chuyen de toan on thi vao lop 10 HAY

Một số dạng toán lớp 9
I.rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
Bài 1: Thực hiện phép tính:

Su tầm bổ sung nhng cha hoàn chỉnh- mong các bạn bổ
sung thêm

1


Mét sè d¹ng to¸n líp 9
1) 2 5  125  80  605 ;
2)

10  2 10
5 2

8



;

1 5

3) 15  216  33  12 6 ;

11)

3 5  3 5 ;

12)

4  10  2 5  4  10  2 5 ;

13)  5  2 6   49  20 6  5  2 6 ;

2 8  12
5  27

4)
;
18  48
30  162

14)

2 3
2 3

;
2 3
2 3

15)

5)

16
1

4
3
6
6) 2
;
3
27
75
4 3
7) 2 27  6  75 ;
3 5

8)



3 5. 3 5



19)



5 2 ;

64 2



2  64 2



2  2 3

;

64 2



2  64 2

;

2

5  2 8 5
2 5 4

18)

10  2
2 3

2  2 3

1



;

17) 14  8 3  24  12 3 ;



9) 8 3  2 25 12  4
10)

16)

1

192 ;

20)



4
1
6


;
3 1
3 2
3 3

 



3

2 1 
3

1

2 1


3 1 1

3

3
3 1

.

Su tÇm bæ sung nhng cha hoµn chØnh- mong c¸c b¹n
bæ sung thªm

2

Một số dạng toán lớp 9

x
1

Bài 2: Cho biểu thức A =
2 2 x

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.

x

2


x x x x



x 1 x 1





1

10 x

x 2
Bài 3: Cho biểu thức B =

x 4 2 x x 2
:
x 2



a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 4: Cho biểu thức C =

1
3
1


x 1 x x 1 x x 1

a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 5: Rút gọn biểu thức :

Su tầm bổ sung nhng cha hoàn chỉnh- mong các bạn bổ
sung thêm

3

Mét sè d¹ng to¸n líp 9
a) D =
;

x  2  x2  4
x  2  x2  4



x  2  x2  4
x  2  x2  4

� x x �
� x x �
1

1
b) P = �
�
�
�;
�
�
�
x 1 �
x 1 �
�
�

�

c) Q =
d) H =

1
x 1
:
;
x  x x x x x
2

x 1 2 x  2
x  2 1

Su tÇm bæ sung nhng cha hoµn chØnh- mong c¸c b¹n
bæ sung thªm

4


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

1
a 1
1

:

a 1 a 2 a 1

a a

Bài 6: Cho biểu thức M =
a) Rút gọn biểu thức M;
b) So sánh M với 1.

Bài 7: Cho các biểu thức P =

2x 3 x 2
và Q =
x 2

x 3 x 2x 2
x 2

a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 8: Cho biểu thức P =

2x 2 x x 1 x x 1


x
x x
x x

a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức

8
chỉ
P

nhận đúng một giá trị nguyên.

3x 9x 3
1
1 1



: x 1
x

x

2
x

1
x

2



Bài 9: Cho biểu thức P =

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
1
là số tự nhiên;
P
c) Tính giá trị của P với x = 4 2 3 .

b) Tìm các số tự nhiên x để



x 2
x 3
x 2
x


:
2





x

5
x

6
2

x
x

3
x

1




Bài 10: Cho biểu thức : P =

a) Rút gọn biểu thức P;

1
5
.
P
2
**Một số bài tập tính giá trị biểu thức**
20032.2013 31.2004 1 2003.2008 4

b) Tìm x để

Bài 1: Tính

P

2

2004.2005.2006.2007.2008

Bài 2: Tính A = Sin 10 + Sin220 + . + Sin2890
Bài 3: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình x2 + 2005x + 1 = 0
và x3; x4 là hai nghiệm của phơng trình x2 + 2006x + 1 = 0
Tính B = (x1 + x3)(x2 + x4)(x1 + x4)(x2 + x3)
Bài 4: Cho các số không âm thoả mãn: a2005 + b2005 = a2006 + b2006= a2007
+ b2007.
Tính giá trị của biểu thức P = a + b
5


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

( x a )( x b) ( x b)( x c) ( x c )( x b)
Bài 5: Tính A = (c a)(c b) (a b)(a c) (a b)(c b)
x y y z z x ( x y )( y z )( z x )
B = x y y z z x ( x y )( y z )( x z ) (Với a, b, c đôi một khác nhau cho trớc)

