Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong không gian banach ( Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ KIM DUNG

TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG
CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ KIM DUNG

TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG
CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC

Thái Nguyên - Năm 2014

i

Mục lục
Mục lục

i

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

3

Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi . .

4

Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi . . . . .

7

1.3.1

Metric vi phân Royden-Kobayashi . . . . . . . . . .

7

1.3.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3

Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Không gian phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Định lý Kiernan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.4

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.5

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới . . . . . . . . . 12
1.5.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.2

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13


i

1.5.3

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.5

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach
2.1

2.2

Một số kiến thức ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.4

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.5

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.6

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.7

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.8

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach 20
2.2.1

2.3

17

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.2

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


1

Mở đầu
Một trong những bài toán quan trọng của Giải tích phức hyperbolic
là tìm các đặc trưng khác nhau cho tính hyperbolic của một không gian
phức. Như ta đã biết mỗi không gian phức taut là hyperbolic. Do đó ta có
thể nghiên cứu tính hyperbolic của không gian phức thông qua việc tìm
hiểu tính taut của không gian đó. Điều đó cho thấy tính taut là một công
cụ hữu hiệu để nghiên cứu lớp các không gian phức hyperbolic hữu hạn
chiều.

Tuy nhiên khái niệm taut không tồn tại trong hoàn cảnh các miền trong
không gian Banach. Bằng cách đưa ra khái niệm taut yếu và taut yếu địa
phương của một miền trong không gian Banach, Lê Mậu Hải và Phạm
Khắc Ban [4] đã thiết lập được mối liên hệ giữa tính taut yếu với tính
hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh được
mối liên hệ giữa tính taut yếu địa phương với tính taut yếu của một miền
không bị chặn trong không gian Banach.
Mục đích của luận văn này là trình bày tường minh kết quả nói trên.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình
bày các kiến thức chuẩn bị về không gian phức hyperbolic, không gian
phức taut và một số kết quả liên quan đến chương sau trong trường hợp
hữu hạn chiều.
Chương 2: Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach. Nội dung của chương này bao gồm một số khái niệm
ban đầu về giải tích hyperbolic trong không gian Banach; mối liên hệ giữa
tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach. Cuối chương


2

là một số tiêu chuẩn cho tính taut yếu của một miền không bị chặn trong
không gian Banach.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Phạm
Việt Đức. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đưa ra đề tài và tận tình
hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả
cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, Phòng Sau Đại học
- Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện

cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản
luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong
lớp Cao học Toán K20a, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Kim Dung


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về
tính hyperbolic và tính taut trong trường hợp hữu hạn chiều.

1.1

Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian
phức

Với 0 < r < ∞ ta đặt ∆r = {z ∈ C, |z| < r}, ∆1 = ∆, và gọi ∆r là
đĩa bán kính r, ∆ là đĩa đơn vị trong C.

1.1.1

Định nghĩa

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X .

Hol(∆, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X , được trang
bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1 , ..., pk = y của X , dãy
các điểm a1 , a2 , ..., ak của ∆ và dãy các ánh xạ f1 , ...., fk trong Hol(∆, X)
thỏa mãn
fi (0) = pi - 1 , fi (ai ) = pi , ∀i = 1, ..., k.
Tập hợp α = {p0 , ..., pk , a1 , ..., ak , f1 , ..., fk } thỏa mãn các điều kiện
trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình (hay các đĩa chỉnh hình) nối


4

x và y trong X .
Ta định nghĩa
k

dX (x, y) = inf {
α

ρD (0, ai ), α ∈ Ωx, y },
i=1

trong đó Ωx, y là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X .
Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X .

1.1.2

Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

1.1.2.1 Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức
thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

dX (x, y) ≥ dY (f (x), f (y)),

∀x, y ∈ X.

Hơn nữa, dX là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách.
1.1.2.2 d∆ = ρ∆ là metric Bergman - Poincaré trên đĩa đơn vị ∆.
1.1.2.3 dCn ≡ 0.
1.1.2.4 Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

dX : X × X → R là hàm liên tục.
Trong trường hợp X là đa tạp phức ta có phép chứng minh đơn giản
đối với tính liên tục của dX như sau:
1.1.2.5 Định lý Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó, giả khoảng cách
kobayashi là hàm liên tục.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có

|dX (xn , yn ) − dX (x, y)| ≤ dX (xn , x) + dX (yn , y),
với mọi xn , yn , x, y ∈ X . Do đó để chứng minh tính liên tục của dX ta chỉ
cần chứng minh dX (yn , y) → 0 khi yn → y.


5

Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆n ,

n = dimX . Ta có

d∆n ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) = max{d∆ (xi , yi ), i = 1, ..., n}.
Vì U song chỉnh hình với ∆n nên theo tính chất của giả khoảng cách
Kobayashi ta có dU = d∆n liên tục.
Do đó, dX (yn , y) ≤ dU (yn , y) → 0 khi yn → y . Vậy dX liên tục.

1.2
1.2.1

Không gian phức hyperbolic
Định nghĩa

Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X , tức
là

dX (p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p,q ∈ X
Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic
và đầy đối với khoảng cách Kobayashi dX , tức là mọi dãy cơ bản đối với
khoảng cách dX đều hội tụ.
Nhận xét. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ
chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biến song
chỉnh hình.

1.2.2

Một số tính chất

1.2.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gian
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
1.2.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu

Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian
con của một không gian hyperbolic là hyperbolic.
1.2.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông.
Nếu X là hyperbolic thì dX sinh ra tô pô tự nhiên của X .


6

Chứng minh. Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pô
đếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn. Vì
vậy có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X . Ta phải chứng
minh dX và ρ là so sánh được, tức là với {xn } ⊂ X ta có

ρ(xn , x) → 0 ⇔ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞.
Do dX liên tục nên từ ρ(xn , x) → 0 suy ra dX (xn , x) → 0 khi n → ∞.
Ngược lại, giả sử dX (xn , x) → 0 mà ρ(xn , x) → 0 khi n → ∞. Khi đó
tồn tại s > 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là {xn }) mà các xn nằm
ngoài ρ−cầu tâm x, bán kính s.
Nối xn với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Gọi γ là ảnh của các trắc
địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X.
Xét hàm t → ρ(γ(t), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tại t0 ∈ [a, b]
sao cho ρ(γ(t0 ), x) = s. Vậy điểm yn = γ(t0 ) nằm trên mặt cầu tâm x
bán kính s (đối với metric ρ). Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cách
Kobayashi ta có

dX (yn , x) ≤ dX (xn , x) → 0 khi n → ∞.
Do tính compact địa phương, dãy {yn } có dãy con {ynk } hội tụ tới y
thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ).
Khi đó,

dX (y, x) = lim dX (ynk , x) = 0,
n→∞

mà y = x. Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là không gian hyperbolic.
Định lý được chứng minh.
1.2.3.4 Ví dụ

+) Đĩa ∆r và đa đĩa ∆m
r là hyperbolic.
+) Một miền bị chặn trong Cm là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích
các đa đĩa.
+) Cm không là hyperbolic, vì dCm ≡ 0.


7

1.3
1.3.1

Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
Metric vi phân Royden-Kobayashi

1.3.1.1 Định nghĩa
Giả sử M là một đa tạp phức và T M là phân thớ tiếp xúc của M . Một
ánh xạ F : T M → R+ được gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:

(i) F (0x ) = 0, trong đó 0x là véctơ không của Tx M ;

(ii) Với mọi ξx ∈ Tx M và a ∈ C thì F (aξx ) = |a|F (ξx ).

Hơn nữa, nếu F liên tục và F (ξx ) = 0, ∀ξx ∈ Tx M \{0} thì F được gọi
là metric Finsler.
1.3.1.2 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức. Giả sử x là một điểm trong X .
Nón tiếp xúc T˜x X gồm các véctơ có dạng f∗ (u), trong đó u ∈ T ∆ và

f ∈ Hol(∆, X).
Khi đó Fx : T˜x X → R được định nghĩa bởi:
FX (v) = inf{||u||, u ∈ T ∆ và f∗ (u) = v}, v ∈ T˜x X,
trong đó ||u|| là độ dài của véctơ tiếp xúc u được đo bởi metric Poincaré

ds2 của đĩa đơn vị ∆ và infimum lấy với mọi f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆
sao cho f∗ (u) = v.
Nếu x là điểm chính quy, thì với mỗi v ∈ Tx X luôn tồn tại véctơ u ∈ T ∆
sao cho f∗ (u) = v , do đó FX (v) < ∞.
Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt
FX (v) = ∞.


8

Khi đó FX là metric vi phân và gọi là metric vi phân Royden-Kobayashi
trên không gian phức X .
1.3.1.3 Tính chất

a) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì
FY (f∗ (v)) ≤ FX (v) với f ∈ Hol(X, Y ), v ∈ T˜X.
Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình.

b) + Trong đĩa đơn vị ∆, F∆ đồng nhất với metric Bergman - Poincaré,
4dzdz
tức là F∆2 = ds2 =
, ∀z ∈ ∆.
(1 − |z|2 )2
+ FCm = 0.
c) Trong không gian phức X ta có
FX (f∗ u) ≤ ||u||, ∀f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆.
Hơn nữa, nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên T˜X thỏa mãn

E(f∗ u) ≤ ||u|| với f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆,
thì

E(v) ≤ FX (v), ∀v ∈ T˜X.
d) Giả sử X, Y là các không gian phức, ta có
FX×Y (u, v) = max{FX (u), FY (v)} với u ∈ T˜X, v ∈ T˜Y.
˜ → X là không gian
e) Giả sử X, Y là các không gian phức và π : X
phủ chỉnh hình của X . Khi đó FX˜ = π ∗ FX .
f ) Nếu X là đa tạp phức, thì FX là hàm nửa liên tục trên T X . Nếu X
là không gian phức hyperbolic đầy thì FX liên tục.
Kết quả sau được chứng minh bởi Royden, đây là một biểu diễn tích
phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức.


Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full