Động lực học kết cấu - Chương 3

ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
CHƯƠNG 3
HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO
3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
3.1.1 Lựa chọn bậc tự do
Ý nghóa: thực tế kết cấu thường là hệ phân bố, có vô hạn bậc tự do. Đưa về sơ
đồ một bậc tự do chỉ thích hợp trong một số trường hợp đặc biệt, khi hệ hầu như chỉ
dao động với một dạng nhất đònh. Để thu được kết quả chính xác hơn, ta phải đưa hệ
kết cấu về hệ rời rạc nhiều bậc tự do. Số bậc tự do được chọn dựa vào bài toán cụ
thể.
Các cách chọn bậc tự do: có hai cách
- Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời rạc: bao gồm phương pháp dồn
khối lượng và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa.
- Chọn tọa độ suy rộng, là biên độ của một số kiểu (pattern) biến dạng của hệ.
3.1.2 Phương trình cân bằng động
Để đơn giản ta xét hệ liên tục như hình vẽ, với các bậc tự do là chuyển vò tại
các điểm 1, 2, 3, ..., N.
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 46
v
1
(t)
v
2
(t)
v
i
(t)
v
N
(t)
1

2
i
Ν
p(x,t)
m(x)
EI(x)
chiều dương
chuyển vò
chiều dương
của lực
chuyển vò
f
Di

f
Ii
m
i
v
i
(t)
p
i
(t)
f
Si

ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Tại mỗi điểm (nút) có các lực tác dụng: tải trọng p
i

(t), lực quán tính f
Ii
, lực cản
f
Di
, và lực đàn hồi f
Si
. Phương trình cân bằng nút i:
f
Ii
+ f
Di
+ f
Si
= p
i
(t) , i = 1, 2, 3, ..., N
Dạng ma trận:
[f
I
] + [f
D
] + [f
S
] = [p(t)] (3.1)
trong đó:
[f
I
] =















IN
I
I
f
f
f

2
1
, [f
D
]=















DN
D
D
f
f
f

2
1
, [f
S
]=















SN
S
S
f
f
f

2
1
, [p(t)] =














)(

)(
)(
2
1
tp
tp
tp
N

- Lực đàn hồi
Dùng nguyên lí cộng tác dụng, ta có:
f
Si
= k
i1
v
1
+ k
i2
v
2
+ .... + k
iN
v
N
với i =
N,1
với k
ij
là lực tại nút i do chuyển vò v

j
= 1 gây ra.
Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi (ngược chiều với
lực nút).
Dạng ma trận:














SN
S
S
f
f
f

2
1
=













NNNN
N
N
kkk
kkk
kkk




21
22221
11211
















N
v
v
v

2
1
(3.2)
hay: [f
S
] = [K][v] (3.3)
trong đó: [K] gọi là ma trận cứng của kết cấu (Stiffness Matrix).
- Lực cản- kết quả tương tự như lực đàn hồi















DN
D
D
f
f
f

2
1
=












NNNN
N

N
ccc
ccc
ccc




21
22221
11211















N
v
v
v





2
1
(3.4)
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 47
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
với c
ij
là lực tại nút i do
j
v

= 1 gây ra, gọi là hệ số ảnh hưởng cản.
hay: [f
D
]= [C][
v

] (3.5)
trong đó: [C] là ma trận cản (Damping Matrix)
- Lực quán tính















IN
I
I
f
f
f

2
1
=













NNNN
N
N
mmm
mmm
mmm




21
22221
11211















N
v

v
v




2
1
(3.6)
với m
ij
: lực tại nút i do
j
v

= 1 gây ra, là hệ số ảnh hưởng khối lượng,
hay: [f
I
]= [M][
v

] (3.7)
trong đó: [M] là ma trận khối lượng (Mass Matrix)
Thay (3.3), (3.5), (3.7) vào (3.1) ta thu được hệ N phương trình vi phân chuyển
động viết dưới dạng ma trận:
[M][
v