Bài 6: Tính
1999
1999 1999
1
1
...
1

1
2 1000


A=
1000
1000 1000
1
1
...
1





1
2 1999



Bài 7: Tính Cho x > 0 thoả mãn x2 +

1
x2

= 7. Tính N = x5 +

1
x5

Bài 8: Cho a, b, c 0. Tính T = x2007 + y2007 + z2007
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2
Biết x, y, z thoả mãn: 2 2 2 2 2 2
a b c
a
b
c

Bài 9: Chứng tỏ x = 3 9 4 5 3 9 4 5 là nghiệm của phơng trình x3
3x 18 = 0
Tính x = ?
Bài 10: Cho (x + x 2 3 )( y y 2 3 ) = 3. Tính x + y
Bài 11: Cho a, b, c thoả mãn
Bài 13: Tính S = 1

a b c 0
2
Tính
2
2
a b c 14

Q = 99 + a4 + b4 + c4

1 1
1 1

1
1
2 1 2 2 ... 1

2
2
2 3
3 4
2006 2007 2

20072
20082
3
2

x 2 y 4 y 3 0(1)
Bài 15: Cho x, y thoả mãn 2 2 2
Tính Q = x2 + y2
x x y 2 y 0(2)

Bài 14: Tính S = 1 2007 2

Bài 16: Tính tổng
S = 2 + 2.3 + 3.4 + + 2008.2009
S = a + a(a + 1) + + (a + n 1)(a + n)
(a, n Z)
Bài 17: Tính S = 1.3 2.4 + 5.7 6.8 + + 1997.1999 1998.2000
Bài 18: Tính S = a

1 b 1 c

2

2

1 a2

+ b

1 c 1 a
2

1 b2

2

+ a

1 a 1 b
2

2

1 c2

Trong đó a, b, c > 0 và thoả mãn ab + bc + ca = 1
Bài 19: Tính tổng
S = a1 + a2 + + a99 với an =

1
( n = 1, 2, 3, , 99)

(n 1) n n 1

Bài 21: Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 (1). Tính S = a2 + b9 + c1945
6


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
Bµi 22: Cho biểu thức
1
1
a2  2


P=
21  a  21  a  1  a 3
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 23: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
x 2  y 2  xy
Tính giá trị biểu thức : P =
xy - 1
Bài 24: Tính giá trị biểu thức Q =

x-y
xy

Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 25: Cho biểu thức
15 x  11 3 x  2 2 x  3



P=
x 3
x  2 x  3 1- x
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
b) Chứng minh P ≤

1
2

2
3

Bài 26: Cho biểu thức
3a  9a  3
a 1
a2


P=
a a  2
a  2 1 a
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 27: Cho biểu thức
P=

a 4 a-4  a  4 a -4
8 16
1- 

a a2

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 27: Cho biểu thức

a
1   1
2 

:

P = 

 
 a  1 a  a   a 1 a  1
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.

7


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
Bài 29: Cho biểu thức
 4 x
8x   x  1
2 

:


P = 
 
x 
2 x 4 x x 2 x
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1.
Bài 30: Cho biểu thức

 
y
x  y 
x
 x  y - xy  : 


P= 
x  y   xy  y
xy  x
xy 

a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3
Bài 31: Cho biểu thức
 x  1 x - 1 x 2  4x  1  x  2007





P= 

 x  1 x 1
x
x 2  1 

a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 32: Rút gọn P.
P=



 a  a 2  b 2 a  a 2  b 2  4 a 4  a 2b 2


:
 a  a 2  b2 a  a 2  b2 
b2



Với | a | >| b | > 0
Bài 33: Cho biểu thức
2
 x 2
x  2   1  x 




.
P= 
  2 
x

1
x

2
x

1



a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 34: Chứng minh giá trị của biểu thức
2x
5 x 1
x  10


P=
x 3 x  2 x  4 x 3 x 5 x 6
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 35: Chứng minh giá trị của biểu thức

P=

x 

3
4

2

3 .6 7  4 3  x

9  4 5. 2 

5 

x

Không phụ thuộc vào biến số x.
8


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
Bài 36: Cho biểu thức
x2 
x
x2  x

 x 1
x  x 1 x 
x 1

P=

Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 37: Cho biểu thức
P=

x2  x
2x  x 2(x  1)


x  x 1
x
x1

a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
Bài 38:

2 x nhận giá trị là số nguyên.
P

Cho biểu thức
 2x x  x  x x  x 
x
 x  1


P = 


x  1  2x  x  1 2 x  1
x x1

a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài 39

Rút gọn biểu thức
3 5
3 5

P=
10  3  5
10  3 
Bài 40: Rút gọn biểu thức

5

a) A =

4 7 

b) B =

4  10  2 5  4  10  2 5

c) C =

4  15  4  15  2 3 

4

7
5

Bài 41: Tính giá trị biểu thức
P = x  24  7 2 x  1  x  4  3 2 x  1
1
Với ≤ x ≤ 5.
2
Bài 42: Chứng minh rằng:
P = 2 3  5  13  48
6 2
là một số nguyên.
Bài43
Chứng minh đẳng thức:
9


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
3
3
1
1
2
2

1

3
3
1 1
1 1
2
2
Bài 44: Cho x = 3 5 2  7  3 5 2  7
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
1  xy 1  xy
Bài 45:
Cho E = x  y  x  y
Tính giá trị của E biết:
x=
y=
Bài 46:
Bài 47:
P=

4  8. 2  2  2 . 2 

2 2

3 8  2 12  20
3 18  2 27  45
2007 2 2007

2
2008
2008
Rút gọn biểu thức sau:

Tính P = 1  2007 2
1
+
1 5

1
1
+ ... +
5 9
2001  2005

Bài 48:
Tính giá rẹi của biểu thức:
3
P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng
x = 3 3 2 2 3 3 2 2
y = 3 17 12 2  3 17  12 2
Bài49:

 a 1

Cho biểu thức A = 
 a1


a1
1 
 4 a  a 

a 1

a




a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4  15
Bài50:
Cho biểu thức
A=

x

4 x  1  x  4 x  1 
1 
1 

2
x

1


x  4 x  1

a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 51:
Cho biểu thức
P=

1 1 x
1 1 x
1


1 x  1 x 1 x  1 x
1 x

a) Rút gọn P.
10


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
b) So sánh P với

2
.
2

Bài 52:

Cho biểu thức
1
3
2


P=
x 1 x x 1 x  x 1

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.

Bài53:

Cho biểu thức
2 a 9
a  3 2 a 1


P=
a 5 a 6
a  2 3 a
a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 54:
Cho biểu thức
x
2 x


P=
xy  2 y x  x  2 xy  2 y
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 55:
Cho biểu thức
x
2 x



P=
xy  2 y x  x  2 xy  2 y
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 56 :
Cho biểu thức
 1
1 
2
1 1



 :

P= 
y  x  y x y 
 x

1 x
1 x

1 x
1 x

x3  y x  x y  y 3
xy 3  x3 y

a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.

II.CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)
yA = f(xA).
2
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm
A(2;4).
11


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22
a=1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y
= -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm
tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng : (d1) : y = a1x + b1.
(d2) : y = a2x + b2.
a) (d1) cắt (d2)

a1 a2.
b) d1) // (d2)
c) d1)

(d2)

d) (d1)

(d2)

a1 a2 = -1

IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm
(x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx2 (c 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
cx2= ax + b (V)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx 2 để
tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P).
a) (d) và (P) cắt nhau
phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt.
12


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau
phng trỡnh (V) cú nghim kộp.
c) (d) v (P) khụng giao nhau

phng trỡnh (V) vụ nghim .

VI.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b bit.
1.Quan h v h s gúc v i qua im A(x0;y0)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x0;y0 vo cụng thc y = ax + b tỡm b.
2.Bit th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2).
Do th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2) nờn ta cú h phng trỡnh:
Gii h phng trỡnh tỡm a,b.
3.Bit th hm s i qua im A(x0;y0) v tip xỳc vi (P): y = cx2 (c 0).
+) Do ng thng i qua im A(x0;y0) nờn cú phng trỡnh :
y0 = ax0 + b
(3.1)
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = cx 2 (c 0) nờn:
Pt: cx2 = ax + b cú nghim kộp
(3.2)
+) Gii h gm hai phng trỡnh trờn tỡm a,b.
VII.Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).
+) Gi s A(x0;y0) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x 0;y0
vo phng trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x 0;y0 nghim ỳng vi
mi m.
+) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x0;y0.
VIII.Mt s ng dng ca th hm s.
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
1.

bài tập về hàm số.
cho parabol y= 2x . (p)
a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1.
b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2.
c. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p)
và đi qua A(0;-2).
d. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
e. biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1.
( bằng hai phơng pháp đồ thị và đại số).
f. cho đờng thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để
2

13


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
+(p) không cắt (d).
+(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?
+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
+(p) cắt (d).
2 cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3).
a. viết phơng trình đờng thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với
(P) đã cho.
b. viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với
(P).
c. viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với
(P).
d. chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt
(P) tại

hai điểm phân biệt C,D sao cho CD=2.
3. Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là
y= 2x-5
y=2x+m
a. chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P).
b. tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:
+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau.
+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b.
+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc
bằng -1/2. tìm toạ độ giao điểm của (a) và (d).
4.

cho hàm số y

1 2
x (P)
2

a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. với giá trị nào của m thì đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị
(P) tại hai điểm phân biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A
và B.
c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d)
theo m.
5.
cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)
a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d).
b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d)
theo m.
c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d)

độc lập với m.
6.
cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số
góc k.
a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn
cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B. tìm k cho A,B nằm về hai phía
của trục tung.
14


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
b. gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho
tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất.
7..
cho hàm số y= x
a. tìm tập xác định của hàm số.
b. tìm y biết:
+ x=4
+ x=(1- 2 )2
+ x=m2-m+1
+ x=(m-n)2
c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số,
điểm nào không thuộc đồ thị hàm số? tại sao.
d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm
số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6
8.
cho hàm số y=x2 (P) và y=2mx-m2+4 (d)
a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng
y=(1- 2 )2.
b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

tìm toạ độ giao điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các
tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất.
9.cho hàm số y= mx-m+1 (d).
a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua
điểm cố định. tìm điểm cố định ấy.
b. tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho
AB= 3 .
10.trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng
thẳng (d) y=ax+b.
a. tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N.
b. xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox,
Oy.
11..
cho hàm số y=x2 (P) và y=3x+m2 (d).
a. chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt
(P) tại 2 điểm phân biệt.
b. gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P)
tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2
12.cho hàm số y=x2 (P).
a. vẽ đồ thị hàm số (P).
b. trên (P) lấy 2 điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1 và 3. hãy viết phơng trình đờng thẳng AB.
c. lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB.
15


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
d. tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
13.a. viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(1;2).
b. cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều
kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B.

c. cho (P) y=x2. lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và
tiếp xúc với (P).
d. cho (P) y=x2 . lập phơng trình d song song với đờng thẳng
y=2x và tiếp xúc với (P).
e. viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=x+2 và cắt (P) y=x2 tại điểm có hoành độ bằng (-1).
f. viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt
(P) y=x2 tại điểm có tung độ bằng 9.
III.Hệ phơng trình
Baứi 1: : Giải các HPT sau:
1.1.
2x y 3


3x y 7


a.

b.

2 x 3 y 2


5x 2 y 6


Giải:
a. Dùng PP thế:

Dùng PP cộng:

2x y 3


3x y 7


y 2 x 3
y 2 x 3 x 2
x 2




3x 2 x 3 7
5 x 10


y 2.2 3 y 1
x 2
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
y 1
2x y 3
5 x 10


x 2
x 2

3x y 7
3x y 7
3.2 y 7



y 1
x 2
Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
y 1

-

Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
2 x 3 y 2
10 x 15 y 10
11 y 22



y 2
x 2





5x 2 y 6

10 x 4 y 12
5x 2 y 6
5 x 2.(2 6)




y 2
x 2
Vaọy HPT có nghiệm là
y 2

-

Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:

16


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
1.2.

3
�2
�x  1  y  1
�
�
� 2  5  1
�
�x  1 y

§K: x �1, y �0 .

+ C¸ch 1: Sư dơng PP céng.

3
�2
�2
1
3
�y  1
�y  1
�
�
�x  1  y  1
�y  2
�
�
�
�
�x  1  
�x  
��
� �2
� �2
��
2��
2
5
�

 1 �
 4
� 2  5  1
� 2  5 1 �
�
�
�y  1
�y  1
�x  1 1
�x  1
�
�
�x  1 y
�x  1 y
3
�
�x  
2
Vậy HPT cã nghiƯm lµ �
�
�y  1

+ C¸ch 2: Sư dơng PP ®Ỉt Èn phơ.
§Ỉt

§K: x �1, y �0 .

