Bài 30 ứng dụng tích phân tính diện tíchđa

/>
 

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN 
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

 
 

Cho hàm số y = f ( x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [a; b] . Diện tích hình thang cong

Câu 1.

giới hạn bởi đồ thị của y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

b

A. S =ò f ( x) dx .

B. S = -ò f ( x) dx .

a

a

b

b

C. S = -ò f 2 ( x) dx .

D. S =ò f 2 ( x) dx .

a

a

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục

Câu 2.

hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

b

A. S =ò f ( x) dx .

B. S =ò f ( x) dx .

a

a

b

b

2

C. S =ò f ( x) dx .

D. S = pò f ( x) dx .

a

a

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f ( x) , y = g ( x) liên tục trên đoạn [a; b]

Câu 3.

, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức:
b

2

A. S =ò f ( x) - g ( x) dx .
a

b

B. S =òéë f ( x) - g ( x)ùû dx .
a

b

C. S =ò f ( x) - g ( x) dx .
a

Câu 4.

b

2

D. S = pò f ( x) - g ( x) dx .
a

Cho đồ thị hàm số y = f ( x) . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

0

1

A. S =ò f ( x) dx +ò f ( x) dx .
-2

0

-2

1

C. S =ò f ( x) dx +òf ( x) dx .
0

0

1

B. S =ò f ( x) dx .

1

-2
0

1

-2

0

D. S =ò f ( x) dx -ò f ( x) dx .
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,

Câu 5.

x = 3 là:

A. 18.

B. 19.
Hướng dẫn giải:

C. 20.

D. 21.

3

x4
Ta có x ³ 0 trên đoạn [1;3] nên S =ò x dx =òx dx =
= 20
4 1
1
1
3

3

3

3

3

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - 3x 2 , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 6.

x = 1, x = 4 là:

A.

53
.
4

B.

51
.
4

C.

49
.
4

D.

25
.
2

Hướng dẫn giải:
Ta có x - 3x 2 = 0 Û x = 3 Î [1; 4] . Khi đó diện tích hình phẳng là:
3

3

4

æ x4
ö
æ x4
ö
27 51
S =ò x - 3x dx = ò( x - 3x )dx +ò( x - 3 x )dx = çç - x3 ÷÷ + çç - x3 ÷÷ = 6 +
=
4
4
1
1
3
è4
ø1 è 4
ø3
4

3

3

2

3

4

2

3

2

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 - 3x 2 - 4 , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 7.

x = 0, x = 3 là:

A.

142
.
5

B.

143
.
5

C.

144
.
5

D.

141
.
5

Hướng dẫn giải:
Ta có x - 3x 2 - 4 = 0 Û x = 2 Î [0;3] . Khi đó diện tích hình phẳng là:
4

3

2

3

S =ò x 4 - 3x 2 - 4 dx = ò( x 4 - 3 x 2 - 4)dx +ò( x 4 - 3 x 2 - 4)dx
0

0

2

2

3

æ x5
ö
æ x5

ö
48 96 144
= çç - x 3 - 4 x ÷÷ + çç - x 3 - 4 x ÷÷ =
+ =
5 5
5
è5
ø0 è 5
ø2
Câu 8.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 2 + 4 , đường thẳng x = 3 , trục tung và trục
hoành là:

A.

22
.
3

B.

32
.
3

C.

25
.

3

Hướng dẫn giải:
Xét phương trình - x 2 + 4 = 0 trên đoạn [0;3] có nghiệm x = 2

D.

23
.
3
2

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>

2

3

0

2

S =ũ- x 2 + 4 dx +ũ- x 2 + 4 dx =

23
3

Din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong y = x 3 - 4 x , trc honh v hai ng thng x = -3,

Cõu 9.

x = 4 l:

A.

202
.
3

B.

203
.
4

C.

201
.
5

D.

