Động lực học kết cấu - Chương 4

ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Chương 4
HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
4.1 Thiết lập phương trình chuyển động
4.1.1 Dao động uốn của dầm
Xét dầm thẳng như hình H.4.1. Tách phân tố xét cân bằng:
∑
= 0Y
0=−
∂
∂
+−+ dxf)dx
x
Q
Q(pdxQ
i
(4.1)
với lực quán tính phân bố
t
v
mdxdxf
i
∂
∂
=
2
(4.2)
Thế (4.2) vào (4.1) ta được:
2
2
t

v
mp
x
Q
∂
∂
−=
∂
∂
(4.3)

0=
∑
O
M
bỏ qua vô cùng bé bậc cao của p và f
i
:
0=
∂
∂
+−+ )dx
x
M
M(QdxM
(4.4)
hay
Q
x
M

=
∂
∂

(4.5)
Đạo hàm riêng 2 vế với x dẫn tới:
p
t
v
m
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
(4.6)
hay
p
t
v
m)
x
v

EI(
x
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2

(4.7)
trong đó các đại lượng EI và m thay đổi theo x.
Nếu uốn dầm xét đến ảnh hưởng lực dọc:
Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
78
L
x
dx
x
v(x,t)
p(x,t)
EI(x), m(x)
f

I
p(x,t)
Q
M
dx
x
Q
Q
∂
∂
+
dx
x
M
M
∂
∂
+
O
H.4.1. Dao động uốn dầm
dx
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
p
t
v
m
x
v
N)
x

v
EI(
x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
(4.8)
4.1.2 Dao động dọc của thanh
Thanh có các đặc trưng thay đổi, chòu lực kích động q(x,t). Xét cân bằng lực
của phân tố:
0
2
2
=−







∂
∂
+−
∂
∂
+ dx)t,x(qdx
x
)t,x(N
)t,x(Ndx
t
)t,x(u
)x(m)t,x(N
(4.9)
Ta có:
)x(EA
x
)t,x(u
)x(EA)t,x()x(A)t,x()t,x(N
∂
∂
===
εσ
(4.10)
Thế vào (4.9) ta được:

)t,x(q
x
)t,x(u
)x(EA
x
t
)t,x(u
)x(m =






∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
2
2
(4.11)
4.2 Phân tích dao động tự do
4.2.1 Dao động uốn tự do của dầm
Xét các đại lượng EI, m = const, p(x,t) = 0. Phương trình (4.7) trở thành:

0
2

2
4
4
=
∂
∂
+
∂
∂
t
)t,x(v
m
x
)t,x(v
EI
(4.12)
hay:
0=+ )t,x(v
EI
m
)t,x(v
IV


(4.13)
Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau:
)t(Y)x()t,x(v
φ
=
(4.14)

với
)x(
φ
- hàm dạng,
)t(Y
- biên độ.
Thế (4.14) vào (4.13) ta được:
Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
79
H.4.2. Dao động dọc thanh
L
x
dx
x
u(x,t)
N(0,t)
EA(x), m(x)
N(L,t)
q(x,t)
N(x,t)
dx
x
N
N
∂
∂
+
dx
dx
t

)t,x(u
)x(m
2
2
∂
∂
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
0=+ )t(Y)x(
EI
m
)t(Y)x(
IV

φφ
(4.15)
Chia hai vế bởi
)t(Y)x(
φ
, (4.15) trở thành:

0=+
)t(Y
)t(Y
EI
m
)x(
)x(
IV

φ

φ
(4.16)
hay
)t(Y
)t(Y
EI
m
)x(
)x(
IV

−=
φ
φ

(4.17)
Phương trình (4.17) chứng tỏ 2 vế không phụ thuộc vào x và t, tức là bằng một
hằng số:
4
a
)t(Y
)t(Y
EI
m
)x(
)x(
IV
=−=

φ

φ
(4.18)
Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường:
0
2
=+ )t(Y)t(Y
ω

(4.19a)
0
4
=− )x(a)x(
IV
φφ
(4.19b)
với
m
EIa
4
2
=
ω

(4.20)
Phương trình (4.19a) có nghiệm:
tsinBtcosA)t(Y
ωω
+=
(4.21)
hay biểu diễn theo điều kiện ban đầu

)(Y 0
và
)(Y 0

thì
tsin
)(Y
tcos)(Y)t(Y
ω
ω
ω
0
0

+=
(4.22)
Phương trình (4.19b) được giải bằng cách chọn nghiệm dạng:
sx
Ge)x( =
φ
(4.23)
Thế vào (4.19b) dẫn tới:

0
44
=−
sx
Ge)as(
(4.24)
Từ đó ta tìm được:

as,ias
,,
±=±=
4321

(4.25)
Nghiệm tổng quát của (4.19b) có dạng:
axaxiaxiax
eGeGeGeG)x(
4321
+++=
−
φ
(4.26)
với G
1
, G
2
, G
3
, G
4
là các hằng số phức.
Phương trình (4.26) có thể viết lại dạng thực cho các số hạng:
)sinh()cosh()sin()cos()(
4321
axAaxAaxAaxAx +++=
φ
(4.27)
các hằng số A

i
được tìm từ điều kiện biên của dầm.
Thí dụ: E18.1, p 379-381.
Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
80
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
4.2.2 Dao động dọc tự do của thanh
Xét thanh có đặc trưng EA, m hằng số. Khi q(x,t) = 0 thì phương trình (4.11) có
dạng:

0
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
)t,x(u
EA
t
)t,x(u
m
(4.28)
Tách biến:
)t(Y)x()t,x(u

φ
=
(4.29)
Phương trình (4.28) viết lại dưới dạng:
2
c
)t(Y
)t(Y
EA
m
)x(
)x(
II
−==

φ
φ
(4.30)
Từ đó dẫn tới hai phương trình:
0
2
=+ )t(Y)t(Y
ω

(4.31a)
0
2
=+ )x(c)x(
II
φφ

(4.31b)
với
m
EAc
2
2
=
ω
(4.32)
Phương trình (4.31a) có nghiệm giống (4.21). Phương trình (4.31b) có nghiệm như
sau:
)cxsin(C)cxcos(C)x(
21
+=
φ
(4.33)
Thí dụ: E 18.5, p 392-393.
Chú ý: Các mode dao động
)x(
m
φ
và
)x(
n
φ
có tính trực giao, tức là thoả
mãn điều kiện:
0
0
=

∫
dx)x(m)x()x(
L
nm
φφ
(4.34)
4.3 Phương pháp độ cứng động lực học (the Dynamic direct Stiffness Method -
DSM)
4.3.1 Ý nghóa
Trong chương 3 đã dùng hàm đa thức Hecmit để xấp xỉ đường đàn hồi và
dẫn tới phương pháp độ cứng tónh học (Static dirrect Stiffness Method). Phương
pháp này kém chính xác vì hàm dạng không kể đến lực quán tính.
Trên cơ sở hàm dạng (4.27) là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, có
thể dùng để làm hàm dạng, từ đó dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, được
Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
81
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
coi là chính xác. Đặc điểm của phương pháp này là các hệ số cứng phụ thuộc vào
tần số, phương pháp này hiện nay được dùng trong bài toán ngược chẩn đoán công
trình.
4.3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực
Xét dầm tiết diện đều, không chòu lực tác dụng, phương trình chuyển động
của nó cho bởi (4.13):
0=+ )t,x(v
EI
m
)t,x(v
IV

(a)

Chuyển vò cưỡng bức có dạng:
tvv
ii
ω
sin
0
=
(4.35)
với
0i
v
là biên độ chuyển vò biên v
i
. Chuyển vò tại một điểm bất kỳ của dầm có
dạng:

txtxv
ωφ
sin)(),( =
(4.36)
Phương trình (a) được viết:

0
4
=− )x(a)x(
IV
φφ
(4.37)
trong đó:
EI

m
a
2
4
ω
=

(4.38)
Nghiệm của phương trình (4.37) có dạng:
)cosh()sinh()cos()sin()(
4321
xaAxaAxaAxaAx +++=
φ
(4.39)
a
phụ thuộc vào tần số cưỡng bức
ω
, khác với
a
phụ thuộc vào tần số tự nhiên
ω

theo (4.20).
Để cho tiện về sau, ta kí hiệu đơn giản:
EI
m
a
2
4
ω

=
hoặc
EI
m
2
ω
tuỳ theo dạng
dao động cưỡng bức hoặc tự do được xét tới.
Từ (4.27) ta rút ra phương trình ma trận:

























−
−−
−
=


















′′′
′′
′
4
3

2
1
3
2
sinhcoshsincos
coshsinhcossin
sinhcoshsincos
coshsinhcossin
A
A
A
A
axaxaxax
axaxaxax
axaxaxax
axaxaxax
a
a
a
φ
φ
φ
φ
(4.40)
Biểu diễn chuyển vò thẳng và xoay hai đầu thanh, ta có:
Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
82