HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Trường THPT Thái Ninh
Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
(Tiết 30 Hinh Học 11)
Người thực hiện:

Hoàng Hữu Quân

Bộ môn: Toán

Nhiệt liệt chào mừng

các thầy cô giáo và các em học sinh về dự

Hội thi Giáo viên giỏi THPT
Tháí Thuỵ Thái Bình
năm học 2007 2008.


Đ2.Hai đường thẳng vuông góc
I.Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
1. Góc

giữa hai vectơ trong không gian

Định nghĩa
Trong không gian cho u và v là hai
vectơ khác vectơ-không. Lấy một điểm
A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao
cho AB=u và AC=v. Khi đó ta gọi góc
góc
BAC

( 0o BAC là180o ) giữa
hai vectơ u và v trong không gian, kí
hiệu là ( u,v ).

a
B
A
b

C


Ví dụ1:
Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. HÃy tính
góc giữa các cặp vectơ sau đây:
A
a) AB và BC ; b)CH và AC

H
.

Trả lời
B

a) (AB , BC) = (BX,BC)

= 180o − ABC

= 180 − 60 = 120
o

o

D
o

X

b) (CH,AC)= (CH,CZ)

= 180 − ACH
= 180o − 30o = 150o
o

C
z


Đ2.Hai đường thẳng vuông góc
I.Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
1. Góc giữa hai véctơ trong không gian
2.Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
Định nghĩa
Trong không gian cho hai véctơ u và v đều khác véctơkhông. Tích vô hướng của hai véctơ u và v là một số, kí hiệu
là u.v , được xác định bởi c«ng thøc:
u.v= u . v . cos( u, v )
NÕu u=0 hc v=0 ta qui ­íc u.v=0


ứng dụng:

r
.Tính độ dài véctơ: u.u= u

2

r
u =

r
u

.Tính góc giữa hai vÐct¬: cos( u,v ) =
Suy ra gãc ( u, v )
Ta cã (u,v) =

90o

⇔ u.v=0

2

u.v
u.v


Ví dụ2. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB OC đôi một vuông
góc và OA = OB = OC = 1 . Gọi M là trung điểm của cạnh AB .
a)Tính góc giữa hai véc tơ OM và BC.
b) Chứng minh rằng véctơ OC vuông góc với véctơ AB

H­íng dÉn:
a)Ta cã cos(OM,BC)=

C

OM.BC
OM . BC

= OM . BC

1
= (OA + OB) . (OC – OB)
2

1
= (OA.OC - OA.OB +OB.OC- OB )
2 1
2

=-

2

VËy (OM.BC)= 120

o

O

B

.
M
A


b) Chứng minh véctơ OC vuông góc với véctơ AB
C
Ta cã: OC . AB = OC .( OB – OA)
= OC . OB OC . OA
=0

O

Do đó véctơ OC vuông góc với véctơ AB

B

.
M
A


Đ2.Hai đường thẳng vuông góc
I.Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
II. Véctơ chỉ phương của đường thẳng
1.Định nghĩa
Véctơ a khác véctơ- không được gọi là
véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu
giá của véctơ a song song hoặc trùng với

đường thẳng d.

a

d


2.Nhận xét.
a)Nếu a là véctơ chỉ phương của đường thẳng d thì véctơ ka (với k = 0)
cũng là véctơ chỉ phương của d.
b)Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định
nếu biết một điểm A thuộc d và một véctơ chỉ phương a của nó.
c)Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai
đường thẳng phân biệt và có hai véctơ chỉ ph­¬ng cïng ph­¬ng


Đ2.Hai đường thẳng vuông góc
I.Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
II. Véctơ chỉ phương của đường thẳng
III. Góc giữa hai đường thẳng
1.Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a
và b trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a và b
cùng đi qua một điểm và lần
lượt song song với a và b.
Chú ý: nếu là góc giữa hai đư
ờng thẳng thì:
0o 90o

b

a
b
a

0


2. Nhận xét.
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O
thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O
và song song với đường thẳng còn lại
b) Nếu u là véctơ chỉ phương của a
và v là vectơ chỉ phương của b và
(u ,v )= thì góc giữa hai đường
thẳng a và b bằng:


(180

0 90
o

o nÕu

o

− α ) nÕu 90 ≤ α ≤ 180
o

b

a

0

o

a


VÝ dơ3. Cho h×nh chãp S .ABC cã SA = SB = SC = AB = AC = a vµ
BC=a 2 . Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
S
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và MN.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB
Hướng dẫn:
a) Góc giữa hai đường thẳng SA và MN
bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AC
và bằng
b)

60

A

o

SC.AB

SC . AB

Tính cos (SC,AB)=
Do đó (SC, AB)=120

=

.M
.N
C

(SA+AC).AB
a.a

o

Suy ra góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng

B

60o

=-

1
2


Đ2.Hai đường thẳng vuông góc
I.Tích vô hướng của hai véctơ trong không gian

II. Véctơ chỉ phương của đường thẳng
III. Góc giữa hai đường thẳng
IV. Hai đường thẳng vuông góc
1.Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng 90o
Kí hiệu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b là a b


2.Nhận xét
a) Để chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau ta có thể
dựa vào các véctơ chỉ phương u và v của các đường thẳng ®ã:
a⊥b⇔
u.v = 0
b) Cho hai ®­êng th¼ng song song. NÕu một đường thẳng vuông
góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia
c) Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.


Ví dụ 4: cho hình lập phương ABCD . ABCD. HÃy nêu tên các
đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đà cho và vuông
góc với :
a)Đường thẳng AB ; b) Đường thẳng AC
D

Trả lời
a) BC , AD , BC , AD , AA , BB , CC
DD , AD , AD , BC , BC

A

C
B

b)AA , BB , CC , DD , BD , BD , BD ,
BD

D
A

C
B


Củng cố: Bài học hôm nay các em cần nắm vững:
1. Định nghĩa góc giữa hai véctơ trong không gian và định
nghĩa tích vô hướng của hai véctơ trong không gian.
2. Định nghĩa véctơ chỉ phương của đường thẳng và biết cách
xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
3. Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc với nhau trong
không gian
Bài tập về nhà: 1,4,6 ,8 sgk( tr 97-98)


Bài tập:

Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Tính góc giữa
các cặp đường thẳng sau đây:
a)AB và BC ; b) AC và BC ; c) AC và BC
Trả lời

a)

90

D
o

A

B

o

45
o
c) 60
b)

C

D
A

C
B


Bài học của chúng ta đến đây là hết. Cảm
ơn các Thầy cô và các em đà theo dõi.