201
.
4

Hng dn gii:
Xột phng trỡnh x3 - 4 x = 0 trờn on [-3; 4] cú nghim x = -2; x = 0; x = 2
-2

0

2

4

-3

-2

0

2

201
4

S =ũ x 3 - 4 x dx +ũ x 3 - 4 x dx +ũ x 3 - 4 x dx +ũ x 3 - 4 x dx =

Cõu 10. Kt qu ca din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = - x 3 + 3 x 2 - 2 , trc honh, trc tung

v ng thng x = 2 cú dng

a
a
(vi

l phõn s ti gin). Khi ú mi liờn h gia a v b l:
b
b
C. a - b = - 2 .
D. a - b = - 3 .

A. a - b = 2 .
B. a - b = 3 .
Hng dn gii:
ộx = 1 3
Xột phng trỡnh - x 3 + 3 x 2 - 2 = 0 ờ
ờx = 1
ở
2

1

0

0

(

2

(

S =ũ- x3 + 3x 2 - 2 dx =ũ x3 - 3 x 2 + 2 dx +ũ - x3 + 3 x 2 - 2 dx =

)

1

)

5 5 5
+ =
4 4 2

Cõu 11. Din tớch hỡnh phng c gii hn bi th hm s y =
A. 3 + 2 ln 2 .
B. 3 - ln 2 .
Hng dn gii:
2

Ta cú x + 1 = 0 x = -1 nờn S =ũ
-1

C. 3 + ln 2 .

2
ổ
x +1
1 ử
ữữ dx = x - ln x + 2
dx = ũỗỗ1 x+2
x +2ứ
-1 ố

(

Cõu 12. Din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = 4 -

v trc tung c tớnh nh sau:
1
ổ
1ử
1
ữ
4
dx
4 - 2 dx .
S
=
A. S =ũỗ
.
B
.
ũ
ỗ
2 ữ
x ứ
x
-1 ố
-1
1

Hng dn gii:
1
1

y = 4 - 2 ị x = g ( y) =
x
4- y

x +1
, trc honh v ng thng x = 2 l:
x+2
D. 3 - 2 ln 2 .

1

C. S =ũ
-1

)

2
-1

= 3 - 2 ln 2

1
ng thng y = -1 , ng thng y = 1
x2

1
.
4- y

1

D. S =ũ
-1

-1
dy .
4- y
3

NGDNGCATCHPHNTNHDINTCHPN|


/>
 
1

Diện tích hình phẳng cần tính là S =ò
-1

1
1
1
dy =ò
dy .
4- y
-1 4 - y

Câu 13. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,

x = 4 là:

A. 4 .

B.

14
.
5

C.

13
.
3

D.

14
.
3

Hướng dẫn giải:
4

4

1

1

4

x ³ 0 trên đoạn [1; 4] nên S =ò x dx =ò

Ta có

2 3
14
xdx = x 2 =
3 1 3

Câu 14. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y =

3

x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 ,

x = 8 là:

A.

45
.
2

B.

45

.
4

C.

45
.
7

D.

45
.
8

Hướng dẫn giải:
Ta có

3

8

8

8

x ³ 0 trên đoạn [1;8] nên S =ò x dx =ò
3

3

1

1

3 43
45
xdx = x =
4 1 4

Câu 15. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = p
, x=

3p
là:
2

A. 1.

B.

1
.
2

C. 2.

D.

3

.
2

Hướng dẫn giải:
3p

é 3p
Ta có sin x £ 0 trên đoạn êp ;
êë 2

3p

3p
2
2
ù
ú nên S = ò sin x dx = -òsin xdx = cos x p2 = 1
úû
p
p

Câu 16. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2 x , trục hoành và hai đường thẳng

x = 0, x =
A. 1.

p
2

là:

B. 2.
Hướng dẫn giải:
p é pù
Ta có cos 2 x = 0 Û x = Î ê0; ú
4 ëê 2 ûú

C. 3.

D. 4.
4

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>

p

p

p

p

p

ổ1
ử 4 ổ1
ử2

S =ũcos 2 x dx = ũcos 2 xdx +ũcos 2 xdx = ỗỗ sin 2 x ữữ + ỗỗ sin 2 x ữữ = 1
ố2
ứ 0 ố2
ứp
p
0
0
2

4

2

4

4

Cõu 17. Din tớch hỡnh phng c gii hn bi th hm s y = e2 x , trc honh v hai ng thng x = 0 ,
x = 3 l:
6

A.

e 1
e6 1
B.
+ .
- .
2 2
2 2

Hng dn gii:

C.

