Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (268.04 KB, 70 trang )
Khoá luận tốt nghiệp
Trường ĐHSP Hà Nội 2
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập và quá trình lĩnh hội phần kiến thức về bài tập
nói chung và bài tập Cơ lượng tử nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò
quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý
thuyết đã học.
Việc giải bài toán trong cơ học lượng tử, đều quy về việc giải phương
trình schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng. Trong điều kiện lý tưởng thì
ta hoàn toàn có thể giải được dễ dàng. Nhưng trong thực tế, việc giải phương
trình này gặp nhiều khó khăn và phức tạp. Do vậy, ta phải sử dụng phương
pháp gần đúng để phương trình schodinger được giải một cách dễ dàng và
chính xác hơn.
Với kiến thức đã học được về vật lý nói cũng như phương pháp dạy học
trong những năm học Đại học tôi muốn xây dựng một bài giảng để làm tư liệu
trong hành trang của mình sau khi ra trường. Do vậy, tôi lựa chọn đề tài:
“Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán
trong cơ học lượng tử” làm đề tài khóa luận của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp gần đúng: Lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến
phân để giải các bài toán trong cơ học lượng tử.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp gần đúng lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp biến
phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp toán trong vật lý lý thuyết
- Sử dụng phương pháp giải tích toán học.
SVTH: Lê Văn Thắng
-1-
Lớp K32B- Khoa Vật Lý
Khoá luận tốt nghiệp
SVTH: Lê Văn Thắng
Trường ĐHSP Hà Nội 2
-2-
Lớp K32B- Khoa Vật Lý
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN
1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Đặt vấn đề
Trong hệ lượng tử trạng thái của chúng được mô tả bởi nghiệm của
phương trình schodinger:
ˆ
(1.1)
Với ˆ là toán tử Hamiltơn và là năng lượng của hệ. Trong trường
hợp đơn giản phương trình (1.1) có thể cho nghiệm chính xác. Đối với hệ
phức tạp thì nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm chính xác. Bởi
vậy ta phải sử dụng phương pháp gần đúng để giải phương trình cho hàm
riêng và giá trị riêng của toán tử ˆ .
Dựa vào các nghiệm chính xác của hệ đã lý tưởng hóa ta hiệu chỉnh các
nghiệm đó để được nghiệm gần đúng cho hệ thực.
Cách hiệu chỉnh như thế, dưới điều kiện được đặt ra gọi là lý thuyết
nhiễu loạn.
Điều kiện hạn chế của bài toán. Đầu tiên xét các bài toán có phổ gián
đoạn:
ˆ l
Giả sử toán tử
ˆ
l 1, 2,3...
(1.2)
có dạng:
ˆ ˆ
0
Vˆ
Với ˆ0 là toán tử Hamiltơn đã lý tưởng hóa và
Vˆ
(1.3)
là toán tử nhiễu loạn.
Giả sử Vˆ là nhỏ, ta
đặt
Vˆ
Wˆ
Trong đó là một thông số nhỏ không thứ nguyên.
(1.4)
Giả sử biết các nghiệm E 0 và l (l 1,
2,3...)
của phương trình cho
l
hàm riêng và trị riêng của toán tử ˆ :
0
Hˆ0 l E l0
(l 1,
2,3...)
l
(1.5)
Với các điều kiện trên thì việc giải phương trình (1.1) ta quy về việc giải
phương trình sau để tìm
El và l :
( 0 Wˆ )
Hˆ
l
E l l
(1.6)
0
Như vậy chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho El và l (l 1, 2,3...) để sau khi
hiệu chỉnh, các giá trị hiệu chỉnh sẽ nghiệm đúng (1.1) và (1.2) hay (1.6)
1.2. Nhiễu loạn khi không suy biến
1.2.1. Xét các trạng thái của hệ lí tưởng không có suy biến, nghĩa là với
0
mỗi giá trị El thì chỉ có một hàm riêng l , mặt khác xét xem mức E 0 thay
l
đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. Ta giả sử sau khi hiệu chỉnh cho E0 và
l
l
ta được năng lượng và hàm sóng thỏa mãn (1.6)
Lấy hệ hàm riêng l , (l 1,
2,3...)
ta khai triển:
l Cn n
(2.1)
n
Để tìm l ta khai triển Cn
(n 1, 2,3,...)
Thay (2.1) vào (1.6), nhân hai vế với
biến không gian :
l
n
*
m
vào vế trái, rồi lấy tích phân các
mn
n
m
0
(E E )C
W
C
(2.2)
Với
Wmn
W dq
*
m
a) Khi 0 ứng với trường hợp không nhiễu:
Hˆ Hˆ ; n 0 l
0
(2.3)
Từ (2.3) ta có:
0 ; (m 1, 2,3...)
0
(E E )C
l
m
Nghiệm của ( 2.4) là:
E
(2.4)
m
0
0
E và C C
l
m
m
(2.5)
m
ml
m l Cm 0; m l ml 1
Nếu
l l Cnn
n
b) Với 0,
nhỏ, các giá trị El sẽ dịch khỏi E0 , các C sẽ lệch khỏi giá
l
m
0
trị C . Ta hy vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy ta khai triển C
m
m
chuỗi lũy thừa của :
0
C C C
m
m
0
l
l
và E theo
l
1
2
1
m
2
C ...
2
2
m
(2.6)
E E E E ...
l
l
Thay (2.6) và0 (2.2):
0
0
... C C ...
1
l
m
2 2
l
0
2
l
m
m
= wmn Cn0 C1 nC 2 ...
m = 1, 2, 3,...
n
n
(2.7)
0
So sánh các hệ số của lũy thừa ở hai vế (2.7). Trước hết với hệ số của :
0
0
(E E )C 0
0
0
m
l
l
C 0 khi m l,C 1
0
Vậy ta có: C m
0
Thay C
l
0
ml
m
m
0
;C
n
l
1
(m l) .
.
0
m
(2.8)
m
nl
vào (2.7) ta có:
l
2
mn
nl
n
ml
2
(E E E E ...)(
C
1
...)
W (
1
C ...)
n
(m,l 1, 2,3,...)
Giả sử m l
:
(2.9)
1l W
l
2
ll
l
1 1
C
ln
1
n
W
(2.10)
Từ (2.10) ta hiệu chỉnh bậc một của năng lượng:
1
E l Wll Vll
(2.11)
Giả sử m l
:
0
0
1
l
m
m
0
l
0
m
m
(E E )C W
2
m
ml
1
1
(E E )(C E l C )
n
Wmn
C
(2.12)
1
n
Trong gần đúng cấp 1, năng lượng của hệ được biểu diễn bằng công thức:
0
1
0
(2.13)
El El El El Vll
Từ (2.12) sử dụng (2.11) ta suy ra:
(2.14)
0 Wml 0 Vml
E E E0 E0
1
C m
l
m
l
m
Trong phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng:
C
0
1
C C
l
m m
l
l
l
m
0
1
(C C )
m
m
m
ml
C
1
l
l
Vml
0
l
0m
ml El Em
(2.15)
1
Trong đó C m xác định từ điều kiện chuẩn hóa của l xét từ điều kiện (2.6) và
2
bỏ qua các đại lượng tỉ lệ với :
2
l
2
dq 1 C
1
(2.16)
1
1 C 1
l
→ phép gần đúng cấp 1:
l l
(2.17)
Vml
0
0
nl
El E
n
1
Từ (2.10) và (2.14) với C l 0 năng lượng trong phép gần đúng cấp 2:
0
EE V
l
l
l
l
2
Vln
0
0
(2.18)
nl El En
1.2.2. Phương pháp trên chỉ đúng trong trường hợp nếu chuỗi gần đúng hội tụ. Điều
kiện cho điều đó là mỗi số hạng sau phải nhỏ hơn số hạng trước. Như vậy:
0
Vln □ E E
l
0
với bất kỳ n l .
(2.19)
n
(2.19) chính là điều kiện có thể áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn.
Như vậy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng
lượng l không được suy biến. Tuy nhiên, nếu một phần trong các trạng thái
0
m l có năng lượng n thoả mãn (2.19) bị suy biến thì tính đúng đắn của
(2.16) vẫn không bị phá huỷ.
Trường hợp khi một phần các trạng thái m l thuộc phổ liên tục thì các
công thức trên vẫn có thể áp dụng khi đó ta thay tổng bằng tích phân.
V
o lm
0
V
l
l
ml
l
l
ml
0
l
0
0
m
dv
Vvl
0
0l
l m
Vml
2
v
Vvl
m
0
l
vdv
0
v
Trong đó là chỉ số các trạng thái có phổ liên tục và là tập giá trị của
các đại lượng đủ để xác định các trạng thái của phổ liên tục suy biến.
1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.
Giả sử mức
El0 suy biến bội s. Khi đó để làm hàm gần đúng cấp không,
ta có thể lấy tổ hợp tuyến tính:
s
(3.1)
l aklk
k 1
Thay (3.1) vào phương trình (1.7) nhân vào hai vế kết quả nhận được với lk
(k=1, 2, 3,...) rồi lấy tích phân theo các biến không gian, ta được hệ phương
s
trình tuyến tínhthuần nhất :
k 1
mk
Elmk ak 0
(3.2)
Hệ phương trình này có nghiệm khác 0 với điều kiện:
11 E1
12
21
...
s1
.....
...1s
22 E2 ....
...2s
....
