Dãy số

WWW.DAYHOCTOAN.VN

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO ðỒNG NAI
Trường THPT BC Lê Hồng Phong

Giáo viên thực hiện

NGUYỄN TẤT THU

Năm học: 2008 – 2009

WWW.DAYHOCTOAN.VN

-1-


WWW.DAYHOCTOAN.VN

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................................... 1
LỜI MỞ ðẦU.............................................................................................................................. 3
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG
DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. ............................................................ 4
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ........... 24
III. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP............................................................................................... 30
BÀI TẬP ÁP DỤNG ................................................................................................................. 41

KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ...................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................................ 46

WWW.DAYHOCTOAN.VN

-2-


WWW.DAYHOCTOAN.VN

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

LỜI MỞ ðẦU
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan ñến dãy số là một phần
quan trọng của ñại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên qua ñến dãy số và ñặc biệt là bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng
quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ñã xác ñịnh ñược công thức tổng
quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như ñược giải quyết. Do ñó xác ñịnh công
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất ñịnh trong các bài toán dãy số.
Chuyên ñề “Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số ”
nhằm chia sẻ với các bạn ñồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ñịnh CTTQ
của dãy số mà bản thân ñúc rút ñược trong quá trình học tập và giảng dạy.
Nội dung của chuyên ñề ñược chia làm ba mục :
I: Sử dụng CSC – CSN ñể xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số
có dạng công thức truy hồi ñặc biệt.
II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác ñể xác ñịnh CTTQ của dãy số
III: Ứng dụng của bài toán xác ñịnh CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên ñề này ñã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy
nhiên trong chuyên ñề các kết quả ñó ñược xây dựng một cách tự nhiên hơn và ñược sắp

xếp từ ñơn giản ñến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và
phát triển tư duy cho các em học sinh.
Trong quá trình viết chuyên ñề, chúng tôi nhận ñược sự ñộng viên, giúp ñỡ nhiệt
thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi
xin ñược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.
Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên ñề sẽ có những thiếu sót. Rất
mong quý Thầy – Cô và các bạn ñồng nghiệp thông cảm và góp ý ñể chuyên ñề ñược tốt
hơn.
WWW.DAYHOCTOAN.VN

-3-


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT.
Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy
số có công thức truy hồi dạng ñặc biệt. Phương pháp này ñược xây dựng dựa trên
các kết quả ñã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết
chúng ta nhắc lại một số kết quả ñã biết về CSN – CSC .
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un = un −1 + d ∀n ≥ 2 , d là số thực không ñổi
gọi là cấp số cộng .
d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng ñầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số
ðịnh lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n − 1)d

(1).

ðịnh lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSC (un ) có công sai d. Ta có:
n
[2u + (n − 1)d ]
(2).
2 1
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un +1 = q.un ∀n ∈ ℕ * gọi là cấp số nhân công
bội q .
Sn =

n −1
ðịnh lí 3: Cho CSN (un ) có công bội q . Ta có: un = u1q
(3).

ðịnh lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng ñầu của CSN (un ) có công bội q . Ta có:
1 - qn
Sn = u1
1 -q

(4).

-4-


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

2. Áp dụng CSC – CSN ñể xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số ñặc biệt
Ví dụ 1.1: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi:

u1 = 1, un = un −1 − 2

∀n ≥ 2 .

Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSC có công sai d = −2 . Áp dụng kết quả (1) ta có:
un = 1 − 2(n − 1) = −2n + 3 .

Ví dụ 1.2: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi:
u1 = 3, un = 2un −1

∀n ≥ 2 .

Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSN có công bội q = 2 . Ta có: un = 3.2n −1 .
Ví dụ 1.3: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi:
u1 = −2, un = 3un −1 − 1

∀n ≥ 2 .

Giải:
Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN! Ta
thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số −1 ở VT. Ta tìm cách làm mất
−1 ñi và chuyển dãy số về CSN.
3 1
Ta có: −1 = − + nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau:
2 2
1
3
1

un − = 3un −1 − = 3(un −1 − ) (1).
2
2
2
1
5
ðặt vn = un − ⇒ v1 = − và vn = 3vn −1 ∀n ≥ 2 . Dãy (vn ) là CSN công bội q = 3
2
2
5
1
5
1
⇒ vn = v1.q n −1 = − .3n −1 . Vậy un = vn + = − .3n +
∀n = 1,2,...,.. .
2
2
2
2
3 1
Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tích −1 = − + ñể chuyển công thức
2 2
truy hồi của dãy về (1), từ ñó ta ñặt dãy phụ ñể chuyển về dãy (vn ) là một CSN. Tuy
nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích
3 1
−1 = − + ? Ta có thể làm như sau:
2 2

-5-

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k =

1
.
2

u = x 0
.
Với cách làm này ta xác ñịnh ñược CTTQ của dãy (un ) :  1
u
au
b
n
=
+
∀
≥
2
 n
n −1
Thật vậy:
* Nếu a = 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b .
ab
b
. Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như
−
a −1 a −1

b
b
b
b
= a(un −1 +
) , từ ñây ta có ñược: un +
= (u1 +
)a n −1
sau: un +
a −1
a −1
a −1
a −1
a n −1 − 1
Hay un = u1a n −1 + b
.
a −1
Vậy ta có kết quả sau:

* Nếu a ≠ 1 , ta viết b =

Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x 0 , un = aun −1 + b ∀n ≥ 2 (a,b ≠ 0 là các hằng số) có
CTTQ là:
u1 + (n − 1)b
khi a = 1

