Phương trình và bất phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ VI

PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM
CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ VI

PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM
CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014


1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.

Định nghĩa và phân loại phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.

Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.

Phương trình hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1. Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2. Một vài dạng khác của phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . .

14

1.3.3. Phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Chương 2. Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng
trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.

18

Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình một
ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.1. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình
cộng của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1.2. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình
nhân của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.3. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình
điều hòa của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.1.4. Phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình
bình phương của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.

27

Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình song
ẩn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2.1. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng của
đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30


2

2.2.2. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân của
đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.3. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều hòa
của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.4. Cặp hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình bình phương
của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Chương 3. Bất phương trình hàm cơ bản chuyển đổi các đại lượng
trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.

Bất phương trình hàm chuyển đổi từ các phép tính số học
của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.

40

40

Bất phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung bình
cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2.1. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình cộng
của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2.2. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình nhân
của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2.3. Bất phương trình hàm chuyển đổi từ đại lượng trung bình điều

3.3.

hòa của đối số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64


3

MỞ ĐẦU
Trong chương trình Toán học phổ thông, chuyên đề phương trình hàm
đóng một vai trò đặc biệt. Đó là dạng chuyên đề cần thiết trong việc bồi
dưỡng học sinh giỏi Toán, nhưng lại chưa được dạy và học một cách cơ
bản và hệ thống ở bậc đại học. Vì vậy việc tiếp cận tới lý thuyết cũng như
thực hành phương pháp giải phương trình và bất phương trình hàm còn
có những bất cập, cần được chú trọng nhiều hơn.
Phương trình và bất phương trình hàm luôn là sự hấp dẫn đối với giáo
viên và học sinh vì nó thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc
gia, olympic Toán khu vực và quốc tế.
Mục tiêu của luận văn “Phương trình và bất phương trình hàm chuyển
đổi các đại lượng trung bình” nhằm trình bày một số vấn đề cơ bản của
phương trình và bất phương trình hàm với cặp biến tự do liên quan đến
các đại lượng trung bình cơ bản của cặp số dương là đại lượng trung bình
cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa và trung bình bình phương.
Từ đó, tạo ra một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh
giỏi cấp trung học phổ thông.
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương.
Chương 1 trình bày về khái niệm phương trình hàm, mối liên hệ cơ bản
giữa một số đại lượng trung bình và các đặc trưng hàm với cặp biến tự do
tương ứng, phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm Jensen.
Chương 2 trình bày một số dạng phương trình hàm chuyển đổi các đại
lượng trung bình cơ bản một ẩn hàm và song ẩn hàm.
Chương 3 trình bày một số một dạng bất phương trình hàm chuyển đổi

4

các đại lượng trung bình cơ bản trong lớp các hàm số liên tục.
Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và
giúp đỡ tận tình của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ. Tôi xin được bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc nhất đến thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đã giúp tôi
hoàn thành tiểu luận về Phương trình hàm chuyển đổi các đại lượng trung
bình để từ đó tôi có ý tưởng phát triển nó thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa 6 (2012 − 2014)
đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.
Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn trường Đại học Thái Nguyên - Đại học
Khoa Học đã tạo điều kiện cho tôi được học tập trong môi trường tốt nhất.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô và
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !


5

CHƯƠNG 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1. Định nghĩa và phân loại phương trình hàm
Trong mục này trình bày lại một vài khái niệm cơ bản đã được giới
thiệu trong bài báo của Kuczma [12] (xem [1]-[2]) về phương trình hàm.

Trước khi định nghĩa phương trình hàm chúng ta nhắc lại khái niệm từ.
Định nghĩa 1.1. Khái niệm từ được định nghĩa như sau đây:
(1) Các biến độc lập được gọi là các từ.
(2) Nếu t1 , · · · , tp là các từ và f (x1 , · · · , xp ) là một hàm p biến thì

f (t1 , · · · , tp ) cũng là một từ.
(3) Không tồn tại các loại từ khác.
Sau khi có khái niệm từ, Phương trình hàm được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2. Phương trình hàm là một phương trình dạng t1 = t2
giữa hai từ t1 , t2 , và hai từ đó phải chứa tối thiểu một hàm chưa biết và
một số hữu hạn các biến số độc lập. Phương trình t1 = t2 sẽ phải thỏa
mãn đối với tất cả các giá trị nhận được của các biến thuộc một tập xác
định nào đấy. Nghiệm của phương trình hàm có thể phụ thuộc hoàn toàn
vào tập nào đó.
Như vậy, một phương trình hàm được hiểu nôm na như những bài toán
xác định những hàm số f (x) thỏa mãn một số tính chất T1 , . . . , Tn nào đó.
Giải phương trình hàm tức là tìm tất cả những hàm f (x) thỏa mãn tất cả
những tính chất T1 , . . . , Tn . Khi giải phương trình hàm, với mỗi tính chất

Tk ta tìm cách tiến dần đến hàm số cần tìm. Với hàm số tìm được ta kiểm
tra lại xem nó có thỏa mãn tất cả những tính chất Tk hay không? Thường
giải phương trình hàm được đưa về giải một hệ phương trình hay một dãy


6

truy hồi. Từ những kết quả đã đạt được về đa thức hoặc hàm liên tục ta
có thể dễ dàng giải được bài toán. Chúng tôi chỉ giới thiệu một vài dạng
cơ bản về phương trình hàm.
Một số hàm sau thường được sử dụng trong một vài bài toán về phương

trình hàm:

ex + e−x
ex − e−x
và cosh x =
.
(i) sinh x =
2
2
ex − e−x
sinh x
(ii) tanh x = x
=
.
e + e−x
cosh x
Định nghĩa 1.3. Phương trình hàm trong đó mọi hàm chưa biết đều là
những hàm một biến được gọi là phương trình hàm thông thường. Phương
trình hàm trong đó ít nhất một trong các hàm chưa biết là hàm nhiều biến
được gọi là phương trình hàm riêng.
W. Maier còn đưa ra khái niệm hạng của phương trình trong bài báo của
mình:
Định nghĩa 1.4. Số biến độc lập xuất hiện trong phương trình hàm được
gọi là hạng của phương trình ấy.
Phân loại phương trình hàm
Vấn đề phân loại phương trình hàm là rất khó và hiện nay vẫn chưa
được giải quyết thỏa đáng. J. Aczel trong công trình của mình ông đã tuân
theo các bước sau: một hoặc nhiều hàm ẩn một hoặc nhiều biến - tất cả
bốn loại. Tất nhiên, việc phân loại là rất khó; cho dù là có ích.
Định nghĩa 1.5. Phương trình hàm trong đó mọi hàm ẩn là hàm một

biến được gọi là phương trình hàm đơn (một) biến (thông thường). Phương
trình hàm trong đó ít nhất một trong các hàm ẩn là hàm một biến được
gọi là phương trình hàm riêng. Lưu ý rằng hàm riêng có thể hoàn toàn
được xác định bằng phương trình hàm đơn biến, ngược với phương pháp


7

trong phương trình vi phân. Mệnh đề về phân loại phương trình hàm thông
thường được nêu trong tài liệu của Kuczma.
Định nghĩa 1.6. Số biến độc lập xuất hiện trong phương trình hàm được
gọi là bậc của phương trình này.
Một vài hàm đặc biệt
J. Aczel đã đưa ra các phương pháp tổng quát về giải phương trình hàm
các cấp, ví dụ:

ϕ(x + y) = F [ϕ(x), ϕ(y)],

(1.1)

x+y
= F [ϕ(x), ϕ(y)]
2

(1.2)

ϕ

ϕ(ax + by + c) = F [ϕ(x), ϕ(y)],

(1.3)