] + [C][
v


] + [K][
v
] = [p(t)] (3.8)
Phương trình trên là phương trình mang tính chất tổng quát của bài toán động
lực học. Trong đó: [p(t)] là vectơ tải trọng ngoài, tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các
trường hợp phân tích động lực học của hệä: phân tích dao động tự do, phân tích phản
ứng của hệ với tải trọng động như tải gió, động đất, sóng biển...
3.1.3. Ảnh hưởng của lực dọc (nén)
Lực dọc làm tăng thêm chuyển vò nút, nên sẽ có vai trò như lực nút tác dụng
theo chiều của chuyển vò nút, ký hiệu bởi ma trận [f
G
]. Khi này phương trình cân bằng
nút (3.1) trở thành:
[f
I
] + [f
D
] + [f
S
] - [f
G
] = [p(t)] (3.9)
Lực nút [f
G
] tương đương với vai trò của lực dọc, được biểu diễn bởi các hệ số cứng
hình học (Geometric - Stiffness Coefficients) như sau:
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 48
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC















GN
G
G
f
f
f

2
1
=













GNNGNGN
NGGG
NGGG
kkk
kkk
kkk




21
22221
11211
















N
v
v
v

2
1
(3.10)
với k
Gij
là lực tại nút i do v
j
= 1 gây ra, có ảnh hưởng của lực dọc
hay: [f
G
] = [K
G
][v] (3.11)
trong đó: [K
G
] là ma trận cứng hình học (Geometric - Stiffness Matrix)
Phương trình (3.9) trở thành:
[M][
v

] + [C][
v


] + [K][
v
] – [K
G
][v] = [p(t)] (3.12)
hay: [M][
v

] + [C][
v

] + [ K ][
v
] = [p(t)]
(3.13)
với: [ K ] = [K] – [K
G
] là ma trận độ cứng tổng hợp (Combined Stiffness Matrix) (3.14)
Như vậy, lực dọc làm giảm độ cứng của kết cấu (làm cho kết cấu mềm đi).
3.2 XÁC ĐỊNH CÁC MA TRẬN TÍNH CHẤT CỦA HỆ KẾT CẤU
3.2.1 Tính chất đàn hồi
3.2.1.1 Độ mềm của kết cấu
Gọi: f
ij
là chuyển vò tại i do p
j
= 1 gây ra. Tập hợp các f
ij
(i = 1,N) tạo nên

đường đàn hồi do p
j
= 1 gây ra (hình vẽ). Chiều dương của chuyển vò và lực theo
chiều dương của trục tọa độ.
Chuyển vò tại điểm i do các lực p
j
(j = 1,N) theo nguyên lý cộng tác dụng:
v
i
= f
i1
p
1
+ f
i2
p
2
+ .... + f
iN
p
N
i = 1, N
Dạng ma trận:
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 49
f
1j
2j
f
ij
f

jj
f
Nj
f
1 2 3 j Ν
j
p
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC














N
v
v
v

2
1
=













NNNN
N
N
fff
fff
fff




21
22221
11211
















N
p
p
p

2
1
(3.15)
hay: [v] = [f][p] (3.16)
trong đó:
[f] : Ma trận độ mềm của kết cấu (Flexibility Matrix)
[p]: Ma trận tải trọng nút, có cùng chiều dương với chuyển vò nút.
Lực đàn hồi cân bằng với lực nút [p] = [f
S
], khi đó (3.16) trở thành:
[v] = [f][f
S
] (3.17)
3.2.1.2 Độ cứng của kết cấu
Hệ số cứng k

ij
(được minh họa trên hình vẽ)

là các lực nút do chuyển vò v
j
= 1
gây ra (các chuyển vò khác v
i
= 0, với i ≠ j). k
ij
chính là phản lực tại nút nếu đặt thêm
các liên kết.
Thường ma trận độ cứng [K] được suy ra từ ma trận độ mềm [f] hoặc dùng
phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).
3.2.1.3 Các khái niệm cơ sở
- Thế năng biến dạng: (bằng công ngoại lực)

]][[
2
1
]][[
2
1
2
1
1
pvvpvpU
TT
i
N

i
i
===
∑
=
(3.18)
Theo (3.16) vào (3.18) ta được:

]][][[
2
1
pfpU
T
=
(3.19)
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 50
p
1
p
2
p
3
S1
f
S2
f
S3
f
1
v v

