chuyen de dao ham bai toan van toc, gia toc, cuong do

Tài liệu ôn thi THPT quốc gia

Ths. Nguyễn Thanh Thừa

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM
§1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.1.1 Đạo hàm các hàm số cơ bản
Hàm cơ bản

Hàm hợp
Tổng quát:

 c'  0; x' 1


x 



 x

n '

 f (u ) ' 

u 

n '

 nx n 1 , n  N , n 1
'

 u

1



2 x

'

Ví dụ

f '(u )u '
'

 nx n 1u '
'



3
3
�
(2 x  1) 4 �
�
� 4(2 x  1) .2  8(2 x  1)



u'
2 u

'



'

2x 1 

(2 x  1) '
1

2 2x 1
2x 1

'

1�
1
 �
� �  2
�x � x

�1 � u '
� �  2
�u � u

2

� 1 � (2 x  1) '

�
� 
2
(2 x  1) 2
�2 x  1 � (2 x  1)

  ex   ex

e 

e 

'

  ln x  
'

u '

1
x

 ln u 

2 x '

 eu u '
'



u'
u

 e 2 x (2 x) '  2e 2 x

 ln(2 x  1) 

'



(2 x  1) '
2

2x 1
2x 1

1.1.2 Đạo hàm hàm số lượng giác
Hàm cơ bản

Hàm hợp

  sin x   cos x

 sin(ax  b) 

  cos x    sin x

 cos(ax  b) 

1
cos 2 x

'

'



 tan x 

'



  cot x   
'

1
sin 2 x

Ví dụ

 a cos(ax  b)

 sin(2 x  1) 

'

  a sin( ax  b)

 cos(2 x) 

 tan(ax  b) 

'



 cot(ax  b) 

'

'

a
cos (ax  b)
2



a
sin ( ax  b)
2

'

'

 2 cos(2 x  1)

 2sin(2 x)

 tan(2 x  1) 

'

 cot(2 x  1) 

'



2
cos (2 x  1)



2

2
sin (2 x  1)
2

1.1.3 Quy tắc tính đạo hàm
 (u �v) '  u '�v '
u

v

 ( )' 

u ' v  uv '
v2

 (uv) '  u ' v  uv '
 (ku ) '  ku '

1.1.4 Ví dụ
1. Đạo hàm của hàm số y  x 3  3x 2  2 x  1 là:

A. y  3x 2  3x  2

B. y  3x 2  3x  2

C. y  x 2  3x  2

D. y  3x 2  6 x  2

Hướng dẫn: Áp dụng công thức  x n   nx n 1 và quy tắc tính đạo hàm
'

1


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia

Ths. Nguyễn Thanh Thừa

2. Đạo hàm của hàm số y  x x  2 x là:
2

2x  2

A. y 

x2  2x

B. y 

3x 2  4 x

C. y 

x2  2x

2 x 2  3x

D. y 

x2  2x

2x2  2x  1
x2  2x

Hướng dẫn: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm ( u ) '  u ' v  uv ' và đạo hàm hợp.
2
v

v

3. Đạo hàm của hàm số y  cos 2 2 x là:
A. y  2sin 2 x

B. y  2sin 2 x

C. y  4sin 2 x

D. y  4sin 2 x

Hướng dẫn: Áp dụng đạo hàm hàm số lượng giác và đạo hàm hợp
�x 2  3 x  1 khi x  1
4. Đạo hàm của hàm số f ( x)  �
là:
2x  2
khi x �1
�
2 x  3 khi x  1
�
2
khi x �1
�

B. f '( x)  �

2 x  3 khi x  1
�
2

khi x  1
�

2 x  3 khi x �1
�
2
khi x  1
�

D. f '( x)  �

A. f '( x)  �

2 x  3 khi x  1
�
2
khi x  1
�

C. f '( x)  �

Hướng dẫn:



Nếu x  1 , f ( x)  x 2  3 x  1 � f '( x)  2 x  3
Nếu x  1 , f ( x)  2 x  2 � f '( x)  2



Nếu x  1 , lim f ( x)  lim x 2  3x  1  1 �f (1)  4
x �1
x �1







Suy ra hàm số không liên tục tại x  1 , do đó hàm số không có đạo hàm
tại x  1 .
2 x  3 khi x  1
�
2
khi x  1
�

Vậy: f '( x)  �

§1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
1.2.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
1.2.2 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số y  f ( x) tại M ( x0 ; y0 )
Phương trình tiếp tuyến có dạng:  : y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (*)
Bước 1: Xác định x0 , y0
Bước 2: Tính đạo hàm y '  f '( x) Suy ra f '( x0 )
Bước 3: Thế vào phương trình (*)
Chú ý:


Đề bài thường chỉ cho biết trước x0 hoặc y0 . Có x0 thế vào hàm số y  f ( x) tìm

y0 , ngược lại, có y0 ta cũng thế vào hàm số y  f ( x) giải phương trình tìm x0 .
2


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia


Ths. Nguyễn Thanh Thừa

Thường x0 , y0 phải tìm thông qua các giả thiết của đề bài: tìm x0 bằng cách giải

phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong đề bài cho.
1.2.3 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số y  f ( x) biết hệ số góc k
Phương trình tiếp tuyến có dạng:  : y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (*)
Bước 1: Xác định hệ số góc k
Bước 2: Giải phương trình f '( x)  k tìm x0 ; có x0 thế vào hàm số y  f ( x) tìm y0 .
Bước 3: Thế vào phương trình (*)
Chú ý:
Cho phương trình đường thẳng d : y  ax  b