G[ϕ(x + y), ϕ(x − y), ϕ(x), ϕ(y), x, y] = 0

(1.4)

Ông cũng đưa ra các tiêu chí về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm.
Kể từ đó, các phương pháp tổng quát đã được J. Aczel và các học trò của
ông tìm ra.
Trong luận văn này, ta xét bốn đại lượng trung bình cơ bản của các đối
số (xem [2]):

x+y
; x, y ∈ R.
2
√
2. Trung bình nhân các đối số xy; x, y ∈ R+ .
1. Trung bình cộng các đối số

3. Trung bình điều hòa các đối số

2xy
; x, y ∈ R+ .
x+y

4. Trung bình bình phương các đối số

x2 +y 2
2 ,

và các đại lượng trung bình của các hàm số

∀x ∈ R+ .


8

1. Trung bình cộng các hàm số
2. Trung bình nhân các hàm số

f (x) + f (y)
; f (x), f (y) ∈ R.
2
f (x)f (y); f (x), f (y) ∈ R+ .

3. Trung bình điều hòa các hàm số

2f (x)f (y)
; f (x), f (y) ∈ R+ .
f (x) + f (y)

4. Trung bình bình phương các hàm số

[f (x)]2 +[f (y)]2
,
2

f (x), f (y) ∈ R.

và xét các bài toán xác định hàm số chuyển đổi các đại lượng từ trung

bình của các đối số sang các đại lượng trung bình của các hàm số.
1.2. Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp
Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức
nghiệm của các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất tiêu
biểu của một số dạng hàm số quen biết.

• Hàm tuyến tính f (x) = ax (a = 0) có tính chất
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
• Hàm bậc nhất f (x) = ax + b (a = 0, b = 0) có tính chất
f

f (x) + f (y)
x+y
=
, ∀x, y ∈ R
2
2

.

• Hàm lũy thừa f (x) = |x|k , có tính chất
f (xy) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}.
• Hàm mũ f (x) = ax , (a > 0, a = 1) có tính chất
f (x + y) = f (x).f (y), ∀x, y ∈ R.


9

• Hàm logarit f (x) = loga |x|, (a > 0, a = 1) có tính chất
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R \ {0}.

• Hàm lượng giác
a) Hàm f (x) = sin x có tính chất

f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R.
b) Hàm f (x) = cos x có tính chất

f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R
và

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.
c) Cặp hàm f (x) = sin x, g(x) = cos x có tính chất

f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R
g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.
d) Hàm f (x) = tan x có tính chất

f (x + y) =

f (x) + f (y)
1 − f (x)f (y)

(2k + 1)π
π
π
, x = + kπ, y = + kπ (k ∈ Z).
2
2
2
e) Hàm f (x) = cot x có tính chất
với x, y ∈ R, x + y =

f (x + y) =

f (x)f (y) − 1
f (x) + f (y)

với x, y ∈ R, x + y = kπ, x = kπ, y = kπ (k ∈ Z).

• Hàm lượng giác ngược
a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất

f (x) + f (y) = f (x 1 − y 2 + y

1 − x2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1].


10

b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất

g(x) + g(y) = g(xy −

1 − x2

1 − y 2 ), ∀x, y ∈ [−1; 1].

c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất
x+y
h(x) + h(y) = h
, ∀x, y : xy = 1.

1 − xy

ex + e−x
d) Hàm q(x) = coth x := x
có tính chất
e − e−x
1 + q(x)q(y)
q(x + y) =
, ∀x, y : x, y, x + y = 0.
q(x) + q(y)
• Các hàm hyperbolic
1
a) Hàm f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất
2
f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R.
1
b) Hàm g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất
2
g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R.
ex − e−x
có tính chất
ex + e−x
h(x) + h(y)
h(x + y) =
, ∀x, y ∈ R.
1 + h(x)h(y)

c) Hàm h(x) = tanh x :=

ex + e−x

d) Hàm q(x) = coth x := x
có tính chất
e − e−x
1 + q(x)q(y)
q(x + y) =
, ∀x, y : x, y, x + y = 0.
q(x) + q(y)
1.3. Phương trình hàm cơ bản
1.3.1.