2
v
3
1
i
j
Ν
1
i
Ν
j
j
v=1
1
p=k
1j
p=k
i ij
p=k
N
Nj
p=k
j jj
k
1j
k
ij
k
jj
k

Nj
j
v=1
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Hoặc thế (3.3) vào (3.18), với chú ý rằng [p] = [f
S
]:

]][][[
2
1
vKvU
T
=
(3.20)
Vì U > 0 nên suy ra:
[v
T
][K][v] > 0 và [p
T
][f][p] > 0 (3.21)
[K] và [f] thỏa (3.21) với mọi [v], [p] ≠ 0 nên là các ma trận xác đònh dương
(Positive Definite), không suy biến và nghòch đảo được.
Thiết lập quan hệ giữa [K] và [f], từ (3.3): [f
s
] = [K].[v]
hay [K
-1
][f
s

] = [v]
Mặt khác (3.17): [v] = [f].[f
s
]
suy ra: [f] = [K
-1
] hoặc [K] = [f
-1
]
(3.22)
Thường xác đònh ma trận cứng thông qua ma trận mềm theo (3.22).
- Đònh lý Betti:
“Công khả dó của lực ở trạng thái (a) trên chuyển vò ở trạng thái (b) bằng công khả dó
của lực ở trạng thái (b) trên chuyển vò ở trạng thái (a)”
[p
a
T
]

[v
b
] = [p
b
T
]

[v
a
] (3.23)
hay [p

a
T
][f][p
b
] = {[p
b
T
][f][p
a
]}
T
= [p
a
T
] [f
T
] [p
b
]
suy ra: [f] = [f
T
] Ma trận đối xứng (3.24)
Một cách tương tự ta cũng có ma trận cứng đối xứng: K = K
T
(3.25)
3.2.1.4 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)
Hệ được quan niệm gồm nhiều phần tử nối với nhau tại một số hữu hạn nút.
Tính chất của hệ được tìm bằng cách chồng chất các phần tử một cách thích hợp.
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 51
a1

p
v
a
1
a2
p
a
2
v
a3
p
v
a
3
b
1
p
b1
v
b
2
p
b2
v
b
3
p
b3
v
1

2 3
Trạng thái (a)
Trạng thái (b)
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Xét phần tử dầm thẳng có 2 nút như hình vẽ: Có hai bậc tự do mỗi nút: bao gồm
chuyển vò thẳng và góc xoay.
Hàm dạng
ψ
i
(x) chỉ chuyển vò v
i
= 1 gây ra, còn các chuyển vò nút khác đều bằng
0. Hàm
ψ
i
(x) phải thỏa mãn điều kiện biên, nhưng thường chọn hàm chuyển vò trong
dầm có độ cứng EI = const do chuyển vò nút v
i
= 1 gây ra. Đó là các hàm đa thức
Hermit bậc ba như sau:
ψ
1
(x) = 1 - 3
2







L
x
+ 2
3






L
x
(a)
ψ
3
(x) = x(1-
L
x
)
2
(b)
ψ
2
(x) = 3
2







L
x
- 2
3






L
x
(c)
ψ
4
(x) =






−1
2
L
x
L
x
(d) (3.26)

Dùng bốn hàm nội suy này, chuyển vò của dầm xác đònh theo các chuyển vò nút:
v(x) =
ψ
1
(x) v
1
+
ψ
2
(x) v
2
+
ψ
4
(x) v
3
+
ψ
4
(x) v
4
(3.27)
trong đó:















4
3
2
1
v
v
v
v
=















b
a
b
a
v
v
θ
θ
(3.27’)
Hệ số cứng của phần tử là các phản lực nút do chuyển vò nút gây ra. Để đơn giản
ta xét phần tử dầm như hình vẽ. Hệ số k
13
, tức là phản lực p
a
trên hình vẽ được xác
đònh như sau:
Dùng nguyên lí công khả dó: W
E
= p
a
δ
v
a
= k
13
δ
v
1
Momen nội lực do
θ

a
= 1 gây ra là: M(x) = EI(x)
''
3
ψ
(x)
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 52
EI(x)
L
x
a
b
v(x)
1
v
v
3
2
v
4
v
1
a
v =v =1
1
θ
=v =1
a
3
ψ

