03 phuong phap co ban tinh gioi han day so, ham so, ham so lien tuc

Kiến thức cần nhớ giới hạn dãy số, hàm số Kenhtoanhoc
CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN
DÃY SỐ - HÀM SỐ
1. Giới hạn của dãy số
a) Giới hạn của dãy số hữu hạn
• Bậc của tử bằng bậc của mẫu
Phương pháp: Chia tử và mẫu cho bậc lớn nhất (Đặt nhân tử chung n có bậc
lớn nhất).
1 1
1 1
n3 (2 − 2 + 3 )
(2 − 2 + 3 )
2n3 − n + 1
n n = lim
n n = 2 =−1
= lim
Ví dụ: lim
3
1
1
−4 n + 1
−4
2
n3 (−4 + 3 )
(−4 + 3 )
n
n

• Bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu
Phương pháp: Đặt nhân tử chung n có bậc lớn nhất theo của tử và của mẫu.
1 1

1 1
n3 (2 − 2 + 3 )
n(2 − 2 + 3 )
2n3 − n + 1
n n = lim
n n = −∞
= lim
Ví dụ: lim
2
1
1
−4 n + 1
n 2 (−4 + 2 )
(−4 + 2 )
n
n

• Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu
Phương pháp: Đặt nhân tử chung n có bậc lớn nhất theo của tử và của mẫu.
1 1
1 1
n 2 (2 − + 2 )
(2 − + 2 )
2n 2 − n + 1
n n = lim
n n =0
= lim
Ví dụ: lim
3
1

1
−4n + 1
n3 (−4 + 3 )
n( −4 + 3 )
n
n

b) Giới hạn chứa căn thức
• Giới hạn chứa căn thức bậc hai
Phương pháp: Nhân lượng liên hợp: ( A + B)( A − B) = A − B 2
Ví dụ:
lim( n 2 − n − n) = lim

( n 2 − n − n)( n 2 − n + n)
n −n +n
2

= lim

( n 2 − n) − n 2
n −n +n
2

= lim

−n
n −n +n
2

= −1

• Giới hạn chứa căn thức bậc ba
Phương pháp: Nhân lượng liên hợp:
( 3 A − B )( 3 A2 + B 3 A + B 2 ) = A3 − B 3
( 3 A + B )( 3 A2 − B 3 A + B 2 ) = A3 + B 3

Ví dụ:
lim( n 2 − n − n) = lim

( n 2 − n − n)( n 2 − n + n)

c) Giới hạn chứa lũy thừa và mũ

n2 − n + n

= lim

( n 2 − n) − n 2
n2 − n + n

= lim

−n
n2 − n + n

= −1


Kiến thức cần nhớ giới hạn dãy số, hàm số Kenhtoanhoc
Phương pháp: Chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất.

Ví dụ:
2. Giới hạn của hàm số
a) Giới hạn hàm số tại vô cực
Tính giống giới hạn của dãy số
b) Giới hạn hàm số tại x0
• Mẫu không bằng không: Thế giái trị x0 vào biểu thức tính
• Mẫu bằng không
Dạng 1: Đưa tử hoặc mẫu về dạng nhân tử chung, đơn giản và tính.
Dạng 2: Nhân lượng liên hợp như tính giới hạn dãy số
3. Xét tính liên tục của hàm số tại x0
Phương pháp:
f ( x) = a lim f ( x) , lim f ( x)
Bước 1: Tính xlim
→x
x→x
x→x
+
0

0

−
0

Bước 2:
f ( x) = lim f ( x) = a , hàm số liên tục tại x
• Nếu xlim
0
→x
x→x

+
0

−
0

f ( x) ≠ lim f ( x) , hàm số không liên tục tại x
• Nếu xlim
0
→x
x→x
+
0

−
0

f ( x) = lim f ( x) ≠ a , hàm số không liên tục tại x (hiếm xảy ra)
• Nếu xlim
0
→x
x→x
+
0

−
0