3

2x

Ta cú e 0 trờn on [0;3] nờn S =ũe

2x

0

e6 1
+ .
3 3

D.

e6 1
- .
3 3

3

1
e6 1
dx =ũe dx = e2 x = 2
2 2

0
0
3

2x

Cõu 18. Din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = e x + x , trc honh, trc tung v ng thng x = 1
l:
1
1
A. S = e + .
B. S = e - .
2
2
Hng dn gii:

C. S = e + 1 .

D. S = e - 1 .

1

S =ũe x + x dx .
0

Ta thy vi x > 0 ị e x + x > e0 + 0 = 1 .
1

ổ
x2 ử

1
1
ị S =ũ e + x dx = ỗỗe x + ữữ = e + - 1 = e - .
2 ứ0
2
2
0
ố
1

(

x

)

Cõu 19. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = e x + 1 , trc honh v hai ng thng x = ln 3 ,
x = ln 8 nhn giỏ tr no sau õy:
2
3
A. S = 2 + ln .
B. S = 2 + ln .
3
2
Hng dn gii:
ln 8

C. S = 3 + ln

3

.
2

D. S = 2 - ln

3
.
2

ln 8

S = ũ e x + 1 dx = ũ e x + 1dx .
ln 3

t

ln 3

e x + 1 = t e x + 1 = t 2 e x dx = 2tdt dx =

2t
dt . i cn:
t -1
2

ỡù x = ln 3 ị t = 2
.
ớ
ùợ x = ln 8 ị t = 3

3
3
ổ
ổ
2t 2
2 ử
3
t -1 ử 3
ữữ = 2 + ln
S =ũ 2 dt =ũỗỗ2 + 2 ữữ dt = ỗỗ2t + ln
t - 1ứ
t +1 ứ 2
2
2 t -1
2ố
ố

5

Cõu 20. Din tớch hỡnh phng gii hn bi ng cong y = x ln x , trc honh v ng thng x = e l:
NGDNGCATCHPHNTNHDINTCHPN|


/>


A.

e2 - 1
.

2

B.

e2 + 1
.
2

C.

e2 - 1
.
4

D.

e2 + 1
.
4

Hng dn gii:
e

Xột phng trỡnh x ln x = 0 trờn na khong (0;e] cú nghim x = 1 ị S =ũx ln xdx
1

ỡ
dx
ùdu =
ỡùu = ln x

ù
x
ịớ
t ớ
2
ợùdv = xdx ùv = x
ù
2
ợ
e

e
ổ x2
ử
1e
e2 1
e2 ổ e2 1 ử e2 + 1
S = ỗỗ ln x ữữ - ũxdx = - x 2 = - ỗỗ - ữữ =
2 4 1 2 ố 4 4ứ
4
ố2
ứ1 2 1

Cõu 21. Din tớch hỡnh phng gii hn bi th cỏc hm s y = ax3 (a > 0) , trc honh v hai ng thng

x = -1, x = k (k > 0) bng
A. k = 1 .

B. k =

17a
. Tỡm k .
4

1
.
4

C. k =

1
.
2

D. k = 2 .
Kim Liờn H Ni Ln 2

Hng dn gii:
Ta ca th hm s y = ax 3 vi trc honh: ax3 = 0 x = 0
- ax 4
S = -ũax dx +ũax dx =
4
0
-1
0

k

3

3

0

ax 4
+
4
-1

k

=
0

a
17 a
1+ k 4 =
ị 1 + k 4 = 17 k = 2
4
4

(

)

Cõu 22. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x3 + 11x - 6, y = 6 x 2 , x = 0, x = 2 .
A.

4
.

3

B.

5
.
2

C.

8
.
3

D.

