Bài giảng động lực học - Chương 2

CHƯƠNG 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự do
Single Degree of Freedom system – SDOFs
Concentrated Properties
Khối lượng: m
Độ cứng: k
Hệ số cản: c
Lực kích động:
p(t)
Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố
m, k, c, p(t) đều có thể đưa về mô hình có các đặc
trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).
2.1.2 Các phương pháp thiết lập
phương trình chuyển động
2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembert
p(t) + f
S
+ f
I

+ f
D
=0
hay
)(tpkvvcvm =++

(2.1)
2.1.2.2 Nguyên lý công khả dó
p(t)
f

f
f
D
S
I
Lực tác dụng
c
k
v(t)
p(t)
m
Mô hình SDOFs
Cho khối lượng chuyển vò khả dó
δ
v. Công khả dó:

δ
W = p(t)
δ
v + f
S

δ
v + f
I
δ
v + f
D

δ

v = 0
hay
0)]([
=+−−−
vtpkvvcvm
δ

vì
δ
v ≠ 0 nên thu được giống như (2.1).
2.1.2.3 Nguyên lý Hamilton
Động năng của hệ:
2
2
1
vmT

=
, biến phân
động năng
vvmT

δδ
=
Thế năng biến dạng
đàn hồi của lò xo:
2
2
1
kvV

=
,
biến phân
vkvV
δδ
=
Biến phân công của lực không bảo toàn p(t)
và f
D
(tức là công khả dó của hai lực này trên
chuyển vò khả dó
δ
v):
vvcvtpW
nc
δδδ

−= )(
Theo nguyên lý Hamilton:
0])([
2
1
=+−
∫
t
t
nc
dtWVT
δδ
0])([

2
1
=+−−
∫
t
t
dtvtpvvcvkvvvm
δδδδ

(2.2)
O
v
f = kv
s
Lực
Chuyển vò
tích phân từng phần số hạng thứ nhất:
∫∫
−=
2
1
2
1
2
1
0
t
t
t
t

t
t
vdtvmvvmdtvvm
δδδ



(2.3)
thế (2.3), (2.2):
0)]([
2
1
=
∫
+−−−
t
t
vdttpkvvcvm
δ

(2.4)
Nhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì
cùng dựa trên đònh luật quán tính của Newton.
Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý
D’Alembert là đơn giản nhất.
2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực
Phương trình chuyển động:
W)t(pkvvcvm
+=++


trong đó W là trọng lượng của khối cứng.
Chuyển vò v gồm tổng của chuyển vò tónh
(Static Displacement)
st
∆
gây bởi trọng lượng W
và chuyển vò động
v
vv
st
+∆=
Thay biểu thức của lực đàn hồi
vkkkvf
sts
+∆==
vào phương trình chuyển động:
Wtpvkkvcvm
st
+=+∆++ )(

Mặt khác
st
kW
∆=
nên phương trình cuối cùng:
)(tpvkvcvm
=++

Kết luận: Nếu lấy vò trí cân bằng tónh học do trọng lượng P =
mg gây ra làm mốc để tính chuyển vò thì phương trình vi

phân chuyển động vẫn có dạng (2.1). Như vậy, trọng lực
không ảnh hưởng đến phương trình vi phân chuyển động.
2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa
c
k
m
v(t)
p(t)
(W)
S
f
f
D
p(t)
f
I
∆
st
nh hưởng của trọng lực
f
S
f
D
f
I
p(t)
W
W
v(t)v(t)v
(t)

Phương trình cân bằng lực:
0
=++
SDI
fff
trong đó lực quán tính:
tI
vmf

=
với
gt
vvv
+=

là tổng của v là chuyển vò uốn và v
g
là chuyển vò
gối tựa (mặt đất).
0
=+++
kvvcvmvm
g

hay:
)(tPvmkvvcvm
effg
≡−=++

(2.5)