(x)
1
3
ψ
(x)
θ
=v
3
=1
1
3
ψ
(x)
δ
v =
δ
v
1
a
k
13
= p
a
=p
a
δ
v(x)=
ψ
(x)
δ

v
1
1
(chuyển vò khả dó)
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Công khả dó của nội lực: W
I
=
δ
v
1
dxxxxEI
L
)()()(
''
3
0
''
1
ψψ
∫
Cho W
I
= W
E
suy ra: k
13
=
dxxxxEI
L

)()()(
''
3
0
''
1
ψψ
∫
(3.28)
Tổng quát hóa:
k
ij
=
dxxxxEI
j
L
i
)()()(
''
0
''
ψψ
∫
: Độ cứng suy rộng (3.29)
vì k
ij
= k
ji
nên ma trận độ cứng đối xứng.
Với dầm có độ cứng đều EI = const, ta có:















4
3
2
1
S
S
S
S
f
f
f
f
=
3
2
L

EI













−
−
−−−
−
22
22
233
233
3366
3366
LLLL
LLLL
LL
LL
















4
3
2
1
v
v
v
v
(3.30)
Nếu dầm có độ cứng EI(x) thay đổi thì (3.30) là gần đúng. Độ chính xác sẽ cao
hơn, nếu chia dầm ra các phần tử nhỏ hơn.
Hệ số độ cứng k
ij
của kết cấu bằng tổng các hệ số cứng tương ứng của các phần
tử nối vào nút. Chẳng hạn, nếu các phần tử m, n, p cùng nối vào nút i thì hệ số cứng
của kết cấu tại nút i là:
k

ii
=
)(m
ii
k
+
)(n
ii
k
+
)( p
ii
k
(3.31)
trong đó
)(m
ii
k
,
)(n
ii
k
,
)( p
ii
k
là hệ số cứng của phần tử đã biến đổi sang hệ tọa độ chung(từ
tọa đòa phương).
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 53
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC

Thí dụ:
Xét hệ như hình vẽ, gồm 3 phần tử nối tại 2 nút. Bỏ qua biến dạng dọc trục, hệ
có 3 bậc tự do: v
1
, v
2
và v
3
Các hệ số độ cứng của hệ được xác đònh bằng cách lần lượt cho các chuyển vò
cưỡng bức đơn vò v
i
= 1 và cộng lực nút ứng với các phần tử. Ma trận độ cứng kết cấu:
)26(
2
3
11
x
L
EI
k = )3(
2
3
21
L
L
EI
k = )3(
2
3
31

L
L
EI
k =
)6(
2
)2(2
)2(
42
)2(
2
2
3
2
3
2
3
2233
L
L
EI
Lx
L
EIx
L
L
EI
kk =+== )2(
2
)2(

)2(
42
2
3
2
3
32
L
L
EI
L
L
EIx
k ==





















=










3
2
1
22
22
3
3
2
1
623
263
3312
2
v
v

v
LLL
LLL
LL
L
EI
f
f
f
S
S
S
Chú ý: Bài toán động lực học của hệ phân bố thường đòi hỏi nhiều bậc tự do
hơn so với bài toán tónh, do ảnh hưởng của lực quán tính. Tuy nhiên, khi đã chọn các
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 54
2L
L
EI
EI
4EI
v
1
v
2
v
3
EI
EI
4EI
k

11
k
21
k
31
v
1
=1
EI
EI
4EI
k
12
k
22
k
32
v
2
=1
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
bậc tự do cho bài toán động rồi thì việc xây dựng ma trận cứng giống như trường hợp
bài toán tónh.
3.2.2 Tính chất khối lượng
3.2.2.1 Ma trận khối lượng thu gọn
Ta xem khối lượng phân bố của các phần tử được thu gọn về các nút theo
nguyên tắc tónh học, ta có hệ gồm các khối lượng tập trung. Ma trận khối lượng thu
gọn là ma trận đường chéo:
[M] =













N
m
m
m
00
0
0
00
2
1




(3.32)
trong đó: m
ij
= 0 với i
≠

j, vì gia tốc tại khối lượng nào chỉ gây ra lực quán tính tại
khối lượng đó.
3.2.2.2 Ma trận khối lượng tương thích (Consistent - Mass Matrix)
Xét phần tử dầm có hai bậc
tự do mỗi nút như hình vẽ. Dùng các
hàm nội suy
ψ
i
(x) như trong ma trận
cứng.
Giả sử dầm chòu tác dụng của
gia tốc góc bằng đơn vò tại nút a,
3
v