18
.
23

Hng dn gii:

ộx = 1
ờ
3
2
3
2
ờx = 2
h

x
x
x
x
x
x
x
h
x
11
6
6
6
11
6;
0
=
+
=
+
=

t ( )
()
ờ
ờx = 3 L
()
ở
Bng xột du:
x

0
1

(

)

h ( x)



0

2
+

0
6

NGDNGCATCHPHNTNHDINTCHPN|


/>
 
1

(

2

(

S = -ò x 3 - 6 x 2 + 11x - 6 dx +ò x 3 - 6 x 2 + 11x - 6 dx
0

)

1

1

)

2

æ x4
ö æ x4
ö
11x 2
11x 2
5
= - çç - 2 x 3 +
- 6 x ÷÷ + çç - 2 x 3 +
- 6 x ÷÷ =
2
2
è4
ø0 è 4
ø1 2

Câu 23. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 + x - 2, y = x + 2 và hai đường thẳng

x = -2; x = 3 . Diện tích của (H ) bằng:
A.

87
.
5

B.

87
.
4

C.

87
.
3

D.

87
.
5

Hướng dẫn giải:

(

)

Xét phương trình x 2 + x - 2 - ( x + 2) = 0 Û x 2 - 4 = 0 Û x = ±2
2

3

-2

2

S =ò x 2 - 4 dx +ò x 2 - 4 dx =

87
3

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số y =

a
. Khi đó b - a bằng:
b
A. 1.
B. 2.
Hướng dẫn giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

x2
trong miền
4

x ³ 0, y £ 1 là

x - 1 = 0 Þ x = 1; x -

C. 3.

D. 4.

x2
x2
= 0 Þ x = 0;1 =0Þ x= 2
4
4

7
1æ
2æ
x2 ö
x2 ö
5
S =òçç x - ÷÷dx +òçç1 - ÷÷ dx =
4ø
4ø
6
0è
1è

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       

/>


Cõu 25. Hỡnh phng gii hn bi th hm s (C ) : y =

- x2 + 4x - 4
, tim cn xiờn ca (C ) v hai ng
x -1

thng x = 0, x = a (a < 0) cú din tớch bng 5 . Khi ú a bng:

A. 1 - e 5 .

B. 1 + e 5 .
C. 1 + 2e5 .
D. 1 - 2e5 .
Hng dn gii:
TCX: y = - x + 3
0
a
ổ 1 ử
ổ 1 ử
a
5
Nờn S (a) =ũỗỗ ữữ dx =ũỗỗ
ữữ dx = ln x - 1 0 = ln (1 - a) ị ln (1 - a) = 5 a = 1 - e
0 ố x - 1ứ
a ố x - 1ứ
Cõu 26. Din tớch hỡnh phng gii hn bi (P) : y = x2 + 3 , tip tuyn ca (P) ti im cú honh x = 2 v

trc tung bng:

A.

8
.
3

B.

4
.
3

C. 2 .

D.

7
.
3

Hng dn gii:
PHNG TRèNHTT ca (P) ti x = 2 l y = 4 x + 3

ộx = 0
Phng trỡnh honh giao im: x 2 + 3 - (4 x + 3) = 0 x 2 - 4 x = 0 ờ
ờởx = 2

(

2

(

2

)

2

2

(

S =ũ x - 4 x + 4 dx = ũ
0

0

)

ổ x3
ử
8
x - 4 x + 4 dx = ỗỗ - 2 x 2 + 4 x ữữ =
ố3
ứ0 3
2

)

Cõu 27. Din tớch hỡnh phng gii hn bi parabol (P) : y = x 2 - 2 x + 2 , tip tuyn vi nú ti im M (3;5) v
trc Oy l giỏ tr no sau õy?

A. S = 4 .

B. S = 9 .
Hng dn gii:
y ' = 2x - 2

C. S = 12 .

D. S = 27 .

Tip tuyn ca (P) ti im M (3;5) cú h s gúc k = y ' (3) = 4 .
Phng trỡnh tip tuyn: y = 4 ( x - 3) + 5 y = 4 x - 7 .
2

Phng trỡnh honh giao im: x 2 - 2 x + 2 = 4 x - 7 ( x - 3) = 0 x = 3 .
3 3

x - 3)
S =ũ( x - 3) dx = (
3
3

0

2

=9
0

8

Cõu 28. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = 2 x , y = 4 - x v trc Ox c tớnh bi cụng thc:

NGDNGCATCHPHNTNHDINTCHPN|


/>
 
4

4

2

4

4

0

0

0

2

0

(

)

A. ò 2 xdx +ò(4 - x) dx . B. ò 2 xdx +ò(4 - x) dx . C. ò 2 x - 4 + x dx .

2

(

)

D. ò 4 - x - 2 x dx .
0

Chuyên Lam Sơn – Lần 2
Hướng dẫn giải:

2 x = 0 Û x = 0; 4 - x = 0 Û x = 4; 2 x = 4 - x Û x = 2

Ta có:
2

4

Þ S =ò 2 xdx +ò(4 - x) dx
0

2

Câu 29. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:

A.

8
.
3

B.

11
.
3

C.

7
.
3

D.

10
.
3

Hướng dẫn giải:

é y = -1
Phương trình tung độ giao điểm: y 2 = y + 2 Û ê
êëy = 2
2
10
S =ò y + 2 - y 2 dy =
3
0

(

9

)

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Câu 30. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 1 + x 2 , trục hoành và đường thẳng x = 1 là:
A. S =

1
.
3

B. S =

2 2 -1
.
3

C. S =

2 2 +1
.
3

D. S = 2

(

)

2 -1 .

Hướng dẫn giải:
éx = 0
Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 + x 2 = 0 Û ê
Ûx = 0.
ê 1 + x2 = 0
ë
1

1

0

0

Diện tích hình phẳng: S =ò x 1 + x 2 dx =òx 1 + x 2 dx =

2 2 -1
3

Câu 31. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 3 + 2 x và y = 3 x 2 được tính theo công

thức:
2

(

1

A. S =ò x3 - 3x 2 + 2 x dx .
0

2

)

(

0

1

C. S =ò - x3 + 3 x 2 - 2 x dx .
0

(

2

(

)

(

)

B. S =ò x3 - 3x 2 + 2 x dx -ò x3 - 3 x 2 + 2 x dx .

)

(

1

2

D. S =ò x3 - 3x 2 + 2 x dx +ò x3 - 3x 2 + 2 x dx .

)

0

)

1

Hướng dẫn giải:
éx = 0
ê
Phương trình hoành độ giao điểm: x + 2 x = 3 x Û x x - 3 x + 2 = 0 Û êx = 1 .
ê
ëêx = 2
3

2

1

0

0

(

2

2

(

2

)

(

1

(

2

(

S =ò x3 + 2 x - 3 x 2 dx =ò x 3 - 3x 2 + 2 x dx +ò - x3 - 2 x + 3x 2 dx =ò x3 - 3 x 2 + 2 x dx -ò x3 - 3 x 2 + 2 x dx .

)

1

)

0

)

1

)

Câu 32. Kết quả của việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) : y = x 4 - 2 x 2 + 1 và trục Ox gần nhất

với giá trị nào sau đây?
A. S =

1
.
2

B. S = 1 .

C. S =

3
.
2

D. S = 2 .

Hướng dẫn giải:

(

2

Xét phương trình x 4 - 2 x 2 + 1 = 0 Û x 2 - 1 = 0 Û x = ±1 .
1

4

2

1

1

(

S =ò x - 2 x + 1 dx =ò
-1

-1

)

æ x5 2 x3
ö
8 -8 16
+ x ÷÷ = =
x - 2 x + 1 dx = çç 3
è5
ø -1 15 15 15
4

2

)

Câu 33. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x 2 - 4 và y = x - 4 .

43

A. S =
.
6

161
B. S =
.
6

1
C. S = .
6

10

5
D. S = .
6
Chuyên Chu Văn An – Lần 2

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>


Hng dn gii:

ộx = 0
Phng trỡnh honh giao im: x 2 - 4 = x - 4 x 2 - x = 0 ờ

ờởx = 1
1
1
1
ị S =ũ x 2 - 4 - ( x - 4) dx =ũ x 2 - x dx =
6
0
0

(

)

Cõu 34. Khi tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th cỏc hm s y = x 3 , y = 2 x - x 2 , mt hc sinh tớnh

theo cỏc bc sau:
ộx = 0
ờ
Bc 1: Phng trỡnh honh giao im: x = 2 x - x ờx = 1 .
ờ
ờởx = -2
3

1

(

2

Bc 2: S =ũ x3 - 2 x - x 2 dx .

-2

1

)

(

Bc 1: S = ũ x3 + x 2 - 2 x dx =
-2

)

9
(dvdt) .
4

Cỏch gii trờn ỳng hay sai? Nu sai thỡ sai t bc no?
A. Bc 3.
B. ỳng.
C. Bc 2.

D. Bc 1.
Chuyờn Trn Phỳ Ln 2

Hng dn gii:
Li gii ỳng n bc 2. Bc 3 sai vỡ:
1

(

0

(

1

(

S =ũ x3 - 2 x - x 2 dx =ũ x3 + x 2 - 2 x dx +ũ 2 x - x 2 - x3 dx =
-2

)

-2

)

0

)

37
12

Cõu 35. Din tớch hỡnh phng gii hn bi y = x3 , y = 4 x l:
A. 8.

B. 9.
Hng dn gii:

C. 12.

D. 13.

ộx = -2
ờ
Phng trỡnh honh giao im: x3 = 4 x ờx = 0
ờ
ởờx = 2
0

(

3

)

2

-2

(

ị S = ũ x - 4 x dx +ũ
-2

0

2

ổ x4
ử
ổ x4
ử
x - 4 x dx = ỗỗ - 2 x 2 ữữ + ỗỗ - 2 x 2 ữữ = 8
ố4
ứ0
ố4
ứ0

)

3

Cõu 36. Din tớch hỡnh phng c gii hn bi parabol y = 2 - x 2 v ng thng y = - x l:
A.

7
.
2

B.

9
.
4

C. 3 .

D.

9
.
2

11

Hng dn gii:
NGDNGCATCHPHNTNHDINTCHPN|


/>
 

éx = -1
Ta có 2 - x 2 = - x Û ê
và 2 - x 2 ³ - x, "x Î [ - 1; 2]
êëx = 2
2

æ
x 2 x3 ö
9
S =ò(2 + x - x )dx = çç2 x + - ÷÷ =
2 3 ø -1 2
-1
è
2

2

Câu 37. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 x3 - 3x 2 + 1 và y = x3 - 4 x 2 + 2 x + 1 là:
A.

37
.
13

B.

37
.
12

D. 4 .

C. 3 .

Hướng dẫn giải:
éx = -2
ê
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x3 - 3 x 2 + 1 = x3 - 4 x 2 + 2 x + 1Û êx = 0
ê
êëx = 1
0

1

æ x4 x3

ö
æ x 4 x3
ö
37
S =ò x + x - 2 x dx = ò( x + x - 2 x)dx +ò( x + x - 2 x)dx = çç + - x 2 ÷÷ + çç + - x 2 ÷÷ =
0
-2
-2
è4 3
ø -2 è 4 3
ø 0 12
1

3

0

2

3

1

2

3

2

Câu 38. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2 - 2 y + x = 0, x + y = 0 là:

A.

9
.
4

B.

9
.
2

C.

7
.
2

D.

11
.
2

Hướng dẫn giải:
Biến đổi về hàm số theo biến số y là: x = - y 2 + 2 y, x = - y

éy = 0
Phương trình tung độ giao điểm: - y 2 + 2 y - (- y) = 0 Û ê
êëy = 3

3
3
9
S =ò- y 2 + 3 y dy =ò - y 2 + 3 y dy =
2
0
0

(

(

)

)

Câu 39. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình x - y 2 = 0 và x + 2 y 2 - 12 = 0
bằng:
A. S = 15 .
B. S = 25 .
C. S = 30 .
Hướng dẫn giải:
Phương trình tung độ giao điểm: y 2 = 12 - 2 y 2 Û y 2 = 4 Û y = ±2 .
2

2

-2

-2

(

(

S =ò3 y 2 - 12 dy =ò -3 y 2 + 12 dy = - y 3 + 12 y

)

)

2
-2

D. S = 32 .

= 16 - (-16) = 32

Câu 40. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 + 2 và y = 3 x là:
A. S = 2 .

