Giúp học sinh năng khiếu toán làm tốt các bài toán

THÔNG TIN CÁ NHÂN

Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết
Đơn vị: Tiểu học Hiệp Cường
Ngày tháng năm sinh: 03/11/1968
Nhiệm vụ được giao: Giáo viên chủ nhiệm lớp 5D Năm học 2015-2016
Đề tài nghiên cứu: Giúp học sinh năng khiếu toán làm tốt các bài toán
Tìm chữ số tận cùng của một tích.

1


PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bậc Tiểu học là bậc học nền tảng, là nơi cung cấp những tri thức cơ sở ban
đầu và bền vững cho mỗi cuộc đời. Bồi dưỡng học sinh giỏi ở Tiểu học là nền
móng cho chiến lược đào tạo người tài của đất nước, là việc làm cần thiết và có
ý nghĩa quan trọng, được các nhà quản lí, các cấp lãnh đạo, các bậc phụ huynh
quan tâm. Để có được thành quả giáo dục nói chung hay những thành tích cao
của học sinh giỏi nói riêng, ngay từ cấp Tiểu học, các nhà trường phải có sự
quan tâm, đầu tư. Thời điểm bồi dưỡng học sinh giỏi không phải đợi đến lớp 4,5
mới tiến hành mà là cả một quá trình tạo nguồn, nuôi nguồn. Bởi cái tháp cao
nào cũng bắt đầu xây từ mặt đất.
Ở Tiểu học giáo dục toàn diện là dạy đủ các môn học trong chương trình
và dạy cho mọi học sinh, sao cho tất cả học sinh đều được học, được tiếp thu,
được vận dụng theo khả năng, trình độ của mình. Tuy nhiên đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài là hai nhiệm vụ song song mà mỗi giáo viên Tiểu học có
trách nhiệm phát hiện và bồi dưỡng ngay từ đầu bậc học. Mặt khác, chất lượng
học sinh giỏi là một tiêu chí không thể thiếu để đánh giá sự phát triển của một
nhà trường. Thành tích học sinh giỏi góp phần tạo nên chất lượng và thương
hiệu của một trường. Ước mơ trở thành học sinh giỏi là ước mơ chính đáng của

mỗi học sinh, phụ huynh học sinh. Một học sinh giỏi không những là niềm tự
hào của cha mẹ, thày cô mà là niềm tự hào của cả cộng đồng. Giáo viên và nhà
trường có trách nhiệm cho phụ huynh biết năng lực của con em họ để cùng phối
hợp bồi dưỡng. Để có kết quả của học sinh giỏi thì công tác tạo nguồn, bồi
dưỡng nguồn là chiến lược hết sức quan trọng, có tính chất bền vững trong công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở Tiểu học.
Thực hiện Thông tư số 30/2014/TT-BGD ĐT ngày 28 tháng 8 năm 2014;
Chỉ thị số 5105/CT- BGD ĐT ngày 03/11/2014 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, các
trường Tiểu học không tổ chức các lớp bồi dưỡng, nâng cao dành cho học sinh
giỏi, không tổ chức các hội thi hay giao lưu học sinh giỏi. Tôi rất tán thành với
chủ trương của Bộ Giáo dục là xóa bỏ trường chuyên, lớp chọn đối với Tiểu học.
2


Học sinh Tiểu học phải được học đều các môn, được giáo dục phát triển toàn
diện. Tuy nhiên cuộc thi giải toán trên Internet (Giải toán Violympic) vẫn thu hút
sự quan tâm của không ít phụ huynh và học sinh. Nhiều học sinh rất có hứng thú
với các vòng thi toán trên mạng và cũng có rất nhiều phụ huynh mong muốn con
em mình thử sức và rèn luyện tư duy toán học.
Cuộc thi giải toán Violympic là một sân chơi dành cho học sinh
Tiểu học và THCS. Các bài thi nhằm giúp các em củng cố, nâng cao kiến thức,
phát triển khả năng tư duy, sáng tạo. Khi các em làm bài, đồi hỏi phải nhanh,
chính xác, thao tác trên máy tính thành thạo. Nó tích hợp rất nhiều kĩ năng của
học sinh: kĩ năng tính và giải toán, kĩ năng xử lí tình huống, thu thập thông tin,
… Học sinh cần rèn kĩ năng phát hiện nhanh nhạy những tình huống có vấn đề
trong các bài toán trên mạng, phát hiện dạng toán, tìm phương pháp giải toán
cho phù hợp. Qua mỗi bài toán, học sinh cần rút ra bản chất của một dạng bài,
những điều cần lưu ý, những sai lầm có thể mắc phải. Trong khi đó các đề thi
violimpic, nội dung kiến thức rất phong phú, bài tập đa dạng. Nếu học sinh chỉ
có kiến thức tích lũy được trong các bài học trên lớp theo chương trình sách giáo