........
.....
s2
(3.3)
0
ss Es
Khai triển định thức (3.3) ta thu được phương trình bậc s đối với giá trị
chưa biết
El . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỷ có s nghiệm.
Nếu s nghiệm của (3.3) khác nhau thì mức E suy biến bội s của bài toán
l
0
không nhiễu sẽ tách ra làm s mức khác nhau và ứng với mỗi mức này sẽ có
một hàm:
lk
m
a
m
k
(3.4)
m
vào
xác định từ (3.2) khi thay l
Trong đó các am được
k
l (k =1, 2,
k
3...,s)
Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn
Vˆ
khử hoàn toàn suy biến. Chúng ta có
thể trực giao các hàm sóng tương ứng với các nghiệm bội của (3.3) bằng
phương pháp Gram – Smit. Ta có thể chéo hoá ma trận (
m
) của toán tử ˆ
dựa vào (3.4), nghĩa là :
mk
*
ˆ
V mk (
l
m
0
Vˆ )l dq
0
k
(3.5)
Từ (3.5) cho phép ta bỏ đi các số hạng có mẫu nhỏ trong các phép gần
đúng tiếp theo.
1.4. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian
Thông thường nhiễu loạn tác dụng lên hệ lượng tử có đặc tính không
dừng , nghĩa là phụ thuộc thời gian. Toán tử
wˆ . Khi đó là hàm tường minh
của thời gian Wˆ (t ) . Ta giả thuyết đã biết hàm sóng ở trạng thái dừng của
'
hệ không nhiễu là:
0
,
x t n
n
0
1
xe
t
n
Hàm sóng này thoả mãn phương trình không nhiễu loạn
ˆ
0
x,t 0
i
n
x,t
0
(4.1)
n
t
Xét trường hợp phổ gián đoạn. Khi có nhiễu loạn nhỏ miêu tả bằng toán tử
Wˆ (t) . tác dụng lên hệ thì hàm sóng của hệ nhiễu loạn thoả mãn phương trình:
i
ˆ 0 W ˆ
(4.2)
t
Phân tích nghiệm của phương trình (4.2) theo hàm riêng của bài toán
không nhiễu loạn
x,t C
k
t 0 x,t
(4.3)
Với Ck t là hàm của thời gian. Thay (4.3) vào (4.2) ta có:
i
0 x,t
dC k 0 x,t C
k
k
dt
t
k
C
(4.4)
ˆ
ˆ W 0 x,t
k
0
Nhân phương trình (4.4) từ bên trái với 0m x,t
k
và tích phân theo toàn
bộ không gian, chú ý đến (1.1) và tính trực giao của hàm sóng 0
x,t
k
có:
dC
i dt m
Wnk eiW
nk t
(4.5)
k
trong đó các phần tử trận
ma của
toán tử nhiễu loạn là:
W 0 x Wˆ 0 x dx
mk
1
m
k
(4.6)
Giả sử khi t 0 hệ số ở trạng thái không nhiễu loạn nào đó. Khi đó:
mk
k
ta
0
C
k
Skn
(4.7)
Bắt đầu từ thời điểm t 0 hệ chịu sự tác động của nhiễu loạn nhỏ và giả
sử rằng hàm sóng
0
của trạng thái ban đầu thay đổi ít theo thời gian và ở
n
thời điểm t
0
sau:
cá hệ số Cn t có thể khai triển dưới dạng chuỗi nhiễu loạn
C t C 0 t C 1 t C 2 t ....
k
k
k
k
(4.8)
Trong đó: C 0k t C 0k S
nk
Thay thế (4.8) vào (4.5) ta được phương trình đối với Ck t gần đúng bậc
một:
dC
1
m
i
.
eimktC
0
w
wmn
k
mk
eimnt
(4.9)
dt
Nghiệm của phương trình (4.9) có dạng:
C
1
k
t
i
t dtW e
(4.10)
'
imnt
mn
o
Do đó trong gần đúng bậc nhất ta có:
C t S
m
t
i t
i W mne dt
0
(4.11)
mn
kn
Lưu ý nghiệm này chỉ có thể dùng được nếu
C 1m t □ 1
Tương tự, ta có thể tìm được số hiệu chính bậc hai hay bậc cao hơn. Chẳng
hạn ta dễ tìm được C
C
2
m
2
m
:
t
i
t W e
k
imkt
mn
1
C dt
(1.2)
k
0
Nếu nhiễu loạn là đủ nhỏ thì ta có thể giới hạn ở một số ít các số hạng. Thành
thử hàm sóng ở một thời điểm bất kì t 0
chính xác mong muốn.
về nguyên tắc có thể tính được độ
1.5. Kết luận
Ta thấy rằng việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn trong các bài toán trong
cơ học lượng tử là rất hữu ích. Tuy nhiên, không phải các bài toán nào trong
cơ học lượng tử ta cũng có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn.
Điều kiện để áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là hệ có:
ˆ ˆ0 Wˆ
Trong đó phương trình
ˆ
0
E
0
phải giải được một cách chính xác, và Wˆ
n
là rất nhỏ so với toán tử năng lượng ˆ0 .
Sau đây ta xét một số bài toán trong cơ học lượng tử vận dụng lý thuyết nhiễu
loạn.
2. Bài tập vận dụng
2.1. Bài tập 1 Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm có các mức năng
lượng E0 . Giả sử, đặt một từ trường yếu dọc theo trục OZ. Hãy tìm năng
n
lượng và hàm sóng của hạt trong phép gần đúng bậc nhất ( không tính đến
spin của hạt ).
Giải
Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamiltơn có dạng:
i e
ˆ ˆ 0 ˆ (bỏ qua số hạng tỉ lệ với 2 )
0 ˆ
V
i e
Coi số hạng Vˆ
là toán tử nhiễu loạn.
Vì từ trường là yếu nên
Vˆ
nhỏ nên ta có thể áp dụng lý thuyết nhiễu
loạn để xác định năng lượng và hàm sóng của hạt.
Ta có gần đúng bậc nhất:
+ Năng lượng của hạt:
0
1
E E E
( E là năng lượng của hạt trong
0
trường đối xứng cầu).
nl
nl
nl
nl
+ Hàm sóng của hạt:
1
nlm
R
m
im
0
(r) cos e
Với
nlm
r
nl
0
nlm
nlm
l
Hiệu chỉnh bậc nhất của năng lượng:
1
E
0* ˆ
0
V
nlm
nl
nlm
Vì 0, 0, rot nên có thể chọn:
1
;
x
Lˆ i
Z
2
2 q
Khi đó: i
Suy ra:
0*
E1
nl
nlm
e i
dv
0
0 im
Điều kiện chuẩn hóa:
Nên
E1 em
nl
2
nlm
2 q
i e
nlm
0
0
x
2
y
1
nlm
nlm
1
;
y
2
i e 0
dv
dv 0*
dv
0* 0 dv
e m
2
nlm
2
Z
nlm
0* 0 dv 1
nlm
nlm
Năng lượng gần đúng bậc nhất là:
E E
nl
0
1
E E
nl
nl
0*
ˆ
0
em
nl
0
2
0*
ie
0
nlm
Hiệu chỉnh về hàm sóng:
Vmm
nlm
V
nl
m
,
dv nlm
em 0* 0
2
nlm nlm
(do m m )
dv
2
em
2
im nlmv
0
mm
Do đó hiệu chỉnh bậc 1 của hàm sóng bằng 0:
nlm
0
nlm
2.2. Bài tập 2
Trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn. Tìm hiệu chỉnh cho
năng lượng của dao động tử phi điều hòa với thế năng có dạng:
4
x 3
1
2 2
V (x) m x
x
2
1
2
x
x
0
0
Trong đó
m ,
x0
m, , 1, 2 là những hằng số.
Giải
Toán tử Hamiltơn của toán tử phi điều hòa có dạng:
ˆ ˆ
Vˆ (x) =
0
Trong đó:
2
d2
2m dx
ˆ
0
2
1
2 2
m x
2
x
3
4
2
1
x
0
x
2
x
0
1 2 2
d m x là toán tử Hamiltơn của dao động
2
2m dx
2
2
tử điều hòa tuyến tính.
4
x3
Vˆ (x)
x
là toán tử nhiễu loạn.
2
1
x
x
0
0
Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng của dao động tử ở trạng thái cơ bản là:
3
4
1
E
dx
x
x
*
0
0
1
2
0
Với 4
0
x
0
m
e
m 2
x
2
x0
3
x dx
Do
0 1 0
x 0
có hàm dưới dấu tích phân là lẻ nên:
*
3
2
1
Suy ra: E
1
x 0
2
* x 4 dx
x 0
0
0
0
4
dx 0
x
*
x
0
4
x
0
m
4
e m x2 dx
0
Áp dụng tích phân poisson:
m
2
3
x
3!!
x e 2 dx
2 2 m 5 4
4
2
m 5
Do đó:
2
1
E 2
4
0
x0
m 3
4 m m
1
2
m
4
2
m 3 3
4 m m
4
2
3
x
Nếu tính hiệu chỉnh bậc 2 cho năng lượng của số hạng nhiễu loạn 1 sẽ
x0
2
x 3
dx
*
2
V
2
n0
E 0 E
n0
m
4
1
n
2 n!
1 x
0
EE
0
n
n
0
0n
được: E0
Trong đó:
e
m
2
2
n
n
n