Kết luận:
geff
vmtP

−=
)(
là tải trọng do rung động gối
tựa. Như vậy sự rung động của mặt đất tương
đương như lực kích động
eff
P
tác dụng tại vật nặng.
v
g
(t)
v
v
t
f
I
f
C
0.5f
S
0.5f
S
2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised
SDOF System)
Hệ có đặc trưng vật lý
phân bố (m, EI…), thực

chất có vô hạn bậc tự do.
Nếu coi hệ chỉ dao động
với một hàm dạng nào đó
thì hệ trở thành 1 bậc tự
do. Tìm các đặc trưng tập
trung cho hệ 1 DOF.
Giả sử hệ chòu rung động ngang v
g
(t) của gối
tựa (do động đất chẳng hạn). Dùng nguyên lý
Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động.
Đặt:
v(x,t) =
ψ
(x) Z(t) (2.6)
ψ
(x) - Hàm dạng (Shape Function)
Z(t)- Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate)
Động năng của hệ:
[ ]
dxtxvxmT
t
l
2
0
),()(
2
1

∫

=

dxvtxvxmT
tt
l

δδ
),()(
0
∫
=

Thế năng uốn:
l
x
x
N
v
g
(t)
v (x,t) e(t)
z(t)
m(x)
EI(x)
v(x,t)
chuyển vò
O
t
[ ]
dxtxvxEIV

l
f
2
0
),(")(
2
1
∫
=

dxvtxvxEIV
l
f
"),(")(
0
δδ
∫
=
(2.8)
Độ co ngắn của thanh:

[ ]
dxtxvte
l
2
0
),('
2
1
)(

∫
=
(2.9)
Thế năng lực dọc:
[ ]
dxtxv
N
NeV
l
N
2
0
),('
2
∫
−=−=
hay
dxvtxvNV
l
N
∫
−=
0
'),('
δδ
(2.10)
Vì hệ không có lực không bảo toàn (lực cản, lực
kích thích) nên:
∫
=−

2
1
0)(
t
t
dtVT
δ
(*), với V = V
f
+ V
N
Thế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):
0'),('),("),(")(),()(
2
1
0 0 0
=
∫






∫ ∫ ∫
+−
dtdxvtxvNdxtxvtxvxEIdxvtxvxm
t
t
l l l

tt
δδδ

(2.11)
Dùng các liên hệ:
)(tv

=
v

+
g
v

và
)(tv

δ
=
v

δ
"v
=
z"
ψ
và
Zv
δψδ
""

=
v’ =
ψ
’Z và
Zv
δψδ
''
=
Zv


ψ
=
và
v

δ
=
ψ
Z

δ
(2.12)
z
δ
z
v
t
O
v

g
δ
v
v
Thế (2.12) vào (2.11)
0)'(")()()()(
2
1
0 0 0 0
222
=
∫






∫ ∫ ∫ ∫
+−+
dtdxZNZdxxEIZZdxxmtvZdxxmZZ
t
t
l l l l
g
ψδψδψδψδ


(2.13)
Chú ý rằng tích phân

∫
l
dxxf
0
)(
không phụ thuộc t,
nên đóng vai trò là các hằng số khi thực hiện tích
phân theo biến t. Để làm xuất hiện các thừa số
δ
Z
trong 2 số hạng đầu, tích phân từng phần:
∫∫∫ ∫∫
−=−===
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
t
t
t
t

t
t
t
t
t
t
t
t
dtZZdtZZZZdtZ
dt
d
Zdt
dt
dZ
ZdtZZ

δδδδδδ
(2.14)
∫∫
−=
2
1
2
1
2
1
)()()(
t
t
g

t
t
t
t
gg
ZdttvZtvdtZtv
δδδ



(2.15)
Thế (2.14) và (2.15), phương trình (2.13) trở thành:
[ ]
∫
=−−+
2
1
0)(
****
t
t
tG
ZdttpZkZkZm
δ

(2.16)
∫
=
l
dxxmm

0
2*
)(
ψ
: Khối lượng suy rộng
∫
=
l
dxxEIk
0
2*
)")((
ψ
: Độ cứng suy rộng
∫
=
l
G
dxNk
0
2*
)'(
ψ
: Độ cứng hình học suy rộng

