SKKN ỨNG DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN LỚP 8

MỤC LỤC
1.1. Lí do chọn đề tài...............................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................................3
1.4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................................3
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................................5
2.1.1. Đối với giáo viên.......................................................................................................5
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến...............................................................6
Lớp..........................................................................................................................................6
Sĩ số.........................................................................................................................................6
Giỏi..........................................................................................................................................6
Khá..........................................................................................................................................6
Trung bình...............................................................................................................................6
Yếu..........................................................................................................................................6
Kém.........................................................................................................................................6
SL............................................................................................................................................6
%.............................................................................................................................................6
SL............................................................................................................................................6
%.............................................................................................................................................6
SL............................................................................................................................................6
%.............................................................................................................................................6
SL............................................................................................................................................6
%.............................................................................................................................................6
SL............................................................................................................................................6
8A............................................................................................................................................6
39.............................................................................................................................................6
7...............................................................................................................................................6
18.............................................................................................................................................6
13.............................................................................................................................................6
33,3..........................................................................................................................................6
15.............................................................................................................................................6
38,5..........................................................................................................................................6

4...............................................................................................................................................6
10,2..........................................................................................................................................6
0...............................................................................................................................................6
8B............................................................................................................................................6
40.............................................................................................................................................6
2...............................................................................................................................................6
5...............................................................................................................................................6
5...............................................................................................................................................6
12.5..........................................................................................................................................6
19.............................................................................................................................................6
47,5..........................................................................................................................................6
9...............................................................................................................................................6
22,5..........................................................................................................................................6
5...............................................................................................................................................6
Tổng........................................................................................................................................6
79.............................................................................................................................................6
9...............................................................................................................................................6
11,4..........................................................................................................................................6


18.............................................................................................................................................6
22,8..........................................................................................................................................6
34.............................................................................................................................................6
43.............................................................................................................................................6
13.............................................................................................................................................6
16,5..........................................................................................................................................6
5...............................................................................................................................................6
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề................................................................6
2.3.1 Cơ sở lý thuyết...........................................................................................................6
2.3.2.Một số dạng toán vận dụng........................................................................................7

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...............................................................................................18
3.1. Kết luận..........................................................................................................................18
3.2. Kiến nghị đề xuất...........................................................................................................18

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong trường THCS bộ môn toán là một trong những bộ môn được coi
trọng, và nó là bản lề cho học sinh học tốt các môn khoa học tự nhiên khác. Để
thực hiện mục đích giảng dạy hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của
việc dạy và học với hướng đổi mới phương pháp dạy học là tích cực hóa hoạt
động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình
thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo, nâng cao năng lực, phát
hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Do đó
việc giảng dạy toán ở trường THCS là vấn đề hết sức nặng nề. Để học sinh hiểu
thấu đáo các vấn đề về toán, đòi hỏi người giáo viên giảng dạy bộ môn phải hết
sức nhạy bén với sự thay đổi của dạng toán từ đó có phương pháp phù hợp với
các đối tượng học sinh của mình.
Xuyên suốt quá trình học đại số, kỹ năng vận dụng “ bảy hằng dẳng thức
đáng nhớ” là công cụ cơ bản, sử dụng nhiều trong biến đổi các biểu thức đại số.
Trong quá trình giảng dạy môn đại số lớp 8 bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một
phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8. Nó theo suốt quãng
đường học tập của các em. Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực
hiện giải toán được nhanh hơn và chính xác. Và cũng nhờ nó mà các em có thể
phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý.
Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc
từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi
kiến thức.
Quá trình giảng dạy môn toán 8 nhất là bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, tôi

thấy ở học sinh kỹ năng vận dụng “ bảy hằng đẳng thức đáng nhớ” còn yếu,
chưa linh hoạt, dẫn đến vận dụng kỹ năng này trong phân tích đa thức thành
nhân tử, rút gọn biểu thức còn chưa thành thạo hoặc sai sót. Do vậy kết quả môn
toán lớp 8 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do học sinh yếu về kỹ năng
làm bài. Ngoài ra việc áp dụng vào làm bài tập rất khó bởi vì các em mới tiếp
xúc với bảy hằng đẳng thức đáng nhớ cho nên việc vân dụng vào làm các dạng
2


bài tập là không đơn giản một chút nào đối với học sinh .Thông qua quá trình
giảng dạy và sự hiểu biết của tôi, để giúp học sinh có cách nhìn nhận 7 hằng
đẳng thức đáng nhớ vào các dạng bài tập, tôi xin đưa ra sáng kiến kinh nghiệm :
“Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8 ở trường THCS
Nga An”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng tư duy trí tuệ, hình thành những
phẩm chất tư duy khoa học, giúp học sinh hứng thú trong học tập phát huy cao
độ tính tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, năng lực hoạt động và tự học của học
sinh.
Học sinh nhìn nhận ra hằng đẳng thức trong phép toán hay biểu thức một
cách rõ ràng, chính xác. Nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy học và trình độ phát
triển của học sinh, tạo niềm tin cho học sinh trong việc học môn toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 8A và 8B trường THCS Nga An.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp đọc sách và tài liệu.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề.

3


4


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình đại số lớp 8 thì chương I “ Phép nhân và phép chia
các đa thức” trong đó có các bài: “Những hằng đẳng thức đáng nhớ”. Với tất cả
3 tiết lí thuyết và 2 tiết luyện tập thì học sinh phần nào đã hiểu và nắm rõ những
kiến thức cơ bản về những hằng đẳng thức. Nhưng việc nắm chắc và hiểu sâu để
sau này vận dụng vào các kiến thức có liên quan như: Phân tích đa thức thành
nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và xa hơn nữa là các dạng
toán như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … cũng được vận dụng những hằng
đẳng thức rất nhiều. Do đó mức độ kiến thức mà các em đạt được chưa thể nói là
thỏa mãn các yêu cầu người dạy và người học toán.
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là bước chuyển tiếp quan trọng về tư duy
để giúp học sinh học tốt được chương trình đại số 8 và 9. Hệ thống các bài tập
đa dạng phong phú được thể hiện dưới nhiều hình thức, từ đó đòi hỏi học sinh
phải có phương pháp hợp lí để tìm được lời giải cho bài toán. Vì vậy việc hướng
dẫn học sinh tìm được phương pháp giải bài toán là hết sức quan trọng để khơi
dậy hứng thú học tập, giúp học sinh học toán nhẹ nhàng hào hứng, đạt kết quả
tốt hơn.
2.1.1. Đối với giáo viên
Cơ bản là có tinh thần tự bồi dưỡng thường xuyên, liên tục để nâng cao
trình độ chuyên môn nghệp vụ. Có trách nhiệm đối với học sinh, đối với trường
lớp.
Phương pháp giảng dạy có sự đổi mới hơn theo hướng tích cực hóa hoạt

động của người học, từng bước áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên chú trọng đến việc khai thác bằng
nhiều phương pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lô gích khả
năng diễn đạt chính xác ý tưởng của mình, nhằm hình thành cho học sinh tư duy
tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực, phát hiện giải quyết ván đề, rèn
luyện kỹ năng vào vận dụng thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui,
hứng thú học tập cho học sinh.
Tuy nhiên trong tiết dạy giáo viên còn dạy nhanh, dàn trải chưa làm nổi
bật trọng tâm của bài học, chưa gây được hứng thú học tập của học sinh. Giáo
viên chưa chỉ ra những tình huống mà các em dễ nhầm lẫn qua đó góp phần
củng cố kỹ năng cho học sinh.
2.1.2. Đối với học sinh
Một bộ phận học sinh, khoảng 20% rất tích cực học tập, rèn luyện, có
động cơ học tập đúng đắn nên có kết quả học tập tốt.
Một bộ phận lớn học sinh, khoảng 45% có kết quả học tập trung bình,
trong số này có khoảng 25% nếu có phương pháp học phù hợp thì sẽ đạt mức
khá.
Số còn lại 35% học yếu, trên lớp hầu như không tiếp thu được bài học,
trong đó phần lớn là do các em không có phương pháp học toán phù hợp, không
có kĩ năng phân tích, tìm lời giải cho bài toán.
5


Qua tìm hiểu tôi thấy nguyên nhân do trong quá trình dạy học thầy cô
giáo chưa hướng dẫn học sinh phương pháp học tập đúng đắn, các hình thức tổ
chức các hoạt động dạy học trong giờ học chưa phong phú nên chưa kích thích
được học sinh hứng thú học tập.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Hiện nay trong trường THCS, việc dạy - học nói chung đã có những
chuyển biến theo hướng tích cực, học sinh chủ động trong hoạt động học tập của

mình.
Tuy nhiên, qua các tiết luyện tập cũng như trong quá trình học và làm bài
của các em cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ của các em còn
mơ hồ, lẫn lộn giữa hằng đẳng thức này với hằng đẳng thức kia.
Trong quá trình làm bài tập học sinh chưa biết dự đoán, nhận dạng mà
chủ yếu là giáo viên phải hướng dẫn các em bằng những câu hỏi gợi mở dẫn dắt
gần như làm sẵn.
Qua bài kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng các hằng đẳng thức vào giải
toán còn chậm, chưa linh hoạt hoặc có sử dụng thì còn nhầm lẫn giữa các hằng
đẳng thức với nhau.
Thực tế như trên cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức và vận dụng
bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng túng nên kết
quả bài làm chưa cao.
Trước thực trạng trên tôi luôn trăn trở và tìm cách khắc phục nhằm nâng
cao hiệu quả dạy học bộ môn.
Kết quả của thực trạng:
Năm học 2016-2017 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8
lớp 8A và 8B ngay từ đầu năm học. Sau khi học xong nội dung bài “Những hằng
đẳng thức đáng nhớ” tôi đã cho các em làm bài kiểm tra viết, thời gian làm bài
45 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức và kĩ năng vận dụng
những hằng đẳng thức vào làm bài tập. Kết quả thu được như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình Yếu
Kém
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%

SL
%
SL %
SL
%
8A
39
7
18
13
33,3 15
38,5 4
10,2 0
0
8B
40
2
5
5
12.5 19
47,5 9
22,5 5
12,5
Tổng 79
9
11,4 18
22,8 34
43
13 16,5 5
6,3

Kết quả khảo sát trên cho thấy, tỉ lệ học sinh yếu - kém còn cao. Từ thực
trạng trên để chất lượng môn toán đạt hiệu quả tốt hơn, tôi đã mạnh dạn cải tiến
nội dung, phương pháp đi sâu vào việc phát huy tính tích cực của học sinh thông
qua đề tài này .
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
* Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A– B)2 = A2 – 2AB + B2

6


3. A2 – B2 = (A– B) (A+B)
4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6. A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 )
7. A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 )
* Một số hằng đẳng thức tổng quát ( Dành cho học sinh giỏi)
1. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)
2. an + bn = (a+ b)(an-1 - an-2b + … - abn-2 + bn-1) với n lẻ.
2.3.2.Một số dạng toán vận dụng
Dạng 1: Vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức: từ tổng thành tích, từ tích
thành tổng.
Phương pháp:
Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện hằng đẳng thức.
Bài tập:
Bài 1: Tính
a) (2 + xy)2
b) (5 – 3x)2

c) (5 – x2)(5 + x2)
d) (5x – 1)3
e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
f) (x + 3)(x2 – 3x + 9)
Bài giải:
a) (2 + xy)2 = 22 + 2 . 2 . xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x2y2
b) (5 – 3x)2= 52 – 2 . 5 . 3x + (3x)2 = 25 – 30x + 9x2
c) (5 – x2)(5 + x2) = 52 – (x2)2 = 25 – x4
d) (5x – 1)3 = (5x)3 – 3 . (5x)2. 1 + 3 . 5x . 12 – 13 = 125x3 – 75x2 + 15x – 1
e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x – y)[(2x)2 + 2x . y + y2] = (2x)3 – y3 = 8x3 – y3
f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = x3 + 33 = x3 + 27.
Bài 2 : Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu.
a) 9x2 - 6x + 1;
b) x2+ 2x + 1
c) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) +1
d) 9x2 + y2 + 6xy
Bài giải:
a) 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2 . 3x . 1 + 12 = (3x – 1)2
b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) +1= (2x + 3y)2 + 2 . (2x + 3y) . 1 + 12
= (2x + 3y + 1)2
c) x2 + 2x + 1 = x2 + 2 . x . 1 + 12 = (x + 1)2
d) 9x2 + y2+ 6xy = (3x)2 + 2 . 3 . x . y + y2 = (3x + y)2
Bài 3: Tính
a) (a + b + c)2
b) (a + b – c)2
c) (a – b – c)2
Bài giải:
a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2+ 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

b) (a + b – c)2 = [(a + b) – c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 - 2ac - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ac.
c) (a – b –c)2 = [(a – b) – c]2 = (a – b)2 – 2(a – b)c + c2
7


= a2 – 2ab + b2 – 2ac + 2bc + c2
Dạng 2: Tính nhanh.
Phương pháp:
- Biến đổi hoặc thêm, bớt vào biểu thức đã cho để xuất hiện hằng đẳng
thức.
- Thực hiện hằng đẳng thức và các phép tính ta có kết quả.
Bài tập:
Bài 1: Tính nhanh:
a) 1012;
b) 1992;
c) 47.53.
Bài giải:
a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 . 100 + 1 = 10201
b) 1992= (200 – 1)2 = 2002 – 2 . 200 + 1 = 39601
c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491.
Bài 2: Tính nhanh:
a) 342 + 662 + 68 . 66;
b) 742 + 242 – 48 . 74.
Bài giải:
a) 342 + 662 + 68 . 66 = 342 + 2 . 34 . 66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000.
b) 742 + 242 – 48 . 74 = 742 - 2 . 74 . 24 + 242 = (74 - 24)2 = 502 = 2500
Bài 3: Tính nhanh:
a) 732 – 272;

b) 372 - 132
c) 20022 – 22
Bài giải:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100 . 46 = 4600
b) 372 - 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50 . 25 = 100 . 12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 . 2000 = 400800
Dạng 3 : Tính giá trị của biểu thức.
Phương pháp:
- Dựa vào các hằng đẳng thức thu gọn biểu thức.
- Thay giá trị của biến vào biểu thức thu gọn.
- Thực hiện phép tính các số ta có kết quả.
Bài tập:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức 49x2 – 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:
1
a) x = 5;
b) x =
7
Bài giải:
49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2 . 7x . 5 + 52 = (7x – 5)2
a) Với x = 5 thay vào biểu thức ta được (7 . 5 – 5)2 = (35 – 5)2 = 302 = 900
1
b) Với x = thay vào biểu thức ta được
7
(7 .

1
– 5)2 = (1 – 5)2 = (-4)2 = 16
7

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64
tại x = 6;
3
2
b) x – 6x + 12x- 8
tại x = 22.
8


Bài giải:
a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3 . x2. 4 + 3 . x . 42 + 43
= (x + 4)3
Với x = 6 thay vào biểu thức ta được (6 + 4)3 = 103 = 1000
b) x3 – 6x2 + 12x- 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 - 8
= (x – 2)3
Với x = 22 thay vào biểu thức ta được (22 – 2)3 = 203 = 8000
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a) x2 + 4x + 4 tại x = 98;
b) x3 + 3x2 + 3x + 1 tại x = 99
Bài giải:
a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2 . x . 2 + 22 = (x+ 2)2
Với x = 98 thay vào biểu thức ta được (98+ 2)2 =1002 = 10000
b) x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3 . 1 . x2 + 3 . x .12+ 13 = (x + 1)3
Với x = 99 thay vào biểu thức ta được (99+ 1)3 = 1003 = 1000000
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
a) x2 - y2 tại x = 87 và y = 13.
b) x3 - 3x2 + 3x - 1 tại x = 101
Dạng 4: Rút gọn biểu thức.
Phương pháp:
- Biến đổi biểu thức đã cho để xuất hiện dạng hằng đẳng thức.

- Thực hiện các hằng đẳng thức hợp lý ta được kết quả.
Bài tập:
Bài 1: Rút gọn các biểu thực sau:
a) (a + b)2 – (a – b)2;
b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3
c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2
Bài giải:
a) (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a - b)( a + b – a + b)
= 2a.2b = 4ab
3
3
b) (a + b) – (a – b) – 2b3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) –2b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b - 3ab2 + b3 – 2b3
= 6a2b
2
c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = 
( x + y + z ) −( x + y ) 

= z2
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
a. (x+y)2 + (x−y)2
b. 2(x−y)(x+y) + (x+y)2 + (x−y)2
c. (x−y+z)2+(z−y)2+2(x−y+z)(y−z)
Giải:
a. (x+y)2+(x−y)2 = x2+2xy+y2+x2−2xy+y2 = 2x2+2y2
b. 2(x−y)(x+y) + (x+y)2 + (x−y)2 = [(x+y) + (x−y)]2 = (2x)2 = 4x2
c. (x−y+z)2 + (z−y)2 + 2(x−y+z)(y−z)
= (x−y+z)2 + 2(x−y+z)(y−z) + (y−z)2 = [(x−y+x) + (y−z)]2
= x2.

9


Dạng 5: Chứng minh đẳng thức.
Phương pháp :
Dựa vào các hằng đẳng thức và biến đổi để được một biểu thức cần chứng
minh.
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng:
(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab;
(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab.
Áp dụng:
a) Tính (a – b)2 , biết a + b = 7 và a . b = 12.
b) Tính (a + b)2 , biết a - b = 20 và a . b = 3.
Bài giải:
a) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
- Biến đổi vế trái:
(a + b)2 = a2 +2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab = (a – b)2 + 4ab
Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
b) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Biến đổi vế phải:
(a + b)2 – 4ab = a2 +2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Vậy (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Áp dụng: Tính:
a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4 . 12 = 49 – 48 = 1
b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4 . 3 = 400 + 12 = 412
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Áp dụng: Tính a3 + b3 , biết a . b = 6 và a + b = -5

Bài giải:
a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Thực hiện vế phải:
(a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2
= a3 + b3
Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Thực hiện vế phải:
(a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 - 3a2b+ 3ab2 - b3 + 3a2b – 3ab2 = a3 – b3
Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
Áp dụng:
Với ab = 6, a + b = -5, ta được:
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (-5)3 - 3 . 6 . (-5)
= -53 + 3 . 6 . 5 = -125 + 90 = -35
Dạng 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
Phương pháp:
Dựa vào các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài tập:
10


Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 6x + 9;
b) 10x – 25 – x2
c) x3 - 8;
d) 125x2 – 64y2
Bài giải:
a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2 . x . 3 + 32 = (x + 3)2
b) 10x – 25 – x2 = -(-10x + 25 +x2) = -(25 – 10x + x2)
= -(52 – 2 . 5 . x – x2) = -(5 – x)2

c) x3 - 8 = x3 – (2)3 = (x - 2 )(x2 + x + 4)
d) 125x2 – 64y2 = (15x)2 - (8y)2 = (15x + 8y)(15x - 8y)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 + 27
b) (a + b)3 – (a – b)3
c) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
d) - x3 + 9x2 – 27x + 27.
Bài giải:
a) x3 + 27 = x3 + (3)3 = (x + 3)(x2 – 3x + 9)
b) (a + b)3 – (a - b)3 = [(a + b) – (a – b)][(a + b)2 + (a + b) . (a – b) + (a – b)2]
= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2b . (3a3 + b2)
c) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3 . (2x)2 . y +3 . 2x . y + y3
= (2x + y)3
d) - x3 + 9x2 – 27x + 27 = 27 – 27x + 9x2 – x3
= 33 – 3 . 32 . x + 3 . 3 . x2 – x3
= (3 – x)3
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 16 – (x–y)2
b) x3 - x
c) 2x - 2y - x2 + 2xy - y2
d) (x + y)2 - 9x2
Bài giải:
a) 16–(x–y)2 = 42–(x–y)2 = (4–x+y)(4+x–y)
b) x3 - x = x( x2 - 1) = x(x - 1) (x + 1)
c) 2x - 2y -x2 + 2xy –y = (2x -2y)-(x2 - 2xy +y2)
= 2(x - y) -(x - y)2
= (x - y) (2 - x + y)
2
2

d) (x + y) - 9x = (x + y -3x)(x + y +3x)
= (-2x + y)(4x + y)
Dạng 7: Tìm x.
Phương pháp:
- Dựa vào hằng đẳng thức dể phân tích đa thức thành nhân tử.
- Thu gọn các thừa số, nhận xét và giải tìm x.
Bài tập:
Bài 1: Tìm x, biết : a) x2 – 2x + 1 = 25
b) x3 – 3x2 = -3x +1
Bài giải:
a) x2 – 2x + 1 = 25
⇔ (x - 1)2 - 52 = 0
⇔ (x - 1 + 5)( x - 1 - 5) = 0
11


⇔ (x + 4)(x - 6) = 0
⇒ x + 4 = 0 hoặc x - 6 = 0
⇔ x = - 4 hoặc x = 6

Vậy x = - 4 ; x = 6
b) x3 – 3x2 = -3x +1
⇔ x3 – 3x2 + 3x – 1 = 0
⇔ (x - 1)3 = 0
⇔ x – 1 =0
⇔ x=1
Vậy x = 1
Bài 2: Tìm x
a) x2 - 2x +1 - 4 = 0
b) x2- 1 = 0

c) x2 - 10x = -25
Bài giải:
a) x2 - 2x +1 - 4 = 0
⇔ (x – 1)2 - 22 = 0
⇔ (x -1 + 2)( x – 1 - 2) = 0
⇔ ( x + 1)( x - 3 ) = 0
⇒ x + 1 = 0 hoặc x –3 = 0
⇒ x = -1 hoặc x = 3
Vậy x = 3 hoặc x = -1
c) x2 - 10x = -25
⇔ x2 -10x + 25 = 0
⇔ (x-5)2 = 0
⇒ x=5
Vậy x = 5
Dạng 8: Chứng minh tính chia hết.
Phương pháp:
- Phân tích đa thức đã cho thành nhân tử. Trong đó có ít nhất một thừa
số chia hết cho số đó.
- Phân tích đa thức đã cho thành tổng. Trong đó các số hạng phải chia
hết cho số đó.
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh rằng 55n+1 – 55n chia hết cho 54
Bài giải:
Ta có 55n + 1 – 55n = 55n . 55 - 55n = 55n (55 - 1)
= 55n . 54
Vì 54 chia hết cho 54 nên 55n . 54 luôn chia hết cho 54 với n là số tự nhiên.
Vậy 55n + 1 – 55n chia hết cho 54.
Bài 2: Chứng minh rằng (2n +5)2 – 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
Bài giải: Ta có
(2n +5)2 – 25 = (2n +5)2 – 52 = ( 2n + 5 - 5)(2n + 5 + 5)

= 2n (2n + 10) = 4n(n + 5)
2
Nên (2n +5) – 25 chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.
12


Bài 3: Chứng minh rằng (5n +2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Bài giải: Ta có
(5n +2)2 – 4 = (5n +2)2 – 22 = ( 5n + 2 - 2)(5n +2 +2)
= 5n (5n + 4)
Vì 5n chia hết cho 5 nên 5n(5n + 4) chia hết cho 5.
Nên (5n +2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Bài 4: Chứng minh rằng n3 - n hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Bài giải: Ta có
n3 – n = n(n2 – 1) = n(n - 1) (n + 1)
Vì n(n - 1) (n + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.
Vậy n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
Dạng 9 : Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến.
Phương pháp:
Dựa vào các hằng đẳng thức thu gọn biểu thức được kết quả không chứa
biến.
Bài tập:
Bài 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3)
b)( x - 1)2 + (x + 1)(3 – x).
c) (x + y)(x2 – xy + y2) +(x - y)( x2 + xy + y2) – 2x3
Bài giải:
a)
Ta có (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) = x3 + 33 – 54 – x3
= 27 – 54 = -27.

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với mọi x.
b)
( x - 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x +1 +3x – x2 – x + 3 = 4.
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với mọi x.
c)
(x + y)(x2 – xy + y2) +(x - y)( x2 + xy + y2) – 2x3
= (x3 + y3) + (x3 - y3) - 2x3 = 0.
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với mọi x, y.
Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
(2x + 3 )(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 - 1)
Bài giải:
(2x + 3 )(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 - 1) = (2x)3 + 33 – 8x3 + 2
= 8x3 + 27– 8x3 + 2 = 29
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến với mọi x.
Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
a) (x - 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7.
b) (x2 + 2x + 3)(3x2 – 2x + 1) – 3x2(x2 + 2) – 4x(x2 - 1).
c) (x + 3)3 – (x + 9)(x2 + 27)
Dạng 10: Chứng minh giá trị của biểu thức luôn dương, luôn âm.
Phương pháp:
Đưa biểu thức về dạng f(x) > 0 với ∀ x hoặc f(x,y) > 0 với ∀ x, y
f(x) < 0 với ∀ x hoặc f(x,y) < 0 với ∀ x, y

13


Bài 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn dương với mỗi giá trị của
biến
a) A = 4x2 + 4x + 2
b) B = 2x2 - 2x + 1

Bài giải:
a) A = 4x2 + 4x + 2 = (2x)2 + 2.2x.1 +1 +1 = (2x + 1)2 + 1
Vì (2x + 1)2 ≥ 0 với ∀ x ⇒ (2x + 1)2 + 1 ≥ 1 với ∀ x
⇒ (2x + 1)2 + 1> 0 với ∀ x
Vậy giá trị của biểu thức A luôn dương với mỗi giá trị của biến.
1
1
1 1
1
) = 2(x2 - 2. x + - + )
2
2
4 4
2
1
1
1
1
= 2[(x- )2 + ] = 2(x - )2 +
2
4
2
2
1
1
1
1
Vì 2(x - )2 ≥ 0 với ∀ x ⇒ 2(x - )2 + ≥
với ∀ x
2

2
2
2
1
1
⇒ 2(x - )2 + > 0 với ∀ x
2
2

b) B = 2x2 - 2x + 1 = 2(x2 - x +

Vậy giá trị của biểu thức B luôn dương với mỗi giá trị của biến.
Bài 2: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau luôn âm với mỗi giá trị của
biến.
C = -15 –x2 + 6x
Bài giải:
C = -15 –x2 + 6x = –x2 + 6x - 9 – 6 = - (x2 - 6x + 9) – 6
= - (x -3)2 - 6
Vì (x - 3)2 ≥ 0 với ∀ x
⇒ - (x - 3)2 ≤ 0 với ∀ x
⇒ - 6 - (x - 3)2 ≤ - 6 với ∀ x
=> - 6 - (x - 3)2 < 0 với ∀ x
Vậy giá trị của biểu thức C luôn âm với mỗi giá trị của biến.
Bài 3: Chứng minh rằng :
a) A = x(x -6) + 10 > 0 với ∀ x
b) B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 > 0 với ∀ x; y.
c) C = - x2 + 2x -7 < 0 với ∀ x
Dạng 11: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của đa thức.
Phương pháp:
- Nhỏ nhất: Min f(x) = m

+ Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh: f(x) ≥ m (m là hằng số) ∃ x0 : f(x0) = m
- Lớn nhất: Max f(x) = M
+ Dựa vào hằng đẳng thức chứng minh: f(x) ≤ M (M là hằng số) ∃ x0: f(x0) = M
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = x2 – 4x + 7
b) B = x2 + 8x
b) C = - 2x2 + 8x – 15
d) D = x2 + y2 – x – 6y + 10
Bài giải:
a) A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 ≥ 3
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

14


Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2.
c) C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 ≤ - 7
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2.
d) D = x2 + y2 – x – 6y + 10 = (x2 – x + 1) + ( y2 – 6y + 9)
1
1 3
+ + ) + (y – 3)2
2
4 4
1 2
3
3
=(x - ) + + (y – 3)2 ≥
2

4
4
1
Dấu “ =” xảy ra ⇔ x - = 0 và y – 3 = 0
2
1
⇔ x = và y = 3
2
3
1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức D là khi x = và y = 3
4
2

= (x2 – 2. x .

Bài 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức: P= x2 - 2x + 5
b) Tìm giá trị lớn nhất của đa thức : Q= 4x - x2 + 3
Bài giải:
a) P = x2 - 2x + 1 + 4 = (x2-2x+1)+4
= (x-1)2 +4 ≥ 4 với mọi x
Vậy min P = 4 khi x-1 = 0 khi và chỉ khi x=1
b) Q = -x + 4x – 4 + 7 = -(x2 - 4x + 4) + 7
= -(x - 2)2 + 7 ≤ 7 với mọi x
Vậy max Q = 7 khi x - 2 = 0 khi và chỉ khi x = 2
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) A = 4x2 + 4x + 2
b) B = 2x 2 - 2x + 1
c) C = x2 - x + 1
d) D = x – x2

e) E = x2 + y2 – x – 6y + 10

g) F =

2
6x − 5 − 9 x2

Dạng 12: Làm tính chia đa thức cho đa thức.
Phương pháp:
- Xem đa thức bị chia và đa thức chia ở dạng hằng đẳng thức nào.
- Biến đổi đa thức về dạng tích và rút gọn ta có kết quả.
Bài 1: Làm tính chia:
a) (x3 + 8y3) : (x + 2y)
b) ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3)
Bài Giải :
a) (x3 + 8y3) : (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 2xy +y2) : (x+ 2y)
= x2 – 2xy +y2
b) ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) = [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3)
= ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3)
= x-y+3
Bài 2: Làm tính chia:
a) (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2)
b) (x2 – 2xy +y2) : (y – x)
c) (4x2 – 9y2) : (2x – 3y)
d) (27x3 – 1) : (3x – 1)

15

Bài giải:
a) (x3 – 3x2y + 3xy2 – y3) : (x2 – 2xy +y2) = (x – y)3 : (x - y)2
= ( x - y)
2
2
2
b) (x – 2xy +y ) : (y – x) = (y - x) :(y - x) = y – x.
c) (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) = (2x – 3y)(2x + 3y) : (2x – 3y)
= 2x +3y
3
d) (27x – 1) : (3x – 1) = [(3x)3 – 1] : (3x – 1)
= (3x – 1) (9x2 + 3x + 1) : ( 3x – 1)
= 9x2 + 3x + 1
Dạng 13: Một số bài toán nâng cao.
Bài 1. Tính :
a) A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b) B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
Bài giải:
a) A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)
A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)
A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005
A = ( 1 + 2005 ). 2005 : 2 = 2011015
Bài 2. Chứng minh rằng:
a) 7.52n + 12.6n M19 ( n ∈ N)
b) 11n+2 + 122n+1 M133 ( n∈ N)
Bài giải:
a) 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n M19
Vì (25n – 6n) M(25 – 6) nên (25n – 6n) M19 và 19.6n M19
Vậy 7.52n + 12.6n M19 (n∈ N)

b) 11n+2 + 122n+1 M133 = 112 . 11n + 12.122n
= 12.(144n – 11n) + 133.11n M133
Vì (144n – 11n) M(144 – 11) nên (144n – 11n) M133
Bài 3. Tìm x, y, z biết rằng:
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Bài giải:
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
⇔ (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
⇔ (x + y + z)2 = 0 ; (x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0
⇒ x = - 5 ; y = -3; z = 8
11...15
Bài 4: Cho x = 1 2 3

n chöõsoá1

11...19
; y = 123 .
n chöõ
soá1

Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
Bài giải:
11...19
11...15
Ta có : y = 1 2 3 = 1 2 3 + 4 = x + 4
n chöõsoá1

n chöõ
soá1

16


Do đó: xy+4 = x(x+4)+4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
2
11...17
1
4
2
4
3
hay xy + 4 =
là số chính phương
n chöõsoá1

2.4. Hiệu quả của SKKN
Năm học 2017-2018 tôi cũng được nhà trường phân công giảng dạy bô
môn toán 8, lớp 8A và lớp 8B. Rút kinh nghiệm của những năm trước chất
lượng của học sinh thấp nên ngay khi bắt đầu vào dạy từ những hằng đẳng thức
đầu tiên tôi đã mạnh dạn vận dụng đề tài này vào giảng dạy và kết quả thu được
như sau:
+ Các em nắm bắt được kiến thức nhanh và áp dụng thành thạo vào giải
các bài tập.
+ Đa phần các em có hứng thú với bộ môn toán, chăm học hơn, việc bỏ
tiết hạn chế rõ rệt, học sinh đã mạnh dạn học hỏi từ bạn, từ thầy, cô giáo. Đa
phần các em thường xuyên phát biểu, trả lời được câu hỏi thắc mắc của giáo
viên về kiến thức đã học.
+ Đa phần lý thuyết đã được học sinh thuộc ngay trên lớp, áp dụng được
bài tập trong sách giáo khoa. Chất lượng của các em đang tiến bộ ngày càng rõ

rệt.
+ Thông qua kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện vừa qua bản thân có ba học
sinh tham gia dự thi thì cả ba em đều đạt giải, trong đó có một giải nhì và hai
giải ba.
+ Chất lượng giảng dạy trong năm học qua của bản thân được thể hiện
trong bảng sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
39
10 25,6 12 30,8 15 38,5
2
5,1
0
0
8B

40
4
10
9
22,5 22
55
5
12,5
0
0
Tổng

79

14

17,7

21

26,6

37

46,8

7

8,9

0

0

17


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm: “Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào
giải toán lớp 8 ở trường THCS Nga An”.cũng là một chuyên đề mà tôi thực
hiện tại trường đối với học sinh đại trà. Thông qua chuyên đề, qua thực tế khi đề
cập triển khai nội dung này tôi thấy học sinh rất hứng thú trong việc củng cố
kiến thức, tìm ra các phương pháp để giải toán, hứng thú với môn toán hơn. Qua
đây tôi cũng thấy được rằng giáo viên biết gợi cho học sinh tìm tòi, xây dựng
phương pháp giải từ những vấn đề mà giáo viên đặt ra khi được giải quyết học
sinh sẽ có hứng thú trong học tập.
3.2. Kiến nghị đề xuất
- Đối với học sinh đại trà đặc biệt là học sinh yếu, cần dành thêm tiết
luyện tập, những buổi học phụ đạo để các em nâng dần kỹ năng làm bài của
mình.
- Nhà trường cần tổ chức nhiều chuyên đề hơn nữa như về các dạng bài
tập, các phương pháp, cách trình bày bài, rèn kỹ năng.
- Xây dựng thêm cho học sinh một môi trường riêng để trao đổi thông tin
lẫn nhau, học nhóm, hay hoạt động ngoại khoá cho học sinh. Gia đình kết hợp
với nhà trường giáo dục ý thức cho các em một cách lành mạnh, không bạo lực.
Các dạng toán mà tôi trình bày ở trên có thể chưa thật điển hình, kiến thức
chưa được khai thác hết các dạng bài tập hoặc trong trình bày có gì sơ xuất rất
mong nhận được sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 8 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Phạm Thị Hường

18


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Phạm Thị Hường
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường THCS Nga An

TT
1.

Tên đề tài SKKN
Một số phương pháp chứng minh

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Phòng GD
và ĐT huyện
hai đường thẳng song song cho học
Nga Sơn
sinh lớp 7 trường THCS Nga An

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)
B

Năm học
đánh giá
xếp loại
2016 - 2017

19