giới hạn dãy số

DAYHOCTOAN.VN

GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn:
 lim u n  0 | u n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng
n 

nào đó trở đi.


lim u n  a  lim (u n  a)  0 .

n

n

2. Giới hạn vô cực:
 lim u n    u n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số
n 

hạng nào đó trở đi.
lim u n    lim (u n )  .

n

n

3. Định lý1.
1

 0;
n
lim q n  0 với q  1.

lim

n  

1

lim

n  

n

 0.

n  

2. Định lý 2. Nếu lim u n  a và lim vn  b thì:
n

n 

lim (u n  vn )  a  b.

n

un a

 (b  0).
n   v
b
n
lim

lim u n  a (u n  0, n  N * ).

n

u n  bn  v n , n  N *
3. Định lý 3. Nếu 
thì lim bn  a.
n
u n  lim v n  a
nlim

n 

4. Định lý Weierstrass:
Mọi dãy tăng và bị chặn trên đều có giới hạn.
Mọi dãy giảm và bị chặn dưới đều có giới hạn.
n



Chú ý. lim 1    e. (e  2,71828...).
n 


1
n

5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
Cho (un) là cấp số nhân vô hạn có công bội q với q  1 thì:
S  u1  u 2    u n   

u1
.
1 q

6. Giới hạn   :
lim n   ; lim n k  (k  0) ; lim q n  (q  1).
n

n  

n  

Định lý.
a) Nếu lim u n  a và lim vn   thì lim
n

DAYHOCTOAN.VN

n 

n  

un

 0.
vn

GIỚI HẠN DÃY SỐ GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN


DAYHOCTOAN.VN

GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

 lim u n  a  0
n
b) Nếu lim v n  0
 n
v n  0, n
 lim u n  
n
c) Nếu 
vn  a  0
lim
n  

un
 .
n   v
n

thì lim

thì lim u n .vn  .

n

Ví dụ. Tính các giới hạn:
9n 2  n  1
;
n 
4n  2
d) lim  n 2  5n  2.

6n  1
;
n   3n  2
c) lim n 3  2n 2  n  1 ;

a) lim
n  







b) lim



n  

n  





f) lim n 2  n  n .

e) lim n 2  n  n .

n  

Giải:
a) Theo định lý về giới hạn, ta có:
1

1
1
n 6  
6
lim 6  lim
6n  1
60
n   n
n
n  n
lim
 lim 
 lim

 2.

n   3n  2
n   
n


2
2
2
30
3
lim 3  lim
n 3  
n   n
n n
n


b)
9n  n  1
 lim
n  
4n  2
2

lim

n  

1 1 


n2 9   2 
n.
n n 

 lim
n  
2

n 4  
n


1 1 

9   2 
n n 

2

n 4  
n


1 1 
1 1 


 9   2  nlim
9   2 



n n 
n n 
9 3


 lim


 .
n  
2
2
4
4


lim  4  
4  
n  
n
n


1
 2 1
c) lim n 3  2n 2  n  1  lim n 3 . lim 1   2  3   .1  .
n
n
n 

n 
 n n
2
2
d) lim  n  5n  2  lim (1). lim n  5n  2  (1).()  .





n  

e)

lim

n  

n

2

n 

n 










1
1
1
 n  n  lim  n. 1   n   lim n. 1   1  lim n. lim  1   1  .
n  
n  
n 
n 
n
n
n







f)

DAYHOCTOAN.VN

GIỚI HẠN DÃY SỐ GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN


DAYHOCTOAN.VN

lim

n  

n

 lim

n  

 lim

n  

2



GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

 n  n  lim

n2  n  n2

n

n n

2

n

n  



 lim

n


1
n 1   1
n



n  

2

n n

n

2

n n

n n





n
n2  n  n
1

 lim

n  

2

 n

1

1
1
n



lim (1)

n  



1
lim  1   1
n  
n





1 1

.
11 2

Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
(2n  1)(3n  1)(6n  2)
;
n  
3n 3  1
3 2  4n
c) lim (n  )( 2 );
n  
n
n

a) lim

b) lim

n  



4n 2  2n  1
.
n3  1

n  

1

n3  n
;
n  
n2
1 2  3  n
.
g) lim
n  
n2  2
3



d) lim n 2  n  n .
1

1



f) lim  

.
n 1.2
2
.
3
n
(
n

1
)



e) lim

Bài 2. Cho dãy số (un) xác định bởi:
u1  2

.
un  1

u n 1  2 (n  1)

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 3. Cho dãy số (u n ) với u n 

1  2  3  ...  n
thì lim u n =?
n
4n 2  1

1
1
;
B. ;
C.  ;
D.Không tồn tại.
4
2
Bài 4. Cho dãy số (u n ) với u n  1  2  2  ...  ( 2 ) n1 thì lim u n =?

