đề thi toan hsg12

Trờng thpt Phổ Yên
đề thi học sinh giỏi môn toán khối 12
(Thời gian 180 phút )
Bài 1 (2,5 điểm)
Chứng minh tam giác ABC đều nếu:
R
P
AcCbBa
CcBbAa
9
2
sinsinsin
coscoscos
=
++
++
.
với
)(
2
1
cbaP
++=
; R là bán kính của đờng tròn ngoại tiếp.
Bài 2 (2,5 điểm)
Chứng minh
Rxxxxx
>++++
04cos
4
1

3cos
3
1
2cos
2
1
cos1
Bài 3 (2,5 điểm)
Tìm đa thức
)(x
f
thoả mãn hệ thức:
)().()2(
"'
xxx
fff
=
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Một mặt phẳng () thay đổi song
song với 2 đáy của lăng trụ, cắt các đoạn thẳng AB
1
, BC

1
, CD
1
và DA
1

lần lợt tại các điểm M , N , P và Q. Hãy xác định vị trí của mặt phẳng ()
sao cho tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Hết
gv ra đề: nguyễn quốc hải