∫
−=
l
gt
dxxmtvtp

0
*
)()()(
ψ

: Tải trọng suy rộng
Vì
δ
Z bất kỳ nên lượng trong ngoặc triệt tiêu,
thu được phương trình chuyển động hệ suy rộng:

)()()(
***
tptZktZm
t
=+

(2.18)
với
***
G
kkk
−=
: Độ cứng suy rộng kết hợp (2.19)
Khi lực dọc N đạt trò số tới hạn N = N
cr
thì
0
*
=

k
. Từ đó, suy ra công thức tính lực N
cr
là:

∫
∫
=
l
l
cr
dx
dxxEI
N
0
2
0
2
)'(
)")((
ψ
ψ
(2.20)
Đây là công thức của phương pháp Rayleigh.
Chú ý:
Nếu thanh chòu lực kích thích phân bố p(x,t) và
lực dọc N(x) thì công thức tính lực kích thích suy
rộng (lực tập trung) p
*
(t) và độ cứng hình học k

*
G
lần lượt là:

∫
=
l
dxxtxptp
0
*
)(),()(
ψ
(2.21)
∫
=
l
G
dxxxNk
0
2*
)](')[(
ψ
(2.22)
∫
=
l
dxxxcC
0
2*
)]()[(

ψ
(2.23)
Thí dụ: Example E8.3, page 144, [1]
p(x,t)
c(x)
Thiết lập phương trình vi phân dao động của
hệ một bậc tự do suy rộng.
Cho biết phương trình đường
đàn hồi (hàm dạng ) được
chọn như sau:

L
x
x
2
cos1)(
π
ψ
−=
(a)
Giải:
p dụng (2.17), khối lượng
và độ cứng suy rộng:
( )
Lmdx
L
x
mdxmm
LL
228.0

2
cos1
0
2
0
2
*
=
∫






−=
∫
=
π
ψ
(b)
( )
3
4
0
2
2
2
0
2

*
322
cos
4
"
L
EI
dx
L
x
L
EIdxEIk
LL
πππ
ψ
=
∫








=
∫
=
(c)
Tải trọng tương đương suy rộng (bỏ qua dấu trừ):

)(364.0
2
cos1)()()(
00
*
tvLmdx
L
x
tvmdxmtvtP
g
L
g
L
g

∫∫
=






−==
π
ψ
(d)
Bỏ qua lực dọc trục, phương trình cân bằng:
)(364.0)(
32

)(228.0
3
4
tvLmtZ
L
EI
tZLm
g


=+
π
(e)
Nếu xét lực dọc N thì độ cứng hình học suy rộng:
( )
∫ ∫
=






==
L L
G
L
N
dx
L

x
L
NdxNk
0
2
0
2
2
*
82
sin
2
'
πππ
ψ
(f)
Độ cứng suy rộng kết hợp:
L
N
L
EI
kkk
G
832
2
3
4
***
ππ
−=−=

L
x
x
N
v
g
(t)
v (x,t) e(t)
z(t)
m
EI
v(x,t)
chuyển vò
O
t
Vì vậy tải trọng tới hạn mất ổn đònh thu được khi
cho độ cứng kết hợp bằng 0 là:
3
2
23
4
4
8
32 L
EIL
L
EI
N
cr
π

π
π
==
(h)
Đây là tải trọng mất ổn đònh thật sự cho cột
console chòu tải trọng phân bố đều, bởi vì hàm
dạng được rút ra từ (a) là dạng mất ổn đònh thật
của kết cấu. Thay (h) vào (f) ta có thể biểu diễn
độ cứng hình học bởi:
cr
G
N
N
L
EI
k
3
4
*
32
π
=
(i)
thay vào (e) ta có phương trình cân bằng bao gồm
ảnh hưởng của lực dọc trục là:
)(364.0)(1
32
)(228.0
3
4

tvLmtZ
N
N
L
EI
tZLm
g
cr


=








−+
π
(j)
Do đó, bất kỳ hình dạng nào thỏa mãn điều kiện
biên hình học đều được rút ra từ hàm dạng
)(x
ψ
.
Nếu hàm này được cho bởi dạng parabolic
2
2

)(
L
x
x
=
ψ
Khi này độ cứng đàn hồi suy rộng trở thành:
3
0
2
2
*
42
L
EI
dx
L
EIk
L
=






=
∫
L
N

dx
L
x
Nk
L
G
3
42
0
2
2
*
=






=
∫
Tải trọng tới hạn được rút ra từ
**
G
kk
=
là:
23
3
4

34
L
EIL
L
EI
N
cr
==
(l)
giaù trò naøy lôùn hôn 21% so vôùi giaù trò töø (h).
2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO
2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển động
Phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do
(kể cả suy rộng) có dạng:
)()()( tpkvtvctvm =++

Nếu không có lực kích thích p(t) = 0 thì:

0)()( =++ kvtvctvm

(a)
Nghiệm có dạng: v(t) = Ge
st
Thế vào (a) ta được:
(ms
2
+ cs + k) Ge
t
= 0 (b)
Đặt

m
k
=
2
ω
thì (b) dẫn tới:
s
2
+
m
c
+
ω
2
= 0 (c)
(c) là phương trình đặc trưng,
nghiệm s của (c) tùy thuộc
vào hệ số cản c.
Imaginary
1
1
Real
e
i
ω
t
ω
t
O
e = cos

ω
t
±
isin
ω
t
±
i
ω
t
Công thức Euler:
2.2.2 Dao động tự do không cản c = 0
Khi đó (c) có nghiệm: s =
±
i
ω
do đó nghiệm
của (a) là:
v(t) = G
1
e
i
ω
t
+ G
2
e
-i
ω
t

hay viết lại dưới dạng thực:
v(t) = Asin
ω
t + Bcos
ω
t (d)
với A, B được xác đònh từ điều kiện ban đầu: B =
v(0), A =
ω
)0(v

nên:
v(t) =
ω
)0(v

sin
ω
t + v(0)cos
ω
t (2.24)
Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:
v(t) =
ρ
cos(
ω
t -
θ
)

(2.24')
Với biên độ
2
2
)0(
)]0([






+=
ω
ρ
v
v

và pha ban đầu
θ
= tan
-1

)0(
)0(
v
v
ω

(2.25)

chu kỳ: T =
f
12
=
ω
π
(2.26)
2.2.3 Dao động tự do có cản c ≠ 0
Nghiệm của (c): s =
2
2
22
ω
−






±−
m
c
m
c
(2.27)
Dạng dao động phụ thuộc vào trò số của hệ số
cản c (vào biểu thức dưới dấu căn có dấu dương,
âm hay bằng không)
- Cản tới hạn (Critical damping) c = c

cr
c
cr
= 2m
ω
thì
0
2
2
2
=−






ω
m
c
cr
s =
ω
−=−
m
c
cr
2
v(t)
v(0)

ρ
T =
ω
v(0)
θ
2π
ω
t
v(0)
v(0)
v(t)
t
O
Phương trình chuyển động:
v(t)=(G
1
+ G
2
t)e
-i
ω
t
=[v(0)(1+
ω
t)+
)0(v

t]e
-
ω

t
(2.28)
Đồ thò chuyển động có dạng như hình vẽ, không
có dao động.
- Cản ít (Underdamping):
c < c
cr
=2m
ω
.
Đặt
ξ
=
cr
c
c
=
ω
m
c
2

trong đó
ξ
là tỉ số cản (damping ratio).
Thế vào (2.27):
s = -
ξ

ω

±
22
)(
ωξω
−
= -
ξ

ω
± i
ω
D
với
ω
D
=
ω
2
1
ξ
−
: tần số dao động có cản, trong
thực tế các kết cấu có
ξ
<20% nên
ω
D
≈
ω
( với

ξ
= 0.2 thì
ω
D
= 0.98
ω
).
Phương trình chuyển động:
v(t) = G
1

ti
D
e
)(
ωξω
+−
+ G
2

ti
D
e
)(
ωξω
−−
=
e
-
ξω

t
(G
1

ti
D
e
ω
+ G
2

ti
D
e
ω
−
)
hay v(t) = e
-
ξω
t
(Asin
ω
D
t + Bcos
ω
D
t) =
ρ
e

-
ξω
t
cos(
ω
D
t -
θ
) (2.29)
ξ
O
1
1
ω
ω
D
trong đó:
[ ]
2
2
)0(
)0()0(
v
vv
D
+