A.

n

A.

1
1 2

;

C.  ;

B.0;

Bài 5. Dãy số (an) với
A. 0;

an 

B. 1;

n
, n  N* có giới hạn bằng:
n 1
C.2;

D.  .

D.Kết quả khác.

Bài 6. Xét các câu sau:
n

1
(1) Ta có: lim    0;
n   3
 

DAYHOCTOAN.VN

1

 0, k  Z.
n   n k

(2) Ta có: lim

GIỚI HẠN DÃY SỐ GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN


DAYHOCTOAN.VN

GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

A. Chỉ có (1) đúng; B. Chỉ có (2) đúng; C. Cả hai câu đều đúng;D. Cả hai câu đều sai.
Bài 7. Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn 0:
n
n
n 1
1 n
;
.
A. u n 
B. u n 
C. u n 
D. u n 
;
;
n 1
n2
n 1
1 n

Bài 8. Dãy (un) với u n 

n2  n  5
có giới hạn bằng:
2n 2  1

1
;
2
(3) n  5 n
Bài 9. Tính lim
là:
n (3) n 1  5 n 1
1
3
A. ;
B. ;
2
2
n 1
?
Bài 10. Tính lim
n 1
A.1;
B.-1;

A. 1;

B.

3
D. .
2

C. 2;

C.  ;

1
D. .
5

C.0;

D.+ .

Bài 11. Dãy số (un) với u n  n  1  n có giới hạn bằng:
3

3

A. 0;

B. 1;
C.2;
D.3.
Bài 12. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2 n  3n
2 n  3n

2 n  3n
2 n  3n
 ; D.lim n
 3; B.lim n
 .
 1;
A.lim n
C.lim n
2 1
2 1
2 1
2 1
(1) n
1
, bn  . Khi đó:
Bài 13. Cho a n 
n
n
a
a
a
a
A. lim n  1;
B.lim n  1;
C.lim n  ;
D.lim n  .
bn
bn
bn
bn

n

 3
Bài 14. Giả sử u n 1  2    , n  Z+. Khi đó:
 2 
A.lim un = 4;
B.lim un = 2;
D.Không đủ thông tin để tính giới hạn của dãy (un).
2  1  3n 

Bài 15. Lim  n   3  =?
n  n 

A.0;
B. 1;
C.  1;

C.lim un =   ;

D. + .

Bài 16. Cho cấp số nhân u1 , u 2 , ..., u n ,... với công bội q thỏa |q| < 1. Lúc đó, tổng của cấp số nhân
đã cho là:
u
A. S  1 ;
q 1

u1 (q n  1)
;
B. S 

q 1

C. S 

u1
;
 q 1

D. Kết quả khác.

2 4 8
2n
Bài 17. Gọi S  1       n   Giá trị của S bằng:
3 9 27
3

DAYHOCTOAN.VN

GIỚI HẠN DÃY SỐ GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN


DAYHOCTOAN.VN

GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC – HUẾ

A. 3;

B. 4;
C.5;
D. 6.

n 1
1 1
(1)
  Giá trị của S bằng:
Bài 18. Gọi S     
3 9
3n
1
1
3
A. ;
B. ;
C. ;
D.1.
4
2
4
(2n  1)(n  3)(n  1)
Bài 19. I = lim
thì
n3  n  1
A.I = 0;
B. I = 1;
C. I = 2;
D. + .
n n 1
Bài 20. Lim 2
?
n 2
A. 0;

B.1;
C.2;
D.Không tồn tại giới hạn.
2
1 a  a  an
Bài 21. Cho 0  a  1 và 0  b  1 . Giới hạn lim
=?
1 b  b2    bn
1 a
1 b
;
;
A.1;
B.
C.
D.Kết quả khác.
1 a
1 b
Bài 22. Trong các dãy số sau, tìm dãy số có giới hạn hữu hạn?
1
2n 2  11n  1
; C. u n 
; D. u n  n 2  2n  n.
A. un  3n  2 n ; B. u n 
2
2
2
n 2
n 2 n 4

DAYHOCTOAN.VN

GIỚI HẠN DÃY SỐ GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN