Trắc nghiệm nâng cao giới hạn – Đặng Việt Đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

––

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

GIỚI HẠN
A - LÝ THUYẾT CHUNG
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Giới hạn hữu hạn của dãy số
1. Định nghĩa
 Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số  u n  có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực và viết

lim un  0 viết tắt là lim un  0 hoặc un  0 , nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt

n



đối nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số  u n  có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và
viết lim un  a , viết tắt là lim un  a hoặc un  a , nếu lim  u n  a   0

n

n 

2. Một vài giới hạn đặc biệt
1
1
a) lim  0 ; lim k  0 với k nguyên dương
n
n
n
b) lim q  0 nếu q  1
c) Nếu un  c ( c là hằng số) thì lim un  lim c  c
II. Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lý 1:
a) Nếu lim un  a , lim vn  b thì


lim  un  vn   a  b



lim  un  vn   a  b



lim  un vn   a.b



lim

un a
 (nếu b  0 )
vn b

b) Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a
III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn u1 , u2 , u3 ,.......un ,....... có công bội q với q  1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng
u
2
S của cấp số nhân đó là: S  u1  u1q  u1q  ...  1 .
1 q
IV. Giới hạn vô cực
1. Định nghĩa:
 Ta nói dãy số  u n  có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết lim  un    hoặc

lim(un )   hoặc un  


Ta nói dãy số  u n  có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

Khi đó ta viết lim  un    hoặc lim un   hoặc un  
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) lim n k   với k nguyên dương
b) lim q n   nếu q  1
3. Định lý 2:
u
a) Nếu lim un  a và lim vn   thì lim n  0
vn
u
b) Nếu lim un  a  0 , lim vn  0 và vn  0 với mọi n thì lim n  
vn
c) Nếu lim un   và lim vn  a  0 thì lim  un vn   
V. Một số lưu ý:
Khi làm bài tập trắc nghiệm, ta có thể làm như bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù
hợp với yêu cầu của bài toán
Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xét để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có
thể nhận xét nhanh để loại trừ được những phương án không phù hợp

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Định lý:
a) Giả sử lim f  x   L và lim g  x   M . Khi đó:
x  x0






x  x0

lim  f  x   g  x    L  M

x  x0

lim  f  x   g  x    L  M

x  x0

lim  f  x  .g  x    L.M

x  x0

lim

x  x0

f  x L

(nếu M  0 )
g  x M

b) Nếu f  x   0 với mọi x  J \  x0  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì L  0 và

lim

x  x0

f  x  L

2. Một vài giới hạn đặc biệt
 lim x k   với k nguyên dương
x 




lim x k   nếu k là số lẻ

x 

lim x k   nếu k là số chẵn

x 

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
Định lý về giới hạn của tích và thương hai hàm số chỉ áp dụng được khi các hàm số có giới hạn
hữu hạn
Sau đây là một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số có
giới hạn vô cực.
Nếu lim f  x   L  0 và lim g  x    thì
x x0

x x0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

lim  f  x  .g  x   bằng  (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “- “ nếu hai giới hạn khác

x  x0

dấu.

lim

f  x
0
g  x

lim

g  x
  (dấu “+” nếu hai giới hạn cùng dấu và dấu “-“ nếu hai giới hạn khác dấu.
f  x

x  x0

x  x0

Các quy tắc trên vẫn được áp dụng cho các trường hợp :
x  x0 , x  x0 , x   và x  

HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Định nghĩa: Giả sử hàm số f  x  xác định trên khoảng K và x0  K . Hàm số y  f  x  gọi là
liên tục tại x  x0 nếu lim f  x   f  x0 
x  x0

Hàm số không liên tục tại x  x0 gọi là gián đoạn tại x0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn
Hàm số y  f  x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng đó. Hàm số
y  f  x  gọi là liên tục trên đoạn  a; b nếu nó liên tục trên khoảng  a, b  và lim f  x   f  a 
x a

;

lim f  x   f  b 

x b 

3. Một số định lý cơ bản
Định lý 1: Hàm số đa thức liên tục trên tập  . Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và
các hàm số lượng giác y  sin x , y  cos x , y  tan x , y  cot x là những hàm số liên tục trên tập xác
định của chúng
Định lý 2. Giả sử y  f  x  và y  g  x  là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó:
a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  và y  f  x  .g  x  liên tục tại điểm x0
b) Hàm số y 

f  x
liên tục tại x0 nếu g  x0   0
g  x

Định lý 3. Nếu hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c   a; b  sao cho f  c   0

B - BÀI TẬP
n

Câu 1. Tìm lim un biết un  
k 1

A. 

1
2

n k
B. 

C. 3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. 1

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 2. Tìm

lim un

Giới Hạn Nâng Cao

biết un  2 2... 2

n dau can

A. 

B. 

C. 2

D. 1

1
 1 1 1

Câu 3. Tìm giá trị đúng của S  2  1     ...  n  .......  .
2
 2 4 8


A.

2 1.

B. 2 .

C. 2 2 .

D.

1
.
2

1
1
1 
 .... 
Câu 4. Tính giới hạn lim  

n  n  1 
1.2 2.3
A. 0

B. 1.

C.

3
.
2

D. Không có giới

C.

2
.
3

D. 2 .

1

1
1
 .... 
Câu 5. Tính lim  

n  2n  1 
1.3 3.5
A. 1.

B. 0 .

1
1
1 
 .... 
Câu 6. Tính giới hạn: lim  

n  n  2 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1.

4

1
1
1 
 ... 
Câu 7. Tính giới hạn lim  
.
n(n  3) 
1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
18

C. 0 .

D.

2
.
3

C. 1.

D.

3
.

2

D.

3
.
2


1 
1 
1 
Câu 8. Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .
 2  3   n  
1
1
A. 1.
B. .
C. .
2
4
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số un  (1 
A. 

B. 

Câu 10. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

n( n  1)

1
1
1
.:
)(1  )...(1  ) trong đó Tn 
2
T1
T2
Tn

C.

1
3

D. 1

2
3

D. 1

23  1 33  1 n3  1
.
....
.:
23  1 33  1 n3  1

B. 

C.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

n

2k  1
.:
2k
k 1
B. 

Câu 11. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

C. 3

D. 1

C. 3

D. 1

n

n
.:
k 1 n  k
B. 

Câu 12. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

2

Câu 13. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q 2  ...  nq n với q  1 .:
A. 

B. 

C.

q

1  q 

2

13  23  33  ...  n3 a
  a, b   
n3  1
b
Câu 14. Biết

. Giá trị của 2a 2  b 2 là:
B. 73
C. 51
A. 33

D.

q

1  q 

2

lim

D. 99

1
1
1
:

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
( n  1) n  n n  1
B. 
C. 0
D. 1

Câu 15. Tính giới hạn của dãy số un 

A. 

(n  1) 13  23  ...  n3
:
3n3  n  2
1
B. 
C.
9

Câu 16. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim
A. 

B. 

C.

D. 1

1  a  a 2  ...  a n
.
1  b  b 2  ...  b n

1 b
1 a

u0  2011

un3

lim
Câu 18. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
.
.
Tìm
1
u

u

n
n

1
n

un2

A. 
B. 
C. 3

D. 1

D. 1

u1  3
Câu 19. Cho dãy số  un  được xác định bởi 

. Tính lim un .
 2  n  1 un 1  nun  n  2
B. lim un  4 .
C. lim un  3 .
D. lim un  0 .
A. lim un  1 .

1

u1  2
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi: 
. Tìm kết quả đúng của lim un .
un 1  1 , n  1
2  un

1
A. 0 .
B. 1.
C. 1 .
D.
2
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 21. Cho dãy số  un 

Giới Hạn Nâng Cao

u1  2

u  2  1 , n   . Tính u2018 .
thỏa mãn 
un 1  n

1  2  1 un




A. u2018  7  5 2



B. u2018  2

C. u2018  7  5 2

D. u2018  7  2

1
Câu 22. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1
2

Đặt S n 

1

1
1
. Tính lim Sn .

 
x1  1 x2  1
xn  1

A. 

B. 

Câu 23. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

C. 2

D. 1

1 2
k
  ... 
2! 3!
(k  1)!

n
.
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011

A. 

C. 1 

B. 

Câu 24. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

1 2
k
  ... 
.
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A.  .

C. 1 

B.  .



1
.
2012!



Câu 25. Cho hàm số f  n   a n  1  b n  2  c n  3 n  * với a, b, c là hằng số thỏa mãn
a  b  c  0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. lim f  n   1
x

B. lim f  n   1
x 

C. lim f  n   0
x 

D. lim f  n   2
x 

Câu 26. Cho a, b    , (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)       sao cho

rn
1

.
n  n
ab

n  au  bv . Tìm lim

A.  .

B.  .

C.

1
.
ab

D. ab  1 .

Câu 27. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  3, 2un 1  un  1 với mọi n  1 . Gọi S n là tổng n số hạng
đàu tiên của dãy số (un ) . Tìm lim S n .
A. lim S n   .

C. lim S n  1.

Câu 28. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  1, u2  2, un  2 

B. lim S n   .

D. lim Sn  1 .

un 1  un
với mọi n  1 . Tìm lim un .
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.  .

B.

3
.
2

C.

Giới Hạn Nâng Cao
5
.
3

D.

4
.
3

u
1
Câu 29. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  , un 1  un2  n với mọi n  1 . Tìm lim un .
4
2
1
1
A. lim un  .
C. lim un  .
B. lim un  0 .
D. lim un   .
4
2

Câu 30. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  1, un 1  un  2n  1 với mọi n  1 . Khi đó lim
A.  .

B. 0.

C. 1.

Câu 31. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1  a, u2  b, un  2 

un 1
bằng.
un

D. 2.
un 1  un
với mọi n  1 , trong đó a
2

và b là các số thực cho trước, a  b . Tìm giới hạn của (un ) .
C. lim un 

A. lim un  a .
Câu 32. Cho dãy số (un ) với un 
giá trị của tham số a là?
A. -4.

a  2b
.
3

D. lim un 

B. lim un  b .

2a  b
.
3

4n 2  n  2
, trong đó a là tham số. Để (un ) có giới hạn bằng 2 thì
an 2  5
B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 33. Tìm hệ thức liên hệ giữa các số thực dương a và b để: lim( n 2  an  5  n 2  bn  3)  2 .
A. a  b  2 .

B. a  b  2 .

C. a  b  4 .

D. a  b  4 .

Câu 34. Tìm các số thực a và b sao cho lim( 3 1  n3  a n  b)  0 .
a  1
A. 
.
b  0

a  1
B. 
.
b  0
n

Câu 35. Cho dãy số (un ) . Biết  uk 
k 1

A. 1.

B.

a  1
C. 
.
b  1

3n 2  9n
1
với mọi n  1 . Tìm
nun
2

1
.
2

a  0
D. 
.
b  1
n

u

k

.

k 1

C. 0.

D.  .

1  3  32  ...  3k
bằng:
5k  2
k 1
n

Câu 36. lim 
A. 0.

B.

17
.
100

C.

17
.
200

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

1
.
8

Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

GIỚI HẠN HÀM SỐ
a0 xn  ...  an1 x  an
, (a0 , b0  0) .
Câu 37. Tìm giới hạn A  lim
x b x m  ...  b
0
m 1 x  bm
A.  .

B.  .

3 x  5sin 2 x  cos2 x
bằng:
x 
x2  2
A.  .
B. 0 .

C.

4
.
3

D. Đáp án khác.

Câu 38. lim

D.  .

C. 3 .

Câu 39. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn:
a
b


lim  2
 2
 là hữu hạn:
x 2  x  6 x  8
x  5x  6 
A. a  4b  0.

B. a  3b  0.

C. a  2b  0.

D. a  b  0.

x4  a4
bằng:
x a x  a
C. a 3

Câu 40. Cho a là một số thực khác 0. Kết quả đúng của lim
A. 3a 3

B. 2a 3

D. 4a 3

x 2  mx  m  1
Câu 41. Cho C  lim
, m là tham số thực. Tìm m để C  2.
x 1
x2 1
A. m  2
B. m  2
C. m  1

D. m  1

x 2  ax  b
Câu 42. Cho a và b là các số thực khác 0. Nếu lim
 6 thì a  b bằng:
x2
x2

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
Câu 43. Giới hạn lim
x 3

A. 1 .

x  1  5x  1
a
bằng
(phân số tối giản). Giá trị của a  b là
b
x  4x  3
1
9
B. .
C. 1.
D.
9
8

3

m
8 x  11  x  7 m

trong đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên

2
x 2
x  3x  2
n
n
dương. Tổng 2m  n bằng:
A. 68
B. 69
C. 70
D. 71

Câu 44. Biết lim

m
6 x  9  3 27 x  54 m

,
trong
đó
là phân số tối giản, m và n là các số nguyên
x 3 x  3
n

  x 2  3x  18  n

Câu 45. Biết lim

dương. Khi đó 3m  n bằng:
A. 55

B. 56

C. 57

D. 58

ax  b 9 x 2  2
5
x 
cx  1

Câu 46. Cho a , b , c là các số thực khác 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa a , b , c để lim
.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

a  3b
 5.
c

B.

a  3b
 5 .
c

C.

Giới Hạn Nâng Cao

a  3b
 5.
c

D.

a  3b
 5 .
c

 4 x 2  3x  1

  ax  b    0, a và b thỏa
Câu 47. Cho a và b là các tham số thực. Biết rằng lim 
x 
 cx  1

mãn hệ thức nào trong các hệ thức dưới đây?
A. a  b  9.
B. a  b  9.
C. a  b  9.
D. a  b  9.
1 1 1
Câu 48. Cho a là một số thực dương. Tính giới hạn lim   
.

x a x
a   x  a 2

A. bằng 

1
.
a2

B. là  .

C. là  .

D. không tồn tại.

1 
 n
Câu 49. Cho n là một số nguyên dương. Tính giới hạn lim 

.
n
x 1 1  x
1 x 

n
n 1
n 1
A. .
B.
.

C.
.
2
2
2
Câu 50. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực k sao cho giới hạn lim(
x 1

A. k  2 .

B. k  2 .
n

Câu 51. Tìm giới hạn B  lim
x 0

B. 
n
x 0

B. 
m

Câu 53. Tìm giới hạn N  lim
x 0

A. 
m

A. 

m
x 0

a
n

D. 1 

n
a

C.

am
bn

D. 1 

am
bn

C.

a b

m n

D.

C.

2  an  bm 
mn

D. 0

a b

m n

1  ax  n 1  bx
:
1  x 1
B. 

Câu 55. Tìm giới hạn G  lim

C.

1  ax  n 1  bx
:
x

B. 

x0

1
k
 2 ) là hữu hạn.

x  1 x 1
D. k  2 .

1  ax  1
với ab  0 :
1  bx  1

A. 

Câu 54. Tìm giới hạn N  lim

n2
2

1  ax  1
( n  *, a  0) :
x

A. 

Câu 52. Tìm giới hạn A  lim m

C. k  2 .

D.

1  ax n 1  bx  1
:
x

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 

B. 
n

Câu 56. Tìm giới hạn F  lim
x 0

A. 

C.

Giới Hạn Nâng Cao
a b

m n

D.

9
n

D. 0

(2 x  1)(3 x  1)(4 x  1)  1
:
x

B. 

C.

1   x 3 1   x 4 1   x 1
với   0 .:
x
  
B. 
C. B   
4 3 2

Câu 57. Tìm giới hạn B  lim
x 0

A. 

n

1  mx   1  nx 
Câu 58. Tìm giới hạn V  lim

D. B 

  
 

4 3 2

m

:

x2

x 0

A. 

a b

m n

B. 

mn  n  m 
2

D.

1
n!

D. 0

C. 2n

D. 0

C.

mn  n  m 
2

1  x 1  x  ...1  x  :
Câu 59. Tìm giới hạn K  lim
3

n

1  x 

x 1

A. 

n 1

B. 

Câu 60. Tìm giới hạn L  lim



C.

1  x2  x

n

 

1  x2  x

x

x 0

A. 



B. 
n

1  mx   1  nx 
Câu 61. Tìm giới hạn V  lim
x 0

A. 



n

:

m

:

1  2 x  3 1  3x
B. 

C.

2  an  bm 
mn

D. mn  n  m 

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho hàm số f  x   mx  9 x 2  3x  1 có giới
hạn hữu hạn khi x  .
A. m  3

B. m  3

C. m  0

D. m  0

C. a  1 .

D. a  1 .

Câu 63. Giới hạn lim ( x 2  3 x  5+ax) = + nếu.
x 

A. a  1 .

a

Câu 64. Cho và
A. 2 .

B. a  1 .

b

0

là các số thực khác . Biết
B. 6 .

lim ( ax  x 2  bx  2)  3

x 

C. 7 .

ab
, thì tổng
bằng
D. 5 .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

Câu 65. Cho a và b là các số thực khác 0 . Biết lim (ax+b- x 2  6 x  2)  5 số lớn hơn trong hai số
x 
a
b
và là số nào trong các số dưới đây?
A. 4 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
m
m
trong đó
là phân số tối giản, m và n là
x 
n
n
các số nguyên dương. Tìm bội số chung nhỏ nhất của m và n .
A. 135 .
B. 136 .
C. 138 .
D. 140 .

Câu 66. Biết lim ( 9 x 2  2 x  3 27 x 3  4 x 2  5)  

Câu 67. Cho a và b là các số nguyên dương. Biết lim ( 9 x 2 + ax  3 27 x 3  bx 2  5) 
x 

b thỏa mãn hệ thức nào dưới đây?
A. a  2b  33 .
B. a  2b  34 .

C. a  2b  35 .

7
, hỏi a và
27

D. a  2b  36 .

Câu 68. Tìm giới hạn C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] :
x 

A. 

B. 

C.

Câu 69. Cho a và b là các số thực khác 0. Giới hạn lim
x 0

a
2b

A.

B. 

a
2b

a1  a2  ...  an
n

1  ax  1
bằng:
sin bx
2a
C.
b

D.

a1  a2  ...  an
2n

D. 

2a
b

Câu 70. Cho a, b,c là các số thực khác 0,3b  2c  0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c để:
lim

x0

A.

tan ax
1

.
1  bx  3 1  cx 2

a
1

3b  2c 10

B.

a
1

3b  2c 6

C.

a
1

3b  2c 2

D.

a
1

3b  2c 12

sin  x  1
bằng:
x 1 x m  x n

Câu 71. Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn lim
A. m  n

B. n  m

Câu 72. Tìm giới hạn A  lim.
x 1

B. 
m
x 0

A. 

1
mn

D.

1

nm

C.

n
m

D. 0

C.

b
a

2 n 2m

D. 0

sin( x m )
:
sin( x n )

A. 

Câu 73. Tìm giới hạn H  lim

C.

cos ax  m cos bx
:

sin 2 x

B. 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

1  n cos ax
:
x 0
x2

Câu 74. Tìm giới hạn M  lim
A. 

B. 

C.

a
2n

D. 0

3 5 f ( x )  11  4
f ( x)  15
 12 . Tính T  lim
.
x3
x 3
x3
x2  x  6
3
1
1
B. T 
.
C. T 
D. T 
.
40
4
20

Câu 75. Cho f ( x ) là đa thức thỏa mãn lim
A. T 

3
.
20

HÀM SỐ LIÊN TỤC
 e ax  1
khix  0


Câu 76. Cho hàm số f  x    x
, với a  0. Tìm giá trị của a để hàm số f  x  liên tục
1
 khix  0
 2
tại x0  0.

A. a  1 .

B. a 

1
.
2

C. a  1 .

D. a  

1
2


4x  1 1
khi x  0
 2
a
liên tục tại x  0
Câu 77. Tìm để các hàm số f ( x)   ax  (2a  1) x

3
khi x  0

1
1
1
A.
B.
C. 
D. 1
2
4
6
 x2
, x 1
 3
 2x
Câu 78. Cho hàm số f  x   
, 0  x  1 . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
1  x
 x sin x , x  0


A. f  x  liên tục trên  .

B. f  x  liên tục trên  \ 0 .

C. f  x  liên tục trên  \ 1 .

D. f  x  liên tục trên  \ 0;1 .

 1 x  1 x
khi x  0

x
Câu 79. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f  x   
liên tục tại x  0.
1

x
m 
khi x  0
1 x


A. m  1 .

B. m  2 .

C. m  1 .

D. m  0

 3 x  2  2x 1
khi x  1

Câu 80. Tìm m để các hàm số f ( x)  
liên tục trên 
x 1
3m  2

khi x  1

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. m  1

B. m 

4
3

Giới Hạn Nâng Cao

C. m  2

D. m  0

 2x  4  3
khi x  2

Câu 81. Tìm m để các hàm số f ( x )  
liên tục trên 
x 1
khi
x


2
 2
 x  2mx  3m  2
1
A. m  1
B. m  
C. m  5
D. m  0
6
x  x  2
neáu x  2

2
 x 4

Câu 82. Cho hàm số f  x   x 2  3b
neáu x  2 liên tục tại x  2. Tính I  a  b ?
2a  b  6 neáu x  2


9
93
19
173
A. I 
B. I  
C. I 
D. I  
30
16

32
16



Câu 83. Chon hàm số f  x   


số liên tục tại x  3 .
A. m .

 x  3

2

x3
m

khi x  3 . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm
khi x  3

B. m  .

C. m  1 .

D. m  1 .

 ax 2  (a  2) x  2
khi x  1


Câu 84. Cho hàm số f ( x )  
. Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm
x3 2
8  a 2
khi x  1


số liên tục tại x  1 ?
A. 1.

B. 0.

12  x  9 

Câu 85. Cho hàm số f  x    ax  2b  12
 3
 x 1  2

C. 3.

 x  9

D. 2.

. Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục

tại x0  9. Tính giá trị của P  a  b.
A. P 

1

2

B. P  5

Câu 86. Cho phương trình x 3  ax 2  bx  c  0

C. P  17

1

D. P  

1
2

trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng

định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình 1 vô nghiệm với mọi a, b, c .
B. Phương trình 1 có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c .
C. Phương trình 1 có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c .

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

D. Phương trình 1 có ít nhất ba nghiệm với mọi a, b, c .
Câu 87. Phương trình x 5 
A. 2

1 4
x  5 x 3  x 2  4 x  1  0 có bao nhiêu nghiệm.
2
B. 3
C. 4

D. 5

Câu 88. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm

 2m

2

 5m  2   x  1

1 
A. m   \  ; 2 .
2 

2017

x

2018

 2   2 x  3  0.

1
1 

B. m   ;    2;   .C. m   ; 2  .
2

2 

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D. m   .

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

C - HƯỚNG DẪN GIẢI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
n

1

Câu 1. Tìm lim un biết un  

n2  k
B. 

k 1

A. 

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:

1
n n

Mà lim

1



2

n
n2  n

1



2

2

n k
 lim

, k  1, 2,..., n Suy ra

n 1
n

n2  1

n
2

n n

 un 

n
n2  1

 1 nên suy ra lim un  1 .

Câu 2. Tìm lim un biết un  2 2... 2


n dau can

A. 

B. 

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: un  2

1 1
1
 ... n
2 22
2

1
1  
2

n

2

1

1  
 2

,nên lim un  lim 2

n

 2.

1
 1 1 1

S  2  1     ...  n  ....... 
2
 2 4 8
.
Câu 3. Tìm giá trị đúng của

A.

2 1.

B. 2 .

C. 2 2 .

D.

1
.

2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1 1 1
1
1
Ta có: S  2 1     ...  n  .......   2.
2 2.
1
2
 2 4 8

1
2

1
1
1 
 .... 
Câu 4. Tính giới hạn lim  

n  n  1 
1.2 2.3
A. 0

B. 1.

C.

3
.
2

D. Không có giới

hạn.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đặt : A 

Giới Hạn Nâng Cao

1
1
1
1 1 1
1
1
1
n
 1     ...  
1



 .... 
2 2 3
n n 1
n 1 n 1
1.2 2.3
n  n  1

 1
1
1 
n
1
 lim 

 .... 
 lim
1
  lim
1
1.2
2.3
1
1
n
n

n






1
n

1

1
1
 .... 
Câu 5. Tính lim  

n  2n  1 
1.3 3.5
A. 1.

B. 0 .

2
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D. 2 .

Chọn B.

Đặt A 

1
1
1

 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

 2A 

2
2
2

 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

1 1 1 1 1
1
1
 2 A  1       ...  
3 3 5 5 7
n 2n  1
1
2n
 2A  1


2n  1 2n  1
n
 A
2n  1

 1

n
1
1
1
1
Nên lim  
 .... 
 lim
 .
  lim
1 2
n  2n  1 
2n  1
1.3 3.5
2
n

1
1
1 
 .... 
Câu 6. Tính giới hạn: lim  


n  n  2 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1.
C. 0 .
4
Hướng dẫn giải
Chọn A.

D.

2
.
3

1
1
1 
1 2
2
2 
 .... 
 .... 
Ta có : lim  
  lim  

n  n  2 
2 1.3 2.4
n  n  2 

1.3 2.4
1 1 1 1 1 1
1
1 
1 1
1  3
 lim  1      ...  
  lim  1  
 .
2 3 2 4 3 5
n n2
2 2 n2 4

1
1
1 
 ... 
Câu 7. Tính giới hạn lim  
.
n(n  3) 
1.4 2.5

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

11
.
18

B. 2 .

Giới Hạn Nâng Cao

C. 1.

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:

1
1
1 
1  1 1 1 1 1
1
1 
lim  
 ... 
 lim  1       ...  



n(n  3) 
n n  3 
3  4 2 5 3 6
1.4 2.5
1  1 1
1
1
1 
 lim  1   



 3  2 3 n  1 n  2 n  3 
 3n2  12n  11  11
11
  lim 
 .
18
  n  1 n  2 n  3  18
Cách 2: Bấm máy tính như sau: C  lim [ n ( x  a1 )( x  a2 )...( x  an )  x] và so đáp án (có
x 

thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).


1 
1 
1 
Câu 8. Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .

 2  3   n  
1
1
B. .
C. .
A. 1.
2
4

D.

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1:


1 
1 
1 
 1  1  1  1   1  1  
lim 1  2 1  2  ... 1  2   lim 1  1  1  1   ... 1  1   
 2  3   n 
 2  2  3  3   n  n  
n

n

 y  x  ( y  x)( y

n 1

n 1

 y x  ...  x

n 1

y n  xn
)  y  x  n 1
y  y n 1 x  ...  x n 1

Cách 2: Bấm máy tính như sau:  lim ( y  x)  lim
x 

x 

y n  xn
và so đáp án (có
y n 1  y n 2 x  ...  x n 1

thể thay 100 bằng số nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Câu 9. Tính giới hạn của dãy số un  (1 
A. 

B. 

n( n  1)
1
1
1
.:
)(1  )...(1  ) trong đó Tn 
2
T1
T2
Tn

C.

1
3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có: 1 

Giới Hạn Nâng Cao

1
2
( k  1)( k  2)
 1

Tk
k ( k  1)
k (k  1)

1 n2
1
Suy ra un  .
 lim un  .
3 n
3

Câu 10. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

23  1 33  1 n3  1
.
....
.:
23  1 33  1 n3  1

B. 

C.

2

3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có

k 3 1
(k  1)(k 2  k  1)

k 3  1 (k  1)[(k  1) 2  (k  1)  1]

2 n2  n  1
2
Suy ra  un  .
 lim un 
3 ( n  1) n
3
n

2k  1
.:
2k
k 1
B. 

Câu 11. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1
1 1 1
1  2n  1
Ta có: un  un     2  ...  n 1   n 1
2
2 2 2
2  2

1
3 2n  1
 un   n 1  lim un  3 .
2
2 2
n

n
.:
k 1 n  k
B. 

Câu 12. Tính giới hạn của dãy số un  
A. 

2

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: n

n
n
n
1
 un  n 2
 2
 un  1  2
n n
n 1
n 1
n 1
2

 un  1 

n
 0  lim un  1 .
n 1
2

Câu 13. Tính giới hạn của dãy số un  q  2q 2  ...  nq n với q  1 .:

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 

B. 

C.

Giới Hạn Nâng Cao

q

1  q 

2

D.

q

1  q 

2

Hướng dẫn giải

Chọn C.
Ta có: un  qun  q  q 2  q 3  ...  q n  nq n 1
 (1  q )un  q

q
1  qn
.
 nq n 1 . Suy ra lim un 
2
1 q
1  q 

13  23  33  ...  n3 a
  a, b    . Giá trị của 2a 2  b 2 là:
n3  1
b
A. 33
B. 73
C. 51

Câu 14. Biết lim

D. 99

Hướng dẫn giải
Chọn D.

1
1
1

:

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
( n  1) n  n n  1
B. 
C. 0
D. 1

Câu 15. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:

1
1
1


( k  1) k  k k  1
k
k 1

Suy ra un  1 

1
 lim un  1
n 1

(n  1) 13  23  ...  n3
:
3n3  n  2
1
B. 
C.
9

Câu 16. Tính giới hạn của dãy số un 
A. 

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.

 n(n  1) 
Ta có: 1  2  ...  n  
 3 
3

Suy ra un 

3

2

3

n(n  1)2

1
 lim un  .
3
3(3n  n  2)
9

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 17. Cho các số thực a,b thỏa a  1; b  1 . Tìm giới hạn I  lim
A. 

B. 

C.

Giới Hạn Nâng Cao

1  a  a 2  ...  a n
.
1  b  b 2  ...  b n

1 b
1 a

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có 1, a, a2 ,..., an là một cấp số nhân công bội a 1  a  a 2  ...  a n 
Tương tự 1  b  b 2  ...  b n 

1  a n 1
1 a

1  b n1
1 b

1  a n 1
1 b
Suy ra lim I  lim 1  an 1 
1 b
1 a
1 b
( Vì a  1, b  1  lim a n 1  lim b n1  0 ).

u0  2011
un3

Câu 18. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
1 . Tìm lim .
n
un1  un  u 2
n

A. 
B. 

C. 3

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta thấy un  0, n
Ta có: un31  un3  3 

3 1
(1)

un3 un6

Suy ra: un3  un31  3  un3  u03  3n (2)
Từ (1) và (2), suy ra: un31  un3  3 

Do đó: un3  u03  3n 

1
1
1
1

 un3  3   2
2
u  3n  u 3  3n 
3n 9n
3
0

1 n 1 1 n 1
   (3)
3 k 1 k 9 k 1 k 2

n
1
1
1
1
1
1

1



...


2


2
.
 n


2
1.2 2.3

( n  1) n
n
k 1 k
k 1 k
n

Lại có:

0

Nên: u03  3n  un3  u03  3n 

n

1

k

2

 2n

k 1

2
2n

9
3

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

u03 un3
u03 2
2
.
Hay 3    3   
n n
n 9n 3 n
un3
Vậy lim  3 .
n
u1  3
Câu 19. Cho dãy số  un  được xác định bởi 
. Tính lim un .
 2  n  1 un 1  nun  n  2
A. lim un  1 .
B. lim un  4 .
C. lim un  3 .
D. lim un  0 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

1

u1  2
Câu 20. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi: 
. Tìm kết quả đúng của lim un .
un 1  1 , n  1
2  un

1
A. 0 .
B. 1.
C. 1 .
D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
2
3
4
5
Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  .;...
2
3
4
5
6
Dự đoán un 

n
với n  *
n 1

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó lim un  lim

Câu 21. Cho dãy số  un 

1
n
 lim
 1.
1
n 1
1
n

u1  2

u  2  1 , n   . Tính u2018 .
thỏa mãn 
un 1  n

1  2  1 un




A. u2018  7  5 2

B. u2018  2



C. u2018  7  5 2

D. u2018  7  2

Hướng dẫn giải
Chọn A.

1
Câu 22. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Đặt S n 

Giới Hạn Nâng Cao

1
1
1
. Tính lim Sn .


 
x1  1 x2  1
xn  1

A. 

B. 

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Từ công thức truy hồi ta có: xn1  xn , n  1, 2,...
Nên dãy ( xn ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy ( xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x
Với x là nghiệm của phương trình: x  x 2  x  x  0  x1 vô lí
Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   .
Mặt khác:

Suy ra:

1
1
1
1

 

xn 1 xn ( xn  1) xn xn  1

1
1
1
 
xn  1 xn xn 1

Dẫn tới: S n 

1
1
1
1

 2
 lim S n  2  lim
2
x1 xn 1
xn 1
xn 1

Câu 23. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A. 

C. 1 

B. 

1
2012!

D. 1 

1
2012!

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có:

k
1
1
1
 
nên xk  1 
(k  1)! k ! (k  1)!
(k  1)!

Suy ra xk  xk 1 

1
1

 0  xk  xk 1
(k  2)! (k  1)!

n
 n 2011x2011
Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 

1
2012!

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Vậy lim un  1 

Giới Hạn Nâng Cao

1
.

2012!

Câu 24. Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
.
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

A.  .

C. 1 

B.  .

1
.
2012!

D. 1 

1
2012!

Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:

k
1
1
1
 
nên xk  1 
.
(k  1)! k ! (k  1)!
(k  1)!

Suy ra xk  xk 1 

1
1

 0  xk  xk 1 .
(k  2)! (k  1)!

n
 n 2011x2011 .
Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 
Vậy lim un  1 

1

.
2012!

1
.
2012!





Câu 25. Cho hàm số f  n   a n  1  b n  2  c n  3 n  * với a, b, c là hằng số thỏa mãn
a  b  c  0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. lim f  n   1
x

B. lim f  n   1
x 

C. lim f  n   0
x 

D. lim f  n   2
x 

Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 26. Cho a, b    , (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số (u, v)       sao cho
n  au  bv . Tìm lim

n 

A.  .

rn
1

.
n ab

B.  .

C.

1
.
ab

D. ab  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
 n  1
Xét phương trình 0;
(1).
n 


File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Giới Hạn Nâng Cao

Gọi (u0 , v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u, v) là một nghiệm nguyên
dương khác (u0 , v0 ) của (1).
Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên
dương sao cho u  u0  kb, v  v0  ka . Do v là số nguyên dương nên v0  ka  1  k 

v0  1
a

. (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên
 v  1
 n u 1
dương cộng với 1. Do đó rn   0   1    0    1 .
 a 
 ab b a 
Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:
Từ đó suy ra:

n u0 1
n u0 1
   rn 
   1.

ab b a
ab b a

1 u0 1 rn
1 u0 1 1


 


 .
ab nb na n ab nb na n

Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim

n 

rn
1

.
n ab

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: chuyển chế độ Rad +
cos5 x
lim
và so đáp án.
2 x x  109
Câu 27. Cho dãy số (un ) xác định bởi u1  3, 2un 1  un  1 với mọi n  1 . Gọi S n là tổng n số hạng
đàu tiên của dãy số (un ) . Tìm lim S n .

A. lim S n   .

C. lim S n  1.

B. lim S n   .

D. lim Sn  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1
1
Cách 1: Ta có 2un 1  un  1  un 1  un  . Đặt vn  un  1 .
2
2
1
1
1
1
Khi đó: vn 1  un 1  1  un   1   un  1  vn . Vậy  vn  là một cấp số nhân có công
2
2
2
2
1
bội q  . Gọi Tn là tổng n số hạng đầu tiên của  vn  .
2
n

1

1  
n
  1 n 
  1 n 
1 q
2

 v1.
Ta có: Tn  v1.
 2v1 .  1     . Suy ra: S n  Tn  n  2v1 . 1      n
1
 2 
 2 
1 q
1




2
.
Vậy l imSn   .
Cách 2: Sử dụng MTCT. Nhập vào màn hình: A  A  X : Y 

1
1
X  : X Y .
2
2

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25