Nếu  song song d suy ra k  a



Nếu  vuông góc d suy ra k 



Phương trình tiếp tuyến hợp với trục ox một góc  suy ra k  tan 

1
a

1.2.4. Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số y  f ( x) qua A( x A ; y A )
Phương trình tiếp tuyến có dạng:  : y  k ( x  x A )  y A ( y  g ( x) ) (*)
Bước 1: Tính đạo hàm y '  f '( x)
Bước 2: Giải hệ phương trình:
�f '( x)  k
�
�f ( x)  g ( x)

Tìm được x suy ra giá trị k
Bước 3: Thế giá trị k tìm được vào phương trình (*)
Chú ý: Chỉ thế giá trị k tìm được vào phương trình (*), không thế cả giá trị x tìm
được vào phương trình (*).
1.2.4. Ví dụ
1. Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  1 (C), phương trình tiếp tuyến của hàm số tại
điểm có hoành độ x0  3 là?
A. y  24 x  53

B. y  15 x  26

C. y  24 x  53

Hướng dẫn:
x0  3 � y0  19 ;
y '  f '( x )  3 x 2  3 � f '(3)  24

3

D. y  15 x  26


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia

Ths. Nguyễn Thanh Thừa

Suy ra phương trình tiếp tuyến: y  24( x  3)  19 � y  24 x  53

2. Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  1 (C), phương trình tiếp tuyến của hàm số
song song với đường thẳng d : y  9 x  2 là?
A. y  9 x  21 ; y  9 x  17

B. y  9 x  15 ; y  9 x  17

C. y  9 x  15 ; y  9 x  17

D. y  9 x  15 ; y  9 x  17

Hướng dẫn:
 / /d � k  9
f '( x0 )  k � 3 x0 2  3  9 � x  �2


x0  2 � y0  3

Suy ra phương trình tiếp tuyến: y  9( x  2)  3 � y  9 x  15


x0  2 � y0  1

Suy ra phương trình tiếp tuyến: y  9( x  2)  1 � y  9 x  17
3. Cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  1 (C), phương trình tiếp tuyến của hàm số qua
2
3

điểm A( ; 1) có hệ số góc k là?
A. k  0; k  1

B. k  0; k  3

C. k  0; k  3

D. k  1; k  3

Hướng dẫn:
2
3

Phương trình tiếp tuyến  : y  k ( x  )  1
Hệ số góc k là nghiệm của hệ phương trình:
�
3 x 2  3  k (1)
�
�3
2
�x  3 x  1  k ( x  )  1(2)
3

�
2
3

3
2
2
Thế (1) vào (2) ta được x  3x  1  (3x  3)( x  )  1 � 2 x ( x  1)  0

Suy ra: x  0 � k  3 ; x  1 � k  0

§1.3 Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM
1.3.1 Bài toán vận tốc tức thời
Cho một vật chuyển động với quảng đường có phương trình y  s (t ) . Khi đó,
vận tốc tức thời ( v ) tại thời điểm t  t0 (nếu có) là giới hạn lim
t �t
0

4

s(t )  s (t0 )
.
t  t0


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia

Ths. Nguyễn Thanh Thừa

Từ đó suy ra: v (t0 )  s '(t0 )

1.3.2 Bài toán gia tốc tức thời
Cho một vật chuyển động với vận tốc có phương trình y  v(t ) . Khi đó, gia tốc
tức thời ( a ) tại thời điểm t  t0 (nếu có) là giới hạn lim
t �t
0

v(t )  v (t0 )
.
t  t0

Từ đó suy ra: a (t0 )  v '(t0 )
1.3.3 Bài toán cường độ dòng điện tức thời
Điện lượng chuyền trong dây dẫn có phương trình y  q(t ) . Khi đó, cường độ
dòng điện tức thời ( i ) tại thời điểm t  t0 (nếu có) là giới hạn lim
t �t
0

q (t )  q(t0 )
.
t  t0

Từ đó suy ra: i (t0 )  q '(t0 )
1.3.4 Ví dụ
1. Một cano chạy với phương trình chuyển động s (t )  3t 3  4t 2  2t . Vận tốc tại t  3
và gia tốc tại t  6 là bao nhiêu?
A v(3)  53; a(6)  116

B. v(3)  107; a (6)  374

C. v (3)  62; a(6)  374

D. v(3)  107; a(6)  116

Hướng dẫn: v(t )  s '(t )  9t 2  8t  2 � v(3)  107 ; a(t )  v '(t )  18t  8 � a(6)  116
1
3

2.(TS 2017) Một vật chuyển động theo quy luật s (t )   t 3  6t 2 với � (giây) là khoảng
thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và � (mét) là quãng đường vật di chuyển
được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây, kể từ khi bắt đầu
chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ?
A. 144 (m/s)

B. 36 (m/s)

C. 243 (m/s)

D. 27 (m/s)

Hướng dẫn:
2
v(t )  s '(t )  t 2  12t  (t 2  12t )   �
(t  6) 2  36 �
�
�  (t  6)  36 �36

Suy ra v  36 (m/s) lớn nhất khi t  6 (s

5