=
a
θ

= 1, gia tốc chuyển động
ngang của dầm sẽ là:
)()(
33
xvxv
ψ

=
(3.33)
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 55
1

m m
2
m
3
1
2
3
L
m(x)
v(x)
v
1
a
3
v
v
4
b
2
v
x
δ
v =
δ
v
θ
=v =1
a
3
a

(chuyển vò khả dó)
δ
v(x)=
ψ
(x)
δ
v
m =p
1
13
a
1
f (x)
Ι
1
1
..
..
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Lực quán tính có trò số:
)()()()()(
33
xvxmxvxmxf
I
ψ

==
(3.34)
Cho dầm chòu chuyển vò khả dó
δ

v(x) =
ψ
1
(x)
δ
v
1
. Cân bằng công khả dó của lực
nút và lực quán tính, ta có: p
a
δ
v
a
=
dxxvxf
L
I
)()(
0
δ
∫
hay m
13
=
dxxxxm
L
)()()(
3
0
1

ψψ
∫
Tổng quát: m
ij
=
dxxxxm
j
L
i
)()()(
0
ψψ
∫
Khối lượng suy rộng (3.35)
vì m
ij
= m
ji
, nên ma trận khối lượng tương thích đối xứng.
- Nếu dầm có khối lượng phân bố đều thì ta có:















4
3
2
1
I
I
I
I
f
f
f
f
=
420
][ LM














−−−
−
−
−
22
22
432213
341322
221315654
132254156
LLLL
LLLL
LL
LL
















4
3
2
1
v
v
v
v




(3.36)
Ma trận khối lượng của kết cấu cũng được “chồng chất’’ từ ma trận của phần tử,
tương tự như ma trận cứng.
Thí dụ
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 56
m
11
m
21
m
31
1
=1
m
12
m
22

m
32
1
2
=
v

2L
L
m
m
v
1
v
2
v
3
1.5
v
1
v
2
v
3
1.5L
0.5L
0.5L 0.5L
0.5L
1.5L
m

11
= 4L
m
22
= m
33
= 0
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Thành lập ma trận khối lượng cho kết cấu như hình vẽ theo hai phương pháp.
Quá trình tính các hệ số khối lượng được chỉ rõ trên các hình vẽ.
Ma trận khối lượng thu gọn:
[M] =










0
0
840
210
Lm
m
22
= m

33
= 0 vì giả thiết rằng khối lượng thu gọn không có quán tính xoay, tức là các
gia tốc góc tại nút không gây ra momen quán tính.
Ma trận khối lượng tương thích:
768
210
25.1)2156(
420
11
Lm
Lxmx
Lm
m =+= L
Lm
L
Lm
mm 11
210
)22(
420
3121
===
222
3322
26
210
)2(4
420
25.1
4

420
L
Lm
L
Lxm
L
Lm
mm =+==

22
32
)18(
210
)2()3(
420
25.1
L
Lm
Lx
Lxm
m −=−=
[M] =











−
−
22
22
261811
182611
1111786
210
LLL
LLL
LL
Lm
Nhận xét
Bài toán động lực học ứng với ma trận khối lượng thu gọn đơn giản hơn vì:
- [M] thu gọn dạng đường chéo, trong khi [M] tương thích có nhiều hệ số khác 0
ở ngoài đường chéo. Các hệ số của [M] thu gọn ứng với các chuyển vò xoay cũng
bằng 0, càng làm cho bài toán đơn giản hơn.
- Dùng [M] thu gọn có thể loại bỏ các chuyển vò xoay, nhưng dùng [M] tương
thích thì không thể loại bỏ được.
3.2.3 Tính chất cản
Hệ số cản của phần tử được xác đònh bởi FEM, cho bởi công thức:
c
ij
=
dxxxxc
j
L
i

)()()(
0
ψψ
∫
Hệ số cản suy rộng (3.37)
trong đó: c(x) - tính chất cản phân bố của phần tử.
Ma trận cản kết cấu cũng được chồng chất từ ma trận cản của phần tử, tương tự
ma trận độ cứng hoặc ma trận khối lượng.
Chương 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 57