Phương trình hàm Cauchy

Phương trình

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

(1.5)

trong lớp hàm liên tục trên R được gọi là phương trình hàm Cauchy.


11

Bài toán 1.1. Tìm tất cả các hàm liên tục f : R → R thỏa mãn

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
Lời giải.
Vì f (0) = 0 nên f (−x) = −f (x). Với y = x có f (2x) = 2f (x).
x
Bằng quy nạp theo n ∈ N ta có f (nx) = nf (x). Thay x qua ta được

n
1
x
f ( ) = f (x).
n
n
p
p
p
Từ đó suy ra: Với mọi số hữu tỷ ta có f ( x) = f (x).
q
q
q
Giả sử α ∈ R và dãy số hữu tỷ (pn ) thỏa mãn lim pn = α.
n→+∞

Do f là hàm liên tục nên

f (αx) = f

lim pn x = lim f (pn x) = lim pn f (x) = αf (x).

n→+∞

n→+∞

n→+∞

Vậy f (ax) = af (x) với mọi a, x ∈ R.
Cho x = 1 có f (a) = af (1) hay f (x) = xf (1) với mọi x ∈ R. Đặt a = f (1)

ta có f (x) = ax, ∀x ∈ R.
Kết luận:

f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tùy ý.
Bài toán 1.2. Tìm các hàm f (x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn
điều kiện

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.

(1.6)

Lời giải.
Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (1.6) ta được

f (0) = 0, f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R.
Suy ra f (x) > 0 khi x > 0 và

f (mx) = mf (x), ∀x ∈ R, m ∈ N∗ .

(1.7)


12

x
vào (1.7) ta được
m
x
1
f

= f (x), ∀x ∈ R, ∀m ∈ N∗ .
m
m
Do f (x) đồng biến trên R nên
Thay x bởi

f
Suy ra

−1
n

< f (x) < f

1
n

⇔

−1
1
n
n

1
−1
1
−1
f (1) < f (x) < f (1) ⇔

n
n
n
n

Do vậy

lim f (x) = 0 = f (0).

x→0

Vậy f (x) là hàm liên tục tại x = 0 và với mọi x ∈ R

lim[f (x + y) − f (x)] = lim f (y) = 0.

y→0

y→0

Do đó f (x) liên tục tại ∀x ∈ R. Theo Bài toán 1.1 ta có f (x) = ax, a > 0.
Kết luận:

f (x) = ax, ∀x ∈ R, a > 0 tùy ý.
Bài toán 1.3. Cho c > 0, xác định các hàm f (x) thỏa mãn các điều kiện

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
|f (x)| ≤ c, ∀x ∈ [−1; 1].

(1.8)

Lời giải.
Từ (1.8) ta suy ra f (qx) = qf (x), ∀q ∈ Q, ∀x ∈ R.
Giả sử {xn } là dãy số thực và {qn } là dãy số hữu tỷ tùy ý sao cho

lim xn = 0, lim qn = +∞;

n→∞

n→∞

lim (qn xn ) = 0, xn , qn = 0, ∀n ∈ N.

n→∞

(Để lập dãy {qn } thỏa mãn điều kiện trên, chỉ cần cho tương ứng với mỗi
số tự nhiên n một số hữu tỷ qn sao cho

1
< qn <
|xn |

3

1
|xn |


13

trong đó |f (qn xn )| ≤ M, ∀n ∈ Z+ ).
Khi đó

|f (xn )| = f

1
qn x n
qn

=

1
|f (qn xn )|, ∀n ∈ N.
qn

Do vậy

lim f (xn ) = 0 = f (0).

n→∞

Vậy f (x) liên tục tại x = 0 và

lim[f (x + y) − f (x)] = lim f (y) = 0

y→0

y→0

Suy ra f(x) liên tục tại mọi điểm x ∈ R. Theo Bài toán 1.1 ta có f (x) = ax

với a ∈ R và |a| ≤ c.
Kết luận:

f (x) = ax, với a ∈ R tùy ý sao cho |a| ≤ c.
Bài toán 1.4. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R
f (x) ≥ 0, ∀x ≥ 0.