.
un = 
a n −1 − 1
n −1

+b
khi a ≠ 1
u1.a

a −1
Ví dụ 1.4: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñược xác ñịnh : u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − 1 .
Giải: ðể tìm CTTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n − 1 ñể chuyển về dãy số là một
CSN. Muốn làm vậy ta viết :
3n − 1 = −3n − 5 + 2 3(n − 1) + 5 (2).
Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như sau:
un + 3n + 5 = 2 un + 3(n − 1) + 5  .
ðặt vn = un + 3n + 5 , ta có: v1 = 10 và vn = 2vn −1 ∀n ≥ 2 ⇒ vn = v1.2n −1 = 10.2n −1
Vậy CTTQ của dãy (un ) : un = vn − 3n − 5 = 5.2n − 3n − 5 ∀n = 1,2, 3,... .
Chú ý : 1) ðể phân tích ñược ñẳng thức (2), ta làm như sau:

-6-


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

a − b = 2
a = −3
3n − 1 = an + b − 2 a(n − 1) + b  . Cho n = 1; n = 2 ta có: 
⇔
.
−
b
=
5
b

=
−
5


u
, trong ñó f (n )
2) Trong trường hợp tổng quát dãy un :  1
u
au
f
n
n
=
+
(
)
∀
≥
2
n −1
 n
là một ña thức bậc k theo n , ta xác ñịnh CTTQ như sau:
Phân tích f (n ) = g(n ) − ag(n − 1) (3) với g(n ) cũng là một ña thức theo n . Khi ñó ta

( )

có: un − g(n ) = a un −1 − g(n − 1) = ... = a n −1 u1 − g(1)
Vậy ta có: un = u1 − g (1) a n −1 + g (n ) .
Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh g(n ) như thế nào ?

Ta thấy :
*Nếu a = 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là một ña thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(n ) một bậc và
không phụ thuộc vào hệ số tự do của g(n ) , mà f (n ) là ña thức bậc k nên ñể có (3) ta
chọn g(n ) là ña thức bậc k + 1 , có hệ số tự do bằng không và khi ñó ñể xác ñịnh g(n )
thì trong ñẳng thức (3) ta cho k + 1 giá trị của n bất kì ta ñược hệ k + 1 phương trình,
giải hệ này ta tìm ñược các hệ số của g(n ) .
* Nếu a ≠ 1 thì g(n ) − ag(n − 1) là một ña thức cùng bậc với g(n ) nên ta chọn g(n ) là
ña thức bậc k và trong ñẳng thức (3) ta cho k + 1 giá trị của n thì ta sẽ xác ñịnh ñược
g(n ) .
Vậy ta có kết quả sau:
u = x 0
Dạng 2: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi:  1
, trong
un = a.un −1 + f (n )
ñó f (n ) là một ña thức bậc k theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau:
Ta phân tích: f (n ) = g(n ) − a.g(n − 1) với g(n ) là một ña thức theo n . Khi ñó, ta ñặt
vn = un − g(n ) ta có ñược: un = u1 − g(1) a n −1 + g(n ) .
Lưu ý nếu a = 1 , ta chọn g(n ) là ña thức bậc k + 1 có hệ số tự do bằng không, còn nếu
a ≠ 1 ta chọn g(n ) là ña thức bậc k .

u = 2
. Tìm CTTQ của dãy (un ) .
Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) :  1
u
u
n
=
+
2
+

1
 n
n −1

Giải: Ta phân tích 2n + 1 = g(n ) − g(n − 1) = a n 2 − (n − 1)2  + b n − (n − 1)


-7-


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

( trong ñó g(n ) = an 2 + bn ).
 −a + b = 1
Cho n = 0, n = 1 ta có hệ: 
⇔
a
b
3
+
=


a = 1
⇒ g(n ) = n 2 + 2n .

b
2
=


⇒ un = n 2 + 2n − 1 .

u1 = 1
Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : 
.Tìm CTTQ của dãy (un ) .
n
u
u
n
=
3
+
2
;
=
2,
3,...
 n
n −1

Giải: Ta vẫn bắt chước cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích:
2n = a.2n − 3a.2n −1 . Cho n = 1 , ta có: a = −2 ⇒ 2n = −2.2n + 3.2.2n −1
Nên ta có: un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 ) = ... = 3n −1(u1 + 4)
Vậy un = 5.3n −1 − 2n +1 .
Chú ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích

(

α n = k .α n − ak .α n −1 với (a ≠ α ) .

)

(

Khi ñó: un − kb.α n = a un −1 − kb.α n −1 = ... = a n −1 u1 − bk

)

Suy ra un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n .
Trường hợp α = a , ta phân tích α n = n.α n − α (n − 1).α n −1

(

)

⇒ un − bn.α n = α un −1 − b(n − 1).α n −1 = ... = α n −1(u1 − bα )

⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 . Vậy ta có kết quả sau.
u1
Dạng 3: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : 
, ta làm như
n
u
a
u
b
n
=
.

+
.
α
∀
≥
2
 n
n −1
sau:
• Nếu a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 .

• Nếu a ≠ α , ta phân tích α n = k .α n − ak .α n −1 . Khi ñó: un = a n −1(u1 − bk ) + bk .α n
Ta tìm ñược: k =

α
α −a

.

-8-


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

u1 = −2
Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un ) : 
.
n
n
5

2.3
6.7
12
;
2,
3,...
=
+
−
+
=
u
u
n
 n
n −1

3
k = −
2

7
l =

2
Hơn nữa 12 = −3 + 5.3 nên công thức truy hồi của dãy ñược viết lại như sau:

3n = k .3n − 5k .3n −1
Giải: Ta có:  n
cho n = 1 , ta ñược:

n
n −1
7
.7
5
.7
l
l
=
−


(

)

un + 3.3n + 21.7n + 3 = 5 un −1 + 3.3n −1 + 21.7n −1 + 3 = ... = 5n −1 (u1 + 9 + 147 + 3)

Vậy un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7n +1 − 3 .
u1 = 1
Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : 
.
n
u
u
n
n
=
2
+

3
−
;
∀
≥
2
 n
n −1

3n = 3.3n − 2.3.3n −1
Giải: Ta phân tích: 
nên ta viết công thức truy hồi của dãy


n
=
−
n
−
2
+
2
(
n
−
1)
+
2




như sau: un − 3.3n − n − 2 = 2 un −1 − 3.3n −1 − (n − 1) − 2 = ... = 2n −1(u1 − 12)



Vậy un = −11.2n −1 + 3n +1 + n + 2 .
u1 = p
Dạng 4: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : 
, trong
n
u
a
u
b
f
n
n
=
.
+
.
α
+
(
);
∀
≥
2
 n
n −1

ñó f (n ) là ña thức theo n bậc k , ta phân tích α n và f (n ) như cách phân tích ở dạng 2
và dạng 3.
Ví dụ 1.9: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − 2 ∀n ≥ 2.
Giải: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy (un ) bằng một dãy số khác là
một CSN. Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:

-9-


WWW.DAYHOCTOAN.VN

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

x + x 2 = 5
un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1un − 2 ) , do ñó ta phải chọn x1, x 2 :  1
hay x1, x 2 là
x
x
=
6
 1 2

nghiệm phương trình : x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3 . Ta chọn x1 = 2; x 2 = 3 . Khi ñó:
un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − 2 ) = ... = 3n −1(u1 − 2u 0 ) = 5.3n −1

⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 . Sử dụng kết quả dạng 3, ta tìm ñược: un = 5.3n − 6.2n .
Chú ý : Tương tự với cách làm trên ta xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi:
u 0 ; u1
, trong ñó a,b là các số thực cho trước và a 2 − 4b ≥ 0


un − a.un −1 + b.un − 2 =0 ∀n ≥ 2
như sau:

Gọi x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình : x 2 − ax + b = 0 (4) ( phương trình này
ñược gọi là phương trình ñặc trưng của dãy).
Khi ñó: un − x1.un −1 = x 2 (un −1 − x1.un − 2 ) = ... = x 2n −1(u1 − x1.u0 ) .
Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có các trường hợp sau:
x .u − u1 n u1 − x .u0 n
x1 +
x 2 . Hay un = k .x1n + l .x 2n , trong ñó
• Nếu x1 ≠ x 2 thì un = 2 0
x 2 − x1
y −x
k + l = u0
k, l là nghiệm của hệ: 
.
x
.
k
+
x
.
l
=
u
 1
2
1
u a


au
• Nếu x1 = x 2 = α thì un = α n −1  0 + (u1 − 0 )n  , hay un = (kn + l )α n −1 , trong
2
 2

l = α .u0
ñó k, l là nghiệm của hệ: 
.
k
+
l
=
u
1

Vậy ta có kết quả sau:

u ; u
Dạng 5: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) :  0 1
, trong
u
−
a
.
u
+
b
.
u

=
0
∀
n
≥
2
 n
n −1
n −2

ñó a,b, c là các số thực khác không; a 2 − 4b ≥ 0 ta làm như sau:
Gọi x1, x 2 là nghiệm của phương trình ñặc trưng: x 2 − ax + b = 0 .

WWW.DAYHOCTOAN.VN

- 10 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

k + l = u0
• Nếu x1 ≠ x 2 thì un = k .x1n + l .x 2n , trong ñó k, l là nghiệm của hệ : 
.
x
.
k
+
x
.
l

=
u
 1
2
1
l = α .u 0
• Nếu x1 = x 2 = α thì un = (kn + l )α n −1 , trong ñó k, l là nghiệm của hệ: 
.
k
+
l
=
u

1
u = 1; u1 = 2
Ví dụ 1.10: Cho dãy số un ñược xác ñịnh bởi :  0
.
u
=
4
u
+
u
∀
n
≥
1
 n +1
n

n −1
Hãy xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) .

( )

Giải:
Phương trình x 2 − 4x − 1 = 0 có hai nghiệm x1 = 2 + 5; x 2 = 2 − 5 .
k + l = 1
⇒ un = k .x1n + l .x 2n . Vì u 0 = 1; u1 = 2 nên ta có hệ: 
(2 + 5)k + (2 − 5)l = 2
1
1
⇔k =l = .
Vậy un = (2 + 5)n + (2 − 5)n  .

2
2

u = 1; u1 = 3
.
Ví dụ 1.11: Xác ñịnh CTTQ của dãy: (un ) :  0
un − 4un −1 + 4un − 2 = 0 ∀n = 2, 3,...
Giải:

Phương trình ñặc trưng x 2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2 nên un = (kn + l )2n −1
l = 2
Vì u 0 = 1; u1 = 3 nên ta có hệ: 
⇔ k = 1; l = 2 .
k + l = 3

Vậy un = (n + 2)2n −1 .
u0 = −1; u1 = 3
Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : 
2
un − 5un −1 + 6un − 2 = 2n + 2n + 1;
CTTQ của dãy (un ) .

∀n ≥ 2

. Xác ñịnh

Giải:
Với cách làm tương tự như Ví dụ 1.4, ta phân tích: 2n 2 + 2n + 1 =
- 11 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

= (kn 2 + ln + t ) − 5 k (n − 1)2 + l (n − 1) + t  + 6 k (n − 2)2 + l (n − 2) + t  (5)




19k − 7l + 2t = 1
k = 1


Ở (5) cho n = 0; n = 1; n = 2 ta có hệ: 7k − 5l + 2t = 5 ⇔ l = 8 .
 −k − 3l + 2t = 13
t = 19




ðặt vn = un − n 2 − 8n − 19 ⇒ v0 = −20; v1 = −25 và vn − 5vn −1 + 6vn − 2 = 0
α + β = −20
α = 15
⇒ vn = α .3n + β .2n . Ta có hệ: 
⇔
3α + 2β = −25
 β = −35

⇒ vn = 15.3n − 35.2n ⇒ un = 15.3n − 35.2n + n 2 + 8n + 19 .
u ; u
Chú ý : ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số: (un ) :  0 1
,
un + 1 + a.un + b.un −1 = f (n ) ; ∀n ≥ 2

( trong ñó f (n ) là ña thức bậc k theo n và a 2 − 4b ≥ 0 ) ta làm như sau:
• Ta phân tích f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) (6) rồi ta ñặt vn = un − g(n )
v = u0 − g(0); v1 = u1 − g(1)
Ta có ñược dãy số (vn ) :  0
. ðây là dãy số mà ta ñã xét
v
av
bv
n
+
+
=
0

∀
≥
2
 n
n −1
n −2
trong dạng 5. Do ñó ta sẽ xác ñịnh ñược CTTQ của vn ⇒ un .
• Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh g(n ) như thế nào ñể có (6) ?
Vì f (n ) là ña thức bậc k nên ta phải chọn g(n ) sao cho g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) là
một ña thức bậc k theo n . Khi ñó ta chỉ cần thay k + 1 giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ
xác ñịnh ñược g(n ) .

Giả sử g(n ) = am n m + am −1n m −1 + ... + a1n + a 0 (am ≠ 0 ) là ña thức bậc m . Khi ñó hệ
số của x m và x m −1 trong VP là: am .(1 + a + b) và  −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1  .
Do ñó :
i ) Nếu PT: x 2 + ax + b = 0 (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì
1 + a + b ≠ 0 nên VP(6) là một ña thức bậc m .
ii ) Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó có một nghiệm x = 1 ⇒ 1 + a + b = 0

và −(a + 2b)m.am + (1 + a + b)am −1 = −(a + 2b ).m.am ≠ 0 nên VP(6) là một ña thức bậc
m −1 .
iii ) Nếu PT (1) có nghiệm kép x = 1 ⇒ a = −2;b = 1 nên VP(6) là một ña thức bậc
m − 2.
Vậy ñể chọn g(n ) ta cần chú ý như sau:
- 12 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n ) là một ña thức cùng bậc với f (n )

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong ñó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn
g(n ) = n.h(n ) trong ñó h(n ) là ña thức cùng bậc với f (n ) .
Nếu (1) có nghiệm kép x = 1 thì ta chọn g (n ) = n 2 .h (n ) trong ñó h(n ) là ña thức
cùng bậc với f (n ) .
u ; u
,
Dạng 6: ðể tìm CTTQ của dãy (un ) :  0 1
u
a
u
b
u
f
n
n
+
.
+
.
=
(
)
;
∀
≥
2
 n
n −1
n −2

( trong ñó f (n ) là ña thức theo n bậc k và b 2 − 4ac ≥ 0 ) ta làm như sau:
Xét g(n ) là một ña thức bậc k : g(n ) = ak n k + ... + a1k + a 0 .

• Nếu phương trình : x 2 + ax + b = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích
f (n ) = g(n ) + ag(n − 1) + bg(n − 2) rồi ñặt vn = un − g(n ) .
• Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong ñó một nghiệm x = 1 , ta phân tích
f (n ) = n.g(n ) + a(n − 1)g(n − 1) + b(n − 2)g(n − 2) rồi ñặt vn = un − n.g(n ) .
• Nếu (1) có nghiệm kép x = 1 , ta phân tích
f (n ) = n 2 .g(n ) + a(n − 1)2 .g(n − 1) + b(n − 2)2 .g(n − 2) rồi ñặt vn = un − n 2 .g(n ) .

u = 1; u1 = 4
Ví dụ 1.13: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) :  0
.
un − 3un −1 + 2un − 2 = 2n + 1 ∀n ≥ 2
Giải:
Vì phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 1; x = 2 nên ta phân tích
2n + 1 = n(kn + l ) − 3(n − 1) k (n − 1) + l  + 2(n − 2) k (n − 2) + l  , cho n = 0; n = 1 ta
5k − l = 1
có hệ: 
⇔ k = −1; l = −6 .
3k − l = 3
ðặt vn = un + n(n + 6) ⇒ v0 = 1; v1 = 11 và vn − 3vn −1 + 2vn −2 = 0

α + β = 1
⇒ vn = α .2n + β .1n với α , β : 
⇔ α = 10; β = −9
α
β
2
+

=
11

⇒ vn = 10.2n − 9 ⇒ un = 5.2n +1 − n 2 − 6n − 9 ∀n = 0,1,2,... .

- 13 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

u0 = −1; u1 = 3
Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : 
.
n
−
4
+
3
=
5.2
∀
≥
2
u
u
u
n
 n
n −1
n −2

Giải: Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n −1 + 3a.2n − 2 .
Cho n = 2 ta có: 4 = 4a − 8a + 3a ⇔ a = −4
ðặt vn = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19; v1 = 43 và vn − 4vn −1 + 3vn − 2 = 0
Vì phương trình x 2 − 4x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 1, x = 3 nên vn = α .3n + β .1n
α + β = 19
Với α , β : 
⇔ α = 12; β = 7 ⇒ vn = 12.3n + 7 .
3α + β = 43

Vậy un = 4.3n +1 − 5.2n + 2 + 7 ∀n = 1,2,... .
Chú ý : Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi:
u 0 ; u1
(với a 2 − 4b ≥ 0 ) như sau:

n
un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ∀n ≥ 2

Ta phân tích α n = kα n + a.k .α n −1 + b.k .α n − 2 (7).
Cho n = 2 thì (7) trở thành: k (α 2 + a.α + b) = α 2
Từ ñây, ta tìm ñược k =

α2
α + aα + b
2

khi α không là nghiệm của phương trình :

x 2 + ax + b = 0 (8).
v = u0 − kc; v1 = u1 − kcα

Khi ñó, ta ñặt vn = un − kc.α n , ta có dãy (vn ) :  0
vn + a.vn −1 + bvn − 2 = 0 ∀n ≥ 2

⇒ vn = p.x1n + q.x 2n (x1, x 2 là hai nghiệm của (8)).
⇒ un = p.x1n + q.x 2n + kc.α n .

Vậy nếu x = α là một nghiệm của (8), tức là: α 2 + aα + b = 0 thì ta sẽ xử lí thế nào ?
Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích :

α n = kn.α n + a.k (n − 1)α n −1 + bk (n − 2)α n − 2

(9).

Cho n = 2 ta có: α k (2α + a ) = α 2 ⇔ k (2α + a ) = α ⇔ k =

α
a
(α ≠ − ) .
2α + a
2

⇒ (2) có nghiệm k ⇔ α là nghiệm ñơn của phương trình (8).

Khi ñó: ⇒ un = p.x1n + q.x 2n + kcn.α n .
- 14 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

a

là nghiệm kép của (8). Với tư tưởng như trên,
2
ta sẽ phân tích: α n = kn 2 .α n + a.k (n − 1)2 α n −1 + bk (n − 2)2 α n − 2 (10).

Cuối cùng ta xét trường hợp x = α = −

Cho n = 2 ta có: (10) ⇔ α 2 = 4k .α 2 + ak .α ⇒ k =

α
1
= .
4α + a 2

1
Khi ñó: ⇒ un = p.x1n + q.x 2n + cn 2 .α n .
2
Vậy ta có kết quả sau:

u 0 ; u1
Dạng 7: Cho dãy số (un ) xác ñịnh bởi: 
.
n
un + a.un −1 + b.un − 2 = c.α ; ∀n ≥ 2
ðể xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau:

Xét phương trình : x 2 + ax + b = 0 (11)
• Nếu phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt khác α thì
un =

p.x1n

+ q.x 2n

+ kc.α với k =

α2

n

• Nếu phương trình (11) có nghiệm ñơn x = α thì

α 2 + aα + b

un = p.x 1n + q.x 2n + kcn.α n với k =

.

α
.
2α + a

1
• Nếu x = α là nghiệm kép của (11) thì : un = (p + qn + cn 2 ).α n .
2

u0 = −1; u1 = 3
Ví dụ 1.15: Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) : 
.
n
u

u
u
n
−
5
+
6
=
5.2
∀
≥
2
 n
n −1
n −2

Giải:
Phương trình x 2 − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x1 = 2; x 2 = 3 , do ñó
un = p.2n + q.3n + 5kn.2n .

- 15 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số


α
2
=
= −2

k =
α
2
a
4
5
+
−

⇔ k = −2; p = −26;q = 25 .
Với  p + q = −1
2p + 3q + 10k = 3



Vậy un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n +1(5n + 13) ∀n = 1,2,... .
u0 = 1; u1 = 3
Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (un ) : 
n .
u
u
u
4
4
3.2
−
+
=
 n
n −1

n −2
Giải:

Phương trình x 2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2 nên un = (p + qn +

3 2 n
n )2
2

 p = 1
Dựa vào u 0 , u1 ta có hệ: 
⇔ p = 1; q = −1 .
p
q
+
=
0


Vậy un = (3n 2 − 2n + 2)2n −1 ∀n = 1,2,... .
Với cách xây dựng tương tự ta cũng có ñược các kết quả sau:
u , u , u
Dạng 8: Cho dãy (un ) :  0 1 2
.ðể xác ñịnh CTTQ
u
au
bu
cu
n
+

+
+
=
0
∀
≥
3
 n
n −1
n −2
n −3

của dãy ta xét phương trình: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (12) .
• Nếu (12) có ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 ⇒ un = α x1n + β x 2n + γ x 3n . Dựa vào

u0 , u1, u2 ta tìm ñược α , β , γ .
• Nếu (12) có một nghiệm ñơn, 1 nghiệm kép:

x1 = x 2 ≠ x 3 ⇒ un = (α + β n )x1n + γ .x 3n
Dựa vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñược α , β , γ .
• Nếu (12) có nghiệm bội 3 x1 = x 2 = x 3 ⇒ un = (α + β n + γ n 2 )x1n .