B. S = 3 .

C. S =

1
.
2

D. S =

12

1
.
6

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>
 

Hướng dẫn giải:

éx = 1
Phương trình hoành độ giao điểm: x 2 + 2 = 3 x Û ( x - 1)( x - 2) = 0 Û ê
êëx = 2
2

æ x3 3x 2
ö
2 æ 5ö 1
S =ò x + 2 - 3 x dx =ò - x + 3 x - 2 dx = çç- +
- 2 x ÷÷ = - - çç- ÷÷ =
2
3 è 6ø 6
1
1
è 3

ø1
2

2

2

(

2

)

Câu 41. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 - x và đồ thị hàm số y = x - x 2 .
A. S =

37
.
12

B. S =

9
.
4

81
.
12

C. S =

D. S = 13 .
Đề minh họa 2017 – Lần 1

Hướng dẫn giải:
éx = 0
ê
Phương trình hoành độ giao điểm: x - x = x - x Û x + x - 2 x = 0 Û êx = 1 .
ê
êëx = -2
3

2

3

2

1

0

1

0

-2

-2

0

-2

(

1

(

S =ò x 3 + x 2 - 2 x dx =ò x3 + x 2 - 2 x dx +ò x 3 + x 2 - 2 x dx =ò x3 + x 2 - 2 x dx -ò x3 + x 2 - 2 x dx
æ x 4 x3
ö
= çç + - x 2 ÷÷
è4 3
ø

0

æ x 4 x3
ö
- çç + - x 2 ÷÷
è4 3
ø
-2

1

=

0

)

0

)

8 5 37
+ =
3 12 12

Câu 42. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 - 1 , y = x + 5 . Diện tích của (H ) bằng:
A.

71
.
3

B.

73
.
3

C.

70
.
3

D.

74
.
3

Hướng dẫn giải:
Xét phương trình x 2 - 1 = x + 5 có nghiệm x = -3, x = 3
3

(

3

))

S =ò x 2 -1 - x + 5 dx = 2ò x 2 -1 - ( x + 5) dx
-3

(

0

2

Bảng xét dấu x - 1 trên đoạn [0;3]
0

x

x2 - 1
1

(

3

–

(

S = 2ò - x 2 - x - 4 dx +ò x 2 - x - 6 dx =
0

)

1

1
0

)

3
0

+

73

3

Câu 43. Hình phẳng (H ) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x 2 - 4 x + 3 , y = x + 3 . Diện tích của (H )

13

bằng:

A.

108
.
5

B.

109
.
5

C.

109
.
6

D.

119
.

6

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>


Hng dn gii:
ộx = 0
Phng trỡnh honh giao im: x 2 - 4 x + 3 = x + 3 ờ
ờởx = 5
1
3
5
109
S =ũ - x 2 + 5 x dx +ũ x 2 - 3 x + 6 dx +ũ - x 2 + 5 x dx =
6
0
1
3

(

(

)

(

)

)

Cõu 44. Din tớch hỡnh phng c gii hn bi hai th hm s y =
A.

1
.
12

B.

1
.
13

C.

x v y =

1
.
14

D.

3

x l:

1
.
15

Hng dn gii:

ộx = 0
x = 3 x ờ
ờởx = 1

Phng trỡnh honh giao im:
1

Nờn S =ũ
0

1

1

ổ2 3 3 3 4 ử
1
x - x dx = ũ( x - x )dx = ỗỗ
x x ữữ =
4
ố3
ứ 0 12
0
3

3

Cõu 45. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc ng y = x v x - 2 y = 0 bng vi din tớch hỡnh no sau
õy:
A. Din tớch hỡnh vuụng cú cnh bng 2.
B. Din tớch hỡnh ch nht cú chiu di, chiu rng ln lt 5 v 3.
C. Din tớch hỡnh trũn cú bỏn kớnh bng 3.

D. Din tớch ton phn khi t din u cú cnh bng

24 3
.
3

Hng dn gii:
Phng trỡnh honh giao im l
4

S =ũ
0

x=

ộx = 0
x
ùỡ x 0
.
ớ
ờ

2
ờởx = 4
2
ợù4 x = x
4

ổ 2 x3 x 2 ử
4
ổ
x
xử
4
x - dx =ũỗỗ x - ữữ dx = ỗ
- ữ =
ỗ 3
2
2ứ
4 ữứ
3
0ố
ố
0

(

)

Cõu 46. Gi (H ) l hỡnh phng c gii hn bi th hai hm s y = 1 + e x x, y = (1 + e) x . Din tớch ca

(H ) bng:

A.

e -1
.
2

B.

e-2
.
2

C.

e+2
.
2

D.

Hng dn gii:

(

Phng trỡnh honh giao im: 1 + e

x

)

ộx = 0
x = (e + 1) x x e - e = 0 ờ
ởờx = 1

(

x

e +1
.
2
14

)

NGDNGCATCHPHNTNHDINTCHPN|


/>

1

(

1

)

(

)

S =ũ x e x - e dx =ũx e - e x dx
0

0

ỡùu = x
ỡùdu = dx
ịớ
t ớ
x
ùợdv = e - e dx ùợv = ex - e x

(

)

1

1
1
ổ ex 2 x ử
e
e-2
+ e ữữ = - + e - 1 =
S = ộờởx ex - e x ựỳỷ -ũ ex - e x dx = ỗỗ.
0
2
2

0
ố 2
ứ0

(

)

(

)

Cõu 47. Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th cỏc hm s y = x 2 , y =
A. S = 234 .

B. S = 27 ln 3 .

C. S =

26
.
3

x2
27
,y=
.
27
x
26

.
3
S GDT Hi Dng

D. S = 27 ln 3 -

Hng dn gii:
Ta giao im gia cỏc th:
ỡ
27
ỡ y = x2
ỡ y = x2
ùy =
ùù
ù
ù
x
; B (3;0) : ớ
O (0;0) : ớ
27
x 2 ; A (9;0) : ớ
2
x
ùy =
ù
ùy =
ùy =
x
ợù
27

ợù
27
ợ
3
9
x2
x 2 27
26 ổ
26 ử
ị S =ũ x 2 + ỗỗ27 ln 3 - ữữ = 27 ln 3
dx +ũ dx =
27
x
3 ố
3ứ
0
3 27
Cõu 48. Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc th hm s y = x 2 ; y =
A. 27 ln 2 .
B. 27 ln 3 .
Hng dn gii:
Xột cỏc phng trỡnh honh giao im:

C. 28ln 3 .

1 2
27
bng:
x ;y=
27

x
D. 29 ln 3 .

x2
27
x 2 27
2
x = 0 x = 0; x = 0 x = 3; = 0 x = 9
27
x
27 x
2

15

NGDNGCATCHPHNTNHDINTCHPN|


/>
 

3æ
9æ
x2 ö
27 x 2 ö
S =òçç x 2 - ÷÷dx +òçç - ÷÷ dx = 27 ln 3
27 ø
27 ø
0è
3è x

Câu 49. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y = 8 x, y = x và

a
. Khi đó a + b bằng:
b
A. 65.
B. 66.
C. 67.
Hướng dẫn giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
éx = 0
éx = 0
8 x - x = 0 Û x = 0;8 x - x 3 = 0 Û ê
; x - x3 = 0 Û ê
ê
êëx = 1
ëx = 2 2
đồ thị hàm số y = x3 là

D. 68.

16

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |       


/>
 

1

2 2

0

1

(

Nên S =ò(8 x - x)dx + ò 8 x - x3 dx =

)

63
4

ìï- x, neu x £ 1
10
a
Câu 50. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = í
và y = x - x 2 là . Khi
3
b
ïî x - 2, neu x>1
đó a + 2b bằng:
A. 15.
B. 16.
C. 17.
D. 18.

Hướng dẫn giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
10
10
x - x 2 = - x Û x = 0; x - x 2 = x - 2 Û x = 3
3
3
1
3
æ10
ö
æ10
ö
13
S =òçç x - x 2 + x ÷÷dx +òçç x - x 2 - x + 2 ÷÷ dx =
2
ø
ø
0è 3
1è 3

17

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN – TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN |