Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI QUANG THIỆN

VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI QUANG THIỆN

VẤN ĐỀ XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC TRƯNG
KHÔNG VỚI ĐIỀU KIỆN ẢNH NGƯỢC
CỦA TẬP HỢP ĐIỂM VÀ ÁP DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. VŨ HOÀI AN

Thái Nguyên - Năm 2014


i

Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
1 Tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic
1.1

1.2

1.3

1

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học
phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange .

1

1.1.2

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học
trung học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic . . . . . .

7

1.2.1

Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ

7

1.2.2

Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập

8

. . . . . . .

Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại
số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1

Hàm độ cao của Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng không

1.3.2

10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Hai định lý nhận giá trị của Hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng không với điều kiện ảnh của tập hợp điểm và áp
dụng

15


ii

2.1

Hàm hữu tỷ chung nhau các giá trị . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Đa thức duy nhất của hàm hữu tỷ

. . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Đa thức duy nhất kiểu Yn,m . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2

Đa thức duy nhất kiểu Fn,b

. . . . . . . . . . . . . . . .

23

Hàm hữu tỷ chung nhau tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.1

Tập duy nhất cho hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.2

0
Tập duy nhất kiểu Fn,b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3


iii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ
cấp với đề tài “Vấn đề xác định đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số,
đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng” là của
tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả

Bùi Quang Thiện


iv

Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Vũ Hoài An. Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Sau quá trình nhận đề tài và
nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy, luận văn “Vấn đề xác định
đối với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh
ngược của tập hợp điểm và áp dụng” của tôi đã được hoàn thành. Tôi xin gửi
lời cảm ơn tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường, PGS.
TS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. TS. Đàm Văn Nhỉ, PGS. TS. Trịnh Thanh Hải
đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào
tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất trong suốt
quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành đề tài này. Sự

giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của cán bộ thuộc Phòng Đào tạo và
Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng hết sức
tốt đẹp.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp
cao học Toán K6B (Khóa 2012 - 2014) đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên
cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.


v

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề nội suy cho đa thức là vấn đề kinh điển của Toán học sơ cấp.
Newton, Lagrange đã giải quyết vấn đề này đối với đa thức với hệ số thực. Hai
ông đã đưa ra công thức nội suy mà ngày nay được gọi là Công thức nội suy
Newton, Công thức nội suy Lagrange. Đây là các công thức nội suy với hữu
hạn mốc nội suy. Trong trường hợp vô hạn mốc nội suy, vấn đề nội suy cho hàm
nguyên đã là bài toán mở trong một thời gian dài. Năm 1979, Hà Huy Khoái là
người đầu tiên mở rộng vấn đề nội suy cho đa thức cho các hàm nguyên p-adic
[4]. Ông đã tìm được điều kiện cần và đủ để xác định hàm nguyên p-adic từ
vô hạn mốc nội suy. Trong trường hợp hàm nguyên phức, vấn đề này vẫn chưa
được giải quyết. Điều thú vị ở đây là, xuất phát từ vấn đề nội suy cho các hàm
nguyên p-adic, Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng lý thuyết phân bố
giá trị cho các hàm phân hình p-adic (xem [5]). Một trong những ứng dụng sâu
sắc của lý thuyết phân bố giá trị (p-adic) là vấn đề xác định duy nhất cho các
hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược của tập
hợp điểm. Kết quả kinh điển đầu tiên của vấn đề này là Định lý 4 điểm của
Nevalinna. Có hai hướng mở rộng định lý 4 điểm:
1. Xét nghịch ảnh riêng rẽ của điểm.
2. Xét nghịch ảnh của tập hợp điểm.

Mặt khác, từ Công thức nội suy Newton, Công thức nội suy Lagrange,
vấn đề xác định duy nhất đối với đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ
số thực được giải quyết qua n + 1 mốc nội suy.
Nhận xét rằng, có sự tương tự giữa vấn đề xác định duy nhất đối với đa
thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n với hệ số thực được giải quyết qua n + 1 mốc
nội suy với vấn đề xác định duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng p-adic


vi

qua điều kiện ảnh ngược của tập điểm. Điều này gợi ý cho chúng tôi xem xét
vấn đề nội suy cho đa thức dưới góc độ của lý thuyết phân bố trị. Theo hướng
tiếp cận này, luận văn nghiên cứu Vấn đề xác định đối với Hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều kiện ảnh ngược
của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức.

2. Mục tiêu nghiên cứu
Trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương tự các định lý
duy nhất đối với hàm phân hình p-adic trong [6] cho Hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không.

3. Nội dung nghiên cứu và Phương pháp nghiên cứu
3.1. Tổng hợp và trình bày về vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán
học phổ thông.
3.2. Trình bày tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic.
3.3. Tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1], các kết quả này là tương
tự các định lý duy nhất đối với hàm phân hình p-adic cho Hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không.

4. Kết quả nghiên cứu
Luận văn tổng hợp và trình bày lại các kết quả trong [1]. Cụ thể là:
• Định lý 2.1.1 là tương tự của Định lý 4 điểm trong [6].
• Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý 3.9 trong [6].
• Định lý 2.2.1 là tương tự của Định lý 3.19 trong [6].
• Định lý 2.3.1 là tương tự của Định lý 3.36 trong [6].

5. Bố cục luận văn
Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo.


vii

Chương 1. Trong Chương 1, chúng tôi tổng hợp và trình bày về vấn đề
xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung học phổ thông, trình bày
tổng quan về vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic. Chúng tôi
cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận giá trị của
hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đã được đưa ra trong [1]
và đã được trình bày lại ở [2].
Chương 2. Trong Chương 2 chúng tôi tổng hợp và trình bày lại vấn đề xác
định đối với Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không với điều
kiện ảnh ngược của tập hợp điểm và áp dụng vào vấn đề xác định đa thức đã
đưa ra trong [1].
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Học viên

Bùi Quang Thiện

viii

Bảng ký hiệu
f
Hàm hữu tỷ
n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a
Tf
Hàm đặc trưng của f
Ef (S)

Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f

E f (S)
K

Ảnh ngược không tính bội của S đối với f
Trường đóng đại số, đặc trưng không


1

Chương 1
Tổng quan về vấn đề xác định duy
nhất của hàm phân hình p-adic
1.1

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong
toán học trung học phổ thông

1.1.1

Công thức nội suy Newton, công thức nội suy Lagrange

Công thức nội suy Newton

Ví dụ 1.1.1. Xác định đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện
P (1) = 2, P (2) = 5, P (3) = 12.
Nếu P (1) = 2 ta có đa thức thỏa mãn điều kiện là đa thức A(x) = 2.
Nếu B(1) = 2 và B(2) = 5 thì đa thức B(x) là
B(x) = A(x) + α(x − 1) = 2 + α(x − 1).
Khi đó
B(1) = A(1) = 2
B(2) = 2 + α
B(2) = 5 ta chọn α = 3.
Ta có B(x) = 2 + 3(x − 1).
Vậy tương tự như trên ta tìm đa thức P (x) sao cho P (1) = 2, P (2) = 5,


2

P (3) = 12.
Ta xét đa thức có dạng
P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2)
= 2 + 3(x − 1) + α(x − 1)(x − 2).
Bởi vì P (x) = B(x) + α(x − 1)(x − 2) chúng ta có ngay P (1) = B(1) = 2,
P (2) = B(2) = 5.
Còn P (3) = 8 + 2α để P (3) = 12 thì α = 2.
Ta có P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2).
Khi đó đa thức P (x) cần tìm là
P (x) = 2 + 3(x − 1) + 2(x − 1)(x − 2)

= 2x2 − 3x + 3.
Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét bài toán tổng quát. Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1
số thực khác nhau và y1 , y2 , . . . , yn , yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ
tìm đa thức P (x) có bậc bé thua hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện.
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 .
Theo như ví dụ mà chúng ta đã giải ở trên, thì đa thức P (x) có dạng
P (x) = α1 +α2 (x−x1 )+α3 (x−x1 )(x−x2 )+. . .+αn+1 (x−x1 )(x−x2 ) . . . (x−xn+1 ).
Công thức này gọi là công thức nội suy Newton. Nếu chúng ta thay x = x1
vào công thức nội suy Newton thì chúng ta sẽ xác định được giá trị của hệ số
α1 . Tiếp đó, nếu chúng ta thay x = x2 vào công thức nội suy thì chúng ta sẽ
xác định được giá trị của hệ số α2 . Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng αn+1 sẽ
được xác định nếu chúng ta thay x = xn+1 .
Ví dụ 1.1.2. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho
P (1) = 1, P (2) = 1, P (3) = 2, P (4) = 3, P (5) = 5.
Chúng ta dùng công thức nội suy Newton.
P (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)


3

+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 1 vào công thức cần tìm, chúng ta có P (1) = α1 = 1
P (x) = 1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, ta có P (2) = 1 + α2 = 1 do đó α2 = 0. Vậy
P (x) = 1 + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
1
Thay x = 3, ta có P (3) = 1 + 2α3 = 2, do đó α3 = , vậy
2

1
P (x) = 1+ (x−1)(x−2)+α4 (x−1)(x−2)(x−3)+α5 (x−1)(x−2)(x−3)(x−4).
2
Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 2 + 24α5 , do đó α5 =

1
. Do đó đa thức cần
12

tìm là
1
1
1
P (x) = 1+ (x−1)(x−2)− (x−1)(x−2)(x−3)+ (x−1)(x−2)(x−3)(x−4).
2
6
12
Ví dụ 1.1.3. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1,
P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25.
Chúng ta dùng công thức nội suy Newton.
P (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 1 vào công thức trên, chúng ta có P (1) = α1 = 1, vậy
P (x) = 1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 2, chúng ta có P (2) = 1 + α2 = 4, do đó α2 = 3, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)


4

+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 3, chúng ta có P (3) = 7 + 2α3 = 9, do đó α3 = 1, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α4 (x − 1)(x − 2)(x − 3)
+ α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 4, chúng ta có P (4) = 16 + 6α4 = 16, do đó α4 = 0, vậy
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) + α5 (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4).
Thay x = 5, chúng ta có P (5) = 25 + 24α5 = 25, do đó α5 = 0. Do đó đa thức
cần tìm là
P (x) = 1 + 3(x − 1) + 1(x − 1)(x − 2) = x2 .
Qua đây chúng ta thấy rằng đa thức P (x) xác định bởi điều kiện
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1
có thể có bậc bằng n, nhưng cũng có thể có bậc bé hơn n.
Công thức nội suy Lagrange

Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1 , y2 , . . . , yn , yn+1
là n + 1 số thực bất kỳ. Chúng ta sẽ tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng
n thỏa mãn điều kiện
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1
Chúng ta thấy rằng đa thức P (x) có thể được xây dựng từ các đa thức
P1 (x), P2 (x), . . . , Pn (x), Pn+1 (x) như sau
P (x) = y1 P1 (x) + y2 P2 (x) + . . . + yn Pn (x) + yn+1 Pn+1 (x)
trong đó, các đa thức P1 (x), . . . , Pn+1 (x) được xác định như sau
(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xn )(x1 − xn+1 )
(x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
P2 (x) =
(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xn )(x2 − xn+1 )
P1 (x) =

5

......
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn+1 )
(xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 )(xn − xn+1 )
(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn )
Pn+1 (x) =
.
(xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 ) . . . (xn+1 − xn−1 )(xn+1 − xn )
Pn (x) =

Các đa thức này thỏa mãn điều kiện
P1 (x1 ) = 1, P1 (x2 ) = 0, P1 (x3 ) = 0, . . . , P1 (xn ) = 0, P1 (xn+1 ) = 0
P2 (x1 ) = 0, P2 (x2 ) = 1, P2 (x3 ) = 0, . . . , P2 (xn ) = 0, P2 (xn+1 ) = 0
.........
Pn (x1 ) = 0, Pn (x2 ) = 0, Pn (x3 ) = 0, . . . , Pn (xn ) = 1, Pn (xn+1 ) = 0
Pn+1 (x1 ) = 0, Pn+1 (x2 ) = 0, Pn+1 (x3 ) = 0, . . . , Pn+1 (xn ) = 0, Pn+1 (xn+1 ) = 1.
Tóm lại
(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
(x1 − x2 )(x1 − x3 ) . . . (x1 − xn )(x1 − xn+1 )
(x − x1 )(x − x3 ) . . . (x − xn )(x − xn+1 )
+ y2
+ ...
(x2 − x1 )(x2 − x3 ) . . . (x2 − xn )(x2 − xn+1 )
(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn+1 )
+ yn
(xn − x1 )(xn − x2 ) . . . (xn − xn−1 )(xn − xn+1 )
(x − x1 )(x − x2 ) . . . (x − xn−1 )(x − xn )
+ yn+1

.
(xn+1 − x1 )(xn+1 − x2 ) . . . (xn+1 − xn−1 )(xn+1 − xn )

P (x) = y1

Hay viết gọn lại
n+1

P (x) =

yi
i=1

x − xj
.
xi − xj

Đây chính là công thức nội suy Lagrange.
Ví dụ 1.1.4. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho
P (1) = 1, P (2) = 1, P (3) = 2, P (4) = 3, P (5) = 5.
Chúng ta dùng công thức nội suy Lagrange
P (x) =

(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
+
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)
+2

+3
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5)
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)


6

+5

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
.
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)

Ví dụ 1.1.5. Tìm đa thức P (x) có bậc bé hơn hoặc bằng 4 sao cho P (1) = 1,
P (2) = 4, P (3) = 9, P (4) = 16, P (5) = 25.
Dùng công thức nội suy Lagrange thì
P (x) =

1.1.2

(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
(x − 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
+4
(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5)
+ 16
+9
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5)

(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5)
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
+ 25
.
(5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4)

Vấn đề xác định duy nhất của đa thức trong toán học trung
học phổ thông

Định lý 1.1.1. Nếu x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 là n + 1 số thực khác nhau, và y1 , y2 ,
. . . , yn , yn+1 là n + 1 số thực bất kỳ thì sẽ tồn tại duy nhất một đa thức P (x)
có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn điều kiện
P (x1 ) = y1 , P (x2 ) = y2 , . . . , P (xn ) = yn , P (xn+1 ) = yn+1 .
Định lý trên nói rằng một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng n sẽ được xác
định một cách duy nhất bằng n + 1 giá trị của nó.
Ví dụ 1.1.6. Xác định đa thức f (x) ∈ R[x] biết
1, f (1) = 2, f (2) = 3, degf = 1.
2, f (1) = 0, f (2) = 0, degf = 2.
1, Xét đa thức f (x) = ax + b
f (1) = 2 và f (2) = 3 suy ra a = 1, b = 1
Vậy f (x) = x + 1.
2, Xét đa thức f (x) = α1 + α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2)
Thay x = 1 vào đa thức trên ta có
f (1) = α1 = 0


7

Khi đó f (x) = α2 (x − 1) + α3 (x − 1)(x − 2)
Thay x = 2 vào đa thức

f (2) = α2 = 0
Khi đó f (x) = α3 (x − 1)(x − 2)
Chọn α3 = 1 ta có f (x) = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2

1.2

Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình
p-adic
Vấn đề xác định duy nhất của hàm phân hình p-adic và các định lý được

phát biểu ở đây là được Yang - Hu đề cập trong [6].
Ký hiệu Cp là trường số phức p-adic, Cp là trường đóng đại số, đặc trưng
0 và đầy đủ với chuẩn không acsimét.
1.2.1

Hai hàm phân hình p-adic nhận chung các điểm riêng rẽ

Định lý 1.2.1. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp và
a1 , a2 , a3 , a4 là bốn giá trị phân biệt trong Cp ∪ {∞}.
Khi đó nếu
E f (aj ) = E g (aj ), j = 1, 2, 3, 4
thì f ≡ g.
Định lý 1.2.2. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên Cp , a1 , . . . , aq
là q giá trị khác nhau trên Cp ∪ {∞} và lấy kj ∈ Z+ ∪ {∞}, (j = 1, . . . , q) với
k1

k2

...

kq ,

q

j=3

kj
kj + 1

2.

Khi đó, f ≡ g nếu f và g thỏa mãn
E

kj

(aj ) = E

kj

(aj), j = 1, . . . , q.


8

1.2.2

Hàm phân hình p-adic nhân chung một tập

Xét đa thức sau

Fn,b (z) =

(n − 1)(n − 2) n
n(n − 1) n−2
z − n(n − 2)z n−1 +
z
+ b,
2
2

0
trong đó b ∈ Cp − {0, 1}. Ta cũng ký hiệu tập các không điểm Fn,b bởi Fn,b
.
0
Chú ý rằng Fn,b
có n giá trị phân biệt.

Định lý 1.2.3. Cho n

0
10 là một số nguyên, khi đó tập Fn,b
là tập xác định

duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng.
Tiếp theo ta xét vấn đề chung nhất tính với bội chặn.
Cho m0 là số nguyên dương hoặc ∞, F là một họ nào đó các hàm xác
định trên Cp lấy giá trị trên Cp ∪ {∞}. Với f ∈ F và S là một tập con của
Cp ∪ {∞}, ta ký hiệu
Efm0 (S) =

{(z, m) ∈ Cp × N|f (z) = a với bội n và m = min(n, m0 )}.
a∈S

Trong trường hợp m0 = ∞ (tương ứng, m0 = 1), ta viết
Ef∞ (S) = Ef (S) (tương ứng, Ef1 (S) = E f (S)).
Định nghĩa 1.2.1. Tập hợp S được gọi là tập xác định duy nhất (cho ngắn
gọn, ta dùng ký hiệu URS) tính bội chặn m0 nếu với mọi cặp các hàm phân
hình khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện
Efm0 (S) = Egm0 (S) thìf ≡ g.
Để đơn giản, trong trường hợp m0 = ∞ tập S thỏa mãn điều kiện trên được
gọi là URS, còn với m0 = 1 ta gọi S là URS không tính bội.
Khi đó ta cũng có thể gọi rằng hai hàm f và g phân chia tập S tính bội
chặn m0 .
Định nghĩa 1.2.2. Một đa thức khác hằng P (z) ∈ Cp [z] được gọi là đa thức
duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số khác
không c ∈ Cp thỏa mãn điều kiện
P (f ) = cP (g) thì f = g.


Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full