ĐỀ THI HSG 0809

Phòng GD&ĐT Tiên Lãng
Đề thi học sinh giỏi
Môn toán Lớp 7
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1 (2 điểm)
a/ Tìm x biết:
1 1 7
4,7
6 9 15
x x x− + =
b/ Tính nhanh:
2 1 5 1
: :
9 14 9 7
+
.
Bài 2 (2 điểm)
a/ Tìm x,y, z biết: x = 4y =
9
125
z −
và x + y + z = 2029.
b/ Cho các đơn thức M = xy
2
z
3
; N = yz
2
t
3

; P = zt
2
x
3
; Q = tx
2
y
3
. Chứng tỏ rằng với
giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu thì 2 đơn thức còn lại
cũng có giá trị khác dấu.
Bài 3 (2 điểm)
a/ Tìm số nguyên n để biểu thức P =
2
7
n
n
+
−
có giá trị lớn nhất.
b/ Chứng tỏ rằng:
3 3 3 3
1 1 1 1 1
...
3 5 7 2009 12
+ + + + <
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lượt các điểm
M và N sao cho BM = CN. Gọi I là giao điểm của MC và BN.
a/ Chứng minh rằng: MI = NI.

b/ Tia phân giác của
·
AMC
cắt AI và AN thứ tự tại O và K.
Chứng minh rằng MO >
2
MC
.
c/ BO cắt AN tại Q. Chứng minh rằng
∆
OKQ cân.
================Hết================
Phòng GD&ĐT Tiên Lãng
Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi
Môn toán Lớp 7 Năm học 2008 - 2009
Bài Nội dung Điểm
1
(2đ)
a
1 1 7
4,7
6 9 15
x

+ =
ữ

0.25

47 47

90 10
x =
0.25

47 47
:
10 90
x =
0.25

x = 9 0.25
b
=
2 1 5 1
: :
9 14 9 7
+
0.25
=
2 5
.14 .7
9 9
+
0.25
=
4 5
.7 .7
9 9
+
0.25

=
4 5
.7
9 9

+
ữ

= 7 0.25
2
(2đ)
a
Từ giả thiết suy ra
9
4 500
x z
y

= =
0.25
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
9 9
4 500 4 1 500
x z x y z
y
+ +
= = =
+ +
0.25
=

2029 9
505

=
2020
505
= 4 0.25
Từ đó suy ra x = 16; y = 4; z = 2009 0.25
b
M.N.P.Q = xy
2
z
3
.yz
2
t
3
. zt
2
x
3
. tx
2
y
3
= x
6
y
6
z

6
t
6

0 với mọi x,y,z,t. 0.25
Giả sử tại giá trị nào đó của các biến làm cho 2 trong 4 đơn thức trên có
giá trị khác dấu, không mất tính tổng quát giả sử đó là các đơn thức M và
N. Ta có MN < 0.
0.25

xyzt

0

MNPQ

0

MNPQ > 0 0.25

PQ < 0 hay P và Q có giá trị khác dấu.
Vậy với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác
dấu thì 2 đơn thức còn lại cũng có giá trị khác dấu.
0.25
3
(2đ)
a
P = 1+
9
7n

0.25
Khi n < 7 thì P < 1; n = 7 thì P không xác định; n > 7 thì P >1 do đó để
tìm giá trị lớn nhất của P ta chỉ xét trờng hợp n >7.
0.25
Khi n > 7, P có giá trị lớn nhất

9
7n
có giá trị lớn nhất

n - 7 có
giá trị nhỏ nhất

n nhỏ nhất
0.25
n là số nguyên lớn hơn 7 nên n = 8.
Vậy với số nguyên n = 8 thì P có giá trị lớn nhất.
0.25
b
Chứng minh đợc với mọi số nguyên n >2 ta luôn có
( ) ( )
3
1 1
1 1n n n n
<
+
0.25
Từ đó suy ra
3 3 3 3
1 1 1 1

...
3 5 7 2009
+ + + +
<
1 1 1
...
2.3.4 3.4.5 2008.2009.2010
+ + +
0.25
=
1 1 1 1 1 1 1
...
2 2.3 3.4 3.4 4.5 2008.2009 2009.2010

+ + +
ữ

=
1 1 1
2 2.3 2009.2010


ữ

0.25
<
1 1
.
2 6
=

1
12
. Vậy
3 3 3 3
1 1 1 1 1
...
3 5 7 2009 12
+ + + + <
0.25
4
(4đ)
a
C/m đợc

AMC =

ANB 0.5
Suy ra

MBI =

NCI (gcg)
do đó MI = NI
0.5
b
C/m đợc

AMI =

ANI 0.25

AI là phân giác của
ã
MAC


CO là phân giác của
ã
ACM
0.25
Dễ thấy
ã
ã
ACM AMC>


ã
ã
OCM OMC>

MO > OC
0.25
Mà MO + OC > CM
Nên 2.MO > MC


MO >
2
MC

.
0.25
c
Gọi giao điểm của CO với AM là P.Chứng minh đợc

ABO =

ACO 0.25
Suy ra

ABQ =

ACP nên
ã
ã
APC AQB=
0.25
Tính đợc
ã
MOC
= 120
O
. 0.5

ã
POM
= 60
O

ã

ã
APC PMO=
+ 60
O
0.25
Có
ã
ã
OKQ PMO=
+ 60
O
0.25

ã
ã
APC OKQ=

0.25

ã
ã
AQB OKQ=
hay
ã
ã
KQO OKQ=

Tam giác OKQ cân tại O
0.25
Tổng 10.0

L u ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh
vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình.
- Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó.
- Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm.
Q
P
O
K
I
M
A
B
C
N
================HÕt================