+
=
ω
ξω
ρ


θ
= tan
-1

)0(
)0()0(
v
vv
D
ω
ξω
+

(2.30)
Đồ thò chuyển động với v(0) ≠ 0,
)0(v

= 0.
Xác đònh tỉ số cản
ξ
:

Phương trình dao động tự do theo điều kiện đầu:
v(t)
ρ
t
π
ω
2π
ω
3π
ω
4π
ω
D
D
D
D
v
0
O
-
ξω
t
e
v
1
v
2
v(t)= e
-
ξω

t
(
D
vv
ω
ξω
)0()0( +

sin
ω
D
t+v(0)cos
ω
D
t) (2.31)
Chu kỳ dao động có cản: T =
D
ω
π
2
Thế vào (2.29):
)2exp()exp(
1 Dn
n
T
v
v
ω
ω
πξξω

==
+
Độ giảm Loga:
2
1
1
22ln
ξω
ω
πξ
ω
ω
πξδ
−
===
+ Dn
n
v
v
=
2
1
2
ξ
πξ
−
≈ 2
πξ
, với
ξ

nhỏ.
πξ
πξ
πξ
πξδ
21......
!2
)2(
21
2
2
1
+≈+++===
+
ee
v
v
n
n
Do đó:
ξ
=
1
1
2
+
+
−
n
nn

v
vv
π
(2.32)
Chính xác hơn:
ξ
=
mn
mnn
vm
vv
+
+
−
π
2
(từ
mt
mn
n
e
v
v
ξω
=
+
) (2.33)
Công thức (2.32) và (2.33) dùng xác đònh tỉ số cản
ξ
bằng thực nghiệm.

Hệ số cản: c = 2mωξ (2.34)
- Cản nhiều (Overdamping)
Khi
ξ
> 1 (c > c
cr
) thì không có dao động, tương tự
khi c = c
cr
ξ
càng lớn thì chuyển động về vò trí cân bằng càng
chậm.
2.3 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ
2.3.1 Hệ không cản
Lực kích thích:
tptp
ω
sin)(
0
=
Phương trình:
tptkvtvm
o
ω
sin)()( =+

(a)
Nghiệm thuần nhất:
tBtAtv
h

ωω
cossin)( +=
Nghiệm riêng dạng (ổn đònh):
tGtv
p
ω
sin)( =
Thế vào (a) rút ra:
2
1
1
β
−
=
k
p
G
o
với:
ω
ω
β
=
Vậy nghiệm tổng quát:
t
k
p
tBtA
tvtvtv
o

ph
ω
β
ωω
sin
1
1
cossin
)()()(
2
−
++
=+=
(2.35)
A, B xác đònh từ điều kiện ban đầu. Nếu
0)0()0( == vv

, dễ dàng tìm được:
0,
1
1
2
=
−
−= B
k
p
A
o
β

β
(2.36)
thế vào (2.35) ta được:

)sin(sin
1
1
)(
2
tt
k
p
tv
o
ωβω
β
−
−
=
(2.37)
Tỉ số phản ứng (Response Ratio):
)sin(sin
1
1)()(
)(
2
tt
k
p
tv

v
tv
tR
o
st
ωβω
β
−
−
===
Trong thực tế, lực cản làm cho số hạng sau
biến mất sau một khoảng thời gian ngắn. Khi đó
hệ số động (Manification Factor) sẽ là:
2
)(
1
1)(
β
−
==
st
tp
v
tv
MF
(2.38)
2.3.2 Hệ có cản
Phương trình chuyển động:

t

m
p
tvtvtv
o
ωωξω
sin)()(2)(
2
=++

(2.39)
Nghiệm tổng quát:
tBtAetv
DD
t
h
ωω
ξω
cossin()(
+=
−
)
Nghiệm riêng:
tGtGtv
p
ωω
cossin)(
21
+=
Thế vào (2.39) và đồng nhất 2 vế, thu được:
222

2
222
2
1
)2()1(
2
)2()1(
1
ξββ
ξβ
ξββ
β
+−
−
=
+−
−
=
k
p
G
k
p
G
o
o
(2.40)
Vì nghiệm quá độ tắt rất nhanh, nên hệ chỉ dao
động theo nghiệm riêng. Dùng vector quay trên
giản đồ Argrand, ta tìm được:

2
1
2
1
222
1
2
])2()1[(
β
ξβ
θξωβρ
−
=+−=
−
−
tg
k
p
o
(2.41)
và phương trình dao động ổn đònh:
)sin()(
θωρ
−= ttv
(2.42)
Imaginary
Real
ϖ
t
ϖ

t
ρ
θ
2ξβ
(1−β ) +(2ξβ)
2
2
p
k
o
1 − β
(1−β ) +(2ξβ)
k
p
o
2
2
2
2
2
Biểu diễn dao động bằng vectơ quay
- Hệ số động (Dynamic Magnification Factor):
222
)2()1(
1
ξββ
ρ
+−
==
k

p
D
o
(2.43)
Khi
ω
>>
ω
thì không có chuyển động.
0
1
2 3
90
0
180
0
ξ = 0
Phase Angle
Frequency ratio
β
ξ = 0.05
ξ = 0.2
ξ = 0.5
ξ = 1
ξ
=0
ξ
=0.2
ξ
=0.5

ξ
=0.7
ξ
=1.0
1
2
3
4
D
0
1
2 3
β
k
m
ξ
2.3.3 Sự cộng hưởng (Resonance)
Khi
1==
ω
ω
β
thì xảy ra cộng hưởng. Lúc này
hệ số động theo (2.43) là:
ξ
β
2
1
1
=

=
D
(2.44)
Nếu hệ không cản, tức là
ξ
= 0 thì D
β
=1
→ ∝
Đối với hệ có cản
ξ
khác 0, thì D
max
xảy ra khi:
2
max
2
12
1
210
ξξ
ξβ
β
−
=
−=⇒=
D
d
dD
dinh

(2.45)
Như vậy: D
max
khác D
β
=1
Tuy nhiên, với hệ có tỉ số cản
ξ
bé thì có thể
coi:
ξ
β
2
1
1max
=≈
=
DD
(2.46)
2.3.4 Sự cô lập dao động (Vibration Isolation)
Sự cô lập dao động cần thiết trong 2 trường hợp:
- Thiết bò máy móc truyền rung động có hại
xuống kết cấu đỡ.
- Kết cấu đỡ (bò rung) truyền dao động có hại
cho thiết bò ở trên.
1. Xét motor quay, tạo ra lực kích động:
tptp
o
ω
sin)( =

Chuyển động ổn đònh
(Steady-State Displacement):
)sin()(
θω
−= tD
k
p
tv
o
p(t) = p
0
sint
f
v
Phản lực nền
Vận tốc:
)cos()(
θωω
−= tD
k
p
tv
o

Lực đàn hồi:
)sin()(
θω
−== tDptkvf
os
Lực cản:

)cos(2
)cos()(
θωξβ
θω
ϖ
−
=−==
tDp
t
k
Dcp
tvcf
o
o
D

Vì f
S
(t) và f
D
(t) lệch pha 90
o
, nên biên độ phản lực
nền là:
( )
[ ]
2
1
2
max

2
max
2
max
21
ξβ
+=+= Dpfff
o
DS
Tỷ số truyền lực (Transmissibility Ratio-TR ), được
đònh nghóa:
( )
( )
( )
[ ]
)21(
21
2
1
2
2
2
max
−
+−=
+==
βξβ
ξβ
D
D

p
f
TR
o
(2.47)
TR = D nếu
ξ
= 0 (không cản)
Đồ thò cho thấy các đường cong đều:
Đạt cực đại tại
β
=1
Cùng đi qua điểm có
β
=
2
Với
β
>
2
thì TR < 1