(1.9)

Lời giải.
Từ (1.9) ta chứng minh được f (x) = xf (1), ∀x ∈ Q.
Nếu x ≥ y thì x − y ≥ 0. Do đó

f (x) = f ((x − y) + y) = f (x − y) + f (y) ≥ f (y)
Suy ra f là hàm tăng.
Với x ∈ R, do tính chất trù mật của tập các số hữu tỉ nên tồn tại

{pn }, {qn } ⊂ Q sao cho
pn < x < q n
{pn } tăng tới x, {qn } giảm xuống x.
⇒ pn f (1) = f (pn ) ≤ f (x) ≤ f (qn ) = qn f (1)
⇒ lim (pn f (1)) ≤ f (x) ≤ lim (qn f (1))
n→∞

n→∞


14

⇒ xf (1) ≤ f (x) ≤ xf (1) ⇒ f (x) = xf (1), ∀x ∈ R.
Do đó f (x) = cx, c ≥ 0.
Thử lại thấy hàm số f (x) thỏa mãn.
Kết luận:

f (x) = cx, c ≥ 0.
1.3.2.

Một vài dạng khác của phương trình hàm Cauchy

Ngoài các phương trình hàm Cauchy ở trên, những phương trình hàm
sau có thể đưa về phương trình hàm Cauchy một cách dễ dàng. Người ta
coi chúng là những dạng khác của phương trình hàm Cauchy.
Bài toán 1.5 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ). Xác định các hàm

f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.

(1.10)

Lời giải.
Ta nhận thấy f (x) ≡ 0 là một nghiệm của phương trình (1.10).
Xét trường hợp f (x) ≡ 0. Khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) = 0.
Ta có f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x).f (x0 − x) = 0, ∀x ∈ R.
Suy ra

f (x) = 0, ∀x ∈ R
và

x x
x
+
= f
2 2
2
g(x)
Đặt ln f (x) = g(x) (nghĩa là f (x) = e ).
f (x) = f

2

> 0, ∀x ∈ R.

Khi đó g(x) liên tục trên R và

g(x + y) = ln f (x + y)
= ln[f (x)f (y)]
= ln f (x) + ln f (y)
= g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R.


15

Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì g(x) = bx, b ∈ R tùy ý.
Do đó f (x) = ebx = ax với 0 < a = 1.
Kết luận:

f (x) ≡ 0 ; f (x) = ax , với 0 < a = 1.
Bài toán 1.6 (Phương trình hàm Cauchy dạng logarit). Xác định các

hàm f (x) liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện

f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ .

(1.11)

Lời giải.
Với x, y ∈ R+ . Đặt x = eu , y = ev và f (et ) = g(t). Khi đó phương trình
(1.11) có dạng

g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R.

(1.12)

Theo phương trình hàm Cauchy (1.1) thì từ (1.12) ta có g(t) = bt và do
đó

f (x) = a ln x, ∀x ∈ R+ , a ∈ R tùy ý .
Thử lại, ta thấy hàm f (x) = b ln |x|, với b ∈ R tùy ý thỏa mãn điều kiện
bài toán.
Kết luận:

f (x) = b ln |x|, ∀x ∈ R+ , với b ∈ R tùy ý.
Bài toán 1.7 (Phương trình hàm Cauchy dạng lũy thừa). Xác định các
hàm f (x) liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ .

(1.13)

Lời giải.
Thay y = 1 vào (1.13) ta được

f (x)(1 − f (1)) = 0, ∀x ∈ R+ .

(1.14)


Luận án đầy đủ ở file: Luận án Full