x
x
dx choïn v e
=
dv e=
/
x
2x
Câu 33: C.
f ( x)
f ( x)
f ( x)
1
1
1
1
⇒ f '( x) =
−3. 4
x)
⇔ − 3=
⇔=
⇔ f (=
4
3
x
x
x
x
x
x
3x
−3ln x
ln x
Đặt A = ∫ f ' ( x ) .ln x.dx = ∫
dx = −3∫ 4 dx
4
x
x
1
u = ln x ⇒ 3du = x dx
1 1
1
ln x 1
Đặt
⇒ A=
−3 − 3 ln x + ∫ 4 dx = 3 + 3 + C ⇒ Chọn C.
3 x
3x
3x
x
dv = 1 dx choïn v = − 1
4
3
x
3x
/
Từ giả thiết ⇒ F ' (=
x)
Câu 34: A.
f ( x)
f ( x)
f ( x)
2
1
1
1
1
Từ giả thiết ⇒ F =
'( x)
⇔ =
⇔ −=
⇔ f=
( x) − 2 ⇒ f '( x) =
− 2 =
3
2
3
x
x
x
x
x
x x
2x
2
ln x
Đặt A ∫ f ' =
.ln x.dx 2 ∫ 3 dx
=
( x ) .ln x.dx ∫=
3
x
x
1
u = ln x ⇒ du = x dx
Đặt
dv = 1 dx choïn v = − 1
x3
2 x2
1
1
1
ln x
ln x
ln x
⇒ A =2 − 2 + ∫ 3 dx =2 − 2 − 2 + C =− 2 + 2 + C ⇒ Chọn A.
2x
2x
2x
2x 4x
x
/
/
12