Dựa vào u 0 , u1, u2 ta tìm ñược α , β , γ .
u = 0, u2 = 1, u3 = 3,
Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy (un ) :  1
un = 7un −1 − 11.un − 2 + 5.un − 3 , ∀n ≥ 4
- 16 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

Giải : Xét phương trình ñặc trưng : x 3 − 7x 2 + 11x − 5 = 0
Phương trình có 3 nghiệm thực: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5
Vậy an = α + β n + γ 5n
Cho n = 1, n = 2, n = 3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta ñược

α=−
Vậy an = −

1
3
1
, β = , γ =
16
4
16

1 3
1
+ ( n − 1) + .5n −1 .
16 4
16

u = 2; un = 2un −1 + vn −1
∀n ≥ 1 .
Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy số (un ),(vn ) :  0
=
1;
=
+

2
v
v
u
v
 0
n
n −1
n −1
Giải:
Ta có: un = 2un −1 + un − 2 + 2vn − 2 = 2un −1 + un − 2 + 2(un −1 − 2un − 2 )

⇒ un = 4un −1 − 3un − 2 và u1 = 5
1 + 3n +1
−1 + 3n +1
⇒ vn = un +1 − 2un =
.
2
2
Tương tự ta có kết quả sau:

Từ ñây, ta có: un =

x = pxn −1 + qyn −1 ; x1
Dạng 9: Cho dãy (xn ),(yn ) :  n
. ðể xác ñịnh CTTQ của hai dãy
y
=
ry
+

sx
;
y
n −1
n −1
 n
1
(xn ),(yn ) ta làm như sau:

Ta biến ñổi ñược: x n − (p + s )x n −1 + (ps − qr )xn − 2 = 0 từ ñây ta xác ñịnh ñược x n ,
thay vào hệ ñã cho ta có ñược yn .
Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

q − λr
yn −1 )
x n − λyn = (p − λs )(x n −1 −
−
λ
s
p
Ta ñưa vào các tham số phụ λ , λ ' ⇒ 
q + λ 'r
x + λ ' y = (p + λ ' s )(x
+
y )
n
n
n −1
p + λ ' s n −1


- 17 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số


q − λr
λ =
λs − p ⇒ x n − λyn = (p − λs )(x n −1 − λyn −1 )
Ta chọn λ , λ ' sao cho 

x n + λ ' yn = (p + λ ' s )(x n −1 + λ ' yn −1 )
λ ' = q + λ ' r
λ 's + p

x − λy = (p − λs )n −1(x − λy )
n
n
1
1
giải hệ này ta tìm ñược ( xn ) , ( yn ) .

n −1
x n + λ ' yn = (p + λ ' s ) (x1 + λ ' y1 )
u1 = 1

Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy (un ) : 
2un −1
.

u
=
∀
n
≥
2
 n 3u
+4

n −1

Giải: Ta có

3u
+4 3
1
1
1
= n −1
= +2
. ðặt x n =
, ta có:
2un −1
2
un
un −1
un

x1 = 1
5.2n −1 − 3

2

⇒
x
=
⇒
u
=
.

3
n
n
n −1
2
=
2
+
x
x
5.2
−3
 n
n −1

2
u1 = 2

Ví dụ 1.20: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : 
−9un −1 − 24

.
∀n ≥ 2
un = 5u
+ 13

n −1

Giải: Bài toán này không còn ñơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,
do ñó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta ñưa vào dãy phụ bằng
cách ñặt un = xn + t . Thay vào công thức truy hồi, ta có:
xn + t =

−9x n −1 − 9t − 24
5x n −1 + 5t + 13

⇒ xn =

(−9 − 5t )xn −1 − 5t 2 − 22t − 24
5x n −1 + 5t + 13

Ta chọn t : 5t 2 + 22t + 24 = 0 ⇒ t = −2 ⇒ x1 = 4
⇒ xn =

1
3
1
11.3n −1 − 10
4
⇒
=5+

⇒
=
⇒ xn =
+3
4
xn
x n −1
xn
11.3n −1 − 10

x n −1
5xn −1

⇒ un = x n − 2 =

−22.3n −1 + 24
n −1

11.3

− 10

.

- 18 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

Dạng 10: Cho dãy ( un ): u1 = α ; un =

pun −1 + q
run −1 + s

∀n ≥ 2 . ðể tìm CTTQ của dãy (xn)

ta làm như sau:
ðặt un = x n + t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:
xn =

px n −1 + pt + q
run −1 + rt + s

−t =

(p − rt )x n −1 − rt 2 + (p − s )t + q
rx n −1 + rt + s

(13).

Ta chọn t : rt 2 + (s − p)t − q = 0 . Khi ñó ta chuyển (13) về dạng:
Từ ñây ta tìm ñược

1
1
=a
+b
xn
x n −1

1
, suy ra un .
xn

u = 2
Ví dụ 1.21: Xác ñịnh CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) :  1
và
v1 = 1
u = u 2 + 2v 2
n
n −1
n −1 ∀n ≥ 2 .

vn = 2un −1vn −1
Giải:
2
2
2

un = un −1 + 2vn −1
un + 2vn = (un −1 + 2vn −1 )
⇒
Ta có: 
2
=
2
2
2
v
u

v

un − 2vn = (un −1 − 2vn −1 )
n
n −1 n −1
n −1

2n − 1
= (2 + 2)2
un + 2vn = (u1 + 2v1 )
⇒
n −1
n −1
un − 2vn = (u1 − 2v1 )2
= (2 − 2)2


1
2n −1
2n − 1 
u
=
(2
+
2)
+
(2
−
2)
 n


2 
⇒
.
n −1
n −1 
1 
2
2
vn =
− (2 − 2)
(2 + 2)

2 2


- 19 -


WWW.DAYHOCTOAN.VN

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
2

2
2
un un2 −1 + 2vn2 −1
un = un −1 + 2vn −1
⇒
=

Nhận xét: Từ 
v
=
2
u
v
v
2un −1vn −1
n −1 n −1
n
 n

Do vậy nếu ta ñặt x n =

un
vn

 un −1 
+2


v
=  n −1 
u

2  n −1 
v

 n −1 

x1 = 2

ta ñược dãy số (xn ) : 
x n2 −1 + 2 . Ta có bài toán sau:
x n =
2x n −1


x1 = 2

.
Ví dụ 1.22: Xác ñịnh CTTQ của dãy số (xn ) : 
x n2 −1 + 2
x
=
∀
n
≥
2
 n
2x n −1


Giải:
2
2
u1 = 2 un = un −1 + 2vn −1
∀n ≥ 2 .
và 
Xét hai dãy (un ),(vn ) : 

v
=
1
v
=
u
v
2
 n
n −1 n −1
 1
u
Ta chứng minh x n = n (14).
vn

• n = 2 ⇒ x2 =

u2

• Giả sử x n −1 =

un −1

v2

= 2 ⇒ n = 2 (14) ñúng.

vn −1

⇒ xn =

x n2 −1 + 2
2x n −1

=

un2 −1 + 2vn2 −1
2un −1vn −1

=

un
vn

⇒ (14) ñược chứng

minh
n −1

Theo kết quả bài toán trên, ta có: x n = 2

(2 + 2)2

2n − 1

(2 + 2)

n −1

+ (2 − 2)2

2n − 1

.

− (2 − 2)

Dạng 11:
1) Từ hai ví dụ trên ta có ñược cách tìm CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) ñược xác ñịnh
u = u 2 + a.v 2 ; u = α
n −1
n −1
1
bởi:  n
(trong ñó a là số thực dương) như sau:
v
=
2
v
u
;
v
=
β
 n
n −1 n −1
1

WWW.DAYHOCTOAN.VN

- 20 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số
2
2
2

un = un −1 + a.vn −1
un + aun −1 = (un −1 + aun −1 )
Ta có: 
⇒
2
 a .vn = 2 a .vn −1un −1
un − aun −1 = (un −1 − aun −1 )
n −1 

1
2n − 1
+ (α − β a )2 
un = (α + β a )
2
 .
⇒
1 
2n − 1
2n − 1 
vn =
(
)

(
)
α
β
α
β
a
a
+
−
−



2 a 

x1 = α

2) Áp dụng kết quả trên ta tìm ñược CTTQ của dãy (xn ) : 
x n2 −1 + a .
x n =
2x n −1

u = u 2 + a.v 2 ; u = α
1
n −1
n −1
Xét hai dãy (un ),(vn ) :  n
; v1 = 1
vn = 2vn −1un −1

Khi ñó: x n =

un
vn

n −1

= a

(α + a )2

2n − 1

(α + a )

n −1

+ (α − a )2

2n − 1

+ (α − a )

.

u1 = 1

. Tìm un ?
Ví dụ 1.23: Cho dãy (un ) : 

2
u
u
u
n
=
5
+
24
−
8
∀
≥
2
 n
n −1
n −1

Giải:
Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 . Giả sử: un = xun −1 + yun − 2
9x + y = 89
⇒
⇔
89
x
+
9
y
=
881



x = 10
. Ta chứng minh: un = 10un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3

y
=
−
1


Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (un − 5un −1 )2 = 24un2 −1 − 8
⇔ un2 − 10un un −1 + un2 −1 + 8 = 0 (15) thay n bởi n − 1 , ta ñược:
un2 − 2 − 10un − 2un −1 + un2 −1 − 8 = 0 (16) .

Từ (15),(16) ⇒ un − 2 , un là hai nghiệm của phương trình : t 2 − 10un −1t + un2 −1 − 8 = 0
Áp dụng ñịnh lí Viet, ta có: un + un − 2 = 10un −1 .
Vậy un =

6 −2
2 6

(

5−2 6

)

n −1

+

6 +2
2 6

(

5+2 6

)

n −1

.
- 21 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

Dạng 12:
u1 = 1

1) Dãy (un ) : 
là dãy nguyên ⇔ a = 24 .
2
=
5
+
−
8

∀
≥
2
u
u
au
n
 n
n −1
n −1

Thật vậy: u2 = 5 + a − 8 = 5 + t ( t = a − 8 ∈ ℕ ) ⇒ u3 = 5 + (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8
⇒ u3 ∈ ℤ ⇔ f (t ) = (t 2 + 8)(t + 5)2 − 8 = m 2 (m ∈ ℤ) .

Mà (t 2 + 5t + 4)2 < f (t ) < (t 2 + 5t + 14)2 kết hợp với f (t ) là số chẵn ta suy ra

{

}

m = t 2 + 5t + x với x ∈ 6, 8,10,12 . Thử trực tiếp ta thấy t = 4 ⇒ a = 24 .

u1 = α

2) Với dãy số (un ) : 
, với a 2 − b = 1 ta xác ñịnh
2
un = aun −1 + bun −1 + c ∀n ≥ 2
CTTQ như sau:

Từ dãy truy hồi ⇒ (un − aun −1 )2 = bun2 −1 + c ⇔ un2 − 2aun un −1 + un2 −1 − c = 0
Thay n bởi n − 1 , ta có: un2 − 2 − 2aun −1un − 2 + un2 −1 − c = 0 ⇒ un + un − 2 = 2aun −1 .
u1 = α

un −1
3) Với dãy (un ) : 
un =

a + cun2 −1 + b

xác ñịnh CTTQ như sau:

Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng:

∀n ≥ 2

,trong ñó α > 0;a > 1 ; a 2 − b = 1 ta

1
a
b
1
=
+ c+
. ðặt x n =
un
un un −1
un2 −1

Ta có un = aun −1 + bx n2 −1 + c ñây là dãy mà ta ñã xét ở trên.

u1 = u2 = 1

. Tìm un ?
Ví dụ 1.24: Cho dãy (un ) : 
un2 −1 + 2
u
n
=
∀
≥
2
 n
un − 2


Giải:
Ta có: u 3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 . Ta giả sử un = xun −1 + yun −2 + z .Từ u3 = 3; u4 = 11;
- 22 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

x + y + z = 3

u5 = 41 ta có hệ phương trình: 3x + y + z = 11 ⇔
11x + 3y + z = 41

u = u2 = 1
Ta chứng minh (un ) :  1

.
un = 4un −1 − un − 2 ∀n ≥ 3
• Với n = 3 ⇒ u3 = 4u2 − u1 = 3 ⇒ n = 3 ñúng

x = 4

y = −1 ⇒ un = 4un −1 − un − 2
z = 0


• Giả sử uk = 4uk −1 − uk − 2 . Ta có:

uk +1 =

=

uk2 + 2
uk −1

( 4uk −1 − uk −2 )
=

2

uk −1

+2

=

16uk2 −1 − 8uk −1uk − 2 + uk −1uk − 3
uk −1

16uk2 −1 − 8uk −1uk − 2 + uk2 − 2 + 2
uk −1

= 16uk −1 − 8uk −2 + uk − 3

= 4(4uk −1 − uk − 2 ) − (4uk − 2 − uk − 3 ) = 4uk − uk −1

Theo nguyên lí quy nạp ta có ñpcm ⇒ un =

3 +1
2 3

(

2− 3

)

n −1

+

3 −1
2 3

(

2+ 3

)

n −1

- 23 -

.


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ
Nhiều dãy số có công thức truy hồi phức tạp trở thành ñơn giản nhờ phép thế lượng giác.
Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ ñến những công thức lượng
giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau

1
u1 =
Ví dụ 2.1: Cho dãy (un ) : 
. Xác ñịnh CTTQ của dãy (un ) .
2
2
un = 2un −1 − 1 ∀n ≥ 2

Giải:
Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng ñến công thức nhân ñôi của hàm số côsin
1
π

π
2π
Ta có: u1 = = cos ⇒ u2 = 2 cos2 − 1 = cos
2
3
3
3
2π
4π
8π
⇒ u3 = 2 cos2
− 1 = cos
⇒ u4 = cos
....
3
3
3
2n −1 π
. Thật vậy
Ta chứng minh un = cos
3

22 −1 π
2π
= cos
(ñúng)
• Với n = 2 ⇒ u2 = cos
3
3
n −1

2n − 2 π
π
2n −1 π
2
2 2
⇒ un = 2un −1 − 1 = 2 cos
− 1 = cos
• Giả sử un −1 = cos
3
3
3
n −1
2 π
Vậy un = cos
∀n ≥ 1 .
3
u1
ta làm như
Dạng 13: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy số (un ) : 
2
u
u
n
=
2
−
1
∀
≥
2

 n
n −1
sau:

• Nếu | u1 |≤ 1 , ta ñặt u1 = cos α . Khi ñó ta có: un = cos 2n −1α .

1
1
(a + ) ( trong ñó a ≠ 0 và cùng dấu với u1 ).
2
a
1
1
1
1
1
1
Khi ñó u2 = (a 2 + 2 + ) − 1 = (a 2 + ) ⇒ u3 = (a 4 + ) ....
2
2
2
a2
a2
a4
• Nếu | u1 |> 1 ta ñặt u1 =

- 24 -


Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số

1 2n −1
1
(a
+ n −1 ) ∀n ≥ 1 . Trong ñó a là nghiệm (cùng dấu
2
a2
với u1 ) của phương trình : a 2 − 2u1a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghiệm có
tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau

2n − 1
2n − 1 
1 



2
2
.
un =  u1 − u1 − 1 
+  u1 + u1 − 1 


2 






Ta chứng minh ñược un =


3
u1 =
Ví dụ 2.2: Xác ñịnh CTTQ của dãy số (un ) : 
.
2
3
u = 4u
− 3un −1 ∀n ≥ 2
n −1
 n
Giải:

3
π
π
π
32 π
3π
Ta có: u1 =
= cos ⇒ u2 = 4 cos
− 3 cos = cos 3 ⇒ u3 = cos
.....
2
6
6
6
6

6
3n −1 π
.
Bằng quy nạp ta chứng minh ñược: un = cos
6
Dạng 14:
u1 = p
1) ðể tìm CTTQ của dãy (un ) : 
, ta làm như sau
3
u
u
u
n
=
4
−
3
∀
≥
2
 n
n −1
n −1
• Nếu | p |≤ 1 ⇒ ∃α ∈  0; π  : cos α = p .

Khi ñó bằng quy nạp ta chứng minh ñược : un = cos 3n −1α .
• Nếu | p |> 1 , ta ñặt u1 =

1

1
a
+

 (a cùng dấu với u1 )
2
a

1  3n −1
1 
+ n −1  .
a

2 
a3


3n − 1
3n − 1 
1 



2
2
.
+  u1 + u1 − 1 
Hay un =  u1 − u1 − 1 



2 





2) Từ trường hợp thứ hai của bài toán trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số

Bằng quy nạp ta chứng minh ñược un =

- 25 -