khoa thì khó có thể tham gia cuộc thi giải toán trên Internet. Vì vậy có những
dạng toán, bài toán giáo viên phải dạy, phải hướng dẫn học sinh rút ra quy tắc,
quy luật, công thức để làm bài. Thế nhưng không phải giáo viên nào cũng có thể
giúp học sinh trong lĩnh vực này, đặc biệt là đối với học sinh lớp 4,5. Qua hai
năm được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh có năng khiếu giải toán Violimpic,
tôi đã hướng dẫn học sinh nẵm vững cách giải một số dạng toán, trong đó có
dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích. Tôi luôn mong muốn giúp học
sinh vượt qua các vòng thi tự luyện violimpic toán một cách nhanh nhất.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu những bài toán Tìm chữ số tận cùng của một tích, những lúng
túng, sai sót của học sinh khi thực hiện, từ đó đề xuất một số biện pháp giúp học
sinh tìm đáp số bài toán một cách nhanh nhất.

3


3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở toán học, nguyên tắc dạy học sinh năng khiếu toán
- Khảo sát thực trạng dạy và học dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích
- Đề xuất một số biện pháp nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh
năng khiếu ở Tiểu học
4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. Mục đích nghiên cứu:
+ Các bài toán liên quan tìm chữ số tận cùng của một tích.
+ Cách giải các bài toán trên.
+ Biện pháp giúp học sinh làm tốt các bài toán đó.
2. Khách thể nghiên cứu:
Học sinh năng khiếu Toán lớp 5 trường Tiểu học Hiệp Cường- huyện Kim
Động- tỉnh Hưng Yên.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

5.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
5.1. Phương pháp điều tra.
5.3. Phương pháp thống kê.
5.4. Phương pháp phân tích và tổng hợp.

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
Mục đích của quá trình dạy học ở bậc Tiểu học là nhằm cung cấp tới học
sinh những kiến thức cơ bản, toàn thể về tự nhiên và xã hội. Nhằm giúp học sinh
từng bước hình thành nhân cách, từ đó trang bị cho học sinh các phương pháp
ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thực tiễn. Mục tiêu đó được thực
hiện thông qua việc dạy học các môn và thực hiện theo định hướng yêu cầu giáo
dục, nhằm trang bị cho trẻ những kiến thức, kĩ năng cần thiết để trẻ tiếp tục học
ở bậc Trung học hay cho công việc lao động của trẻ sau này. Trong 9 môn học,
môn Toán đóng vai trò quan trọng, nó cung cấp những kiến thức cơ bản về số
4


học, các yếu tố hình học, đo đại lượng, giải toán, …môn Toán Tiểu học thống
nhất không chia thành môn khác. Bên cạnh đó khả năng giáo dục của môn Toán
rất phong phú còn giúp học sinh phát triển tư duy, khả năng suy luận, trau dồi trí
nhớ, giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, chính xác. Nó còn giúp học sinh phát
triển trí thông minh, tư duy độc lập sáng tạo, kích thích óc tò mò, tự khám phá
và rèn luyện một phong cách làm việc khoa học. Yêu cầu đó rất cần thiết cho
mọi người, góp phần giáo dục những đức tính quý báu: chịu khó, nhẫn nại, cần
cù trong học tập.
Bồi dưỡng, phát triển năng khiếu Toán ở Tiểu học là rất quan trọng và cần
thiết, nhưng vẫn đảm bảo những nguyên tắc sau:
1. Một số nguyên tắc dạy Toán nói chung và bồi dưỡng năng khiếu toán nói
riêng:

1.1. Đảm bảo sự thống nhất giữa tính khoa học và tính giáo dục
Tính khoa học trong quá trình dạy học ở Tiểu học trước hết bằng chính
nội dung dạy học ở Tiểu học. Tính khoa học được thể hiện trong phương pháp
dạy học, hình thức tổ chức dạy học.
Đảm bảo tính khoa học trong dạy Toán ở Tiểu học là dạy đúng, dạy đủ
những tri thức khoa học được quy định trong chương trình cấp học.
Tính giáo dục là thuộc tính bản chất của quá trình dạy học ở Tiểu học
nhằm đạt tới sự phát triển nhân cách toàn diện cho học sinh. Hình thành ở học
sinh thế giới quan khoa học và những phẩm chất đạo đức của con người mới.
Đảm bảo tính thống nhất giữa khoa học và giáo dục là trong quá trình dạy
học đồng thời giúp học sinh nắm tri thức khoa học và hình thành phẩm chất đạo
đức cho học sinh.
Vì vậy, yêu cầu mỗi giáo viên phải có trình độ chuyên môn vững vàng, kĩ
năng ngôn ngữ, tổ chức hợp lí các hoạt động dạy học, xử lí linh hoạt, sáng tạo
các tình huống có vấn đề. Bằng bản thân những kiến thức Toán học ta bồi dưỡng
cho học sinh một cách có hệ thống giúp học sinh có tình cảm đúng đắn đối với
môn học. Ngược lại, tình cảm yêu mến Toán học giúp các em tiếp tục làm chủ
kiến thức Toán học mới.
5


1.2. Đảm bảo sự thống nhất giữa tính khoa học và tính thực tiễn.
Trong quá trình dạy học, đồng thời giúp học sinh nắm kiến thức Toán học
(Kiến thức phù hợp với thực tiễn), hình thành kĩ năng vận dụng thành thạo nhằm
góp phần cải tạo hiện thực, cải tạo bản thân. Qua thực tiễn, nó khẳng định tính
đúng đắn của khoa học. Hệ thống các quy tắc, công thức Toán học chính là sản
phẩm nghiên cứu tìm ra chân lí của các nhà khoa học.
1.3. Đảm bảo tính cụ thể và tính trừu tượng.
Học sinh Tiểu học nhận thức từ cái riêng đến cái chung, từ cái cụ thể đến
cái khái quát. Vì vậy, giáo viên phải giúp học sinh tìm hiểu, phân tích qua những

ví dụ cụ thể rồi mới khái quát thành quy tắc, công thức Toán học.
1.4. Đảm bảo sự thống nhất giữa dạy và học
Trong quá trình dạy học, hoạt động học đóng vai trò chủ đạo. Học sinh tự
giác, tự lực tiếp thu kiến thức dưới tác động của giáo viên. Thông qua vai trò của
người giáo viên, học sinh phát huy được tính tự giác, tích cực, ham mê tìm kiến
thức mới.
1.5. Đảm bảo tính vững chắc của kiến thức với tính mềm dẻo của tư duy.
Tính vững chắc của kiến thức có nghĩa là hệ thống kiến thức mà học sinh
lĩnh hội được sẽ vận dụng vào các tình huống tương tự. Học sinh lĩnh hội vững
chắc kiến thức làm nền tảng lĩnh hội kiến thức mới.
Tính mềm dẻo của tư duy là khả năng linh hoạt, sáng tạo của học sinh khi
vận dụng kiến thức vào từng bài học cụ thể.
Để đảm bảo nguyên tắc này trong quá trình dạy học, đòi hỏi người giáo viên
phải làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức Toán học và khi cần có thể
nhớ và vận dụng linh hoạt trong từng tình huống. Người giáo viên biết hòa kinh
nghiệm của nhân loại với kinh nghiệm bản thân để giúp học sinh nắm được bản
chất vấn đề; Giúp học sinh biết nhớ nhiều, nhớ nhanh, nhớ lâu, nhớ chính xác
điều đã học.
1.6. Đảm bảo tính khoa học với tính vừa sức
Đây là một nguyên tắc vô cùng quan trọng khi bồi dưỡng học sinh năng
khiếu. Bởi yêu cầu, nhiệm vụ học tập phải phù hợp với trí tuệ học sinh. Dạy học
6


phù hợp khả năng, năng lực, trình độ phát triển của đối tượng học sinh, đảm bảo
học sinh đều được phát triển ở mức cao nhất. Những kiến thức toán học chúng ta
truyền tải đến học sinh phải được học sinh tiếp thu trên cơ sở phát huy hết khả
năng của mình. Bồi dưỡng học sinh giỏi không phải là dạy trước chương trình
và cũng không nên dạy những bài quá khó. Mà phải bắt đầu từ dạy chuẩn kiến
thức từng khối lớp. Trên cơ sở chuẩn kiến thức, giáo viên có thể mở rộng, khắc

sâu kiến thức cho học sinh có tư duy, tiếp thu nhanh hơn so với các bạn trong
lớp, trong khối. Bồi dưỡng theo nhóm trình độ là mấu chốt của sự thành công
bởi trong một lớp có nhiều đối tượng học sinh, không phải đối tượng nào cũng
có thể mở rông, khắc sâu kiến thức được. Nếu đưa những kiến thức quá cao đối
với các em, các em không những không hiểu mà còn dẫn đến việc chán học, lâu
dần các em sẽ bị mặc cảm với các bạn trong lớp. Hoặc nếu chỉ dừng lại ở việc
cung cấp kiến thức theo chuẩn thì khó có học sinh giỏi và không phát huy được
tính sáng tạo, tích cực học tập của học sinh.
Như vậy, để đảm bảo nguyên tắc này đòi hỏi người giáo viên phải có trình
độ chuyên môn giỏi, toàn diện, quan tâm đến trình độ phát triển chung của học
sinh cả lớp, trình độ phát triển riêng từng đối tượng học sinh. Từ đó mới có nội
dung dạy học phù hợp.
2. Nội dung dạy học Tìm chữ số tận cùng của một tích
Trong các đề thi violympic Toán Tiểu học, có rất nhiều kiến thức, nhiều
dạng bài các em chưa được học trên lớp, chưa được giới thiệu trong chương
trình học cơ bản.
Dạng bài tập Tìm chữ số tận cùng của một tích cũng vậy. Chương trình
Toán ở Tiểu học không đề cập tới nội dung này. Nếu có thì chỉ dừng lại ở những
bài tập đơn giản, cụ thể. Nhưng trong các đề thi Violympic Toán Tiểu học thì lại
đề cập đến và có nhiều dạng bài phong phú.

7


CHƯƠNG 2: CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Thực trạng bồi dưỡng học sinh năng khiếu tham gia giải toán violympic.
Tại trường Tiểu học Hiệp Cường- nơi tôi đang công tác, việc dạy bồi
dưỡng học sinh năng khiếu nói chung, năng khiếu Toán nói riêng, nhất là học
sinh khối lớp 5 trong những năm qua đã có nhiều chuyển biến và đạt được
những kết quả tích cực, góp phần vào kết quả chung của địa phương. Nhưng 2

năm vừa qua, Cuộc thi Giải toán violympic không bắt buộc mà chỉ là khuyến
khích học sinh tham gia, nên thực trạng bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán
đang gặp những vấn đề sau:
1.1. Thuận lợi:
- Được sử chỉ đạo, quan tâm sâu sát và kịp thời của BGH, có kế hoạch cụ
thể, lâu dài trong công việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu.
- Giáo viên có trình độc huyên môn vững vàng, có nhiều kinh nghiệm
trong công tác giảng dạy HS năng khiếu nhiều năm.
- Học sinh ngoan, có ý thức học tập, yêu thích môn học, say mê, ham học
hỏi. Học sinh cần cù tích lũy, chăm đọc sách tham khảo và tài liệu khác như
Toán Tuổi thơ, tích cực luyện thi các vòng để nắm chắc các dạng bài.
1.2. Khó khăn:
+ Đối với giáo viên: Nói chung, công tác bồi dưỡng học sinh có năng
khiếu ở nhiều trường chưa được quan tâm thỏa đáng, giống như “mì ăn liền”. Vì
vậy, cứ có kế hoạch thi cấp huyện thì mới tổ chức ôn luyện. Bên cạnh đó, thời
gian dành cho bồi dưỡng học sinh cũng ít, giáo viên chỉ tranh thủ ở buổi học thứ
hai.
Đa số giáo viên vừa phải đảm bảo chất lượng đại trà, vừa phải hoàn thành
chỉ tiêu mũi nhọn và công tác chủ nhiệm lớp, công tác kiêm nhiệm do đó cường
độ làm việc quá tải. Và việc đầu tư cho bồi dưỡng còn hạn chế.
Giáo viên đều phải tự soạn chương trình dạy, theo kinh nghiệm của bản thân,
theo chủ quan, tự nghiên cứu, tự sưu tầm tài liệu.
Ngoài ra, một số giáo viên chưa thực sự gắn bó với công tác bồi dưỡng học
sinh năng khiếu với nhiều lí do khác nhau nên cũng ảnh hưởng đến chất lượng
8


công tác này. Một số giáo viên, việc tiếp cận bài tập nâng cao hay tìm ra bước
trung gian để đi đến kết quả nhanh nhất, chính xác nhất chẳng mấy khi được
nghiên cứu kĩ.

+ Đối với học sinh: Học sinh phải học đầy đủ các môn học chính khóa cộng
với chương trình bồi dưỡng nên rất hạn chế về thời gian.
- Học sinh có năng khiếu thì lại hay tham gia các hội thi khác. Cụ thể, năm
học 2012-2013 đến nay, học sinh Tiểu học có các hội thi:
- Olympic Toán, Tiếng Anh, Toán- Tiếng Anh trên mạng
- Viết chữ đẹp
- Nghi thức Đội
- Chiếc ô tô mơ ước
- An toàn giao thông
- Giải bóng đá thiếu nhi
- Trạng nguyên Tiếng Anh
- Trạng nguyên Tiếng Việt, ….
Các cuộc thi cứ nối tiếp nhau, do vậy cũng gây áp lực cho cả giáo viên và
học sinh. Thời gian dành cho việc bồi dưỡng học sinh năng khiếu nhiều khi bị
gián đoạn, hoặc tranh thủ một ít thời gian hiếm hoi ở các buổi học thứ hai.
Hơn nữa, việc nắm kiến thức cơ bản nhiều khi ở dạng ghi nhớ là chủ yếu, ít
khi hiểu bản chất của vấn đề nên rất khó khăn trong việc tiếp cận các bài toán
nâng cao đòi hỏi chiều sâu về trí tuệ.
2. Thực trạng dạy và học dạng toán Tìm chữ số tận cùng của một tích:
- Đây là dạng toán hay nhưng không xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi
những năm trước. Trong các vòng thi violimpic cũng xuất hiện không nhiều. Có
năm, cả 19 vòng thi chỉ xuất hiện dạng bài này 2 đến 3 lần (thường là ở vòng 14,
15 trở đi). Mà kiến thức cơ bản học sinh cần phải nhớ để vận dụng giải quyết
vấn đề từng bài tập lại nhiều nên học sinh hay quên hoặc nhầm lẫn kiến thức này
với kiến thức khác. Vì vậy, giáo viên chưa quan tâm, chú trọng đến phương pháp
giải dạng toán này.
3. Một số lỗi sai sót, nhầm lẫn
9

Khi hướng dẫn học sinh những khóa học trước làm bài dự thi Olympic Toán
cấp Tiểu học, tôi nhận thấy phần Tìm chữ số của một tích của các em còn rất
hạn chế. Hầu như các em không biết cách làm.
Nguyên nhân dẫn đến những sai sót:
+ Chưa được trang bị kiến thức cơ bản về cách tìm chữ số tận cùng của một
tích.
+ Chưa được làm quen, thực hành thường xuyên với các dạng bài.
+ Bỏ sót một số thông tin, dữ liệu trong bài toán.
+ Nhầm lẫn dạng toán này với dạng toán khác
+ Tính toán với dãy số có nhiều số hạng còn lúng túng….
Do vậy ngay từ tuần 3 của năm học 2012-2013, tôi đã tiến hành cho học
sinh thực hiện bài khảo sát như sau với 6 học sinh lớp 5B, trường Tiểu Hiệp
Cường, huyện Kim Động, tỉnh Hưng Yên (thời điểm tháng 9 năm 2013) gồm
các em có tên sau:
1. Trần Anh Vũ
2. Dương Thị Hường
3. Dương Thị Nga
4. Lê Thị Ngọc Ánh
5. Dương Thu Hồng
6. Dương Công Mạnh.
2. Bài khảo sát số 1 ( Thời gian 20 phút)
Đề bài
Bài 1: (3điểm) Tích sau có chữ số tận cùng là chữ số nào:
4 x 14 x 24x 34 x 44 x 54
Bài 2: (3điểm) Thay dấu * bằng chữ số thích hợp:
21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 165765***
Bài 3: (4điểm) Tích sau có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng:
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ..... 96x 97x 98x 99x 100

10

Kết quả
Tổng

Điểm

số HS

9 – 10
SL
%
0

7- 8
SL

%

0

5-6
SL
%
5

64

Dưới 5
SL

%
1

36

Kết quả như vậy là chưa cao, học sinh không biết cách làm. Có em ngồi
viết hết tất cả các số rồi tính, rồi đếm, mất rất nhiều thời gian.

CHƯƠNG 3
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH
LÀM TỐT CÁC BÀI TOÁN “TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH”

Trong quá trình dạy học, từ kết quả nghiên cứu, tôi xin mạnh dạn đưa ra
một số giải pháp sau:
1. Giải pháp 1: Giúp học sinh nắm vững một số kiến thức về dãy số tự
nhiên cách đều
Mục đích: Học sinh biết cách xác định số các thừa số trong một tích, xác định
thừa số đầu tiên hoặc thừa số cuối cùng của một tích, …
Cách thực hiện: Bằng các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp hơn, kết hợp phương
pháp thuyết trình, giảng giải, giáo viên cung cấp cho học sinh một số công thức
toán học tổng quát:
Số các số hạng của một dãy số cách đều= (số cuối- số đầu): khoảng cách giữa
hai số liền nhau + 1
Các công thức được suy ra:
Số cuối của dãy= (Số các số -1) x khoảng cách giữa hai số liền nhau+ số đầu
Ví dụ áp dụng: Tích sau có bao nhiêu thừa số:
2 x 12 x 22 x 32 x …x …x 2012
Học sinh dễ dàng tìm được số các thừa số của tích như sau:
(2012- 2): 10 + 1= 202 (thừa số)
2. Giải pháp 2: Giúp học sinh nắm vững một số kiến thức về chữ số tận

cùng của tích
11


Mc ớch: Hc sinh ghi nh ch s tn cựng ca tớch cỏc tha s cú ch s tn
cựng ging nhau.
Cỏch thc hin: Giỏo viờn cung cp cho hc sinh mt s cụng thc toỏn hc
tng quỏt:
1. Ch s tn cựng ca mt tng bng ch s tn cựng ca tng cỏc ch s hng
n v ca cỏc s hng trong tng ú.
2. Ch s tn cựng ca mt tớch bng ch s tn cựng ca tớch cỏc ch s hng
n v ca cỏc tha s trong tớch ú.
3. Tng 1 + 2 + 3 + 4 +.+ 9 cú tn cựng bng 5
4. Tớch 1 x 3 x 5 x 7 x 9 cú tn cựng bng 5
5. Tớch ca a x a khụng th cú tn cựng l 2; 3; 7 hoc 8.
6. Tớch ca tt c cỏc tha s cú tn cựng l 1 thỡ cú tn cựng l 1.
7. Tớch ca tt c cỏc tha s cú tn cựng l 6 thỡ cú tn cựng l 6.
8. Tớch ca tt c cỏc tha s cú tn cựng l 5 thỡ cú tn cựng l 5.
9. Tớch ca cỏc s cú tn cựng l 5 vi 1 s chn cú tn cựng l 0.
Vớ d 1: Khụng tớnh c th, hóy cho bit ch s tn cựng ca mi kt qu sau:
a) 21 x 23 x 25 x 27 11 x 13 x 15 x 17
b) 56 x 66 x 76 x 86 + 51 x 61 x 71 x 81
Vớ d 2: Khụng lm tớnh, xột xem kt qu sau ỳng hay sai:
ab x ab 8557 = 0
3. Gii phỏp 3: Giỳp hc sinh nm c mt s th thut tớnh toỏn
nhanh chúng tỡm c kt qu.
Mc ớch: Dng toỏn tỡm ch s tn cựng ca mt tớch l dng toỏn hay. Nhiu
khi nú khụng ũi hi ta phi tỡm tớch nhng bng mt s th thut tớnh toỏn ta s
nhanh chúng tỡm c ch s tn cựng ca tớch. Mun vy, hc sinh cn nm
c mt s th thut tỡm kt qu mt cỏch nhanh nht m khụng mt

nhiu thi gian tớnh toỏn.
Cỏch thc hin: Giỏo viờn giỳp hc sinh ghi nh mt s th thut sau:
- Trong một dãy tích gồm các thừa số giống nhau, ta chia
thành các nhóm để xét chữ số tận cùng. Các thừa số có chữ số
12


hàng đơn vị là chữ số lẻ ta chia nhóm để có chữ số tận cùng
của tích nhóm là 1. Các thừa số có chữ số hàng đơn vị là chữ
số chẵn ta chia nhóm để có chữ số tận cùng của tích nhóm là
6. Nh vậy:
* Chữ số 2 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 (2 x 2 x 2 x 2 =
16)
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của tích:
2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 42 x 62 x 72 x 82 x 92 x 102 x 112
Ta có:
(2 x 12 x 22 x 32) x (42 x 42 x 62 x 72) x (82 x 92 x 102 x
112)
có tận cùng là 6 x có tận cùng là 6 x có tận cùng là 6
Có tận cùng là 6
Vậy Tích

2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 42 x 62 x 72 x 82 x 92 x 102

x 112 có tận cùng là 6.
* Chữ số 3 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 (3 x 3 x 3 x 3 =
81)
* Chữ số 4 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 2 (4 x 4 = 16)
* Chữ số 7 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 ( 7 x 7 x 7 x 7
= 2401)

* Chữ số 8 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 (8 x 8 x 8 x 8 =
4096)
* Chữ số 9 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 2 (9 x 9 = 81)
Vớ d 2: Tìm chữ số tận cùng của tích: 209 x 219 x 229 x239 x
249 x 259 x 269
Ta có:
(209 x 219)

x

(229 x 239) x

(249 x 259)

x

269
13


cã tËn cïng lµ 1

x cã tËn cïng lµ 1 x cã tËn cïng lµ 1 x cã

tËn cïng lµ 9
…cã tËn cïng lµ 1

x…

cã tËn cïng lµ 9

cã tËn cïng lµ 9
Vậy tích 209 x 219 x 229 x 239 x 249 x 259 x 269 có tận cùng là
9.
Ví dụ 3: Tích sau có tận cùng là chữ số nào?
2017x 2007 x 1997 x 1987x …… x 17 x 7
Ta thấy tích trên có: (2017-7) :10 + 1= 202 (thừa số)
Vì mỗi thừa số đều có chữ số tận cùng là 7 nên ta chia nhóm 4 ®Ó cã ch÷ sè
tËn cïng cña tÝch mỗi nhãm lµ 1.
202: 4 = 50 (dư 2 thừa số)
=> (2017 x 2007 x 1997 x 1987) x …… x 17 x 7
… có tận cùng là 1 x …… (50 nhóm)
… có tận cùng là 1

x

17 x 7

x … có tận cùng là 9
… có tận cùng là 9

Vậy 2017x 2007 x 1997 x 1987x …… x 17 x 7 có tận cùng là 9
4. Giải pháp 4: Vận dụng một số kiến thức liên quan dấu hiệu chia hết
Mục đích: Nhiều bài tập tìm chữ số tận cùng của tích lại liên quan đến dấu hiệu
chia hết. Học sinh biết dựa vào các dấu hiệu chia hết để xét chữ số tận cùng.
Cách thực hiện: Giáo viên đưa ra một số ví dụ cụ thể để học sinh vận dụng
14


Vớ d:
Bit 21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 165765***. Hóy tỡm giỏ tr ca ch s *

Nh vy, hc sinh phi xỏc nh 3 ch s tn cựng ca tớch mt cỏch nhanh
nht da trờn dõu hiu chia ht.
Hng dn hc sinh phõn tớch:
21 x 22 x 23 x 24 x 25 x 26= 3 x 7 x 22 x 23 x 8 x 3 x 5 x 5 x 26
Khi ly 5 nhõn vi 1 s chn thỡ cú ch s tn cựng bng 0. Vy tớch trờn
cú 2 ch s 0 tn cựng. M tớch trờn l s chia ht cho 9 (3 x 3) nờn tng cỏc ch
s chia ht cho 9.
Ta có: 165765*00 có tổng các chữ số là:
1 + 6 + 5 + 7 + 6 +5 + * + 0 + 0 = 30 + *
Vậy * = 6. Kết quả đúng là:

165765600

5. Gii phỏp 5: Phõn loi dng toỏn
Mc ớch: Mi dng toỏn li cú phng phỏp, suy lun khỏc nhau. Vỡ vy phõn
loi cỏc dng toỏn v giỳp hc sinh nm chc cỏch gii tng dng cỏc em s nh
lõu hn.
Cỏch thc hin: Qua nghiờn cu, su tm, thu thp cỏc bi toỏn tỡm ch s tn
cựng ca mt tớch, tụi phõn loi thnh cỏc dng toỏn c bn sau:
Dng 1: Xỏc nh ch s tn cựng ca mt tớch:
Bi toỏn 1: Tìm các chữ số tận cùng của tích sau:
1 x 3 x 5 x 7 x 9 x x 2009 x 2011
(Đề thi Violympic vòng 18, năm học 20112012)
Phân tích:
Ta thấy rằng tích trên gồm các thừa số là số lẻ. Mà 5 nhân
với 1 số lẻ luôn có chữ số tận cùng là 5. Vậy ta có cách giải nh
sau:
Bài giải:
Trong phép nhân có chứa thừa số 5 nên tích là một số
chia hết cho 5. Do đó chữ số tận cùng của tích là 0 hoặc 5.

15


Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ. Vậy chữ số tận cùng của
tích là 5.
Bài toán 2. Cho T= 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 (tích có 2013 thà số
2).
T có chữ số tận cùng là mấy?
(Đề thi Violympic vòng 17, năm học 2012-2013)
Phân tích:
Nếu ta chia tích trên thành các nhóm, mỗi nhóm có 4 thừa
số thì kết quả của mỗi nhóm đều có tận cùng là 6 (vì 2 x 2 x
2 x 2 = 16) mà tích của tất cả các số có tận cùng là 6 thì tích
đó có tận cùng là 6. Do đó, tích có số thừa số chia hết cho 4
thì có tận cùng là 6, nếu d 1 thì có tận cùng là 2, d 2 thì có
tận cùng là 4, d 3 thì có tận cùng là 8. Từ đó ta có cách giải nh
sau:
Bài giải:
Nếu nhóm các thừa số trên và các nhóm gồm 4 thừa số,
thì tích trên có số nhóm là:
2013 : 4 = 504(nhóm), d 1 thừa số
Vì T gồm 2013 thừa số 2 nên chữ số tận cùng trong mỗi
nhóm là 6. Tích này nhân với 2( không thuộc 504 nhóm) đợc số
có tận cùng là 2. Vậy chữ số tận cùng của T là 2.
Dng 2: Xỏc nh s ch s 0 tn cựng ca mt tớch
Bài toán 3. Cho P= 1 x 2 x 3 x 99 x 100 có bao nhiêu chữ số
0 tận cùng.
Phân tích:
Ta thấy rằng: 5 nhân với 1 số chẵn thì sẽ đợc tích là 1
chữ số 0. Vậy ta nhóm thành các nhóm gồm 1 thừa số có tận

16


cùng là 5 với 1 chữ số 0, cũng tạo thành 1 nhóm. Trong tích có
bao nhiêu nhóm thì sẽ có bấy nhiêu chữ số 0.
Từ cách phân tích đó ta có hớng giải nh sau:
Bài giải:
Các thừa số có chữ số 5 tận cùng trong tích trên là:5, 15,
25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. Mà 25 = 5 x 5, 75= 5 x 5 x 5 nên
thay 5 x 5 và 5 x 5 x 5 x 5 x 3 vào tích trên thì tích đó có 12
thừa số có tận cùng là 5. Cứ lấy một thừa số chẵn nhân với một
số có tận cùng là 5 ta đợc tích là số có tận cùng là một chữ số 0.
Mặt khác, tích trên có 9 thừa số tròn chục là:10, 20, 30, 40, 50,
60, 70, 80, 90 mà 50=5 x 10 nên lấy 50 nhân với một số chẵn
ta có 2 chữa số 0 tận cùng. Thừa số 100 có 2 chữ số 0 tận cùng
nữa.
Vậy tích trên có số chữ số 0 tận cùng là: 12 +10+ 2= 24
( chữ số 0 tận cùng)
Bi toỏn 4: Tớch ca tt c cỏc s t nhiờn liờn tip bt u t 1 n 2015 cú tn
cựng bao nhiờu ch s 0.
(Đề thi Violympic vòng 14, năm học 20142015)
Phân tích:
Ta thấy, bi toỏn 4 cng tng t nh bi toỏn 3 nhng ta cú th phõn
tớch nh sau:
+ Nhng s chia ht cho 5 cú th phõn tớch thnh tớch ca ớt nht 1 tha s 5 to
thnh 1 dóy s cỏch u 5 n v:
5; 10 ; 15; 20 ; 25; .
+ Nhng s chia ht cho 5 cú th phõn tớch thnh tớch ca ớt nht 2 tha s 5 to
thnh 1 dóy s cỏch u 25 n v:
25; 50; 75; 100;

17


+ Những số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của ít nhất 3 thừa số 5 tạo
thành 1 dãy số cách đều 125 đơn vị:
125; 250; 375; ….2000
+ Những số chia hết cho 5 có thể phân tích thành tích của ít nhất 4 thừa số 5 tạo
thành 1 dãy số cách đều 625 đơn vị:
625; 1250; 1875; …
Bµi gi¶i:
+ Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 1
thừa số là 5 là:
5; 10; 15; 20; …; 2010; 2015
và có:

(2015- 5) : 5 + 1 = 403 (thừa số)

+ Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 2
thừa số là 5 là:
25; 50; 75; 100; … 2000
và có:

(2000 - 25) : 25 + 1 = 80 (thừa số)

+ Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 3
thừa số là 5 là:
125; 250; 375; ……..
và có:

2000

(2000 - 125) : 125 + 1 = 16 (thừa số)

+ Trong tích trên có các thừa số chia hết cho 5 mà tách thành tích của ít nhất 4
thừa số là 5 là:
625; 1250; 1875
và có:

3 thừa số

Tích trên phân tích thành tích trong đó có số thừa số là 5 là:
404 + 80+ 16 + 3= 502 (thừa số 5)
Mỗi thừa số là 5 nhân với 1 số chẵn cho ta số có tận cùng là 1 chữ số 0. Vậy
tích trên có 502 chữ số 0 tận cùng.
Dạng 3: Xác định chữ số tận cùng của tích dựa vào điều kiện
Bài toán 5:
Cho y = 1 x 2 x 3 x … x 19 x 20
18


Hỏi tổng của 5 chữ số tận cùng của y là bao nhiêu?
Bi gii:
Ta có:
4 x 5 x 10 x 14 x 15 x 20 = 840000
Tích của các thừa số còn lại là:
(1 x 2 x 3 x 6 x 7 x 8) x (11 x 12 x 13 x 16 x 17 x 18)
Cú tn cựng l 4

Cú tn cựng l 4

Cú tn cựng l 6
Vậy tích các chữ số tận cùng là 40000 hay tổng 5 chữ số
tận cùng của y là 4

(4 + 0 + 0 +0 +0).

Bi toỏn 6: Cho A= 2004 x 2004 x 2004 x 2004x . x 2004 (cú 2003 tha s)
B= 2003 x 2003 x 2003 x 2003 x .x 2003 (cú 2004 tha s)
Hi A + B cú chia ht cho 5 khụng?
Phõn tớch: Ta thy rng A+B cú chia ht cho 5 thỡ phi cú tn cựng l 0 hoc 5.
Nh vy ta phi tỡm ch s tn cựng ca A, ch s tn cựng ca B, ri tỡm ch
s tn cựng ca A + B.
Nếu ta chia chia tích A trên thành các nhóm, mỗi nhóm có 2
thừa số thì kết quả của mỗi nhóm đều có tận cùng là 6 (vì 4 x
4 = 16) mà tích của tất cả các số có tận cùng là 6 thì tích đó
có tận cùng là 6. Do đó, tích có số thừa số chia hết cho 2 thì
có tận cùng là 6, nếu d 1 thì có tận cùng là 4.
Nếu ta chia chia tích B trên thành các nhóm, mỗi nhóm có 4
thừa số thì kết quả của mỗi nhóm đều có tận cùng là 1 (vì 3 x
3 x 3 x 3 = 81) mà tích của tất cả các số có tận cùng là 1 thì
tích đó có tận cùng là 1. Do đó, tích có số thừa số chia hết
cho 4 thì có tận cùng là 1, nếu d 1 thì có tận cùng là 3, d 2 có
tận cùng là 9, d 3 có tận cùng là 7.
19


Tõ ®ã ta giúp học sinh sử dụng thuật toán để giải bài toán như sau:
Bµi gi¶i:

Tải tài liệu bản đầy đủ tại: />
Tải tài liệu bản đầy đủ tại: />
Tải tài liệu bản đầy đủ tại: />------------------------------------------------------

Tổng Hợp Đề Tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sư Phạm>>
/>
20