Động lực học kết cấu - Chương 2

ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
CHƯƠNG 2
HỆ MỘT BẬC TỰ DO
2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự do
Mô hình đơn giản nhất của hệ một bậc tự do (Single Degree of Freedom system
- SDOFs), gồm các đặc trưng vật lý tập trung (Concentrated Properties):
Khối lượng: m
Độ cứng: k
Hệ số cản: c
Lực kích động: p(t)
Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố về m, k, c, p(t) đều có thể đưa
về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).
2.1.2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động
2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembert
p(t) + f
S
+ f
I
+ f
D
=0
hay
)(tpkvvcvm =++

(2.1)
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
9
p(t)
f
f

f
D
S
I
Các lực tác dụng
c
k
v(t)
p(t)
m
Mô hình SDOFs
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
2.1.2.2 Nguyên lý công khả dó
Cho khối lượng chuyển vò khả dó
δ
v. Công khả dó:

δ
W = p(t)
δ
v + f
S

δ
v + f
I
δ
v + f
D

δ
v = 0
hay
0)]([ =+−−− vtpkvvcvm
δ

vì
δ
v ≠ 0 nên thu được phương trình chuyển động giống như (2.1).
2.1.2.3 Nguyên lý Hamilton
Động năng của hệ:
2
2
1
vmT

=
, biến phân động năng
vvmT

δδ
=
Thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo:
2
2
1
kvV =
, biến phân
vkvV
δδ

=
Biến phân công của lực không bảo toàn p(t) và f
D
(tức là công khả dó của
hai lực này trên chuyển vò khả dó
δ
v):
vvcvtpW
nc
δδδ

−= )(
Theo nguyên lý Hamilton:
0])([
2
1
=+−
∫
t
t
nc
dtWVT
δδ
0])([
2
1
=+−−
∫
t
t

dtvtpvvcvkvvvm
δδδδ

(2.2)
tích phân từng phần số hạng thứ nhất:
∫∫
−=
2
1
2
1
2
1
0
t
t
t
t
t
t
vdtvmvvmdtvvm
δδδ



(2.3)
thế (2.3) vào (2.2) ta được:
0)]([
2
1

=
∫
+−−−
t
t
vdttpkvvcvm
δ


(2.4)
vì
δ
v tùy ý nên biểu thức:
0)( =+−−− tpkvvcvm

có dạng giống với (2.1)
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
10
O
v
f = kv
s
Lực
Chuyển vò
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Nhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì cùng dựa trên đònh luật
quán tính của Newton. Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý D’Alembert là đơn
giản nhất.
2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực
Hệ ở trên hình có phương trình chuyển động:

W)t(pkvvcvm +=++

trong đó W là trọng lượng của khối cứng.
Chuyển vò v gồm tổng của chuyển vò tónh (Static Displacement)
st
∆
gây bởi
trọng lượng W và chuyển vò động
v
vv
st
+∆=
Thay biểu thức của lực đàn hồi
vkkkvf
sts
+∆==
vào phương trình chuyển động:
Wtpvkkvcvm
st
+=+∆++ )(

Mặt khác
st
kW ∆=
nên phương trình cuối cùng thu được:
)(tpvkvcvm =++

Kết luận:
Nếu lấy vò trí cân bằng tónh học do trọng lượng P = mg gây ra làm mốc để
tính chuyển vò thì phương trình vi phân chuyển động vẫn có dạng (2.1).

Như vậy, trọng lực không ảnh hưởng đến phương trình vi phân chuyển động.
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
11
c
k
m
v(t)
p(t)
(W)
S
f
f
D
p(t)
f
I
∆
st
nh hưởng của trọng lực
f
S
f
D
f
I
p(t)
W
W
v(t)v(t)v
(t)

ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa
Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình cân bằng lực:
0=++
SDI
fff
trong đó lực quán tính có giá trò:
tI
vmf

=
với gt
vvv +=
là tổng của v là chuyển vò
uốn và v
g
là chuyển vò gối tựa (mặt đất). Thay các giá trò lực vào phương trình cân
bằng ta có:
0=+++ kvvcvmvm
g

hay:
)(tPvmkvvcvm
effg
≡−=++

(2.5)
Kết luận: Trong phương trình trên geff
vmtP


−=)(
là tải trọng do rung động gối tựa.
Như vậy sự rung động của mặt đất tương đương như lực kích động
eff
P
tác dụng tại
vật nặng.
2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised SDOF System)
Xét hệ có đặc trưng vật lý phân bố (m, EI…), thực chất có vô hạn bậc tự do.
Nếu coi hệ chỉ dao động với một hàm dạng nào đó thì hệ trở thành 1 bậc tự do. Cần
tìm các đặc trưng vật lý tập trung cho hệ 1 bậc tự do đó.
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
12
l
x
x
N
v
g
(t)
v (x,t) e(t)
z(t)
m(x)
EI(x)
v(x,t)
chuyển vò
O
t
v
g

(t)
v
v
t
f
I
f
C
0.5f
S
0.5f
S
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Giả sử hệ chòu rung động ngang v
g
(t) của gối tựa (do động đất chẳng hạn).
Dùng nguyên lý Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động. Đặt:
v(x,t) =
ψ
(x) Z(t) (2.6)
trong đó:
ψ
(x) - Hàm dạng (Shape Function)
Z(t) - Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate)
Động năng của hệ:
[ ]
dxtxvxmT
t
l
2

0
),()(
2
1

∫
=
dxvtxvxmT
tt
l

δδ
),()(
0
∫
=
(2.7)
Thế năng uốn:
[ ]
dxtxvxEIV
l
f
2
0
),(")(
2
1
∫
=

dxvtxvxEIV
l
f
"),(")(
0
δδ
∫
=
(2.8)
Độ co ngắn của thanh:

[ ]
dxtxvte
l
2
0
),('
2
1
)(
∫
=
(2.9)
Thế năng lực dọc (chọn vò trí ban đầu của N có thế năng bằng 0 ):
[ ]
dxtxv
N
NeV
l
N

2
0
),('
2
∫
−=−=
hay
dxvtxvNV
l
N
∫
−=
0
'),('
δδ

(2.10)
Vì hệ không có lực không bảo toàn (lực cản, lực kích thích) nên:
∫
=−
2
1
0)(
t
t
dtVT
δ
(*), với V = V
f
+ V

N
Thế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):
0'),('),("),(")(),()(
2
1
0 0 0
=
∫






∫ ∫ ∫
+− dtdxvtxvNdxtxvtxvxEIdxvtxvxm
t
t
l l l
tt
δδδ

(2.11)
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
13
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Dùng các liên hệ:
t
v


=
v

+
g
v

và
t
v
δ

=
v

δ
"v
=
z"
ψ
và
Zv
δψδ
"" =
v’ =
ψ
’Z và
Zv
δψδ
'' =

Zv


ψ
=
và
v

δ
=
ψ
Z

δ
(2.12)
Thế (2.12) vào (2.11)
0)'(")()()()(
2
1
0 0 0 0
222
=
∫






∫ ∫ ∫ ∫

+−+ dtdxZNZdxxEIZZdxxmtvZdxxmZZ
t
t
l l l l
g
ψδψδψδψδ


(2.13)
Chú ý rằng tích phân
∫
l
dxxf
0
)(
không phụ thuộc t, nên đóng vai trò là các
hằng số khi thực hiện tích phân theo biến t. Để làm xuất hiện các thừa số
δ
Z trong
2 số hạng đầu, ta tiến hành tích phân từng phần:
∫∫∫ ∫∫
−=−===
2
1
2
1
2
1
2
1

2
1
2
1
)(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dtZZdtZZZZdtZ
dt
d
Zdt
dt
dZ
ZdtZZ

δδδδδδ
(2.14)
∫∫
−=
2

1
2
1
2
1
)()()(
t
t
g
t
t
t
t
gg
ZdttvZtvdtZtv
δδδ



(2.15)
Thế (2.14) và (2.15), phương trình (2.13) trở thành:
[ ]
∫
=−−+
2
1
0)(
****
t
t

tG
ZdttpZkZkZm
δ

(2.16)
trong đó:
∫
=
l
dxxmm
0
2*
)(
ψ
: Khối lượng suy rộng
∫
=
l
dxxEIk
0
2*
)")((
ψ
: Độ cứng suy rộng
∫
=
l
G
dxNk
0

2*
)'(
ψ
: Độ cứng hình học suy rộng
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
14
z
δ
z
v
t
O
v
g
δ
v
v
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC

∫
−=
l
gt
dxxmtvtp
0
*
)()()(
ψ

: Tải trọng tương đương suy rộng

(2.17)
Vì
δ
Z bất kỳ nên lượng trong dấu ngoặc triệt tiêu. Ta thu được phương trình
vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do suy rộng:

)()()(
***
tptZktZm
t
=+

(2.18)
với
***
G
kkk −=
: Độ cứng suy rộng kết hợp
(2.19)
Khi lực dọc N đạt trò số tới hạn N = N
cr
thì
0
*
=k
. Từ đó, suy ra công thức
tính lực N
cr
là:

∫
∫
=
l
l
cr
dx
dxxEI
N
0
2
0
2
)'(
)")((
ψ
ψ
(2.20)
Đây là công thức của phương pháp Rayleigh.
Chú ý:
Nếu thanh chòu lực kích thích phân bố p(x,t) và lực dọc N(x) thì công thức tính
lực kích thích suy rộng (lực tập trung) p
*
(t) và độ cứng hình học k
*
G
lần lượt là:

∫
=

l
dxxtxptp
0
*
)(),()(
ψ
(2.21)

∫
=
l
G
dxxxNk
0
2*
)](')[(
ψ
(2.22)
∫
=
l
dxxxcC
0
2*
)]()[(
ψ
(2.23)
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
15
p(x,t)

c(x)
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Thí dụ: Example E8.3, page 144, [1]
Thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do suy rộng với
các đặt trưng vật lý (khối lượng, độ cứng ) phân bố đều theo chiều cao như trên
hình vẽ. Cho biết phương trình đường đàn hồi (hàm dạng ) được chọn như sau:

L
x
x
2
cos1)(
π
ψ
−=
(a)
Giải:
p dụng (2.17) ta có khối lượng và độ cứng suy rộng:
( )
Lmdx
L
x
mdxmm
LL
228.0
2
cos1
0
2
0

2
*
=
∫






−=
∫
=
π
ψ
(b)
( )
3
4
0
2
2
2
0
2
*
322
cos
4
"

L
EI
dx
L
x
L
EIdxEIk
LL
πππ
ψ
=
∫








=
∫
=
(c)
Tải trọng tương đương suy rộng (bỏ qua dấu trừ):
)(364.0
2
cos1)()()(
00
*

tvLmdx
L
x
tvmdxmtvtP
g
L
g
L
g

∫∫
=






−==
π
ψ
(d)
Bỏ qua lực dọc trục, phương trình cân bằng dao động:
)(364.0)(
32
)(228.0
3
4
tvLmtZ
L

EI
tZLm
g


=+
π
(e)
Nếu xét lực dọc trục N thì ta có độ cứng hình học suy rộng:
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
16
L
x
x
N
v
g
(t)
v (x,t) e(t)
z(t)
m
EI
v(x,t)
chuyển vò
O
t
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
( )
∫ ∫
=







==
L L
G
L
N
dx
L
x
L
NdxNk
0
2
0
2
2
*
82
sin
2
'
πππ
ψ
(f)
Độ cứng suy rộng kết hợp:

L
N
L
EI
kkk
G
832
2
3
4
***
ππ
−=−=
(g)
Vì vậy tải trọng tới hạn mất ổn đònh thu được khi cho độ cứng kết hợp bằng 0 là:
3
2
23
4
4
8
32 L
EIL
L
EI
N
cr
π
π
π

==
(h)
Đây là tải trọng mất ổn đònh thật sự cho cột consol chòu tải trọng phân bố đều,
bởi vì hàm dạng được rút ra từ (a) là dạng mất ổn đònh thật của kết cấu. Thay (h)
vào (f) ta có thể biểu diễn độ cứng hình học bởi:
cr
G
N
N
L
EI
k
3
4
*
32
π
=
(i)
thay vào (e) ta có phương trình cân bằng bao gồm ảnh hưởng của lực dọc trục là:
)(364.0)(1
32
)(228.0
3
4
tvLmtZ
N
N
L
EI

tZLm
g
cr


=








−+
π
(j)
Do đó, bất kỳ hình dạng nào thỏa mãn điều kiện biên hình học của kết cấu đều
được rút ra từ hàm dạng
)(x
ψ
. Nếu hàm này được cho bởi dạng parabolic
2
2
)(
L
x
x =
ψ
Khi này độ cứng đàn hồi suy rộng trở thành:

3
0
2
2
*
42
L
EI
dx
L
EIk
L
=






=
∫
và độ cứng hình học suy rộng:
L
N
dx
L
x
Nk
L
G

3
42
0
2
2
*
=






=
∫
Trong trường hợp này, tải trọng tới hạn được rút ra từ
**
G
kk =
là:
23
3
4
34
L
EIL
L
EI
N
cr

==
(l)
giá trò này lớn hơn 21% so với giá trò từ (h).
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
17
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO
2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển động
Phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do (kể cả suy rộng) có dạng:
)()()( tpkvtvctvm =++

Nếu không có lực kích thích p(t) = 0 thì:

0)()( =++ kvtvctvm

(a)
Nghiệm có dạng: v(t) = Ge
st
Thế vào (a) ta được:
(ms
2
+ cs + k) Ge
t
= 0 (b)
Đặt
m
k
=
2
ω

thì (b) dẫn tới:
s
2
+
m
c
+
ω
2
= 0 (c)
(c) là phương trình đặc trưng, nghiệm s của (c) tùy thuộc vào hệ số cản c.
2.2.2 Dao động tự do không cản - c = 0
Khi đó (c) có nghiệm: s =
±
i
ω
do đó nghiệm của (a) là:
v(t) = G
1
e
i
ω
t
+ G
2
e
-i
ω
t

hay viết lại dưới dạng thực:
v(t) = Asin
ω
t + Bcos
ω
t (d)
với A, B được xác đònh từ điều kiện ban đầu: B = v(0), A =
ω
)0(v

nên:
v(t) =
ω
)0(v

sin
ω
t + v(0)cos
ω
t (2.24)
Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
18
Imaginary
1
1
Real
e
i
ω

t
ω
t
O
e = cos
ω
t
±
isin
ω
t
±
i
ω
t
Công thức Euler:
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
v(t) =
ρ
cos(
ω
t -
θ
) (2.24')
Với biên độ
2
2
)0(
)]0([







+=
ω
ρ
v
v

và pha ban đầu
θ
= tan
-1

)0(
)0(
v
v
ω


(2.25)
chu kỳ: T =
f
12
=
ω
π

(2.26)
2.2.3 Dao động tự do có cản- c ≠ 0
Nghiệm của (c): s =
2
2
22
ω
−






±−
m
c
m
c

(2.27)
Dạng dao động phụ thuộc vào trò số của hệ số cản c (vào biểu thức dưới dấu
căn có dấu dương, âm hay bằng không)
- Cản tới hạn (Critical damping) c = c
cr
c
cr
= 2m
ω
thì

0
2
2
2
=−






ω
m
c
cr
s =
ω
−=−
m
c
cr
2
Phương trình chuyển động:
v(t) = (G
1
+ G
2
t) e
-i
ω

t
= [ v(0)(1+
ω
t) +
)0(v

t]e
-
ω
t
(2.28)
Đồ thò chuyển động có dạng như hình vẽ, không có dao động (Oscillation).
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
19
v(t)
v(0)
ρ
T =
ω
v(0)
θ
2π
ω
t
v(0)
v(0)
v(t)
t
O
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC

- Cản ít (Underdamping): c < c
cr
=2m
ω
.
Đặt
ξ
=
cr
c
c
=
ω
m
c
2

trong đó
ξ
là tỉ số cản (damping ratio).
Thế vào (2.27):
với
ω
D
=
ω
2
1
ξ
−

: tần số dao động có cản, trong thực tế các kết cấu có
ξ
<20%
nên
ω
D
≈
ω
( với
ξ
= 0.2 thì
ω
D
= 0.98
ω
).
Phương trình chuyển động:
v(t) = G
1

ti
D
e
)(
ωξω
+−
+ G
2

ti

D
e
)(
ωξω
−−
= e
-
ξω
t
(G
1

ti
D
e
ω
+ G
2

ti
D
e
ω
−
)
hay v(t) = e
-
ξω
t
(Asin

ω
D
t + Bcos
ω
D
t) =
ρ
e
-
ξω
t
cos(
ω
D
t -
θ
)
(2.29)
trong đó:

[ ]
2
2
)0(
)0()0(
v
vv
D
+







+
=
ω
ξω
ρ


θ
= tan
-1

)0(
)0()0(
v
vv
D
ω
ξω
+

(2.30)
Đồ thò chuyển động với v(0) ≠ 0,
)0(v

= 0 như hình vẽ.

Xác đònh tỉ số cản
ξ
:
Phương trình dao động tự do theo điều kiện ban đầu:
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
20
ξ
O
1
1
ω
ω
D
v(t)
ρ
t
π
ω
2π
ω
3π
ω
4π
ω
D
D
D
D
v
0

O
-
ξω
t
e
v
1
v
2
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
v(t) = e
-
ξω
t
(
D
vv
ω
ξω
)0()0( +

sin
ω
D
t + v(0)cos
ω
D
t) (2.31)
Chu kỳ dao động có cản: T =
D

ω
π
2
Thế vào (2.29):
)2exp()exp(
1 Dn
n
T
v
v
ω
ω
πξξω
==
+
Độ giảm Loga:
2
1
1
22ln
ξω
ω
πξ
ω
ω
πξδ
−
===
+ Dn
n

v
v
=
2
1
2
ξ
πξ
−
≈ 2
πξ
, với
ξ
nhỏ.
πξ
πξ
πξ
πξδ
21......
!2
)2(
21
2
2
1
+≈+++===
+
ee
v
v

n
n
Do đó:
ξ
=
1
1
2
+
+
−
n
nn
v
vv
π

(2.32)
Chính xác hơn:
ξ
=
mn
mnn
vm
vv
+
+
−
π
2

(từ
mt
mn
n
e
v
v
ξω
=
+
)
(2.33)
Công thức (2.32) và (2.33) dùng xác đònh tỉ số cản
ξ
bằng thực nghiệm.
Hệ số cản c được xác đònh theo công thức:
c = 2m
ωξ
(2.34)

- Cản nhiều (Overdamping)
Khi
ξ
> 1 (c > c
cr
) thì không có dao động, tương tự khi c = c
cr
ξ
càng lớn thì chuyển động về vò trí cân bằng càng chậm.
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO

21
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
2.3 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ
2.3.1 Hệ không cản
Lực kích thích:
tptp
ω
sin)(
0
=
Phương trình dao động:
tptkvtvm
o
ω
sin)()( =+

(a)
Nghiệm thuần nhất (quá độ):
tBtAtv
h
ωω
cossin)( +=
Nghiệm riêng dạng (ổn đònh):
tGtv
p
ω
sin)( =
Thế vào (a) rút ra:
2
1

1
β
−
=
k
p
G
o
với:
ω
ω
β
=
Vậy nghiệm tổng quát:
t
k
p
tBtAtvtvtv
o
ph
ω
β
ωω
sin
1
1
cossin)()()(
2
−
++=+=

(2.35)
A, B xác đònh từ điều kiện ban đầu. Nếu
0)0()0( == vv

, dễ dàng tìm được:
0,
1
1
2
=
−
−= B
k
p
A
o
β
β
(2.36)
thế vào (2.35) ta được:
)sin(sin
1
1
)(
2
tt
k
p
tv
o

ωβω
β
−
−
=

(2.37)
Tỉ số phản ứng (Response Ratio):

)sin(sin
1
1)()(
)(
2
tt
k
p
tv
v
tv
tR
o
st
ωβω
β
−
−
===
Trong thực tế, lực cản làm cho số hạng sau biến mất sau một khoảng thời
gian ngắn. Khi đó hệ số động (Manification Factor) sẽ là:

2
)(
1
1)(
β
−
==
st
tp
v
tv
MF
(2.38)
2.3.2 Hệ có cản
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
22
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Phương trình chuyển động:
t
m
p
tvtvtv
o
ωωξω
sin)()(2)(
2
=++


(2.39)

Nghiệm tổng quát:
tBtAetv
DD
t
h
ωω
ξω
cossin()(
+=
−
)
Nghiệm riêng:
tGtGtv
p
ωω
cossin)(
21
+=
Thế vào (2.39) và đồng nhất 2 vế, thu được:
222
2
222
2
1
)2()1(
2
)2()1(
1
ξββ
ξβ

ξββ
β
+−
−
=
+−
−
=
k
p
G
k
p
G
o
o
(2.40)
Vì nghiệm quá độ tắt rất nhanh, nên hệ chỉ dao động theo nghiệm riêng.
Dùng vector quay trên giản đồ Argrand, ta tìm được:
2
1
2
1
222
1
2
])2()1[(
β
ξβ
θξωβρ

−
=+−=
−
−
tg
k
p
o

(2.41)
và phương trình dao động ổn đònh:
)sin()(
θωρ
−= ttv
(2.42)
- Hệ số động (Dynamic Magnification Factor):
222
)2()1(
1
ξββ
ρ
+−
==
k
p
D
o
(2.43)
Khi
ω

>>
ω
thì không có chuyển động.
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
23
0
1
2 3
90
0
180
0
ξ = 0
Phase Angle
Frequency ratio
β
ξ = 0.05
ξ = 0.2
ξ = 0.5
ξ = 1
Imaginary
Real
ϖ
t
ϖ
t
ρ
θ
2ξβ
(1−β ) +(2ξβ)

2
2
p
k
o
1 − β
(1−β ) +(2ξβ)
k
p
o
2
2
2
2
2
Biểu diễn dao động bằng vectơ quay
ξ
=0
ξ
=0.2
ξ
=0.5
ξ
=0.7
ξ
=1.0
1
2
3
4

D
0
1
2 3
β
k
m
ξ