1
1
 b . HPT ®· cho trë thµnh:

a ;
y
x 1

�1
 2
3
�
�
2a  5b  1 �
2a  5.1  1 �
a  2
�2a  3b  1 �
�x  1
�x  
��
��
��
��
��
2 (TM§K)
�
1
2b  2
b 1
b 1
�2a  5b  1
�
�
�

� 1
�
y

1
�
�y
�
3
�
�x  
2
Vậy HPT cã nghiƯm lµ �
�
y

1
�

Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
1.1:

�x  y  3
a) �
3x  4 y  2
�

1.2.

�
�x  2 2 y  5
a) �
�x 2  y  2

7x  3y  5
�
b) �
�4 x  y  2
� 2 1 x  y  2
�
b) �
�x  2  1 y  1
�









Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại
số)
3x  y  3
�
2.1. a) �
2x  y  7

�
�x 2  3 y  1

�
2.2. a) �

2 x  y 2  2
�

3 x  2 y  10
�
�
c) � 2
1
x y 3
�
3
� 3

4x  3y  6
�
b) �
2x  y  4
�
�
5x 3  y  2 2
�
b) �
�x 6  y 2  2

17


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
Bài 4:
�x  3 y  1

Giải hệ phương trình �

(m 2  1) x  6 y  2m
�

trong mỗi trường hợp

sau
a) m = -1

b) m = 0

c) m = 1

Bài 5:
a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình
�2 x  by  4
có nghiệm là (1; -2)
�
bx  ay  5
�



b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
2  1; 2



�2 x  y  2
�x  3 y  1

Bài 6: Giải hệ phương trình sau: �

n
�2m

 2
�
�m  1 n  1
a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình �
� m  3n  1
�m  1 n  1

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:
2x  y  4
�
�
3x  y  1
�

;

�x  3  2 y
;
�
2 x  4 y  2007
�

�x  y  1
�
3x  2 y  3
�

�x  2 y  5
;
�
3x  y  1
�

;

� y
�x   5
;
� 2
�
2
x

y

6

�

3x  y  2
�
;
�
3 y  9 x  6
�

3x  y  5  0
�
;
�
�x  y  3  0

0, 2 x  3 y  2
�
;
�
�x  15 y  10

2x  3y  6
�
�
;
5
�5
x y 5
�
2

�3

2x  y  5
�
�
�3
3
15
x y 
�
�2
4
2

 2 x  ay b
 ax  by 1

Bµi 8: Cho hƯ ph¬ng tr×nh 

a) Gi¶i hƯ khi a=3 ; b=-2
b) T×m a;b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ (x;y)=( 2 ; 3 )
Bµi 9: Gi¶I c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau
2
 1
 x  y  x  y 2

a) 
 5  4 3
 x  y x  y
x;y 2 )

�x  3 y  5
;
�
� x  y  1

b)

�y  2 x  1  3
;
�
�x  2 y  5

 3 x  4 y   8

 2 x  y  2

6 x  6 y  5 xy
�
�
;
�4 3
�x  y  1
�

18

 3 x  2  4 y  2 3

c) 

 2 x  2  y  2 1

( x  y )( x  2 y )  0
�
;
�
�x  5 y  3

(®k

�
� 2x  3y  5
�
�2 2  3 3  5


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
�
3x  3 y  3  2 3
�
;
�
� 2x  3y  6  2

( x  1)  2( y  2)  5
�
;
�
3( x  1)  ( y  2)  1
�

( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3)  4
�
;
�
( x  3)( y  1)  ( x  3)( y  5)  1
�
�1 1 4
�x  y  5
�
;
�
�1  1  1
�
�x y 5

2
�1
�x  y  x  y  2
�
�
� 5  4 3
�
�x  y x  y

;

( x  5)( y  2)  ( x  2)( y  1)
�
.

�
( x  4)( y  7)  ( x  3)( y  4)
�

3( x  y )  5( x  y )  12
�
;
�
5( x  y )  2( x  y)  11
�
5
5
� 1
�2 x  3 y  3 x  y  8
�
;
�
� 3  5 3
�
8
�2 x  3 y 3 x  y

5
� 7
�x  y  2  x  y  1  4,5
�
�
2
� 3


4
�
�x  y  2 x  y  1

IV.Ph¬ng tr×nh
I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.
2

2

 x2 
 x  2  x 2
 2
10
.


11
.
 

Bài 1:Gpt: 
 x 1   x  1 
x 

4
 0.
1 

Giải:

Đặt u 

x 2
x2
;v 
(1).
x 1
x 1

Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0  (u-v).(10u-v)=0  u=v hoặc 10u=v.
Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.
Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.
Giải:
Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).
Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15
 (x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0
 (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0
 (x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0
 (u-1).(u+1)-15=0
 u2-16=0
 u= 4.
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
2

 x   x 
Bài 3:Gpt: 
 
 90.
 x 1  x  1

Giải:
 1
1 
 x 2 .

90 .
2
2 
( x  1) 
 ( x  1)
2
2x  2
 x2. 2
90 .
( x  1) 2
Đặt u = x2 ( u 0) (1).

19


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
Ta có:
u.

2u  2
90  2u 2  2u 90.(u  1) 2
2
(u  1)

( u 1).

 88u 2  182u  90 0 .

Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.
Bài 4:Gpt: 3 x  3 2 x  3 3 12.( x  1) .
Giải:
Đặt 3 x u; 3 2 x  3 v (1).
Có:
u  v 3 4.(u 3  v 3 )  u 3  v 3  3uv.(u  v) 4.(u 3  v 3 )
u   v
 3.(u  v).(u 2  2uv  v 2 ) 0  3.(u  v).(u  v) 2 0  
u v

Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
1
2

Bài 5:Gpt: 5 x 3  3x 2  3x  2  

x2
 3 x (1).
2

Giải:
Từ (1) suy ra: 2. 5 x 3  3x 2  3x  2  x 2  6 x  1
 20 x 3  12 x 2  12 x  8  x 4  36 x 2  1  12 x 3  2 x 2  12 x
 x 4  8 x 3  22 x 2  24 x  9 0 (x 0).
24 9
 x 2  8 x  22 


0 .
x x2
3
Đặt x   y (*) ta có:
x

y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 6:Gpt:  x  1.( x  4)  3.( x  4).

x 1
 18 0(1).
x 4

Giải:
Điều kiện x > 4 hoặc x < -1.
*Nếu x > 4, (1) trở thành:
( x  1).( x  4)  3. ( x  1).( x  4)  18 0

Đặt ( x  1).( x  4)  y 0 (2) ta có:
y2 + 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.
*Nếu x < -1, (1) trở thành:
( x  1).( x  4)  3. ( x  1).( x  4)  18 0

Đặt ( x  1).( x  4)  y 0 (3) ta có:
20


C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10
2

y - 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.
Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).
Giải:
(1)  4 x 4  4 x 3  20 x 2  2 x  1 0 (x 0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :
 4x2 + 4x -20 +

2 1

= 0.
x x2

2

1
1
1
  2 x    2. 2 x    24 0 . Đặt y = 2 x  .(2)
x
x
x



Ta có: y2 + 2y -24 = 0.
Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 8:Gpt: x 2  16 x  64  2. x 2  8 x  16  x 2 0.
Giải:
 x  8  2. x  4  x 0.

x

-

x-8
x-4
x

-

0

0

4
-0
+

8
- 0
+
+

+
+
+
+

Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.

Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).
Giải:
 1  x 2  x 4  2 x  2 x 2  2 x 3 5  5 x 2  5 x 4
 4 x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  4 0
 2 x 4  x 3  x 2  x  2 0

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x 0.
Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:
2x2 - x + 1 -

1 2
1
 2 0 . Đặt y = x  (*). Ta có:
x x
x

2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.
21


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
Bi 10: Gpt: (6-x) + (8-x) = 16.
Gii:
t 7 - x = y (*).
Ta cú:
(y-1)4 + (y + 1)4 =16 2y4 +12 y2 +2 = 16 2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0
y =1 hoc y = -1.
Thay cỏc giỏ tr ca y tỡm c trờn thay vo (*) ta d dng tỡm c cỏc giỏ tr ca x.
4

4



V.Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình.
1. Lí thuyết cần nhớ:
* Bớc 1: + Lập HPT
- Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn.
- Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập HPT.
* Bớc 2: Giải HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
2. Bài tập và hớng dẫn:
Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160
km, đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô
tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần
vận tốc ôtô đi từ B.
Bài 2. Một ngời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định.
Nếu vận tốc tăng14 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. nếu vận tốc giảm 2
km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính quãng đờng AB, vận tốc và thời gian
dự định.
Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của
mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca
nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3
km/h.
Bài 4. Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ. Một
lần khác ca nô xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ.
Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc thật của ca nô.
Bài 5. Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km. Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30 phút nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc
thêm 5 km/h nữa trên quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe chạy.

Bài 6. Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về
phía B. N đi từ B lúc 7 giờ sáng về phía A. Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng.
Tính thời gian mỗi ngời đi hết quãng đờng AB. Biết M đến B trớc N
đến A là 1 giờ 20 phút.
22


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
2 1
1

x y

y x 1

3


HPT:

Bài 7. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A và B ngợc chiều về phía
nhau. Tính quãng đờng AB và vận tốc của mỗi xe. Biết rằng sau 2 giờ
hai xe gặp nhau tại một điểm cách chính giữa quãng đờng AB là 10
km và xe đi chậm tăng vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1 giờ
24 phút.
x y 10

2
1 ( x 2 y ) 2( x y )

5

HPT:

Bài 8. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS. nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A
sang lớp 9B thì số HS ở hai lớp bằng nhau. Tính số HS mỗi lớp.
Bài 9. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS
đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt
90%. Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.
Bài 10. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút
thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi
thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
Bài 11. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ.
nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công
việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.
Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m,
giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 75 m 2 . Tính diện tích
thửa ruộng đó.
Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi
hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhng do số ngời đến họp là 400 nên
phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính
xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao
nhiêu ghế.

VI.Phơng trình bậc hai+hệ thức vi-ét

Tóm tắt lí thuyết:

Cách giải phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

= b2 - 4ac

* Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
23


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10
x1 =

-b -
2a

; x2 =

-b +
2a

* Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

-b
2a

* Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm
Chú ý 1: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình
trên bằng công thức nghiêm thu gọn.
' = b'2 - ac
* Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =

-b' - '
-b' + '
; x2 =
a
a

* Nếu ' = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
* Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm.

-b'
a

Chú ý 2:
* Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 1 và x2 =

c
a

Chú ý 3:
* Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1
= -1 và x2 =

c
a

Chú ý 4:
* Hệ thức viét trong trờng hợp phơng trình có nghiệm
-b

x1 x2 =


a

x .x c
1 2
a

Bài tập 1:
Giải các phơng trình bậc hai sau
TT

Các phơng trình cần giải
theo

TT Các phơng trình cần giải theo
'

1.

6 x2
6x2
7x2
3x2
2x2

1.
2.
3.

4.
5.

2.
3.
4.
5.

- 25x - 25 = 0
- 5x + 1 = 0
- 13x + 2 = 0
+ 5x + 60 = 0
+ 5x + 1 = 0

24

x2 - 4x + 2 = 0
9x2 - 6x + 1 = 0
-3x2 + 2x + 8 = 0
x2 - 6x + 5 = 0
3x2 - 6x + 5 = 0


Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.
15.

2

5x - x + 2 = 0
x2 - 3x -7 = 0
x2 - 3 x - 10 = 0
4x2 - 5x - 9 = 0
2x2 - x - 21 = 0
6x2 + 13x - 5 = 0
56x2 + 9x - 2 = 0
10x2 + 17x + 3 = 0
7x2 + 5x - 3 = 0
x2 + 17x + 3 = 0

6. 3x2 - 12x + 1 = 0
7. 5x2 - 6x - 1 = 0
8. 3x2 + 14x + 8
=0
2
9. -7x + 6x
=-6
2
10. x - 12x + 32 = 0
11. x2 - 6x + 8 = 0
12. 9x2 - 38x - 35 = 0

13. x2 - 2 3 x + 2 = 0
14. 4 2 x2 - 6x - 2 = 0
15. 2x2 - 2 2 x + 1 = 0

Bài tập 2:
Biến đổi các phơng trình sau thành phơng trình bậc hai rồi giải
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) - 15
b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3
d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11
f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2)
k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bài tập 3: Cho phơng trình:
x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 =
0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = 2;
m = - 2; m = 5;
m = -5;
m = 3; m = 7;
m=-4
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một
nghiệm x lần lợt bằng
x = 3;
x = -3; x = 2;
x = 5;

x = 6;
x = -1
c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có
nghiệm kép.
Bài tập 4: Cho phơng trình:
x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m lần lợt bằng các giá trị:
m = -2; m = 3;
m = 7;
m = - 4; m = 2; m = -7;
m=-8
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một
nghiệm x lần lợt bằng
x = 1;
x = - 4; x = -2; x = 6;
x = -7; x = -3
25